福建省福州市2018届高三上学期期末数学质检试题(文)含答案

福建省福州市 2018 届高三上学期期末质检数学试题（文）
第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A. 【答案】C 【解析】因为 所以 2. 若复数 A. 【答案】A 【解析】复数 为纯虚数，所以 B. ，故选 C. 为纯虚数，则实数 C. 1 D. 2 （ ） , , B. C. ， D. ，则 （ ）
,故选 A.
3. 已知 A. 【答案】B 【解析】 4. B.
， C.
，则 D.
（
）
， （ ）
，故选 B.
A.
B.
C. 1
D.
【答案】D 【解析】 ，故选 D.


5. 已知双曲线 的两个焦点 且 ，
都在 轴上， 对称中心为原点， 离心率为 ，则 的方程为（ ）
.若点
在 上，
到原点的距离为
A. 【答案】C 【解析】
B.
C.
D.
由直角三角形的性质可得
，又
，
的方程为
，故选 C.
6. 已知圆柱的高为 2，底面半径为 这个球的表面积等于（ A. 【答案】D 【解析】设球半径为 B. C. ） D.
，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则
该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上， ，故选 D.
可得
，球的表面积为
7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的 .图中的 《孙子剩余定理》 示正整数 于（ ） 除以正整数 后的余数为 ，例如
表
.执行该程序框图，则输出的 等


A. 23
B. 38
C. 44
D. 58
【答案】A 【解析】本题框图计算过程要求找出一个数除以 3 余数为 2；除以 5 余数为 3；除以 7 余数 为 2，那么这个数首先是 23，故选 8. 将函数 A. C. 【答案】D 【解析】 得到 函数 的周期为 函数 向右平移 个周期后， B. D. 的图象向右平移 个周期后，所得图象对应的函数为（ ）
，故选 D.
9. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表 面积为（ ）


A. 【答案】A 【解析】
B.
C.
D.
由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥
，其中三棱锥的高为 ，
底面为等腰直角三角形，直角边长为 ，表面积为 ，故选 A.
10. 已知函数
若
，则
（
）
A. 【答案】A 【解析】 若
B. 3
C.
或3
D.
或3
， 得
， 若
，
不合题意，
，故选 A.
11. 过椭圆
的右焦点作 轴的垂线， 交 于
两点， 直线 过 的左焦


点和上顶点.若以 A. 【答案】A B.
为直径的圆与 存在公共点，则 的离心率的取值范围是（ C. D.
）
【解析】直线 的方程为
，圆心坐标为
，半径为
与圆有公共点，
，可得
，
，
，故选 A.
12. 已知函数 最小值为（ A. 1 B. ） C.
，若关于 的不等式
恰有 3 个整数解，则实数 的
D.
【答案】C 【解析】 数解，即 有 个整数解， ， 当 ，等价于 ， 时， 由 ， ， ，即 恰有 个整 时， 递减， ，不等 ， ，
时，不等式无解， 可得 在 时， 时， 的最小值为
不等式只有一个整数解 ， 排除选项 由 式无解； 不等式无解； 故 故选 C. 可得 在 ， 递增， 合题意，
合题意， 合题意，当
时， 有且只有 个整数解， 又
第Ⅱ卷（共 90 分） 二.填空题（每题 5 分，满分 20 分） 13. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一 面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是__________． 【答案】


【解析】福州三宝的全排列共有
种排法，角梳与纸伞相邻的排法，有
种排
法，
根据古典概型概率公式可得，角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是
，故答案为 .
14. 曲线 【答案】 【解析】由 切点坐标为 15. 的内角
在
处的切线方程为__________．
，得 ，由点斜式得切线方程为 的对边分别为 ，已知 ，即
，所以切线斜率为 ， ，故答案为 .
，则 的大小
为__________． 【答案】 【解析】由 ，根据正弦定理得 ，即
，
，又
，
，故答案为
.
16. 某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工 4 个工作时，漆工 2 个工作时；生产一张桌子需要木工 8 个工作时，漆工 1 个工作时.生产一 把椅子的利润为 1500 元， 生产一张桌子的利润为 2000 元.该厂每个月木工最多完成 8000 个 工作时、漆工最多完成 1300 个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大 利润是__________元. 【答案】2100000 【解析】


