多元函数微分学讲座.

第八章 多元函数微分学 第一节 基本概念、定理与公式
一、二元函数的定义及定义域 1 二元函数的定义
定义1 设x ，y ，z 是三个变量．如果当变量x ，y 在
在一定范围D 内任意取定一对数值时，变量z 按照一定的法则f 总有确定的数值与它们对应，则称变量z 是变量x ，y 的
二元函数，记为(,)z
f x y =.其中x ，y 称为自变量，z 称为
因变量.自变量x ，y 的取值范围D 称为函数的定义域.二元函数在点
()00,x y 所取得的函数值记为00
x x y y z
==，
(,)x y z 或00(,)f x y
2 二元函数的定义域
二元函数的定义域一般为平面区域上的点集．二元函数的定义域较复杂，它可以是一个点，也可能是一条曲线或几条曲线所围成的部分平面，甚至可能是整个平面．整个平面或由曲线围成的部分平面称为区域；围成区域的曲线称为该区域的边界；边界上的点称为边界点，边界内的点称为内点．不包括边界的区域称为开区域，连同边界在内的区域称为闭
区域，部分包括边界的区域称为半开半闭区域．能用封闭曲线围成的区域称为有界区域，反之称为无界区域．
开区域如: {
}22
(,)14x y x y <+<
闭区域 如:
{}2
2
(,)14x y x
y ≤+≤
注：和一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和对应关系有关，，与用什么字母表示自变量与因变量无关．例1 求下列函数的定义域，并画出的图形．
(1)ln z = （2）arcsin()z
x y =+
解（1） 要使函数有意义，应有
22
10x y --> 即
2
2
1x y +<，定义域为有界开区域{
}22(,)1x y x y +< （2）要使函数有意义，应有
1x y +≤，即11x y -≤+≤
x
x
定义域为无界闭区域
{}(,)11x y x y -≤+≤
3 二元函数的几何意义
设
(,)P x y 是二元函数(,)z f x y =的定义域D 内的任一
点,则相应的函数值为(,)z f x y =,有序数组x ，y ，z 确定
了
空
间
一
点
(,,)
M x y z ,称点集
{}(,,)(,),(,)x y z z f x y x y D =∈为二元函数的图形. 二元函
数(,)z
f x y =的图形通常是一张曲面.注：和一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域
和对应关系有关，与用什么字母表示自变量与因变量无关.二、二元函数的极限与连续 1．二元函数的极限
以点000(,)P x y 为中心，δ为半径的圆内所有点的集合
{}22
00
(,)()()x y x x y y δ-+-<称为点0P 的δ邻域，记作0(,)U P δ．
定义2 设二元函数(,)z
f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义（点0P 可以除外）,点(,)P x y 是该领域内异于0
P 的任意一点．如果当点(,)P x y 沿任意路径趋于点000(,)P x y 时,函数
(,)f x y 总无限趋于常数A ，那么称A 为函数
(,)z f x y =当00(,)(,)x y x y →时的极限，记为0
lim (,)x x y y f x y A →→= 或 00(,)(,)
lim
(,)x y x y f x y A →=
说明：（1）定义中0P P →的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数.（2）倘若沿两条不同的路径，0
lim (,)x x y y f x y →→不相等，则可断定0
lim (,)x x y y f x y →→不存在，这是证明多元函数极限不存在的有效方法．
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似，如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等.
例2 求极限22200
sin()
lim x y x y x y →→+
解 22200
sin()lim x y x y x y →→+2222200
sin()lim x y x y x y x y x y →→=+ 其中 22212x y x x y ≤+ 222
00
sin()lim 0x y x y x y →→∴=+ 例3 证明 36200
lim x y x y x y →→+不存在．
证明：设3
y kx =
，则36200
lim x y x y x y →→+6
626
200
lim 1x y kx k x k x k →→==++其值
随
k 的不同而变化，故极限不存在．
确定极限不存在的方法：（1）令点(,)P x y 沿
y kx =趋向
于000(,)P x y ，若极限值与k 有关，则(,)f x y 在点000(,)
P x y 处极限不存在;
（2）找出两种不同趋近方式，使0
lim (,)x x
y y f x y →→存在，但两者不相
等，则此时(,)f x y 在点000(,)P x y 处极限不存在;
2．二元函数的连续性 定义 3 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义，
如果0
00lim (,)(,)x x
y y f x y f x y →→=,则称函数(,)f x y 在点000(,)P x y 处连续.
