第五章 条件平差

ˆ 0 F L
v1 v V 2 n ,1 vn
W AL A0
则相应方程的矩阵表达式分别为

AV W 0
第五章：条件平差
3. 基础方程
按求函数极值的拉格朗日乘数法，设乘数 联系数向量。组成函数 将 φ 对V 求一阶导数，并令其为零，得

r , n n ,1
A V W 0 ——改正数条件方程 r ,1
W AL A0 —改正数条件方程常数项（闭合差）计算式
第五章：条件平差
例题 ：右图中L1、L2、L3为观测角度， 试列出该图形的条件方程和改正数条件方 程。 解：t=2, r=n-t=3-2=1 条件方程:
ˆ L ˆ L ˆ 180 0 L 1 2 3
试列出条件方程 解：t=2p-q-4=4，r=n-t=9-4=5 条件方程为：
ˆ L ˆ L ˆ 1800 0 L 1 2 3 ˆ L ˆ L ˆ 1800 0 L 4 5 6 ˆ L ˆ L ˆ 1800 0 L
7 8 9
ˆ L ˆ L ˆ 3600 0 L 3 6 9 ˆ sin L ˆ sin L ˆ sinL 1 4 7 1 ˆ ˆ ˆ sinL sin L sin L
第五章：条件平差
4.基础方程的解
将改正数方程代入改正数条件方程，得
AQAT K W 0
令 则有
N aa AQAT AP1 AT
N aa K W 0 ——联系数法方程
秩 RN aa RAQAT RA r ，即 N aa 是个r阶的满秩方阵，由此 可解出
试按条件平差法求C、D点高程的平差值。 解：此例 n=4，t=2，r=n-t=2，可列出两个条件方程。 （1）列条件方程：
ˆ h ˆ h ˆ H H 0 h 1 2 3 A B ˆ ˆ h2 h4 0
（2）计算改正数条件方程闭合差
第五章：条件平差
wa h1 h2 h3 H A H B 0 wb h2 h4 4
改正数条件方程为：
va i vb i vc i wi 0 vc1 vc2 vc3 w4 0 cot a1va1 cot a2 va2 cot a3va3 cot b1vb1 cot b2 vb2 cot b3vb3 w极 0
i 1,2,3
代入条件方程检核，无误。
`
（ 6）求C 、D点高程平差值
ˆ 11.0083 ˆ H ˆ h H C A 1 ˆ H m ˆ ˆ ˆ 12 . 5257 H D H B h3
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第五章：条件平差
5.2 条件方程
1.条件方程的列立要求
d dV
K k a k b k r
r ,1
，称为
T
V T PV 2K T AV W
2V T P 2K T A 0
PV AT K
两边转置，得
改正数的计算公式为 V P 1 AT K QAT K ——改正数方程 改正数条件方程与改正数方程联立，称为条件平差的 基础方程。方程个数与未知数个数相同，方程有唯一解。
1 K Naa W
从法方程解出K后，将K代入改正数方程，求出改正 数V，再按 L ˆ L V 可求得平差值。
第五章：条件平差
5.条件平差步骤及示例
1. 根据平差问题的具体情况，列出条件方程式，条件方程的 个数等于多余观测数r。 2. 根据条件式的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式， 法方程的个数等于多余观测数r。 3. 解算法方程，求出联系数K值。 4. 将K值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值 L L V 5. 为了检查平差计算的正确性，常用平差值 L 重新列出平差 值条件方程式，看其是平差
下图中A、B为已知水准点，其高程HA＝＋12.013m，HB＝ ＋10.013m。为了确定C、D点高程，共观测了四个高差，高差 观测值及相应水准路线的路线长度为
h1 1.004m, s1 2km; h2 1.516m, s 2 1km; h3 2.512m, s3 2km; h4 1.520m, s 4 1.5km.
法方程为： 解出：
5 1 k a 0 0 1 2.5 k 4 0 b
k a 5 1 0 0.35 k 1 2.5 4 1.74 b
第五章：条件平差
例题 右图中，9个同精度角度观测值为
L1 3005239.2, L2 4201641.2, L3 10605040.6, L4 330 4054.8, L5 2005826.4, L6 1250 2037.2, L7 230 4512.5, L8 280 2607.9, L9 1270 4839.0.
（3）列改正数条件方程，确定观测值的权：
v1 v 2 v3 v2 0 0 v 4 4 0
或：
v1 1 1 1 0 v2 0 0 0 1 0 1 v 4 0 3 v 4
已知用观测值真值表示的条件平差函数模型为 AV W 0 W AL A0 其线性形式为 r , n n ,1 r ,1
~ FL 0
r ,1

