过程控制系统第二章数学模型

单容自衡过程可以采用一阶惯性环节加以描述。
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
单容过程传递函数的结构方框图
水箱的输入量/输出量之 间的动态平衡关系
Q1 (s)
1
H(s)
cs
Q2 (s)
1
R2
阀2的静压力关系
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
推广1：考虑输入液体体积流量为Q0
当进水阀1的开度产生变化后，需流经长度为l 的管道才能 进入水箱，使液位发生变化。
an y(k n) a1 y(k 1) y(k) bmu(k m d) b1u(k 1 d) e(K)
脉冲传递函数:
y(k)

b0 b1z 1 bm z m 1 a1z 1 an z n
z du(k)
②参量形式模型：曲线、表格等
反向特性
反向惯性特性
2.2 被控过程的数学模型—概念
被控过程的数学模型 ----过程的输入变量与输出变量之间的定量关系。
作用于过程的控制 作用和干扰作用
过程的被控变量
控制通道：控制作用到输出变量的信号联系。 干扰通道：干扰作用到输出变量的信号联系。
2.2 被控过程的数学模型—类型
① 参量形式模型 微分方程形式:
类推出多容过程（n个）的传递函数
G(s)
K0
(T1s 1)(T2s 1)(Tns 1)
过程的总 放大系数
各单容过程的 时间常数
若各个容器的容量系数相同，各阀门的液阻也相同，则
G(s) K0 (T0s 1)n
T1 T2 Tn T0
注：多容过程模型简化过程与双容过程简化为单容过程方法类似。
获得双容液位过程的传递函数为
G(s) Q2 (s) H2 (s) 1 R3 Q1(s) Q2 (s) T1s 1 T2s 1
双容自衡过程可以采用二阶环节加以描述。
2.3 解析法建立过程数学模型—多容过程
双容过程数学模型的结构方框图
水槽1的输入量/ 输出量之间的动 态平衡关系
阀2的静压 力关系
水槽2的输入量/ 输出量之间的动 态平衡关系
Q1 (s)
1 H1(s) 1 Q2 (s)
c1s
R2
1
H2(s)
c2s
Q3 (s)
1 R3
阀3的静 压力关系
2.3 解析法建立过程数学模型—多容过程
分析： 1）两个具有负实根的惯性环节串联，
即ξ=1过阻尼，响应不振荡。 2）双容过程在两个槽之间存在液体
实验辨识法
实验辨识法-------根据过程输入、输出的实验测试数据， 通过过程辨识和参数估计得出数学模型。
过程辨识-----根据测试数据确定模型结构（包括形式、方程 阶次及时滞等）。
参数估计-----在已定模型结构的基础上，再由测试数据确定 模型的参数。
混合法
（1）对被控过程中机理比较清楚的部分采用机理演绎 法推导其数学模型，对机理不清楚或不确定的部 分采用实验辨识法获得其数学模型。
假设流经长度为l的管道所需时间为τ0，得出具有纯时延的 单容过程的微分方程和传递函数分别为
R2
A
dh dt

h

R2q0
(t
-
0
)
G(s) H (s) R2 e0s K0 e0s
Q1(s) R2As 1
T0s 1
T0=R2A K0=R2 C=A τ0与l有关
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
（2）先通过机理分析确定模型的结构形式，再通过实 验数据来确定模型中各个参数的大小。
2.3 解析法建立过程数学模型—步骤
建模步骤 明确过程的输入变量、输出变量和中间变量 根据建模对象和建模使用目的作合理假设
根据过程的内在机理，建立静态和动态平衡 关系方程
消去中间变量，求取过程的数学模型 模型简化（模型降阶处理；线性化）

A
d h dt
得到其传递函数为：G(s) H (s) 1
Q1(s) Ts
单容非自衡过程可以采用积分环节加以描述。
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
无时延非自衡
Q1
O t
h
有纯时延非自衡
Q0
O t
h
O
t
O 0
t
意义：进水量增加，出水量不变，液位会升高，直到溢出。
2.3 解析法建立过程数学模型—多容过程
2.3 解析法建立过程数学模型—多容过程
推广2：考虑两水槽之间的管道长度
当阀2的开度变化后，需流经长度为l 的管道才能进入贮 罐2，使液位h2发生变化。
假设流经管道所需时间为τ1，则具有纯时延多容过程传 递函数为
G(s)
R3
e ls
h2
(T1s 1)(T2s 1)
h2(∞)