定义4 设函数(,)z f x y =
在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义，
分别给自变量x ，y 在0x ，0y 处以增量x ∆，y ∆，得全增量
0000(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-
如果极限 00
lim 0x y z ∆→∆→∆=
则称(,)z f x y =
在000(,)P x y 处连续．
如果函数(,)
z f x y =
在区域D 内每一点都连续,则称函数
(,)f x y 在区域D 内连续.
如果函数(,)z f x y =
在点000(,)P x y 不连续，则称点000(,)P x y 是函
数(,)f x y 的间断点. 例4 求2
3
lim
x y x y
xy
→→+． 解 因为函数(,)x y f x y xy
+=是初等函数,且点(2,3)在该函数的定义
域内,故2
3
5
lim (2,3)6
x y x y f xy →→+==. 例5 讨论函数22
22
22,0(,)0,0xy x y x y
f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
的连续性．
解 当(,)(0,0)x y ≠时，(,)f x y 为初等函数,故函数在(,)(0,0)
x y ≠点处连续.当(,)(0,0)x y =时，由例6知00
lim (,)x y f x y →→=22
lim x y xy
x y →→+不存在,
所以函数(,)f x y 在点(0,0)
处不连续，即原点(0,0)是函数的间断点．
3．有界闭区域上连续函数的性质
性质1（最值定理） 在有界闭区域上连续的二元函数，在该区域上一定有最大值和最小值．
性质2（介值定理） 在有界闭区域上连续的二元函数，必能取得介于函数的最大值与最小值之间的任何值．三、偏导数 1.偏导数的定义 定义 5 设函数(,)z f x y =
在000(,)P x y 的某邻域内有定义, 固定
0y y =,在0x 处给自变量x 以增量x ∆,相应地得到函数z 关于x 的得
增量(称为偏增量):0000(,)(,)x z f x x y f x y ∆=+∆-
如果极限00000
0(,)(,)
lim
lim
x x x z f x x y f x y x x
∆→∆→∆+∆-=∆∆ 存在, 则称此极限值为函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导
数,记为
00
x x y y z
x
==∂∂，
00
x x y y f x
==∂∂，00
x x x
y y z =='或00(,)x f x y '.
类似地,函数
(,)
z f x y =在点00(,)x y 处对y 的偏导数定义为:
00000
(,)(,)
lim
lim
y y y z f x y y f x y y
y
∆→∆→∆+∆-=∆∆，
记为 00
x x y y z
y
==∂∂，00
x x y y f
y
==∂∂，00
x x y
y y z =='或00(,)y f x y '.
例6 求223z x xy y =++在点(1, 2)处的偏导数. 解 把 y 看成常数,得23z
x y x
∂=+∂，则
1
2
21328x y z x ==∂=⨯+⨯=∂；
把x 看成常数,得
32z x y y ∂=+∂，则12
31227x y z y
==∂=⨯+⨯=∂.
例7 求函数(,)arctan x f x y y
=的偏导数． 解:222
1
11z y x
y x y x y ∂=
=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，
22221
1z x x x
y x y
x y ⎛⎫∂-=-= ⎪∂+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭
例
8
设u =，证明2
2
2
1u u u x y z ⎛⎫∂∂∂⎛⎫⎛⎫
++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭
⎝⎭. 证明：因为
u x
x u
∂=∂，
u y y u ∂=∂，
u z
z u
∂=∂， 所以
2
2
2
22222
21u u u x y z u x y z u u ⎛⎫∂∂∂++⎛⎫⎛⎫
++=== ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 例9 已知理想气体的状态方程(R 为常数).求证：
1P V T
V T P
∂∂∂⋅⋅=∂∂∂ 证: 因为RT P V
=
,
2P RT V V
∂=-∂；RT
V P
=
,
V R
T P
∂=∂；PV T R
=
,
T V
P R
∂=∂.所以
P V T V T P ∂∂∂⋅⋅
∂∂∂2RT
V ⎛⎫=- ⎪
⎝⎭R P ⋅1V
RT R
PV ⋅=-=-． 注：偏导数的记号z x ∂∂,z
y
∂∂是一个整体,不能看成微商,否则导致运算错误．