r ,1
由于r<n，不能求得V 的唯一解，只能按最小二乘原理 ˆ 求V 的最佳估值，从而求得观测量 的最佳估值 ，即 L L
ˆ L V L 为此，可用观测值平差值和观测值改正数表示条件平 差的函数模型，即 ˆ 0 F L ——条件方程 r ,1 r ,1
（5）求观测值改正数和平差值，并检核
v1 2 v 0 2 1 T V P A K v3 0 v 0 4
代入改正数条件方程检核，无误
第五章：条件平差
ˆ h 1.0047 1 ˆ 1.5174 h 2 ˆ m h hv ˆ h 2.5127 3 ˆ 1 . 5174 h 4
第五章：条件平差
3）测角大地四边形
如图，r=n-t=8-4=4，可列出三个图形条 件（其它图形条件与此三个条件相关），一 个极条件。 条件方程：
改正数条件方程：
v1 v2 v3 1 0 v4 v5 v6 1.6 0 v7 v8 v9 0.6 0 v3 v6 v9 3.2 0 1.67v1 1.10v2 1.50v4 2.61v5 2.27v7 1.85v8 33.12 0
0 1 0 0
0 0 0 0 2 0 0 1.5
（4）组成法方程，求联系数K
第五章：条件平差
N aa
2 1 1 1 0 0 1 T AP A 0 1 0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0 1 1 5 1 0 0 2 0 1 0 1 2.5 0 1.5 0 1
1）、条件式数目等于多余观测数； 2）、条件式之间线性无关。
第五章：条件平差
2.条件方程的列立 （1）水准网
（2）平面测角网
1）单三角形（同5.1中所述，略） 2）测角中心多边形 如图，条件方程为： ˆ c ˆ b ˆ 1800 0 i 1,2,3 __ 三角形内角和条件 a
i i i
第五章：条件平差
湖南城市学院 市政与测绘工程学院 测量教研室 主讲 曹元志
介绍条件平差基本原 理，求平差值的方法、步 骤， 各类测量控制网条件 方程数目的确定，条件方 程的列立，以及精度评定 的方法。
第五章：条件平差
条件平差原理
条件方程
精度评定
退出
第五章：条件平差
5.1 条件平差原理
1.条件方程和改正数条件方程


a1v1 a2 v2 an vn wa 0 b1v1 b2 v2 bn vn wb 0 r1v1 r2 v2 rn vn wr 0
其中闭合差计算式为
令：
wa F1 L1 , L2 , , Ln wb F2 L1 , L2 , , Ln wr Fr L1 , L2 , , Ln w1 a1 a 2 a n w b b b 1 2 n W 2 A r ,1 r1 r2 rn wr
C 1 令c=1，则由定权公式 pi S Si ，有： i
1 p 1 0 0 0
0
1 p2
P
1
0 0
1 p3
0 0
0
0 s1 0 0 0 0 1 0 p4
0 s2 0 0
0 0 s3 0
0 2 0 0 0 0 s 4 0
2 5 8
改正数条件方程闭合差计算：
第五章：条件平差
w1 L1 L2 L3 1800 1 w2 L4 L5 L6 1800 1.6 w3 L7 L8 L9 1800 0.6 w4 L3 L6 L9 3600 3.2 sinL2 sin L5 sin L8 w5 1 sinL sin L sin L 33.12 1 4 7
改正数条件方程常数项（闭合差）计算:
W L1 L2 L3 180
改正数条件方程为：
v1 v2 v3 W 0
第五章：条件平差
2. 条件方程的纯量表达式与矩阵表达式
设有r个条件方程和改正数条件方程的纯量表达式分别为：
ˆ ,L ˆ , , L ˆ 0 F1 L 1 2 n ˆ ,L ˆ , , L ˆ 0 F2 L 1 2 n , ˆ ,L ˆ , , L ˆ 0 Fr L 1 2 n
0 1 0 0 0 1 0 0.7 1 0.35 1.4 0 0 1 m m 2 0 1 0 1.74 0.7 0 1.5 0 1 2 . 6 0
1
ˆ1 c ˆ2 c ˆ3 3600 0 c ____圆周角条件 ˆ 1 sin a ˆ 2 sin a ˆ3 sina 1 ____极条件 ˆ sin b ˆ sin b ˆ sinb
1 2 3
改正数条件方程闭合差计算式为：
第五章：条件平差
wi ai bi ci 1800 i 1,2,3 w4 c1 c2 c3 3600 w极 sinb1 sin b2 sin b3 1 sina1 sin a2 sin a3