201502(梁志斌)平面几何的几个重要定理--托勒密定理学生版

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平面几何的几个重要定理－－托勒密定理

托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)． 即：；内接于圆，则有：

设四边形BD AC BC AD CD AB ABCD ⋅=⋅+⋅

；内接于圆时，等式成立并且当且仅当四边形中，有：定理：在四边形ABCD BD

AC BC AD CD AB ABCD ⋅≥⋅+⋅

一、直接应用托勒密定理

例1 如图2，P 是正△ABC 外接圆的劣弧上任一点

(不与B 、C 重合)， 求证：PA=PB ＋PC ．

二、完善图形 借助托勒密定理

例2 证明“勾股定理”：

在Rt △ABC 中，∠B=90°，求证：AC 2=AB 2＋BC 2

四点共圆时成立；

、、、上时成立，即当且仅当在且等号当且仅当相似

和且又

相似

和则：，，使内取点证：在四边形D C B A BD E BD

AC BC AD CD AB ED BE AC BC AD CD AB ED

AC BC AD AD ED

AC BC AED ABC EAD BAC AD AE AC AB BE

AC CD AB CD BE

AC AB ACD ABE ACD

ABE CAD BAE E ABCD ⋅≥⋅+⋅∴+⋅=⋅+⋅∴⋅=⋅⇒=∴∆∆∴∠=∠=⋅=⋅⇒=∴∆∆∠=∠∠=∠)(

2 例

3 如图，在△ABC 中，∠A 的平分 线交外接∠圆于D ，

连结BD ，求证：AD ·BC=BD(AB ＋AC)．

三、构造图形 借助托勒密定理

例4 若a 、b 、x 、y 是实数，且a 2＋b 2=1，x 2＋y 2=1．

求证：ax ＋by ≤1．

四、巧变原式 妙构图形，借助托勒密定理

例5 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2=b(b ＋c)，求证：∠A=2∠B ．

五、巧变形 妙引线 借肋托勒密定理

例6 在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶4，

练习：

1.已知△ABC 中，∠

B=2∠C 。求

证：AC 2=AB 2+AB ·BC 。

2． 已知正七边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7。

求证： ဠ。（第21届全苏数学竞赛）

PM

AB PL AC PK BC PN PL PK AB AC BC P BC ABC +=∆求证：，

和、作垂线与、分别向边上一点外接圆的弧由.3

四点共圆；、、、点，证明：交于与点，交于与，使得旋转至的中点绕将直角M E D C E C A AC D C B BC C B A M AB ABC 1111111.4∆∆