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设 xt 为平稳随机信号 u t 通过线性系统后的输出， uk xt hu hx 的熵率为 若 的熵率为 ， ，则线性系 统输入与输出熵率的关系为 2 1 B iwk hx hu ln A(e ) dw 4Bm B 式中 Bm ——随机信号的频带宽度，必须服从采 样定理 Bm = 2 Ts 。
4.最大熵谱分析
4.1 最大熵谱的含义
设自协方差函数 rx (k ) 已知，它和功率谱 sx (w) 之间是傅里叶变换对，于是
1 B iwk rx (k ) S ( w)e dw 2B B
k 0, 1, 2, …, n
谱熵最大法是在上式n+1个自协方差函数的约 束下使得谱熵最大的功率谱为最大熵谱。
3.随机信号的谱熵
谱熵可定义为
1 B H S x ( w) ln S x ( w)dw 2B B
上式表明谱熵是谱的不确定性的测度。由谱 熵定义可知，平稳随机过程的x(n) 的熵率与 谱熵具有下述关系
上式表明使熵率最大等价于使谱熵最大。
1 hx ln 2 e H S x ( w) 2
最大熵谱
主要内容
1.基本概念 2.随机信号通过线性系统后熵率的变化 3.随机信号的谱熵 4.最大熵谱分析
1.基本概念
1.1熵的概念
在通信系统中，设传递N个信号x1 , x2 ,…, xN ， PN 。在长的传输周期 它们的概率分别为 P 1, P 2 ,… ， 内，产生了L个信息序列，所以信号 x1 , x2 ,…, xN 的出现，都可能得到所希望获得的某种信息。把 这些信息量记为 I1 I (P 1 ), I 2 ( P 2 ),… ，每个间隔的平 均信息量，即熵可以表示为：
Iz 1 1 1 H m p1 log2 ( ) p2 log2 ( ) … pN log2 ( ) L p1 p2 pN
1 pi log 2 ( ) pi i 1
它表示某个事件出现概率的函数。 如果对数以任意数a为底，上式可写成： 1 1 1 H m pi log a ( ) pi ln( ) C pi ln pi pi ln a i pi i i 式中c为大于零的常数。它的物理意义是表示发生该事件 H 0 ,即熵 的不确定性。如果 P ，此时 ln pi 0 ， i 1 为零，表示系统的不确定性为零，也就意味着事件肯定出 现。
N
1.2熵率的概念
对于离散型无限长随机序列或随机过程的熵率， 其联合概率为 P( x1, x2 ,…, xN ) ，由上式可知熵率或 极限熵的定义为：
1 h lim P( x1 , x2 ,…, xN )ln P( x1, x2 ,…, xN ) N N XI
2.随机信号通过线性系统后熵率的变化
S x ( w)
1
k n iwk e k n
k n
iwk r ( k ) eБайду номын сангаасx
整理可得
S x ( w)
n k 1
2 n 2 iwk
1 ak e
4.2 最大熵谱与AR谱的一致性
从两方面来分析：
一、从 AR(n) 模型直接计算自协方差函 数，因平稳随机过程具有外延性，可直 接按 AR(n) 模型递推计算，得到
应用拉格朗日乘数法，构造函数
n 1 B 1 B iwk J S (w) ln S (w) k rx (k ) S ( w)e dw 2B B 2B B k n
式中，k 为待定的拉格朗日乘数，将上 式对 Sx (w) 求导并令其为零，可得
( B)rk 0
结合功率谱的计算公式，其结论与由最 大熵谱得到的功率谱结果是一致的。
二、从自协方差函数和格林函数的关 系分析可知，前者表示系统输出的数 据特性，后者表示输出的系统特性， 并定义格林函数的傅里叶变换为频率 特性函数，推导可得
S ( w)
AR x
2 a 2 iwu
