高中物理中的数学知识与方法(选读)

高中物理中的数学知识与方法（选读）

目录：

前言

概念的描述与定义

矢量与矢量的运算

极限思想的体现

待定系数法的应用

（1）认识运动方程

（2）电学实验数据处理

解方程组

变力做功－数学和物理在解题思路中的差别

图象法解题

（1）识图辨析

（2）数形结合

导数在高中物理中的应用

（1）求速度和加速度

（2）求感应电动势

带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，半径与轨迹的关系

前言

在多年的高中教学经历中，接触到很多学生在物理上学习得很努力、很认真，虽然在时间上大量的投入，但成绩总是差强人意。造成这种现象的原因其中之一是受到数学知识的制约，而很多物理问题都得用到数学工具和方法解决；另外一个原因是数学知识掌握得不错，平时数学成绩也好，但不能灵活运用到物理学习中来，对数学和物理两个学科只是独立地进行思考与学习，不能真正地融汇贯通。

高考《考试说明》中明确提出高中生应具备应用数学处理物理问题的能力，即能够根据具体问题列出物理量之间的数学关系式，根据数学的特点、规律进行推导、求解和合理外推，并根据结果得出物理判断、进行物理解释或作出物理结论。能根据物理问题的实际情况和所给条件，恰当地运用几何图形、函数图象等形式和方法进行分析、表达。能够从所给图象通过分析找出其所表达的物理内容，用于分析和解决物理问题。

数学物理方法：对一个物理问题的处理，通常需要三个步骤：（1）利用物理定律将物理问题翻译成数学问题；（2）解该数学问题，其中解数学物理方程占有很大的比重，有多种解法；（3）将所得的数学结果翻译成物理，即讨论所得结果的物理意义。

数学与物理的联系：数学是物理的表述形式之一。其学科特点具有高度的抽象性，它能够概括物理运动的所有空间形式和一切量的关系。数学是创立和发展物理学理论的主要工具。物理原理、定律、定理往往直接从实验概括抽象出来，首先是量的测定，然后再建立起量的联系即数学关系式，其中就包含着大量的数学整理工作，本身就要大量的数学运算，才能科学地整理实验所观测到的量，找出它们之间的联系。

用数学语言来描述具体物理问题的能力培养，即能将具体问题转化为数学问题的能力，以期在数学技能与具体问题之间架起桥梁．在解决实际物理问题的时候，从建立坐标开始，包括确定自变量，找出函数关系以至积分上下限的确定等，都要以物理思想来指导．例如，当只考虑平动时，其物体就简化成为质点，原本并不作用于一点的力都被简化为作用在质点上，从而简化了物体的受力分析．若要考虑物体的转动时，除了要建立平动坐标系外，还要建立相应的转动坐标．作为上述描述能力的另一方面要知道如何解释数学运算结果的意义，根据结果作出科学的结论，在必要时会用图形或其它方法进行表达和描述．有时从数学知识上来看是合理的，然而由于物理条件的限制，其结果却不合理．从我的教学经验看许多文章所述的那样，在建立一质点的受力运动方程时，其难点就在于对摩擦力的数学描述．因为摩擦力与重力、约束力不同，它的方向随质点运动的变化而变化，尤其是对静摩擦力的处理，很难用一个一般的函数形式来描述，需以物理思想来指导，对具体问题作

具体分析．例如，沿一斜面向上抛一质点，显然由于摩擦力的作用，质点沿斜面向上滑动与向下滑动时的受力情况不同，当质点到达最高点时，还要特别地分析静摩擦力(通常静摩擦力大于滑动摩擦力)对质点的作用，以决定质点是否向下滑．

数学能导致新规律的发现和新理论的建立．牛顿在开普勒观察得到的行星运动规律的数据基础上，利用数学的方法，导出了万有引力定律：麦克斯韦从电磁现象已有的实验规律出发，建立了电磁场理论．现代物理学，尤其是微观世界的研究中，数学方法所起的作用越来越重要了．可以说，没有数学，物理学就不能前进．

数学方法为物理学研究提供简明精确的形式化语言．运用数学方法研究物理规律，对量与量之问的关系、量的变化以及在量与量之间进行分析、比较、推导和运算时，都是运用一套形式化的语言(图象、图表)来表示的．这种简洁、明确、严密的数学语言已日益渗透到物理学中去，成为表达物理概念和物理理论的重要形式和手段．用简明的数学公式、数学符号系统、形式化的语言表达物理规律以及规律和复杂现象的联系，才能在物理学研究中进行定量描述和理论概括，反映物理规律的普遍性．我们经常见到的用数学语言表示物理规律的例子如下：

第一节.概念的描述与定义

理论课的学习是高中物理教学的主要内容，其中会遇到多种多样的数学问题，即全面又零散，那么数学与物理结合的方法就是：加强渗透，注意总结归类．

1.比值定义法，即用两个基本的物理量的“比"来定义一个新的物理量的方法．

一般地，比值法定义的基本特点是被定义的物理量往往是反映物质最本质的属性，它不随定义所用的物理量的大小而改变．在初中就有过物质密度的定义，电阻的定义，到高中进一步渗透这种方法，如确定的电场中的某一点的场强就不随q、F而变；电容C的定义，用电荷量Q与电势差U的比值来定义，但电容C是由电容器本身决定的，与Q和U无关；到后面的电势、电势差、磁通密度等都用这种方法来定义，当然用来定义的物理量也有一定的条件，如q为点电荷，S为垂直放置于匀强磁场中的一个面积等．类似的比值还有：压强，速度，功率等．

（1）速度：物体运动的快慢的描述。运动物体单位时间内通过的位移，定义式为：

s v

t =

（2）加速度：物体运动速度变化的快慢。定义式为：

v a

t

∆=

∆

（3）电场强度：该点试探电荷受到的力与电荷量的比值。定义式为：

F E

q =

另外，要经常注意把概念、规律的定义式和公式与文字、语言表述结合起来，使学生真正理解数学式表达的物理意义。目前比较普遍存在的一种情况是学生只会背记公式，却不理解其物理意义，到了做题的时候又只能含糊地代公式了事。譬如学生对电容的定义式C ＝Q/U是熟知的，但对这个式子大多数学生只会读作“C等于Q比U(或U分之Q)"稍好些的，则能说：“电容等于电量与电压之比"或“电容等于增加单位电压所需的电量．"很少有人能作如下确切地表述：“电容是表示电容器容纳电荷本领的物理量．某个电容器电容的数值，等于使两极板增加单位电压所需增加的电量．’’这种情况，固然与学生的语文程度有一定关系，但造成这种情况的主要的原因还在于物理教学本身．要改变这种情况，教学中必需经常注意把概念、规律的物理意义与数学表达式结合起来．引出一个概念，应该先从研究物理过程或物理现象入手，然后谈到对概念的定义方法，最后才写出定义式．在类似的问题中都要进行这种讲解方法的渗透．

第二节. 向量与矢量

向量的概念

定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量，或称向量.