二阶系统的性能指标分析.

邢台学院物理系
《自动控制理论》
课程设计报告书
设计题目:二阶系统的性能指标分析
专业:自动化
班级:
学生姓名:
学号:
指导教师:
2013年3 月24 日
邢台学院物理系课程设计任务书
专业：自动化班级：
2013年3 月24 日
摘要
二阶系统是指由二阶微分方程描述的自动控制系统。

例如，他励直流电动机﹑RLC电路等都是二阶系统的实例。

二阶系统的性能指标分析在自动控制原理中具有普遍的意义。

控制系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标，动态性能指标又可分为随动性能指标和抗扰性能指标。

稳态过程性能
稳态误差是系统稳定后实际输出与期望输出之间的差值
本次课程设计以二阶系统为例，研究控制系统的性能指标。

关键词：二阶系统性能指标稳态性能指标动态性能指标稳态误差调节时间
目录
1.二阶系统性能指标概述 (1)
2. 应用模拟电路来模拟典型二阶系统。

(1)
3.二阶系统的时间响应及动态性能 (4)
3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类 (4)
3.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算 (5)
3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算 (7)
3.3.4 改善二阶系统动态性能的措施 (14)
4. 二阶系统性能的MATLAB 仿真 (18)
5 总结及体会 (19)
参考文献 (19)
1.二阶系统性能指标概述
二阶系统是指由二阶微分方程描述的自动控制系统。

例如，他励直流电动机﹑RLC 电路等都是二阶系统的实例。

二阶系统的性能指标分析在自动控制原理中具有普遍的意义。

控制系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标，动态性能指标又可分为随动性能指标和抗扰性能指标。

稳态过程性能
稳态误差是系统稳定后实际输出与期望输出之间的差值
2. 应用模拟电路来模拟典型二阶系统。

1．2—l 是典型二阶系统原理方块图，其中T0＝1秒；T1＝0.1秒；K1
分别为10；5；2.5；1。

开环传递函数为：
)
1()1()(11
101+=+=
S T S K S T S T K S G （2－1）
其中，==
1
T K K 开环增益。

闭环传递函数：
22
22
22
121
21
)(n
n
nS
S S T S T K
S S T K S W ωξωωξ++=
++=
++=
（2－2）
其中，01111T T K T K T
n =
==
ω （2－3） 110
2
1T K T =
ξ （2－4） 图2－1 二阶系统
（1）当10<<ξ。

即欠阻尼情况时，二阶系统的阶跃响应为衰减振荡，如图2－2中曲线①所示。

)0sin(11)(2
+--
=-t e t C d t n ωξ
ξω )0(≥t （2－5）
式中： 21ξωω-=n d
ξ
ξθ2
1
1-=-tg
峰值时间可由式（2－5）对时间求导数，并令它等于零得到：
2
1ξ
ωπωπ
-=
=n d
p t （2－
6）
超调量Mp ： 由1)(-=t C M p 求得
2
1ξξπ
--=e M p （2－7）
调节时间s t ，采用2％允许误差范围时，近似的等于系统时间常数n
ξω4
的四
倍，即
n
s t ξω4
=
（2－8）
（2）当1=ξ，即临界阻尼情况时，系统的阶跃响应为单调的指数曲线，如图2－2中曲线②所示。

输出响应C(t)为
)1(1)(t e t C n t n ωω+-=- (t ≥0) （2－9）
调节时间s t 可由下式求得
98.0)1(1)(=+-=-s n t t e t C s n ωω （2－10）
（3）当1>ξ，即过阻尼情况时，系统的阶跃响应为单调的指数曲线：
)2
21
1(
1
221)(S t S e
S t S e
n
t C --
--+
=ξω （t ≥0） （2－11）
式中 n S ωξξ)1(21-+= ；n S ωξξ)1(22--= ；
当ξ远大于1时，可忽略-S 1的影响，则
t
n e
t C ωξξ)12(1)(----= （t ≥0） （2－12）
这时调节时间s t 近似为：
n
s t ωξξ)14
2
--=
（2－13）
其中22500≈=n ϖ； 224.0500
210
≈⋅=
ξ
3.二阶系统的时间响应及动态性能
3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类
常见二阶系统结构图如图3-６所示其中K ，T 为环节参数。

