优化设计概述
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hk(X)0 (k1,2, ,m)
建立数学模型的基本原则
1）设计变量的选择： 尽量减少设计变量数目 设计变量应当相互独立
2）目标函数的确定： 选择最重要指标作为设计追求目标
3）约束条件的确定： 性能约束和边界约束
设计实例1:
试设计一重量最轻的空心传动轴。空心传动轴的D、d 分别为轴的外径和内径。其中，D=80 mm，d=25 mm， 轴 的 长 度 为 800 mm 。 轴 的 材 料 为 45 钢 ， 密 度 为 7.8×10-6 ㎏/㎜，弹性模量E=2×105 MPa，许用切应 力[τ]=60 MPa。轴所受扭矩为M=1.5×106 N·mm。
约束分类
① 根据约束性质分： 性能约束——针对性能要求而提出的限制条件。如选择某些结
构必须满足受力的强度、刚度或稳定性要求等； 侧面约束（边界约束）——针对设计变量的取值。如允许机床
主轴选择的尺寸范围，对轴段长度的限定范围等。
约束分类
② 根据数学表达式的形式分 ：
等式约束： h X 0
在设计过程中选择并最终确定的各项独立的基本参数，称作 设计变量，又叫做优化参数。
在优化设计过程中设计变量是不断修改、调整，一直处于变 化状态。
2、约束条件
设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程 上不能接受的。 如一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计。 一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作 约束条件，简称约束。
不等式约束： g X 0
3、目标函数
为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数， 它是优化的目标，称为目标函数。
用它可以评价设计方案的好坏，所以它又被称作评价函数。记
作：
f ( X ) f (x1, x2, x3,...xn )
通常
f (x) min
构造目标函数注意事项：
分析
设计变量：外径D、内径d。
设计要求：满足强度和结构尺寸要求外，还应达到重量最 轻目的。
设计实例1:
所设计的空心传动轴应满足以下条件： （1）扭转强度
空心传动轴的扭转切应力不得超过许用值，即
空心传动轴的扭转切应力:
16D
(D4 d 4)
空心传动轴的扭切应力需满足以下条件:
（1）目标：圆柱齿轮的体积V或重量w最小； （2）设计参数确定：模数m、齿宽b、齿数z1 （3）设计约束条件：
（a）大、小齿轮满足弯曲强度要求； （b）齿轮副满足接触疲劳强度要求； （c）齿宽系数要求； （d）最小齿数要求。
数学模型
设计参数： m, z1, b
设计目标：
min W
4
b[(mz1)2
优化意图(目标、指标)和有关限制条件的
。
数学模型的三要素
设计变量、约束条件、目标函数
1、设计变量
一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些基本 参数可以是构件几何量（如尺寸、位置等），也可以是物理 量（如质量、频率等），还可以是应力、变形等表示工作性 能的导出量以及非物理量（如寿命、成本等）。
优化设计指借助最优化数值计算方法与计算机技术，
求取工程问题的
。
机械优化设计就是把机械设计与优化设计理论及方法 相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的 最优设计方案和最佳设计参数。
机械优化设计的一般过程
建立确切反映问题实质并适合于优化计算的优化设 计数学模型；
选用适当的最优化数值方法和计算程序运算求解该 数学模型。
在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设 计变量。 在机械设计中，可作为参考目标函数的有： 最小体积， 最轻重量，最高效率，最大承载能力，最小振幅或噪声， 最小成本，最高利润等等。
• 优化问题的数学模型的一般描述：
min f(X) XRn s.t. gj(X)0 (j 1,2, ,l)
近似解法：又称为数值迭代方法，根据目标函数的变化规律，以 适当的步长沿着能使目标函数值下降的方向，逐步向目标函数值的 最优点进行探索，逐步逼近到目标函数的最优点或直至达到最优点。
数值解法是优化设计问题的基本解法，其中也可能用到解析解法。
机械优化设计概述
内容提要
机械优化设计的一般过程 建立数学模型的基本原则 机械优化设计实例
机械优化设计的定义
优化是万物演化的自然选择和必然趋势。
优化作为一种观念和意向，人类从很早开始就一直在自觉 与不自觉地追求与探索。
机械优化设计的定义
优化是万物演化的自然选择和必然趋势。
(miz1)2 ]
约束条件：
F1 [ ]F1 0
F 2 [ ]F 2 0
H [ ]H1 0
b d mz1 0(d 齿宽系数)
17 z1 0
如何求解数学模型？
解析解法：根据函数极值的必要条件和充分条件求得其最优解析 解的求解方法，适用于目标函数比较简单的情况。
4896 (x12 x22 ) 10 6
g1X
76.4 105 D4 - d 4
D
60
76.4 105 x14 x24
x1
60
Baidu Nhomakorabea
0
g2 ( X ) d x2 0
g3( X ) D d x1 x2 0
设计实例2:
• 已知：一直齿圆柱齿轮副，传动比i，转速n，传动功率 P，大小齿轮的材料，设计该齿轮副，使其重量最轻。 分析：
16D
(D4 d 4)
60
经整理得:
76 .4 10 5 D4 - d4
D
60
0
（2）结构尺寸
d 0
Dd 0
设：
x1
x2
D d
将目标函数和约束条件规则化，得到数学模型为：
min f () 6.12(D2 d 2 )l 10 6
如何建立优化设计的数学模型？
根据分析对象的设计要求，应用有关专业的基础理论和具 体技术知识进行推导来建立相应问题的优化数学模型。
对于
的优化设计，则主要是根据力学、机械设计
的基础知识、各专业机械设备的具体知识等来建立机械优化
设计的数学模型。