例10 求
22
22
22,0(,)0,0xy x y x y
f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
在点(0,0)处的偏导数. 解:
22
000
0(0,0)(0,0)()0
(0,0)lim lim 0x x x x f x f x f x x
∆→∆→∆⋅-+∆-∆+===∆∆ 22
000
0(0,0)(0,0)()0
(0,0)lim lim 0y y y y f y f y f y y
∆→∆→∆⋅-+∆-∆+===∆∆. 注意: (1)二元函数在某点存在偏导数,并不能保证函数在
该点连续,与一元函数可导必连续是不相同的．(2)在分界点处的偏导数，用偏导数定义求． (3)由偏导数的概念可知，
(,)f x y 在点00(,)x y 处关于x 的偏导
数00(,)x f x y '显然就是偏导数(,)x f x y '在点00(,)x y 处的函数值；00(,)y f x y '是偏导数(,)y f x y '在点00(,)x y 处的函数值．从偏导数的定义中可以看出，偏导数的实质就是把一个自变量固定，而将二元函数看作另一自变量的一元函数的导数．2.偏导数的几何意义：设00000(,,(,))P x y f x y 为曲面(,)z f x y =上
的一点，过0P 作平面0y y =截此曲面(,)z f x y =
得一曲线，其方程为
0(,)z f x y =，则导数00(,)x f x y '就是曲线0(,)z f x y =在点00000(,,(,))
P x y f x y 处的切线对x 轴的斜率（设切线与x 轴的倾斜角为α，则
00(,)tan x f x y α'=）．
同样，偏导数00(,)y f x y '是曲面(,)z f x y =与平面0x x =的交线在点
00000(,,(,))P x y f x y 处的切线对y 轴的斜率（设切线与y 轴的倾斜角为
β，则00(,)tan y f x y β'=）
． 3、高阶偏导数 函数(,)z f x y =
的两个偏导数
(,)x z
f x y x
∂'=∂，(,)y z f x y y ∂'=∂它们都是
x ，y 的二元函数,如果这两个函数关于x ，y 的偏导数也存在, 即
z x x ∂∂⎛⎫ ⎪∂∂⎝⎭，z y x ∂∂⎛⎫ ⎪∂∂⎝⎭，z x y ⎛⎫
∂∂ ⎪∂∂⎝⎭，z y y ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭
，称它们为二元函数(,)z f x y =的的二阶偏导数．二元函数的二元偏导数最多有4个．将z x x ∂∂⎛⎫
⎪∂∂⎝⎭表为22z x ∂∂或(,)xx
f x y ''或xx z ''； z y x ∂∂⎛⎫
⎪∂∂⎝⎭
表为2z x y ∂∂∂或(,)xy f x y ''或xy z ''； z x y ⎛⎫
∂∂ ⎪∂∂⎝⎭
表为2z y x ∂∂∂或(,)yx
f x y ''或yx z ''； z y y ⎛⎫
∂∂ ⎪∂∂⎝⎭
表为22z y ∂∂或(,)yy
f x y ''或yy z ''． 其中，2(,)xy xy z z f x y z y x x y ∂∂∂⎛⎫''''=== ⎪∂∂∂∂⎝⎭，2(,)yx yx z z
f x y z x y y x
⎛⎫∂∂∂''''=== ⎪∂∂∂∂⎝⎭是二阶混合偏导数
类似地,二阶偏导数的偏导数，称为原来函数的三阶偏导数，二元函数(,)z f x y =
的三阶偏导数最多有
8个：
xxx
f '''，xxy f '''，xyx f '''，xyy f '''，yxx f '''，yxy f '''，yyx f '''，yyy f ''' 一般地，1n -阶偏导数的偏导数，称为原来函数的n 阶偏导数，
二元函数(,)z f x y =
的n 阶偏导数最多有2n 个．
二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，而z x
∂∂和
z y
∂∂称为
函数的一阶偏导数．
注：二阶偏导数的计算方法是逐次求偏导数． 定理１（求偏导数次序无关的定理） 如果函数(,)z f x y =的
两个二阶混合偏导数
2z x y
∂∂∂，
2z y x
∂∂∂在区域D 内连续,则对任何
(,)x y D ∈有
2z x y ∂∂∂2z
y x ∂=∂∂. 即二阶混合偏导数连续的条件下,混合偏导数与求导的次序无关,对更高阶的偏导数也有类似的结论．
4.全导数的定义 设(,)z f u v =
，()u t ϕ=，()v t ψ=，且f
、ϕ、ψ均可导，则关于t 的
一元函数[(),()]z f t t ϕψ=也可导，且有
dz f du f dv
dt u dt v dt
∂∂=+
∂∂ z 对t 的导数叫全导数．
四、全微分 1.定义 设函数(,)z f x y =
在点000(,)P x y 的某邻域内有定义,给
x ，y 在00(,)x y 分别以增量x ∆、y ∆，相应地得到函数的全增量z ∆，
若其可表示为()z A x B y o ρ∆=∆+∆+
其中A 、B 与x ∆、y ∆