系统闭环传递函数为
K
s s T K
s ++=
Φ2
1)( 化成标准形式
2
2
22)(n
n n
s s s ωξωω++=Φ （首1型） （3-5）
1
21
)(2
2++=
Φs T s T s ξ （尾1型） （3-6） 式中，K T T 1=
，1
1T K T n ==ω，1121KT =ξ。

ξ、n ω分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率，是二阶系统重要的特征参数。

二阶系统的首1标准型传递函数常用于时域分析中，频域分析时则常用尾
1标准型。

二阶系统闭环特征方程为
02)(2
2=++=n
n s s s D ωξω 其特征特征根为
122,1-±-=ξωξωλn n
若系统阻尼比ξ取值范围不同，则特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将
二阶系统分类，见表3-3。

表3-3 二阶系统（按阻尼比ξ）分类表
分类
特征根
特征根分布
模态
1>ξ 过阻尼
122,1-±-=ξωξωλn n
t
t e
e 21λλ
1=ξ 临界阻尼
n ωλ-=2,1
t
t n n te
e ωω--
10<<ξ
欠阻尼
22,11ξωξωλ-±-=n n j
t
e
t e n t
n t n n ωξωξξωξω2
21cos 1sin ----
0=ξ 零阻尼
n j ωλ±=2,1
t
t n n ωωcos sin
数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成。

通解由微分
方程的特征根决定，代表自由响应运动。

如果微分方程的特征根是1λ，2λ，, n
λ且无重根，则把函数t
e 1λ，t
e 2λ，, t
n e λ称为该微分方程所描述运动的模态，也
叫振型。

如果特征根中有多重根λ，则模态是具有t te λ， ,2t e t λ形式的函数。

如果特征根中有共轭复根ωσλj ±=，则其共轭复模态t e )j (ωσ+与t e )j (ωσ-可写成实函数模态t e t ωσsin 与t e t ωσcos 。

每一种模态可以看成是线性系统自由响应最基本的运动形态，线性系统自由响应则是其相应模态的线性组合。

3.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算
设过阻尼二阶系统的极点为 ()
n T ωξξλ11
21
1---=-
=
()
n T ωξξλ11
22
2-+-=-
= )(21T T >
系统单位阶跃响应的拉氏变换
s
T s T s s R s s C n
1)1)(1()()()(212++=
=ωΦ
进行拉氏反变换，得出系统单位阶跃响应 111)(2
1
122
1
-+-+
=-
-
T T e
T T e t h T t T t
0≥t
（3-7）
过阻尼二阶系统单位阶跃响应是无振荡的单调上升曲线。

根据式（3-7），令21T T 取不同值，可分别求解出相应的无量纲调节时间1T t s ，如图3-7所示。

图中ξ为参变量，由
)1)(1(22122T s T s s s n n ++=++ωξω
可解出
2
1212)(1T T T
T +=
ξ
当21T T （或ξ）很大时，特征根221T -=λ比111T -=λ远离虚轴，模态2
T t e -很快衰减为零，系统调节时间主要由111T -=λ对应的模态1T t e -决定。

此时可将过阻尼二阶系统近似看作由1λ确定的一阶系统，估算其动态性能指标。

图3-7
曲线体现了这一规律性。

图3-8 给
出系统单位阶跃响应曲线。

例3-4
图 3-7 过阻尼二阶系统的调节时间特性
角速度随动系统结构图如图3-9所示。

图中，K 为开环增益，1.0=T s 为伺服电动机时间常数。

若要求系统的单位阶跃响应无超调，且调节时间1≤s t s ，问K 应取多大？
解 根据题意，考虑使系统的调节时间尽量短， 应取阻尼比1=ξ。

由图3-9，令闭环特征方程 01
2)1(121
12212=++=+=++
T s T s T s T K s T s 比较系数得 ⎩
⎨⎧====⨯==5.22.01.02
.01.0222
211T T K T T 查图3-7，可得系统调节时间95.075.41==T t s s ，满足系统要求。

