(精品)数学讲义八年级寒假班-08-二元二次方程组-教师版

初二数学寒假班（教师版）

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课题二元二次方程组

教学目标

1.理解二元二次方程．二元二次方程组的概念；会用代入消元法解由一个二元一次方程与一个二元二次方程所组成的二元二次方程组，会用因式分解法解两个方程中至少有一个容易变形为二元一次方程的二元二次方程组．

2.能够熟练的解决二元二次方程的应用问题．

教学重点

1．二元二次方程组的解法；

2．二元二次方程组的应用．

教学安排

版块时长

1二元二次方程组的概念及解法40分钟

2二元二次方程组的应用50分钟

3课堂练习30分钟

二元二次方程组

1．二元二次方程的概念

方程中仅含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．

2．二元二次方程组的概念

仅含有两个未知数，且未知数的项的最高次数是2的整式方程组成的方程组叫做二元二次方程组．

3．二元二次方程组的解法 （1）代入消元法；

（2）加减消元法．

【例1】下列方程是哪些是二元二次方程?

（1）4

259

x y +=； （2）2560x y -+=；

（3）1xy =；

（4）

297

80x x

+-=； （5）22467x xy y y -+-=．

【难度】★

【答案】（2）、（3）、（5）．

【解析】根据二元二次方程的概念：方程中仅含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高 次数是2的整式方程，叫做二元二次方程． 【总结】考察二元二次方程的概念．

知识结构

模块一：二元二次方程组的解法

例题解析

知识精讲

【例2】下列方程中哪些是二元二次方程组?

（1）51x y x y +=⎧⎨-=⎩； （2）120618

x y x y

⎧+=⎪⎪

⎨⎪-=⎪⎩； （3）22

11x y x xy y -=⎧⎨++=⎩； （4）312x y xy y x ⎧+=⎨=+⎩． 【难度】★ 【答案】（3）．

【解析】根据二元二次方程组概念：仅含有两个未知数，且未知数的项的最高次数是2的整 式方程组成的方程组叫做二元二次方程组． 【总结】考察二元二次方程组的概念．

【例3】已知03x y =⎧⎨=⎩与

1

7x y =⎧⎨=⎩是关于x 、y 的二元二次方程2230a x by ++=的两组解，试求

a +

b 的值．

【难度】★★ 【答案】1或3-

【解析】将03x y =⎧⎨=⎩，1

7

x y =⎧⎨=⎩，代入2230a x by ++=，得：2330730b a b +=⎧⎨++=⎩，解得：21a b =±⎧⎨=-⎩．

∴当2a =时，1a b +=；当2a =-时，3a b +=-； 1a b ∴+=或3a b +=-．

【总结】考察二元二次方程组的灵活应用．

【例4】当m 为何值时，方程组22

51(1)4x my mx m y +=⎧

⎨+-=-⎩是关于x 、y 的二元二次方程组? 【难度】★★ 【答案】1m ≠±．

【解析】只有2y 是二次项，因此2101m m -≠∴≠±，

． 【总结】考察二元二次方程组的概念：仅含有两个未知数，且未知数的项的最高次数是2的整式方程组成的方程组叫做二元二次方程组．

【例5】解方程组：

（1）22

1

1x y x xy y -=⎧⎨++=⎩；

（2）23()(2)40y x x y x y -=⎧

⎨+-+=⎩

． 【难度】★★

【答案】（1）12121001x x y y ==⎧⎧⎨⎨

==-⎩⎩，；（2）2

1121724

554

x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-

⎪⎩，． 【解析】（1）解：22

1(1)1(2)x y x xy y -=⎧

⎨++=⎩，由（1）得：1x y =+（3）； 将（3）代入（2）得：()()2

2111y y y y ++++=，

整理得：20y y +=，解得：1201y y ==-，， 1210x x ∴==，． ∴原方程组的解为：1212

10

01x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩，； （2）解：()()2

31()(2)402y x x y x y -=⎧⎪

⎨+-+=⎪⎩

，由（1）得：3y x =+（3）； 将（3）代入（2）得：()()2

32340x x x x ++-++=

整理得：249340x x +-=，解得：121724x x ==-，， 125

54

y y ∴==-，， ∴原方程组的解为：2112

1724554

x x y y ⎧

=-

⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩，． 【总结】考察利用代入消元法解二元二次方程组． 【例6】解下列方程组：

（1）2222

20

560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩

；

（2）22694

26x xy y x y ⎧-+=⎨-=⎩

．

【难度】★★

【答案】（1

）3124123

44422x x x x y y y y ⎧⎧===-=-⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨

==-==⎩⎩⎪⎪⎩⎩，，2）1221164

5225x x y y ⎧

=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩

，． 【解析】（1）()()22

222015602x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩

， 由（2）得：()()2302x y x y x y --=∴=，或3x y =； 将2x y =代入（1）得：22420y y +=，解得：2y =±，4x ∴=±， 将3x y =代入（1

）得：y =

x ∴=±