无关．ρ=()o ρ为0x ∆→，0y ∆→时ρ的高阶无穷小．则称函数(,)f x y 在000(,)P x y 处可微．A x B y ∆+∆称为(,)f x y 在000(,)P x y 处的全微分，记为
00(,)(,)x y dz df x y A x B y ==∆+∆
当
(,)
z f x y =在000(,)
P x y 可
微时，
00
00(,)
x x x y y z
A f x y x
==∂'=
=∂,
00
00(,)
y x x y y z B f x y y
==∂'=
=∂，
于
是
000
(,)x y x x x x y y y y z z dz x y x
y
====∂∂=
∆+
∆∂∂
注意：规定自变量的增量等于自变量的微分，即x dx ∆=，
y dy ∆=，则全微分又可记为z z
dz dx dy x y
∂∂=
+∂∂. 五、二元函数的连续、偏导数及全微分之间的关系 定理 2 若函数(,)z f x y =
在点(,)P x y 处可微，则函数在点
(,)P x y 连续．
定理3 （可微的必要条件）如果函数(,)z f x y =在点(,)P x y 处
可微，则在该点处的两个偏导数
z
x
∂∂、
z y
∂∂必都存在，且
z z
dz dx dy x y
∂∂=
+∂∂． 定理4 （可微的充分条件）若函数(,)z f x y =
的两个偏导数
z x
∂∂、z y ∂∂在点(,)P x y 的某领域存在，并且在点(,)P x y 处连续，则函
数(,)z f x y =在点(,)P x y 处必可微．
注：若
(,)
z f x y =在(,)P x y 处,
z x
∂∂、
z y
∂∂都存在,不能保证
(,)z f x y =在(,)P x y 处可微分.
例如：
2222
22,0(,)0,0xy
x y x y
f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
在点
(0,0)
处
(0,0)0
x f =，
(0,0)0y f '=但它在点(0,0)处不可微分.
注：（1）关于二元函数全微分的定义及可微分的充分条件可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数.（2）函数(,)z f x y =的偏导数存在与否与函数是否连续毫无
关系．
六、多元复合函数微分
定理(复合函数的偏导数)设函数(,)u x y ϕ=，(,)v x y ψ=在点
(,)x y 处有偏导数，函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 处有连续偏导数,，
则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 处的偏导数存在,且
z z u z v x u x v x
∂∂∂∂∂=+
∂∂∂∂∂
z z u z v y u y v y
∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂
七、隐函数微分
z
u v
x
y
1.一元隐函数求导公式
方程 (,)0()F x y y y x =⇒=，(,())0F x y x ≡，链式图
两边对x 求导，得：
0F F dy x y dx
∂∂+⋅=∂∂， 则x
y F
F
dy x F dx F y
∂∂=-=-∂∂
2.二元隐函数求导公式
方程(,,)0(,)F x y z z z x y =⇒=得(,,(,))0F x y z x y ≡ 两边对x 求导：0F F z x z x
∂∂∂+⋅=∂∂∂ 两边对y 求导：0F F z y z y
∂∂∂+⋅=∂∂∂ 得
x z
F z
x F ∂=-∂ y z
F
z y
F ∂=-∂
7.2 偏导数在几何上的应用
一、空间曲线的切线与法平面
空间曲线()
()()x x t y y t z z t =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩
，下面给出曲线Γ的切线的定义．
定义：设点0000(,,)M x y z 是空间曲线Γ上的一个定点，M 是曲线Γ上的一个动点，当点M 沿着曲线Γ趋近于0M 时，割线0M M 的极限位置0M T （如果存在）称为曲线Γ在点0M 的切线，并称过点
0M 而且垂直于切线0M T
的平面为曲线Γ在点0M 的法平面．下面推导曲线Γ在点0M 的切线和法平面方程．
F
x
y
x
设对应于定点0M 的参数为0t ，令00()x x t =，00()y y t =，00()z z t =，则点0M 的坐标为000(,,)x y z ，设曲线Γ上对应于参数为0t t +∆的点M 的坐标为000(,,)x x y y z z +∆+∆+∆，根据解析几何知识，割线0M M 的方向向量为{,,}x y z ∆∆∆，也可取为{
,,}x y z
t t t
∆∆∆∆∆∆，当0t ∆→时，
点M 沿着曲线Γ趋于0M ，割线0M M 的极限位置就是曲线Γ在点0M 的切线，若()x t ，()y t ，()z t 在0t 处可导且导数不同时为零，那么此时切线的方向向量为000{(),(),()}x t y t z t '''，从而曲线Γ在点0000(,,)M x y z 处的切线方程为