3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算
1．欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法
欠阻尼二阶系统的极点可以用如图3-10所示的两种形式表示。

（1）直角坐标表示
n n d j j ωξξωωσλ22,11-±-=±= （3-8）
（2）“极”坐标表示
⎩⎨⎧=∠=β
λωλn ⎩⎨⎧-==21sin cos ξβξβ （3-9）
2．欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
由式（3-5），可得系统单位阶跃响应的拉氏变换为
s s s s R s s C n n n 12)()()(2
2
2
ωξωωΦ++==222)1()(21
n
n n s s s ωξξωξω-+++-= 22222222)1()(11)1()(1n
n n n n n s s s s ωξξωωξξξωξξωξω-++-⋅---+++-= 系统单位阶跃响应为
()
()
=---
--=--t e t e t h n t n t n n ωξξ
ξ
ωξξωξω22
21sin 11cos 1)(
()()[]=-+----
-t
t e n n t n ωξξωξξ
ξ
ξω222
2
1sin 1cos 111
22
211sin 1arctan
1n t
n e t ξωξξωξξ-⎛⎫- ⎪--+ ⎪-⎝⎭
（3-10）
系统单位脉冲响应为
[]⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-⋅-++-=Φ='=--222221
11)1()(1)()()(ξωωξξωωξn n n n s L s L t h t k t e n t n
n ωξξωξω22
1sin 1--=-
（3-11）
典型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应如图3-11所示。

响应曲线位于两条包络线211ξξω-±-t
n e 之间，如图3-12所示。

包络线收敛速率取决于n ξω（特征
根实部之模），响应的阻尼振荡频率取决于n ωξ21-（特征根虚部）。

响应的初
始值0)0(=h ，初始斜率0)0(='h ，终值1)(=∞h 。

．
3欠阻尼二阶系统动态性能指标计算
（1）峰值时间p t ：令0)()(=='t k t h ，利用式（3-11）可得 01sin 2=-t n ωξ 即有 ,3,2,,012πππωξ=-t n 由图3-1，并根据峰值时间定义，可得
n
p t ωξπ
2
1-=
（3-12）
（2）超调量0
0σ
：将式（3-12）代入式（3-10）整理后可得
2
11)(ξξπ
--+=e t h p
σ％100)
()()(⨯∞∞-=
h h t h p ％2
1ξξπ
--=e
100⨯％ （3-13）
可见，典型欠阻尼二阶系统的超调量0
0σ
只与阻尼比ξ有关，两者的关系如图
3-13所示。

图3-13 欠阻尼二阶系统%σ与ξ的
关系曲线
（3）调节时间s t ：用定义求解系统的调节时间比较麻烦，为简便计，通常按阶跃响应的包络线进入5％误差带的时间计算调节时间。

令
05.011112
2
=-=
--+
--ξ
ξ
ξωξωt
t
n
n
e e
可解得
n
n s t ξωξωξ5.3)
1ln(21
05.0ln 2≈
-+-=
（8.03.0<<ξ ） （3-14）
式（3-12）~（3-14）给出典型欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算公式。

可见，典型欠阻尼二阶系统超调量0
0σ
只取决于阻尼比ξ，而调节时间s t 则与阻尼比ξ
和自然频率n ω均有关。

按式（3-14）计算得出的调节时间s t 偏于保守。

n ξω一定时，调节时间s t 实际上随阻尼比ξ还有所变化。

图3-14给出当n T ω1=时，调节
时间s t 与阻尼比ξ之间的关系曲线。

可看出，当707.0=ξ（︒=45β）时，
T t s 2≈，实际调节时间最短，≈=000032.4σ5％，超调量又不大，所以一般称707.0=ξ为“最佳阻尼比”。

