第11章_稳恒电流磁场(磁感应强度)

0 4
Idl
r
r3
dB
0 4
Idl R2
I
r
B dB
0 Idl 4 R2
0 4
I R2
dl 0I 2R 2
14
例3 计算组合载流导体在 o 点的磁感应强度。
【解】o 点 B 由三段载流导体产生
Bo Bab Bbc Bcd
规定向里为正向
Bo Bab Bbc 0I 0I 4R 4R 0I 1 1 4R
B 0I
4π
cos a sec2 d (a sec ) 2
0I
/2
cos d
4πa / 2
0I
2πa
11
讨论 1 一段载流直导线的磁场
B
0 I 4 a
cos 1
cos 2
2 无限长载流直导线的磁场
B 0I 2 a
2
I
a
1
3 半无限长载流直导线的磁场 B 0I 4 a
12
例2 一载流圆环半径为R 通有电流为 I，求圆环轴线上 一点的磁感应强度 B。
dB
0
4
Idl
r
r3
毕奥-萨伐尔定律
8
应用毕奥-萨伐尔定律解题的思路
1. 分割电流元；
2. 建立坐标系；
3. 确定电流元的磁场
dB
0
4
Id
l
r
r3
4. 求 B 的分量 Bx 、By 、Bz ；
5. B Bxi By j Bzk
9
例1 用毕奥-萨伐尔定律计算“无限长”通电直导
电源在没有连接用电 器时的电动势就等于 电池两端的电势差。 i
F非 F静
R
5
11.2 稳恒电流的磁场
磁力是指磁体与磁体之间、电流与磁体之间或电流 与电流之间的相互作用力。
电流周围具有磁性，一个载流线圈的行为与磁铁的 行为一样。说明电与磁之间存在着内在的联系。
安培假说（1822年）: 一切磁现象都起源于电流。
线外任意一点P的磁感应强度。
【解】电流元在P点产生的磁感应强度的大小为：
dB
0 4
Idl sin
r2
各段电流元产生的磁感强度方向都 是指向纸内的，因此可直接积分
B dB
0 Idl sin 4 r 2
10
统一变量
B
0 Idl sin 4 r 2
sin cos , l a tan , dl a sec2 d , r a sec
2
P 点处的电流密度
J
dI
vˆ
d S
P点处电流密度矢量的大小， 等于通过该处垂直于载流子运 动方向单位面积的电流强度。
电流密度的另一表述
J
n
q
v
v 正载流子定向移动速度
I
dI
P
vˆ
dS
v
P
J
qn
dS=1
对于有限大的面积 S I d I J d S
s
s
电流强度等于电流密度的通量
3
11.1.2 电源 电动势 电源的作用就是能够在其两端保持恒定的电势差， 并对连接在电源上的用电器维持稳定的输出电流。
I2
I1
1 电流方向与环路方向满足右手 定时，电流 I 取正；反之取负。
L
例： Ii 2I1 I2
19
B dl L
0
Ii
2 环流只与环路内的电流有关,与环路外电流无关， 但磁感强度与环路内外电流都有关。
3 环流为零并不一定说明环路上各点的磁感强度都 为 0。也不说明环路内无电流。
4 磁场是无源有旋场。
【解】理想密绕螺线管，管内的磁场是均匀的，管 外近管壁处的磁场为 0 。
作闭合环路 abcda，则有：
b
B dl B dl Bab
a
0nabI
...............B
a
b
B 0nI
d
c
23
例5 一环形载流螺线管，匝数为 N ，内径为 R1 ，外 径为 R2 ，通有电流 I ，求管内磁感应强度。
r2
0
4π
nqSdlv er
r2
每个运动电荷产生的磁感应强度为
B
dB dN
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0
4π
nqSdlv er
r2
1 nSdl
0qv
er
4π r 2
16
11.3 磁场的高斯定理
为了形象地描述磁场中磁感应强度分布，引入磁力线。
磁力线的特点: 1.闭合曲线 2.与电流相互套连 3.方向与电流的方向服从右手螺旋关系
【解】建立坐标系，分割电流元
dB
0Idl 4r 2
对称性分析可知： B 0
B
dB//
dBsin
0 I 4r 2
R dl r
0 IR 2
2r 3
0 I
2R
sin3
13
讨论 B 0 I sin3
2R
1 载流圆环环心处
Bo
0 I
2R
Idl
2 载流圆弧圆心处
Bo
0 I
2R
2
由
dB
【解】圆柱形载流导体内外磁场的磁力线是以轴线为 圆心、圆周平面与轴线垂直的圆，圆上各点B相等。
r<R 区域，作一半径为r 的圆为环路
B dl
L
Bdl
L
B2r
0
r2 R2
I
B
0 I 2R2
r
I
r
R
r
r>R 区域，同理有
B dl L
B2r
0 I
B 0I 2r
25
例7 有一无限大平面导体薄板，自下而上均匀通有电 流，已知其面电流密度为i (即单位宽度上通有的电流 强度)．试求板外空间任一点磁感强度的大小和方向.