000
000()()()
x x y y z z x t y t z t ---==
'''
曲线Γ在点0M 的法平面方程为
000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=
二、曲面的切平面与法线
设曲面方程为(,,)0F x y z =，过点0000(,,)M x y z 且完全在曲面上的
曲线为Γ，其参数方程为()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，因此((),(),())0F x t y t z t =．对t 求
导，在0t t =处（即在点0M 处）有
000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x t F x y z y t F x y z z t ''''''++=
向量000{(),(),()}x t y t z t '''是曲线Γ在点0M 的切线的方向向量，向量
000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z F x y z F x y z F x y z '''和这些切线垂直，又由于所取曲
线Γ的任意性，可知曲面上任意一条过0M 的曲线，它在点0M 的切线皆垂直于向量000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z F x y z F x y z F x y z '''，因此这些切
线应位于同一平面上，这个平面称为曲面在点0M 处的切平面，向量000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z F x y z F x y z F x y z '''是切平面的法向量．曲面在点0M 处的切平面方程为
000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z '''-+-+-=
曲面在点0M 处的法线方程为
000
000000000(,,)(,,)(,,)
x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z ---=='''． 7.3 二元函数的极值
一、二元函数的极值 定义1：设函数(,)z f x y =
在点000(,)P x y 的某个邻域内有定义，
若该邻域内
00(,)(,)
f x y f x y ≤，点
00(,)
x y 为极大点，
00(,)
f x y 为极大值；
00(,)(,)f x y f x y ≥，点00(,)x y 为极小点，00(,)f x y 为极小值.极小值点
和极大值点统称为极值点，极小值和极大值通称为极值． 定义
2：方程组(,)0
(,)0x y
f x y f x y '=⎧⎨'=⎩的解，称为函数(,)z f x y =的驻点． 定理1（取极值的必要条件）：若函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 一
阶偏导数存在，且000(,)P x y 是(,)z f x y =
的极值点，则该点的偏导数
必为零，即0000
(,)0
(,)0x y f x y f x y '=⎧⎨'=⎩．定理2（极值存在的充分条件）：设点000(,)P x y 是函数(,)
z f x y =
的驻点，且函数在点000(,)P x y 的某邻域内二阶偏导数连续，令
00(,)xx
A f x y ''=
00(,)xy
B f x y ''=
00(,)yy
C f x y ''= 则 (1)当20B AC -<时,点000(,)P x y 是极值点,且（i ）当0A <(或0C <)时,点000(,)P x y 是极大值点；
()当0A >(或0C >)时,点000(,)P x y 是极小值点.（2）当20B AC ->时，点000(,)P x y 不是极值点.
（3）当20B AC -=时，点000(,)P x y 可能是极值点也可能不是极值点.
例1 求函数322(,)421f x y x x xy y =-+-+的极值. 解: （1）求偏导数2(,)382x f x y x x y '=-+，(,)22y f x y x y '=-，
(,)68xx
f x y x '=-，(,)xy f x y y '=，(,)2yy f x y '=-
（2）解方程组2
(,)3820
(,)220x y f x y x x y f x y x y '⎧=-+=⎪⎨'=-=⎪⎩
得驻点(0,0)及(2,2) 在(0,0)处，8A =-,2B =,2C =-,20B AC ∆=-< 在(2,2)处，4A =,2B =,2C =-,20B AC ∆=->
结论： 函数在(0,0)处取得极大值(0,0)1f =，在(2,2)无极值. 注意：对一般函数,可能的极值点包括驻点或至少一个偏导数不存在的点.