4．典型欠阻尼二阶系统动态性能、系统参数及极点分布之间的关系
根据式（3-13）、式（3-14）及式（3-8）、式（3-9），可以进一步讨论系统动态性能、系统参数及闭环极点分布间的规律性。

当n ω固定，ξ增加（β减小）时，系统极点在s 平面按图3-15中圆弧轨迹（I ）移动，对应系统超调量
σ％减小；同时由于极点远离虚轴，n ξω增加，调节
时间s t 减小。

图3-16(a)给出n ω=1，ξ改变时的系统单位阶跃响应过程。

当ξ固定，n ω增加时，系统极点在s 平面按图3-15中的射线轨迹（II ）移动，对应系统超调量σ％不变；
由于极点远离虚轴，n ξω增加，调节时间s t 减小。

图3-16(b)给出了
ξ=0.5(︒=60β)，n ω变化时的系统单位阶跃响应过程。

＆§
一般实际系统中，T是系统的固定参数，不能随意改变，而开环增益K是各
环节总的传递系数，可以调节。

K增大时，系统极点在s平面按图3-15中的垂直线（III）移动，阻尼ξ变小，超调量σ％会增加。

图3-16(c)给出1
=
T，K变化时系统单位阶跃响应的过程。

综合上述讨论：要获得满意的系统动态性能，应该适当选择参数，使二阶系统的闭环极点位于︒=45β线附近，使系统具有合适的超调量，并根据情况尽量使其远离虚轴，以提高系统的快速性。

掌握系统动态性能随参数及极点位置变化的规律性，对于分析设计系统是十分重要的。

图3-16 二阶系统单位阶跃响应
(a)n ω=1,ξ改变时的阶跃响应；(b) ξ=0.5，n ω改变时的阶跃响应；(c)T =1,K 改变时的阶跃响应
3.3.4 改善二阶系统动态性能的措施
采用测速反馈和比例加微分控制方式，可以有效改善二阶系统的动态性能。

例3-8 在如图3-22(a)所示系统中，分别采用测速反馈和比例加微分控制，系统结构图分别如图3-22(b)和(c)所示。

其中216.0=t K 。

分别写出它们各自的开环传递函数、闭环传递函数，计算出动态性能指标（σ％，s t ）并进行对比分析。

解 图3-22（a ）、b ）中的系统是典型欠阻尼二阶系统，其动态性能指标（%σ，
s t ）按式（3-13）、式（3-14）计算。

而图3-22(c)表示的系统有一个闭环零点，
不符合上述公式应用的条件。

将各系统的性能指标的计算及比较列于表3-6中。

图3-22所示的系统可以用表3-7中相应的公式（或用MATLAB ）计算其动态性能指标。

可以看出，采用测速反馈和比例加微分控制后，系统动态性能得到了明显改善。

系统结构
图
图3-22(a) 图3-22(b) 图3-22(c)
开环 传递函数 ()10()(1)
a G s s s =+ ()10(1)()(1)t
b K s G s s s +=+ ()
10(1)
()(1)
t c K s G s s s +=+ 闭环 传递函数
()2
10()10a s s s Φ=++ ()210()(110)10b t s s K s Φ=+++ ()2
10(1)()(110)10
t c t K s s s K s +Φ=
+++
系
统 参
数 ξ 0.158 0.5 0.5 n
ω 3.16 3.16 3.16 开零点 — -4.63
-4.63
环 极点 0，-１ 0，-１ 0，-１ 闭环 零点 —
—
-4.63 极点 -0.5±j3.12
-1.58±j2.74
-1.58±j2.74
动
态 性
能 p t 1.01 1.15 1.05 00σ 60％ 16.3％ 23％ s t
7
2.2
2.1
从物理本质上讲，图3-22(b)系统引入速度反馈，相当于增加了系统的阻尼，使系统的振荡性得到抑制，超调量减小；图3-22(c)所示系统采用了比例加微分控制，微分信号有超前性，相当于系统的调节作用提前，阻止了系统的过调。