【解】环形载流螺线管内部的磁力线为与管同心的 圆环，且同一条磁力线上各点的磁感强度相等。
在管内作半径为 r 的环路，有：
B dl Bdl B dl
L
L
L
B2r 0 NI
B 0 NI 2r
24
例6 圆柱形载流导体半径为 R ，通有电流为 I ，电 流在导体横载面上均匀分布，求圆柱体内、外的磁 感应强度的分布。
磁铁的磁性是由于其中存在着微小的环形分子电流， 分子电流相当于一个基元磁铁都要产生磁效应。
整个物体的磁效应就是所有分子电流对外界磁效应的 总和。磁性物质的本质在于其分子电流的有序排列 。
6
11.2.1 磁场 磁感应强度 为了说明磁力的作用，也引入场的概念。 从运动电荷受力（洛仑兹力）定义磁场：
B (F洛 )min qv
第 11 章 稳恒电流磁场
1
11.1 稳恒电流 电动势
11.1.1 稳恒电流 电流密度 电流强度（电流）：单位时间内通过某一截面的 电量称为通过该截面的电流强度，用 I 表示。
I lim Δ Q d Q Δt dt
对细导线用电流强度的概念就够了。
对大块导体，为描写导体内每一点的电流情况，还 需引入“电流密度矢量” 来进一步描写电流的分布。
磁通量
m
d
s
m
BdS
s
磁场的高斯定理 SB d S 0
17
直线电流的磁力线分布 载流螺线管的磁力线分布
18
11.4 磁场的安培环路定理及应用
11.4.1 磁场的安培环路定理
真空中的安培环路定理：磁感应强度沿闭合回路的
线积分，等于环路所包围的电流代数和乘以
0。
B dl L
0
Ii
注意：
d I dl
r
B
L2
L1
dl
B
dl
21
11.4.2 安培环路定理的应用 计算具有高度对称性的磁场的磁感强度
环路选取原则 （1）B 的方向或者与环路方向一致，或者与环路 方向垂直； （2）与B方向一致的路上，各点 B 大小相等； （3）环路要经过所研究的场点。
22
例4 密绕载流螺线管通有电流为 I，线圈密度为 n， 求管内一点的磁感强度 。
【解】由安培环路定理：
B
1 2
0i
26
电源内部存在着非静电场，将负极板上的正电荷 移动到正极板上 。
非静电场的场强定义为单 位正电荷在场中所受的力
Ek
F q
i
F非 F静
R
4
非静电力将单位正电荷从负极板移到正极板时所做 的功定义为电源的电动势
1
q
() qEk dl () Ek dl
电动势是标量，但将电源内负极到正极的方向规定为 电动势的方向，电动势方向就是非静电场的方向。
磁感强度方向：为磁场中小磁针静止时N 极指向。
国际单位制中，磁感应强度的单位为T（特斯拉）。
7
11.2.2 毕奥-萨伐尔定律
实验发现：长为 dl 通有电流I 的电流元产生的 磁感应强度为
dB
0 4
Idl sin
r2
0称为真空磁导率
0 107 ( T m A-1 ) 4
Idl
r
P
dB
再考虑方向，上式写成矢量形式为：
下面用长直电流的磁场来验证安培环路定理
20
（1）长直电流在环路内
L B dl LBdl cos
Brd
L
2 0
0 I 2 r
rd
0 I
（2）长直电流在环路外
B dl B dl B dl
L
L1
L2
Brd Brd
L1
L2
d 2
I
0 I 2
d1
d2 0
d1
B
a
R
b
o
c
d
15
可以由毕奥-萨伐尔定律求运动电荷产生的磁场
设电流元内起导电作用的每个电荷带电量为q，导线 段的截面积为S，单位体积的电荷数密度为n，则该 电流元的载流子个数为dN=nSdl，电流强度可写为
I Svnq
该电流元产生的磁感应强度为
dB
0
4π
Idl er
r2
0
4π
(Svnq )dl er