高考数学大一轮复习 第2节 不等式的证明(选修4-5)
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=
a+ ba- ab a+
abb+b=a+abb-1≥2
aabb-1=1.
又 a>0,b>0,
ab>0.∴
a+ b
b≥ a
a+
b.
精品课件
规律方法 1 1.在法一中,采用局部通分,优化了解题过 程;在法二中,利用不等式的性质,把证明 a>b 转化为证明 ab>1(b>0).
2.作差(商)证明不等式,关键是对差(商)式进行合理的 变形,特别注意作商证明不等式,不等式的两边应同号.
第二节 不等式的证明
精品课件
[考情展望] 1.通过一些简单问题了解证明不等式的基 本方法:比较法、综合法、分析法.2.(供部分省选用)了解柯西 不等式的几种不同形式,理解其几何意义,能够利用均值不 等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.
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1.基本不等式 定理 1:如果 a,b∈R,那么 a2+b2≥_2_a_b___,当且仅当 _a_=__b__时,等号成立. 定理 2:如果 a,b>0,那么a+2 b≥ ab ,当且仅当_a_=__b__ 时,等号成立,即两个正数的算术平均值不小于(即大于或等 于)它们的几何平均值.
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对点训练 求证:(1)当 x∈R 时,1+2x4≥2x3+x2; (2)当 a,b∈(0,+∞)时,aabb≥(ab) .
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【证明】 (1)(1+2x4)-(2x3+x2)=x4-2x3+x2+x4-2x2+1 =(x-1)2·x2+(x2-1)2≥0,∴1+2x4≥2x3+x2.
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【证明】 因为 x>0,y>0,所以 1+x+y2≥33 xy2>0,1 +x2+y≥33 x2y>0,
故(1+x+y2)(1+x2+y)≥33 xy2·33 x2y=9xy.
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考向三 分析法证明不等式 (2015·郑州质检)若实数 x、y、m 满足|x-m|>|y -m|,则称 x 比 y 远离 m. (1) 若 x2-1 比 1 远离 0,求 x 的取值范围; (2)对任意两个不相等的正数 a,b,证明:a3+b3 比 a2b +ab2 远离 2ab ab.
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4.几个重要的不等式 (1)定理 1(二维形式的柯西不等式):若 a,b,c,d 都是 实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥ (ac+bd)2,当且仅当 ad=bc 时, 等号成立. (2)定理 2(柯西不等式的向量形式):设 α,β 是两个向量, 则|α·β|≤|α||β|,当 α 或 β 是零向量,或存在实数 k,使 α=kβ 时,等号成立.
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(3)定理 3(二维形式的三角不等式):设 x1,y1,x2,y2∈R, 那么 x21+y21+ x22+y22≥ x1-x22+y1-y22.
(4)柯西不等式的一般形式:设 a1,a2,…,an,b1,b2,…, bn 为实数,则(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)≥(a1b1+a2b2 +…+anbn)2,当且仅当 bi=0 或存在一个数 k,使 ai=kbi(i= 1,2,…,n)时,等号成立.
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【证明】 (1)由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca, 得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca 由题设得(a+b+c)2=1,即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca =1.
所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤31. (2)因为ab2+b≥2a,bc2+c≥2b,ca2+a≥2c, 故ab2+bc2+ca2+(a+b+c)≥2(a+b+c), 即ab2+bc2+ca2≥a+b+c.所以ab2+bc2+ca2≥1.
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考向一 比较法证明不等式
已知
a>0,b>0,求证:
a+ b
b≥ a
a+
b.
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【解】
法一
∵
a+ b
ba-(
a+
b)
=
a- b
b+
b- a
a=a-bb+b-aa
=a-b a- ab
b=
a+
b a- ab
b2≥0,
∴a+b≥ ba
a+
b.
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法二
a+b
由于
b a+
a= b
a a+b b ab a+ b
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定理 3:如果 a,b,c 为正数,那么a+3b+c≥3 abc ,当 且仅当a=b=c 时,等号成立.
一般形式的算术—几何平均值不等式:如果 a1,a2,…, an 为 n 个正数,则a1+a2+n …+an≥n a1a2…an,当且仅当 a1 =a2=…=an 时,等号成立.
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2.比较法
(2)
,
当 a=b 时,ab =1; 当 a>b>0 时,ab>1,a-2 b>0,ab >1; 当 b>a>0 时,0<ab<1,a-2 b<0,ab >1.
∴b≥(ab) .
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考向二 综合法证明不等式 (2013·课标全国卷Ⅱ)设 a、b、c 均为正数,且 a +b+c=1,证明:(1)ab+bc+ac≤31;(2)ab2+bc2+ca2≥1.
(1)比差法的依据是:a-b>0⇔__a_>__b_.步骤是:“作差
→_变__形_→_判__断__差__的__符__号_”.变形是手段,变形的目的是判断 差的符号.
(2)比商法:若 B>0,欲证A__≥__B,只需证AB≥1.
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3.综合法与分析法 (1)综合法:一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、 定理、性质等,经过一系列的推__理__、__论__证__而得出命题成___立___ (2)分析法:从要___证__的__结__论_出发,逐步寻求使它成立的 充__分__条__件__,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 (定义,公理或已证明的定理,性质等),从而得出要证的命题 成立.
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规律方法 2 1.综合法证明的逻辑关系是:A⇒B1⇒B2 ⇒…⇒Bn⇒B(A 为已知条件或数学定义、定理、公理,B 为要 证结论),它的常见书面表达是“∵,∴”或“⇒”.
2.综合法证明不等式,利用已证的不等式为基础,再运 用不等式的性质推导出所要证的不等式.
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对点训练 (2014·江苏高考)已知 x>0,y>0,证明:(1+x +y2)(1+x2+y)≥9xy.
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【解】 (1)由题意知|x2-1-0|>|1-0|, 即|x2-1|>1,所以 x2-1<-1 或 x2-1>1, 解得 x> 2或 x<- 2, 所以 x 的取值范围是{x|x> 2或 x<- 2}.