相对于原系统而言，两种方法均可以改善系统的动态性能。

实际使用中，比例加微分装置一般串联在前向通道信号功率较弱的地方，需要放大器进行信号放大；而反馈则是从大功率的输出端反馈到前端信号较弱的地方，一般不需要信号放大。

从效果上看，由于比例加微分环节是高通滤波器，会放大噪声，影响系统正常工作；而测速反馈不会有这样的问题。

从经济角度考虑，比例加微分实现简单，费用低；测速反馈装置价格高。

实际采用哪一种方法，应根据具体情况适当选择。

1．加开环零点对系统动态性能的影响
比较图3-22(a)和(b)所示两系统的开环传递函数可以看出，后者比前者多一个开环零点，因而影响了系统的闭环特征多项式，改变了闭环极点的位置（见图3-23）。

显然，图3-22(b)所示系统闭环极点)(b λ较图3-22(a)所示系统闭环极点)(a λ远离虚轴（相应调节时间s t 小），且β角小（对应阻尼比ξ较大，超调量σ％较小），因而动态性能优于图3-22(a)所示系统。

附加开环零点是通过改变闭环极点（改变模态）来影响闭环系统动态性能的。

2．附加闭环零点对系统动态性能的影响
图3-22(b)，(c)两系统有相同的开环传递函数，只是闭环传递函数中后者较前者多一个闭环零点。

附加闭环零点不会影响闭环极点，因而不会影响单位阶跃响应中的各模态。

但它会改变单位阶跃响应中各模态的加权系数，由此影响系统的动态性能。

附加闭环零点是通过改变单位阶跃响应中各模态的加权系数影响闭环系统动态性能的。

将图3-22(c)系统闭环传递函数等效分解如图3-24所示。

从信号的合成关系上可见，图3-22(c)所示系统的单位阶跃响应)()(t h c 是在图3-22(b)系统单位
阶跃响应)()(t h b 基础上叠加了一个)()(t k K b t '
/而成的。

即有
)()()(t h K t h t h b
t b c '+=
明显看出，附加闭环零点会使系统的峰值时间提前，超调量增加。

附加的闭环零点靠虚轴越近(t K 越大)，这种影响越强烈。

附加闭环极点的作用与附加闭环零点恰好相反。

读者可以自行分析。

同时附加闭环零点极点时，距虚轴近的零点或极点对系统影响较大。

图3-25给出在1
1
)(2
++=
Φs s s 基础上分别附加闭环零点、极点和同时附加闭环零点极点后系统阶跃响应的变化趋势。

(a)附加闭环零点对系统阶跃响应的影响；(b)附加闭环极点对系统阶跃响应的影响；
图3-25 附加零、极点对系统的影响
(c)同时附加闭环零、极点时系统的阶跃响应
4. 二阶系统性能的MATLAB 仿真
5 总结及体会
这次课程设计其实是让我们对课本知识一个再学习的过程，让我们对几种不同的分析方式有一个更加深刻的了解，起到了一个很好的复习作用，再次地加深对根轨迹，伯德图，阶跃响应等的灵活运用。

无论是思维上还是方法上都是一次再学习的过程。

我觉得像自动控制原理这些重要的专业课都应该设置相应的课程设计，可以让我们通过自己亲身的实践更好的掌握这门课，学以致用，活学活用，真正的做到把书本上的知识运用到实践中。

参考文献
[1] 谢红卫. 现代控制系统. 高等教育出版社，2007
[2] 胡寿松. 自动控制原理. 科学出版社，2007
[3] 黄忠霖. 自动控制原理的MATLAB实现. 国防工业出版社，,2007。