R3
e( 0 l ) s
G(s) H (s) R2 Q1(s) R2As 1
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
令：过程的时间常数 T=R2A=R2C 过程的放大系数 K=R2 过程的容量系数 C=A
则：
容量：贮存能力大小， 即引起单位被控量变化 时，被控过程贮存量变 化程度。
G(s) H (s) R2 K Q1(s) R2As 1 Ts 1
第二章 被控过程特性及其数学模型
主要内容
2.1 被控过程的特性 2.2被控过程的数学模型 2.3解析法建立过程的数学模型 2.4实验辨识法建立过程的数学模型
2.1 被控过程的特性
（1）自衡的非振荡过程
自衡：在原平衡状态出现干扰 时，无需外加任何控制作用， 被控过程能够自发地趋于新的 平衡状态。
自衡非振荡：阶跃输入信号作 用下，输出响应曲线能没有振 荡地从一个稳态趋向于另一个 稳态.
水箱截 面积
水箱内液体 容量变化率
表示为增量形式有:
q1

q2

A
d h dt
q1, q2 , h—偏离某平衡状态 q10 , q20 , h0 的增量
静态时： q1 q2 dh 0
dt
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
根据压力关系:
假定q2与h 近似成线性正比关系，与阀门2处的液阻R2 成反比
例2-4 一串并联式双容液位槽。 要求：试求h2与Q1之间的数学描述。
R2同时受到h1 和h2的影响。
2.3 解析法建立过程数学模型—多容过程
解 根据动态平衡关系，有
水槽1
q1

q2

C1
d h1 dt
Go (s)
T 2s2
K
e-s , (0
2Ts 1
1)
2.1 被控过程的特性
（4）具有反向特性的过程
阶跃输入信号作用下，被控过程的输出先降后升或先升后降，即过 程响应曲线在开始的一段时间内变化方向与以后的变化方向相反，
冷水量对水位的直接影响
正向积分特性
冷水量影响水中气泡量，使 水位发生变化
无时延自衡
Q1
O t
h
O
t
有纯时延自衡
Q0
O t
h
O 0
t
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
推广2：考虑输出液体体积流量为Q2通过泵来调节
液位高度变化时，出口处静压力不会对泵产生影响，Q2不变。
解
根据动态物料平衡关系:
q1

q2

A
d h dt
定量泵导致: q2 0
整理后得到其增量化方程为： q1
流通阻力，延缓了h2的变化，导致响应 过程一开始较慢，较单容过程时延大。
拐 3）随着相连接容器的增加，过程时 点 间延迟越长。
4）模型简化：采用单容过程近似。
G(s) H 2 (s) R3 e 0s Q1(s) T0s 1
2.3 解析法建立过程数学模型—多容过程
推广1：考虑n个水槽（容器）依次分离式连接

1 R2C1s
1
得到其传递函数为：
G2 (s)

H 2 (s) Q2 (s)

1 T2 s

1 c2 s
G(s) Q2 (s) H2 (s) 1 1 Q1(s) Q2 (s) T1s 1 T2s
注：只要多容过程中存在一个无自衡环节则为无自衡多容过程。
2.3 解析法建立过程数学模型—多容过程
(T0s 1)
O
t
τ0+ τ1
T0
2.3 解析法建立过程数学模型—多容过程
推广3：考虑输出液体体积流量为Q3通过泵来调节
------水槽1的液位高度变化，会对Q2产生影响。
----水槽2的液位高度变化，不会对Q3产生影响。
解
根据多容过程类推关系:
G1(s)

Q2 (s) Q1 ( s)