1 u e
u 1
n
上式是从系统输出的特性推导出来的，它与由最
大熵谱得到的功率谱也是完全一致的，只是符号
稍有不同。可见用最大熵谱作为优化准则估计出
来的功率谱密度可满足AR模型式。
谢谢大家
4.最大熵谱分析
4.1 最大熵谱的含义
设自协方差函数 rx (k ) 已知，它和功率谱 sx (w) 之间是傅里叶变换对，于是
1 B iwk rx (k ) S ( w)e dw 2B B
k 0, 1, 2, …, n
谱熵最大法是在上式n+1个自协方差函数的约 束下使得谱熵最大的功率谱为最大熵谱。
3.随机信号的谱熵
谱熵可定义为
1 B H S x ( w) ln S x ( w)dw 2B B
上式表明谱熵是谱的不确定性的测度。由谱 熵定义可知，平稳随机过程的x(n) 的熵率与 谱熵具有下述关系
上式表明使熵率最大等价于使谱熵最大。
1 hx ln 2 e H S x ( w) 2
最大熵谱
主要内容
1.基本概念 2.随机信号通过线性系统后熵率的变化 3.随机信号的谱熵 4.最大熵谱分析
1.基本概念
1.1熵的概念
在通信系统中，设传递N个信号x1 , x2 ,…, xN ， PN 。在长的传输周期 它们的概率分别为 P 1, P 2 ,… ， 内，产生了L个信息序列，所以信号 x1 , x2 ,…, xN 的出现，都可能得到所希望获得的某种信息。把 这些信息量记为 I1 I (P 1 ), I 2 ( P 2 ),… ，每个间隔的平 均信息量，即熵可以表示为：
Iz 1 1 1 H m p1 log2 ( ) p2 log2 ( ) … pN log2 ( ) L p1 p2 pN
1 pi log 2 ( ) pi i 1
它表示某个事件出现概率的函数。 如果对数以任意数a为底，上式可写成： 1 1 1 H m pi log a ( ) pi ln( ) C pi ln pi pi ln a i pi i i 式中c为大于零的常数。它的物理意义是表示发生该事件 H 0 ,即熵 的不确定性。如果 P ，此时 ln pi 0 ， i 1 为零，表示系统的不确定性为零，也就意味着事件肯定出 现。
N
1.2熵率的概念
对于离散型无限长随机序列或随机过程的熵率， 其联合概率为 P( x1, x2 ,…, xN ) ，由上式可知熵率或 极限熵的定义为：
1 h lim P( x1 , x2 ,…, xN )ln P( x1, x2 ,…, xN ) N N XI
2.随机信号通过线性系统后熵率的变化
S x ( w)
1
k n iwk e k n
k n
iwk r ( k ) eБайду номын сангаасx
整理可得
S x ( w)
n k 1
2 n 2 iwk
1 ak e
4.2 最大熵谱与AR谱的一致性
从两方面来分析：
一、从 AR(n) 模型直接计算自协方差函 数，因平稳随机过程具有外延性，可直 接按 AR(n) 模型递推计算，得到
应用拉格朗日乘数法，构造函数
n 1 B 1 B iwk J S (w) ln S (w) k rx (k ) S ( w)e dw 2B B 2B B k n
式中，k 为待定的拉格朗日乘数，将上 式对 Sx (w) 求导并令其为零，可得
( B)rk 0
结合功率谱的计算公式，其结论与由最 大熵谱得到的功率谱结果是一致的。
二、从自协方差函数和格林函数的关 系分析可知，前者表示系统输出的数 据特性，后者表示输出的系统特性， 并定义格林函数的傅里叶变换为频率 特性函数，推导可得
S ( w)
AR x
2 a 2 iwu
1 u e
u 1
n
上式是从系统输出的特性推导出来的，它与由最
大熵谱得到的功率谱也是完全一致的，只是符号
稍有不同。可见用最大熵谱作为优化准则估计出
来的功率谱密度可满足AR模型式。
谢谢大家