二、条件极值与无条件极值 1.求二元函数无条件极值步骤如下： （1）求(,)x f x y '，(,)y f x y '，并解方程组(,)0
(,)0
x y f x y f x y '=⎧⎨'=⎩，求得所有
驻点；
（2）对于每一个驻点
(,)
x y ，求出二阶偏导数的值
00(,)xx
A f x y ''=，00(,)xy
B f x y ''=，00(,)yy
C f x y ''=； （3）定出2B AC -的符号，利用极值存在的充分条件判断驻点(,)x y 是否为极值点，若是，是极大值点还是极小值点，并求出极值．2.求二元函数(,)z f x y =在约束条件(,)0x y ϕ=下的极值的方法
和步骤如下：
方法一：条件极值⇒无条件极值 （1）从约束条件(,)0x y ϕ=中求出()y x ψ=；
（2）将()y x ψ=代入二元函数(,)f x y 中化为一元函数(,())f x x ψ，变为无条件极值；
（3）求出一元函数(,())f x x ψ的极值即为所求．
方法二：条件极值不能转化为无条件极值（运用拉格朗日乘数法）.
(1)构造辅助函数(,,)(,)F x y f x y λ=
(,)x y λϕ+,称为拉格朗日函
数,其中参数λ称为拉格朗日乘数；
(2)由(,,)F x y λ的一阶偏导数组成如下方程组：
(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0(,)0x x x y y y F x y f x y x y F x y f x y x y x y λϕλϕϕ'''=+=⎧⎪
'''=+=⎨⎪=⎩
（3）结上述方程组得驻点00(,)x y ，则00(,)x y 就是函数的极值点，依题意判断00(,)f x y 是极大值还是极小值．上述方法即拉格朗日乘数法可平行地推广到多元函数、多个限制条件上去．
例2 求表面积为2a ，而体积为最大的长方体的体积. 解：设长方体长、宽、高分别为x ，y ，z ，则长方体体积为V xyz =，约束条件为
22()xy yz xz a ++=
即2(,,)2()0x y z xy yz xz a ϕ=++-=
构造辅助函数2
(,,)2()2
a F x y z xyz xy yz xz λ=+++-
解联立方程组2(,,)2()0(,,)2()0(,,)2()02()0x y
z F x y z yz y z F x y z xz x z F x y z xy x y xy yz xz a λλλ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎨
'=++=⎪⎪++-=⎩
解得
x y z ===
λ=
因为是唯一可能的极值点，所以由问题的实际意义
知3
max 36
V a =
. 三、最值的求解
在有界闭区域D 上连续的函数一定在该区域D 上取得最大值和最小值，最值点可能在D 的内部也可能在D 的边界点上，如果假定函数在D 上连续，在D 内可微分且只有有限个驻点，这时如果函数在D 的内部取得最大值（最小值），那么这个最大值（最小值）也是函数的极大值（极小值）.因此在上述假定下，求函数的最大值和最小值的一般方法是：将函数(,)f x y 在D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其
中最大的就是最大值，最小的就是最小值.但是这种做法并不简单，因为求函数在边界上的最大值和最小值一般来说仍然是相当复杂的，在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数(,)f x y 的最大值（最小值）一定在D 的内部取得，而函数在D 内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数
(,)f x y 在D 上的最大值（最小值）.例 3 要做一个容积为V 的长方体箱子，问箱子各边的尺寸多大时，所用材料最省？
解 设箱子的长、宽分别为, x y ，则高为V
xy ．箱子所用材料
的表面积为
2()V V
S xy y x xy xy
=+⋅+⋅2()V V xy x y =++ (0x >,0y >)．
当面积S 最小时，所用材料最省．为此求函数(, )S x y 的驻点，
222()0,2()0,
S
V y x x S V x y
y ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=∂⎪⎩
解这个方程组，得唯一驻点
． 根据实际问题可以断定，S 一定存在最小值且在区域D 内
取得．而在区域D
内只有唯一驻点，则该点就是其
最小值点，即当
===z y x 3
V 时，所用的材料最省．
最新文件仅供参考已改成word文本。

方便更改
word.。