数学模型的相关概念
数学模型
用一组设计变量描述优化设计对象的设计内容，即描述
建立数学模型的基本原则
1）设计变量的选择： 尽量减少设计变量数目 设计变量应当相互独立
2）目标函数的确定： 选择最重要指标作为设计追求目标
3）约束条件的确定： 性能约束和边界约束
设计实例1:
试设计一重量最轻的空心传动轴。空心传动轴的D、d 分别为轴的外径和内径。其中，D=80 mm，d=25 mm， 轴 的 长 度 为 800 mm 。 轴 的 材 料 为 45 钢 ， 密 度 为 7.8×10-6 ㎏/㎜，弹性模量E=2×105 MPa，许用切应 力[τ]=60 MPa。轴所受扭矩为M=1.5×106 N·mm。
约束分类
① 根据约束性质分： 性能约束——针对性能要求而提出的限制条件。如选择某些结
构必须满足受力的强度、刚度或稳定性要求等； 侧面约束（边界约束）——针对设计变量的取值。如允许机床
主轴选择的尺寸范围，对轴段长度的限定范围等。
约束分类
② 根据数学表达式的形式分 ：
等式约束： h X 0
在设计过程中选择并最终确定的各项独立的基本参数，称作 设计变量，又叫做优化参数。
在优化设计过程中设计变量是不断修改、调整，一直处于变 化状态。
2、约束条件
设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程 上不能接受的。 如一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计。 一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作 约束条件，简称约束。
不等式约束： g X 0
3、目标函数
为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数， 它是优化的目标，称为目标函数。
用它可以评价设计方案的好坏，所以它又被称作评价函数。记
作：
f ( X ) f (x1, x2, x3,...xn )
通常
f (x) min
构造目标函数注意事项：
分析
设计变量：外径D、内径d。
设计要求：满足强度和结构尺寸要求外，还应达到重量最 轻目的。
设计实例1:
所设计的空心传动轴应满足以下条件： （1）扭转强度
空心传动轴的扭转切应力不得超过许用值，即
空心传动轴的扭转切应力:
16D
(D4 d 4)
空心传动轴的扭切应力需满足以下条件:
（1）目标：圆柱齿轮的体积V或重量w最小； （2）设计参数确定：模数m、齿宽b、齿数z1 （3）设计约束条件：
（a）大、小齿轮满足弯曲强度要求； （b）齿轮副满足接触疲劳强度要求； （c）齿宽系数要求； （d）最小齿数要求。
数学模型
设计参数： m, z1, b
设计目标：
min W
4
b[(mz1)2
优化意图(目标、指标)和有关限制条件的
。
数学模型的三要素
设计变量、约束条件、目标函数
1、设计变量
一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些基本 参数可以是构件几何量（如尺寸、位置等），也可以是物理 量（如质量、频率等），还可以是应力、变形等表示工作性 能的导出量以及非物理量（如寿命、成本等）。
优化设计指借助最优化数值计算方法与计算机技术，
求取工程问题的
。
机械优化设计就是把机械设计与优化设计理论及方法 相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的 最优设计方案和最佳设计参数。
机械优化设计的一般过程
建立确切反映问题实质并适合于优化计算的优化设 计数学模型；
选用适当的最优化数值方法和计算程序运算求解该 数学模型。
在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设 计变量。 在机械设计中，可作为参考目标函数的有： 最小体积， 最轻重量，最高效率，最大承载能力，最小振幅或噪声， 最小成本，最高利润等等。
• 优化问题的数学模型的一般描述：
min f(X) XRn s.t. gj(X)0 (j 1,2, ,l)
近似解法：又称为数值迭代方法，根据目标函数的变化规律，以 适当的步长沿着能使目标函数值下降的方向，逐步向目标函数值的 最优点进行探索，逐步逼近到目标函数的最优点或直至达到最优点。
数值解法是优化设计问题的基本解法，其中也可能用到解析解法。
机械优化设计概述
内容提要
机械优化设计的一般过程 建立数学模型的基本原则 机械优化设计实例
机械优化设计的定义
优化是万物演化的自然选择和必然趋势。
优化作为一种观念和意向，人类从很早开始就一直在自觉 与不自觉地追求与探索。
机械优化设计的定义
优化是万物演化的自然选择和必然趋势。
(miz1)2 ]
约束条件：
F1 [ ]F1 0
F 2 [ ]F 2 0
H [ ]H1 0
b d mz1 0(d 齿宽系数)
17 z1 0
如何求解数学模型？
解析解法：根据函数极值的必要条件和充分条件求得其最优解析 解的求解方法，适用于目标函数比较简单的情况。
4896 (x12 x22 ) 10 6
g1X
76.4 105 D4 - d 4
D
60
76.4 105 x14 x24
x1
60
Baidu Nhomakorabea
0
g2 ( X ) d x2 0
g3( X ) D d x1 x2 0
设计实例2:
• 已知：一直齿圆柱齿轮副，传动比i，转速n，传动功率 P，大小齿轮的材料，设计该齿轮副，使其重量最轻。 分析：
16D
(D4 d 4)
60
经整理得:
76 .4 10 5 D4 - d4
D
60
0
（2）结构尺寸
d 0
Dd 0
设：
x1
x2
D d
将目标函数和约束条件规则化，得到数学模型为：
min f () 6.12(D2 d 2 )l 10 6
如何建立优化设计的数学模型？
根据分析对象的设计要求，应用有关专业的基础理论和具 体技术知识进行推导来建立相应问题的优化数学模型。
对于
的优化设计，则主要是根据力学、机械设计
的基础知识、各专业机械设备的具体知识等来建立机械优化
设计的数学模型。
数学模型的相关概念
数学模型
用一组设计变量描述优化设计对象的设计内容，即描述