【运筹学】第五章 整数规划

如果A2和A3两地必 须有且只有一个建 厂，怎么办？
1、整数规划数学模型的一般形式
n
max(min) z cjxj
j1
nLeabharlann Baidu
aijxj (, )bi (i 1,2,,m)
st.xjj1 0(j 1,2,,n) xj部分或全部取整数
整数规划问题的松弛问题
整数规划的类型
纯整数规划：xj全部是整数 混合整数规划： xj部分是整数 0-1型整数规划：xj = 0或1
195
4
2
273 1365
40
3
140
甲种货物至多托运4件，问两种货物各托运多少件，可使获得利润最大？
解 设x1、x2分别为甲、乙两种货物托运的件数，建立模型
max z 2x1 3x2
195x1 273x2 1365
s.t.4x1x1 440x2 140
x1,
x2
0
x1, x2为整数
1 同一 件产品
同一件产品在下一台机床上加工的开始时间不得早 于在上一台机床上加工的结束时间
在不同 产品1：x11+a11 x13 及 x13+a13 x14
机床上 的加工
产品2：x21+a21 x22 及 x22+a22 x24
顺序
产品3：x32+a32 x33
2 每台机 床对不同 产品的加 工顺序约 束
3 产品2 的加工总 时间约束
产品2加工开始的时间是x21，结束加工的时间是 x24+a24，于是
x24+a24 –x21 d
4 目标函 数的建立
设全部产品加工结束时间为W。 由于三件产品的加工结束时间分别为x14+a14, x24+a24, x33+a33 故
W=max(x14+a14, x24+a24, x33+a33 )
机床1 机床2 机床3 机床4
x11+a11 x22+a22 x13+a13 x14+a14
x21+My1 及 x32+My2 及 x33+My3 及 x24+My4 及
x21+a21 x32+a32 x33+a33 x24+a24
x11+M(1-y1) x22+M(1-y2) x13+M(1-y3) x14+M(1-y4)
工件排序问题（p138）
例5.7 用4台机床加工3件产品。各产品的机床加工顺序，以及产品在
机床上的加工工时见下表，且要求工件二的总工时不超过d。
产品1 产品2 产品3
a11 机床1 a21 机床1
a22 机床2 a32 机床2
a13 机床3
a33 机床3
a14 机床4 a24 机床4
xij表示第i种产品在第j台机床上加工的开始时间。
第五章 整数规划
5.1 整数规划实例及一般模型 5.2 分支定界法 5.3 0-1整数规划 5.4 指派问题
5.1 整数规划实例
例5.1某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，这两种货物每件的体积、重量、 可获利润以及托运所受限制如下表所示。
货物 甲 乙 托运限制
每件体积/立方英尺 每件重量/百千克 每件利润/百元
例5.3某企业在A1地已有一个工厂，其产品的生产能力为30千箱，为了扩大生 产，打算在A2，A3，A4，A5地中再选择几个地方建厂，已知在A2地建厂的 固定成本为175千元，在A3地建厂的固定成本为300千元，在A4地建厂的固定 成本为375千元，在A5地建厂的固定成本为500千元，另外，在A1的产量，A2， A3，A4，A5建成厂的产量，那时销地的销量以及产地到销地的单位运价（每 千箱运费）如下表5-3所示。问应该在哪几个地方建厂，在满足销量的前提下， 使得其总的固定成本和总的运输费用之和最小？
投资总额不能超过720万元，问应该选择哪几个销售点，可使年利润为最大？
max z 36x1 40x2 50x3 22x4 20x5
30x6 25x7 48x8 58x9 61x10
100x1 120x
x1
x2
x3
2 2
1在 选5在东 择0西x区 两3区由 个由三两个个点点中中最至1多8少0 选择一个
5.3 0-1ILP
例5.5 广州某食品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市部，目前有10个位置可供选 择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集程度，规定：
在东区由三个点中最多选择两个； 在西区由两个点中至少选择一个； 在南区由两个点中至少选择一个； 在北区由三个点中至少选择两个。
定界：在分支的过程中，若某个后继问题恰好获得了整数 规划的一个可行解，则这一可行解的目标函数值可看成一 个“界限”，作为处理其他分支的依据。
例5.4 求解如下整数规划：
首先求解其松弛规划：
max z 3x1 2x2 2x1 3x2 14
s.t.4x1 2x2 18 x1, x2 0
5.2 分支定界法
分支：若松弛问题最优解中存在变量xi=bi′不满足整数约 束，记[bi′]为不超过bi′的最大整数，则构造两个新 的约束 xi≤ [bi′] ，和xi≥ [bi′]+1。将它们分别并入到原松弛问题中， 形成原松弛问题的两个分支（后继问题）。当分支的最优 解也不满足整数约束时，可以继续构造它们的分支。
一台机床在工作中，若已开始的加工还未结束，则 不能开始加工另一产品。
注意到每台机床可以加工两种产品。因此可以用01变量yi表示第i台机床加工产品的顺序。具体表示
y1
y2
0
1
0
先加工 先加工 先加工 产品1 产品2 产品2
1
先加工 产品3
y3
y4
0
1
先加工 先加工 产品1 产品3
0
1
先加工 先加工 产品1 产品2
x10
720
s.t.
x4 x5 1
x
6
x7
1
在南区由两个点中至少 选择一个
在北区由三个点中至少
x8 x9 x10 2
选择两个
xi
0且xi为0
1变量，i
1,2,3,...,10.
例5.6 有三种资源被用于生产三种产品，资源量、产品单件可变费 用及售价、资源单耗量及组织三种产品生产的固定费用见下表。要求 制定一个生产计划，使总收益最大。
最优解为X=(3.25,2.5)’，z=14.75
因为x2=8/3，所以将其分 为x2<=2和x2>=3两个分 支
x1 3
因为x1=3.25，所以将其 分为x1<=3和x1>=4两个 分支
x1 4
因为ZD<ZCx,2所以3
不再分支
x 2
2
因为ZE<ZC,所以不再分支
所以X*=(4,1)，Z*=14