信号与系统-第2章例题

2
得零输入响应为
yzi (t) 4et 3e2t , t 0
对系统线性的进一步认识
例：已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为 e(t) 时，其全响应 为 r1(t) 2e3t sin(2t) u(t) ； 当 激 励 为 2e(t) 时 ， 其 全 响 应 为
r2 (t) e3t 2sin(2t) u(t) 。求： (1)初始条件不变，当激励为 e(t t0 ) 时的全响应 r3(t) ，t0 为大于零的实常数。 (2)初始条件增大 1 倍，当激励为 0.5e(t) 时的全响应 r4 (t) 。
dt
例： 求系统的零输入响应
d2 dt 2
y(t) 3 d dt
y(t) 2 y(t)
0,
y(0 )
1,
y '(0 )
2
解：特征方程
2 3 2 0
特征根
1 1, 2 2
零输入响应 yzi (t) C1et C2e2t
由起始条件
y(0 ) C1 y '(0 ) C1
C2 1 2C2
线性时不变系统
例：判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?
d r(t) 10r(t) 5 e(t) dt
解：设信号 e(t) 作用于系统，响应为 r(t)
t 0
当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则
d Ar(t) 10Ar(t) 5 Ae(t) dt
原方程两端乘A：
t 0 (1)
1 5，2 1
该方程的齐次解为： yh (t) C1e5t C2et
激励函数中a = -1，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：
yp (t) C t et
例1 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6 y'(t) 8y(t) f (t), t 0
初始条件y(0)=1, y’(0)=2, 输入信号f(t)=et u(t)，求系统 的完全响应y(t)。
1 R
v(t)
电感
iL (t)
1 L
t
v( ) d
is (t)
iR C
R iC
电容
iC
(t)
C
d
v(t dt
)
根据KCL iR (t) iL (t) iC (t) iS (t)
代入上面元件伏安关系，并化简有
C
d2 v(t) dt2
1 R
d v(t) dt
1 L
v(t)
d
iS (t) dt
L
e(t) e(t t0 ) r11(t) cos e(t t0 ) t 0
经过系统
时移 t0
e(t) cos e(t) r12 (t) cos e(t t0 ) t 0
r11(t) r12 (t)
所以此系统为时不变系统。
例： 微分方程 r(t) e(t) e(t 2) 所代表的系统是否是因果系统 解： t 0 r(0) e(0) e(2)
A
d
r(t) dt
10r(t
)
5
Ae(t)
t 0 (2)
(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性
例： 判断下列两个系统是否为非时变系统。
系统1： r(t) cose(t) t 0
系统2： r(t) e(t) cos t t 0
解： 系统1的作用是对输入信号作余弦运算。
时移 t0
经过系统
r1(t) rzi (t) rzs (t) 2e3t sin(2t) u(t)
iL v(t)
例：列写 iL (t)与 v1 (t) 的微分方程。 is (t)
解：
Lp
R2
iL
uC
u1
(
1 R1Cp
1)u1
u1
R1
iS
iL
用消元法求得。
u1
Lp2
R1Lp2 R1R2 p (R1 R2 ) p 1/ C
iS
iL
来自百度文库
Lp2
R1 p 1/ C (R1 R2 ) p
2
6
3
讨论
1) 若初始条件不变，输入信号 f(t) = sin t u(t)，则 系统的完全响应y(t) =？ 2) 若输入信号不变，初始条件y(0)=0, y’(0)=1, 则 系统的完全响应y(t)=？
冲激函数匹配法确定初始条件
配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶导数应该
平衡(其他项也应该平衡，我们讨论初始条件，可以不管其他项）
例：
d dt
r(t) 3r(t)
3 (t)
已知
r(0 )，求
r(0 )
该过程可借助数学描述
ut :
表示0 到0 相对单位跳变函数
冲激函数匹配法
例：描述LTIS的微分方程为
d2 dt2
r(t)
7
d dt
r(t)
10r (t )
d2 dt2
由输入f (t)的形式，设方程的特解为
yp(t)=Ce-t 将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。
3) 求方程的全解
y(t)
yh (t)
y p (t)
Ae2t
Be4t
1 3
et
y(0) A B 1 1
3
解得 A=5/2，B= 11/6
y'(0) 2A 4B 1 2
3
y(t) 5 e2t 11 e4t 1 et , t 0
e(t)
6
d dt
e(t)
4e(t)
输入 e(t)如图，已知
4 r(0 ) 5
d d t r(0 ) 0,
用冲激函数匹配法求 r(0 )
d d t r(0 )
解：将 e(t) 代入微分方程，t≥0 得
d2 r(t) 7 d r(t) 10r(t) 2 (t) 12 (t) 8u(t)
dt2
解 (1)求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
特征方程为 特征根为 齐次解yh(t)
s2 6s 8 0 s1 2，s2 4
yh (t) K1e—2t K2e—3t
2) 求非齐次方程y‘’(t)+6y‘(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t)
1/ C
iS
C iL (t)
L
R1 u1(t)
R2
例：求微分方程的完全解
d2 dt 2
y(t) 6 d dt
y(t) 5y(t) et
y(0) y '(0) 0
解: 齐次方程为
d 2 y(t) 6 d y(t) 5y(t) 0
dt 2
dt
特征方程：
2 6 5 0
特征根：
现在的响应=现在的激励+以前的激励 所以该系统为因果系统。
例：微分方程 r(t) e(t) e(t 2) 所代表的系统是否是因果系统 解： t 0 r(0) e(0) e(2)
所以该系统为非因果系统。
未来的激励
例：求并联电路的端电压 v(t)与激励 is (t)间的关系。
解： 电阻
iR (t)