三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 （1）证明数列 （2）设 解： （1）当 当 所以 所以数列 时， ， 是以 为首项，以 2 为公比的等比数列. ， ， （1） （2） （1）-（2）得： 前 项和为 ，且 .
是等比数列； ，求数列 时， 的前 项和 ，所以 ， . ，
（2）由（1）知， 所以 所以


， 所以 .
18. 随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为 了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了 40 个用户，得到用户的满意度 评分如下：
用系统抽样法从 40 名用户中抽取容量为 10 的样本， 且在第一分段里随机抽到的评分数据为 92. （1）请你列出抽到的 10 个样本的评分数据； （2）计算所抽到的 10 个样本的均值 和方差 ； （3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在 之间，则满意度等级为“ 级”.试应
用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“ 级”的用户所占的百分比是多少？（精 确到 ) .
参考数据：
解： （1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40 的评分数据为 样本，则样本的评分数据为 92,84,86,78,89,74,83,78,77,89. （2） 由 （1） 中的样本评分数据可得 ，


则有
（3）由题意知评分在 由（1）中容量为 10 的样本评分在 的用户所占的百分比约为
之间，即
之间，
之间有 5 人，则该地区满意度等级为“ 级” .
另解：由题意知评分在 数据中在 . 19. 如图，在四棱锥 中点. 中，
，即
之间， ，从调查的 40 名用户评分
共有 21 人，则该地区满意度等级为“ 级”的用户所占的百分比约为
,
，点 为棱
的
（1）证明： （2）若 （1）证明：取 因为点 为棱 所以 因为 所以 所以四边形 且 且 且
平面
； ，求三棱锥 的体积.
的中点 的中点，
，连接
.
， ， ， 为平行四边形，


所以 因为 所以
， 平面 平面 . ， 平面 ，
（2）解：因为 所以 因为 所以 因为 所以 平面 ， , . 的中点，且 的距离为 2. 平面 . ，所以
，
，
，
平面
,
因为点 为棱 所以点 到平面
，
.
三棱锥
的体积
.
20. 抛物线 （1）若点
与两坐标轴有三个交点，其中与 轴的交点为 . 在 上，求直线 斜率的取值范围；
（2）证明：经过这三个交点的圆 过定点. （1）解：由题意得 .
故 （2）证明：由（1）知，点 坐标为 .


令，解得，
故.
故可设圆的圆心为，
由得，，
解得，则圆的半径为. 所以圆的方程为，所以圆的一般方程为，即.
由得或，
故都过定点.
21. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：.
解：（1），
①若，则，在上为増函数；
②若，则当时，；当时，
故在上，为増函数；在上，为减函数.
（2）因为，所以只需证，
由（1）知，当时，在上为增函数，在上为减函数，
所以.
记，则，
所以，当时，，为减函数；当时，，为增函数，
所以.
所以当时，，即，即.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线.
（1）若与曲线没有公共点，求的取值范围；
（2）若曲线上存在点到距离的最大值为，求的值.
解：（1）因为直线的极坐标方程为，即，
所以直线的直角坐标方程为；
因为（参数，）
所以曲线的普通方程为，
由消去得，，
所以，
解得，
故的取值范围为.
（2）由（1）知直线的直角坐标方程为，
故曲线上的点到的距离，
故的最大值为
由题设得，
解得.
又因为，所以.
23. 选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）已知关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围.
解：（1）因为，所以，
，
或或
解得或或，
所以，
故不等式的解集为.
（2）因为，
所以当时，恒成立，
而，因为，所以，即，
由题意，知对于恒成立，
所以，故实数的取值范围.。