鄞州中学自主招生数学卷三位一体

数 学 试 题

说明：1、本卷满分120分，考试时间为90分钟；

2、全卷分试题卷和答题卷，答案必须写在答题卷的相应位置上，做在试题卷上无效；

3、不能使用计算器．

一、选择题（每小题5分，共40分）

1．若0≠ab ，则等式ab a b a 135-=--成立的条件是（ ） A 、00>>b a , B 、00>b a , D 、00<

2．已知2662212-=-=-=c b a ,,，那么c b a ,,的大小关系是（ ）

A 、c b a <<

B 、b a c <<

C 、a b c <<

D 、c a b <<

3．下列四个判定平行四边形的命题的题设：①一组对边相等且一组对角相等的四边形；②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形；③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形；④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形，其中是真命题的个数为（ ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

4．如图，两个反比例函数x k y 1=和x

k y 2=（其中021>>k k ）在第一象限内的图像依次是1c 和2c ，设点P 在1c 上，PC ⊥x 轴于点C ，交2c 于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交2c 于点B ，则四边形PAOB 的面积为（ ）

A 、k 1＋k 2

B 、k 1－k 2

C 、k 1·k 2

D 、2

1k k

5．如图，在ABC Rt ∆中，点D 为斜边AB 的中点，点E 、F 分别在AC 、BC 上，︒=∠90EDF ,如果2

121=-==CF BF CE AE ,,,则斜边AB 的长为（ ） A 、23 B 、33 C 、6 D 、53

6.如图，在一个凸八边形中，每三个顶点形成三个角（如A ，B ，C 三个顶点形成BAC ACB ABC ∠∠∠,,）,一共可作出168个角，那么这些角中最小的一个一定是（ ）

A 、小于或等于︒20

B 、小于或等于︒522.

C 、小于或等于︒25

D 、小于或等于︒527.

7．如图，在矩形ABCD 中，AB=3,BC=2,以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则=∠CBE sin （ ）

A 、36

B 、32

C 、3

1 D 、1010 8．ABC Rt ∆的三个顶点ABC 均在抛物线2x y =上，并且斜边AB 平行于x 轴，若斜边上

的高为h ，则h 满足（ ）

A 、1

B 、1=h

C 、21<

D 、2>h

二、填空题（每小题5分，共40分）

9．分式1

23--x x 的值为整数，则整数x 的值为 ． 10．设正方形ABCD 的中心为O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们恰好全等的概率为 ．

11．关于x 的不等式组⎩

⎨⎧≤-<-1270x m x 的整数解共有5个，则m 的取值范围是 ． 12．已知四个整数数据：10、x 、8、12，若这组数据的众数和平均数的差的绝对值是，则这组数据的中位数是 ．

13．如图，AB ∥DE ，FC ⊥CD 于点C ，︒=∠︒=∠130107CDE abc ,,点G 在BC 的延长线上，则FCG ∠的度数是 度．

14．如图，⊙O 与ABC Rt ∆的斜边AB 相切于点D ，与直角边AC 相交于点E ，且DE ∥BC,已知AE=22，AC=23，BC=6,则⊙O 的半径是 ．

15．如图，在第一象限内存在等腰直角︒=∠90A OAB ,∆,点A 的纵坐标为2，在第一象限内OAB ∆的右侧作BCD ∆，使它与OAB ∆全等，直角顶点C 在x 轴上，当点A 运动时，点D 恰好在某条直线l 上运动，则直线l 的解析式为 ．

16．边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为1∶2两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是 ．

三、解答题（第17题8分，第18、19题各10分，第20题12分，共40分）

17．如图，AB ，AC ，AD 是圆中的三条弦，点E 在AD 上，且AB=AC=AE,请你说明以下式成立的理由：DBE CAD ∠=∠2 ．

18．如图抛物线)(02>+=a bx ax y 与双曲线x k y =相交于点A 、B ，已知点A 的坐标为（1,4），点B 在第三象限内，且AOB ∆的面积为3（O 为坐标原点），求实数k b a ,,d 的值．

19．已知：))(())(())((a x c x c x b x b x a x ++++++++是关于x 的完全平方式，试猜想c b a ,,应满足的数量关系，并证明你的猜想．

20．已知正ABC ∆,AB=2，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，以相同的速度作直线运动，且点P 沿射线AB 方向运动，点Q 沿射线BC 方向运动，设AP 的长为x 想，PCQ ∆的面积为s ，（1）求s 关于x 的函数关系式；

（2）当PCQ ∆的面积和ABC ∆的面积相等时AP 的长为多少？