1 T1s 1
例2-1 某水箱系统如图所示。 输入液体体积流量Q1通过阀门1的开度来改变。 输入液体体积流量Q2通过阀门2的开度来改变。 液位高度h为被控量。 要求：试列写h与Q1之间的数学表达式。
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
解 根据动态物料平衡关系:
dh q1 q2 A dt
单位时间内水箱内液体流入 量与流出量之差
多容过程------由多个贮蓄容量组成的被控过程。
2.3 解析法建立过程数学模型—多容过程
例2-3 图所示为一分离式双容液位槽。
过程输入量为Q1 过程输出量第二个液位槽的液位h2 假设：不计第一个与第二个液位槽之间液体输送管道所造成的时间 延迟，试求h2与Q1之间的数学关系。
2.3 解析法建立过程数学模型—多容过程
2.1 被控过程的特性
（1）自衡的非振荡过程
过程的静态增益 （或放大系数）
具有纯滞后的一阶惯性环节
Go
(s)

K Ts
1
e
s
过程的时间常数
具有纯滞后的二阶非振荡环节
Go
(s)

(T1s

K 1)(T2s
1)
e-s
具有纯滞后的高阶非振荡环节
Go (s)

K (Ts 1)n
e-s
过程的纯滞后时间
关系，则
q2

h R2
阀门阻力，即流量增加 1m3/s时的液位升高量(m)
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
综合上述两类关系：
d h q1 q2 A dt
q2

h R2
经整理得到单容液位过程的微分方程增量表示
R2 A
dh dt

h

R2 q1
拉氏变换，得到传递函数形式
an y(n) (t) a1 y' (t) y(t) bmu(m) (t ) b1u' (t ) b0u(t )
传递函数形式:
G0 (s)
Y(s) U (s)

b0 b1s bmsm 1 a1s ansn
es
差分方程形式:
2.2 被控过程的数学模型—方法
白箱方法-----解析法（机理演绎法） 黑箱方法-----实验辨识法（系统辨识与参数估计方法） 灰箱方法-----解析法与实验辨识相结合的混合方法
解析法
解析法-------根据被控过程的内在机理，运用已知的静态和动态 物料平衡、能量平衡等关系，用数学推理的方法求取被控过程 的数学模型。
单位时间内进入被控过程的物料或能量,等于单位时间内, 从被控过程流出的物料或能量
单位时间内进入被控过程的物料或能量,减去单位时 间内从被控过程流出的物料或能量,等于被控过程内 物料或能量的变化率。 不足：需要有足够和可靠的验前知识，否则，推导的结果就可能出现失真。 优点：在过程控制系统没有建立之前就先推导出数学模型，对于系统事先设 计和方案论证十分有利。
2.1 被控过程的特性
（2）无自衡的非振荡过程
无自衡：在原平衡状态出现干 扰时，当没有外加任何控制作 用时，被控过程不能重新到达 新的平衡状态
无自衡非振荡：阶跃输入信号 作用下，输出响应曲线会没有 振荡地从一个稳态一直上升或 下降，不能达到新的稳态
2.1 被控过程的特性
（2）无自衡的非振荡过程
过程的纯滞后时间
具有纯滞后的一阶积分环节
Go
(s)

1 Ts
es
具有纯滞后的二阶非振荡环节
Go
(s)

1 T1s(T2s

1)
e-s
具有纯滞后的高阶非振荡环节
Go
(s)

K T1s(Ts 1)n1
e-s
Байду номын сангаас
过程的时间常数
2.1 被控过程的特性
（3）自衡的振荡过程
自衡振荡：阶跃输入信号作用下， 输出响应曲线呈现衰减振荡特性， 最终被控过程趋于新的稳态值。
解 根据动态平衡关系，有
水槽1 水槽2
q1

q2

C1
d h1 dt
q2

q3

C2
d h2 dt
阀2
q2

h1 R2
阀3
q3

h2 R3
2.3 解析法建立过程数学模型—多容过程
令： 水槽1的过程时间常数 T1=R2A1=R2C1 水槽2的过程时间常数 T2=R3A2=R3C2 过程的放大系数 K=R3
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
单容过程-------只有一个贮蓄容量的过程。
自衡：被控过程在扰动作 用下，平衡状态被破坏后， 不需要操作人员或仪表的 干预，依靠自身能够恢复 平衡。
无自衡：平衡状态被 破坏后，被控量会不 断变化下去，不能再 平衡。
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程