多元函数条件极值的解法与应用 毕业论文

多元函数条件极值的解法与应用

【摘要】 多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分，本文研究的是代入法、拉格朗日乘数法、标准量代换法、不等式法、二次方程判别式符号法、梯度法、数形结合法等方法在解多元函数条件极值问题上的运用，以及探讨多元函数条件极值在证明不等式、物理学、生产销售等问题上的应用. 【关键词】 极值；条件极值；拉格朗日乘数法；梯度法；应用

The solution and application of multivariate

function conditional extreme

【Abstract 】The multivariate function conditional extreme value is an important part of the differential calculus. This article maninly analicys substitution method ，Lagrange multiplier method, Substitution of standard quantum method,Inequality method, Quadratic equation discriminent method,Gradient method and Mathematical combination method in solving the multivariate function conditional extreme value. And discuss the applications of multiple function conditional extreme value in proving inequality , physics and production sales.

【key words 】Extremum,Conditional extreme value,Lagrange multiplier method,Gradient method, Application

1.引言

多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分，它不仅在理论上有重要的应用，而且在其它学科及有关实际问题中有着广泛的应用，于是如何判定与求解多元函数条件极值就成为许多学者研究的问题，虽然以前也有不少学者研究过，但多数还只是理论上的研究，实际利用方面的研究较少.如文[1]讨论了方向导数法在求解多元函数条件极值上应用，文[2]讨论了柯西不等式在求解一些特殊的多元函数条件极值问题时的应用.本文首先对多元函数条件极值的解题方法进行了归纳与总结，通过具体实例对各种解法进行分析类比，从中可以看到不同的条件极值问题可以有不同的解题方法，其中最常用的是拉格朗日乘数法，但对有些问题若能用一些特殊解法可以更简单.面对不同的极值问题如何采用最佳的解决方法是快速解题的关键.文章最后讨论了如何通过条件极值解决不等式证明、物理学、生产销售等实际应用问题.

2.简单介绍多元函数极值与条件极值的有关概念

2.1函数的极值

定义 2.1.1

[3]

设n (2)n ≥元函数12(,,)n z f x x x =在点00012(,,,)n x x x 的某个邻域内有定义,如果对该邻域内任一异于00

012(,,,)n x x x 的点12

(,,)n x x x 都有00012

12(,,)(,,

,)n n f x x x f x x x <(或

00012

12(,,)(,,,)n n f x x x f x x x >)，则称函数在点00012(,,,)n x x x 有极大值(或极小

值)00

012(,,,)n f x x x .极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.

2.2函数的条件极值

定义 2.2.1

[3]

函数12(,,,)n z f x x x =在m 个约束条件12(,,,)0i n x x x ϕ= (1,2,

,;)

i m m n =<下的极值称为条件极值.

3. 多元函数普通极值存在的条件

定理3.1（必要条件）若n (2)n ≥元函数12(,,,)n z f x x x =在点00012(,,,)n x x x 存在偏导数，且

在该点取得极值，则有00012(,,

,)0i x n f x x x = (1,2,

,)i n =

备注：使偏导数都为0的点称为驻点，但驻点不一定是极值点.

定理3.2[3]（充分条件）设n (2)n >元函数12(,,

,)n f x x x 在00012(,,,)n x x x 附近具有二阶连续偏

导数，且00

012(,,

,)n x x x 为12(,,,)n z f x x x =的驻点.那么当二次型

00012,1

()(,,,)i j

n

x x n i j i j g f

x x x ζζζ==

∑

正定时，00

012(,,

,)n f x x x 为极小值；当()g ζ负定时，00012(,,

,)n f x x x 为极大值；当()g ζ不定时，

00012(,,,)n f x x x 不是极值.

记00012(,,

,)i j ij x x n a f x x x =，并记

11121321222312

k k k kk a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢

⎥⎣⎦

， 它称为f 的k 阶Hesse 矩阵.对于二次型()g ζ正负定的判断有如下定理：

定理3.3

[3]

若det 0k A > (1,2,,)k n =，则二次型()g ζ是正定的，此时00012(,,,)n f x x x 为极小

值；若(1)det 0k

k A -> (1,2,,)k n =，则二次型()g ζ是负定的，此时00012(,,,)n f x x x 为极大值.

特殊地，当2n =时，有如下推论：

推论 3.1若二元函数00(,)(,)z f x y x y =在点的某领域内具有一阶和二阶连续偏导数，且

0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==

令 000000(,),(,),(,)xx xy yy A f x y B f x y C f x y === 则 ①当2

0AC B ->时，0,0,A A <⎧⎨

>⎩取极大值取极小值

.

②当2

0AC B -<时，没有极值.

③当2

0AC B -=时，不能确定，需另行讨论.