数值分析 第一章绪论
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则称 x*有n位有效数字。
例5. 3.142作为π的近似值时有几位有效数字.
解： 3.141592…= 0.3141592…×101 3.142 = 0.3142×101 m= 1
|π-3.142 |=|0.3141592…× 10-10.3142× 10|1 ＜ 0.000041×101＜ 0.0005= 12×103
1 10mn 2 a1 10m1
1 10(n1) 2a1
er *
1 10( n1) 2a1
一般应用中可以取r*=1/2a1 10-(n-1), n 越大,r*越小 ∴有效数字越多，相对误差就越小.
例7: 取3.14作为 的四舍五入的近似值时，求其 相对误差限。
解：3.14=0.314 101 a1=3 m=1 ∵ 四舍五入的近似值,其各位都是有效数字 ∴ n=3
② 有效数字相同的两个近似数，绝对误差不一定 相同。例如，设x1*=12345,设x2*=12.345,两者 均有5位有效数字但绝对误差不一样 x- x1* =x- 12345 ≤ 0.5= 1/2 100 x- x2* =x- 12.345≤0.0005=1/210-3
③ 把任何数乘以10p(p=0,1,…)不影响有效位数.
根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米， 600米，1000米…）处的水温，也就是说我们可根据给 定的数据能求出T(x)。
2、铝制波纹瓦的长度问题
建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一 块平整的铝板压制而成的.
假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从中心线) 为1英寸,且每个波纹以近似2π英寸为一个周期. 求 制做一块波纹瓦所需铝板的长度L.
数值计算方法
第一章 绪论
应用问题举例
1. 湖水在夏天会出现分层现象，接近湖面温度较高，越 往下温度变低，这种上热下冷的现象影响了水的对流 和混合过程，使得下层水域缺氧，导致水生鱼类的死 亡。如果把水温看成深度的函数T(x)，有某个湖的观 测数据如下：
深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13
数值计算方法课程主要讨论如何构造求数学模 型近似解的算法，讨论算法的数学原理、误差和复 杂性，配合程序设计进行计算试验并分析试验结果。
与纯数学的理论方法不同，用数值计算方法所 求出的结果一般不是解的精确值或者准确的解析表 达式，而是所求真解的某些近似值或近似曲线。
数值计算方法的主要特点
借助计算机提供切实可行的数学算法.
Wilkinson在数值分析研究领域作出了杰出贡献，是数值计算 的早期开拓者，其工作加速了数字计算机 ( 在科学计算中 ) 的 使用。他研究的主要问题是线性代数方程组和矩阵特征值问题 的数值解法，特别是他的向后误差分析法 (backward error analysis)的创造性工作奠定了数值分析和数值计算早期的理论 基础。
这个问题就是要求由函数 f(x)=sin x 给定的曲线从 x=0 到 x=48 英寸间的弧长L.
由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:
L 48 1 ( f ' (x)) 2 dx 48 1 (cos x)2 dx
0
0
上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法 来计算.
数值计算方法的意义、内容与方法
四舍五入后……
1 3.1416 0.0000074
2
1 3
0.333
0.000033
3 x 8.1235 0.00005
在数值计算方法中，主要研究截断误差和舍入误差 （包括初始数据的误差）对计算结果的影响！
二、 误差的概念
1、绝对误差与绝对误差限
定义：设 x是准确值，x为* x的一个近似值，称
4 、误差限与有效数字的关系
定理1：对于用*式 表示的近似数 ，x* 若 具x有* 位n有效
数字，则其相对误差为:
er *
1 10 ( n1) 2a1
证: ∵ x* = 0.a1a2…an10m
∴ x* ≥a110 m-1
又 ∵ x*具有n位有效数字,则x- x*≤1/210m - n
e*r
x x* x*
r*=1/2a1 10-(n-1)=1/2*3 10-2=0.17%
定理2: 若近似数x*=0.x1x2…xn10m相对误差
er *
1
10 (n1)
2(x1 1)
则该近似数具有n位有效数字.
证:∵ x*=0.x1x2…xn10m
∴ x* ≤ (x1+1) 10m-1
x x*
x x* x*
x*
e* 2
e* x* 2
x x*
x*x
x* x* e* 1 e* x*
是 e的r* 二次方项级,故可忽略不计.
相应地，若正数 r 满足
x x* x
r
则称 为r 的x 相对误差限。
例4. 甲打字每100个错一个，乙打字每1000个 错一个，求其相对误差
解： 根椐定义:甲打字时的相对误差
er*
m –n =1–n =-3 所以 n =4，具有4位有效数字.
例6. 当取3.141作为 的近似值时
-3.141=0.3141592…101 -0.3141101 ≤0.0000592 101 <0.005=1/2 10-2
m=1,m-n=1-n=-2, 所以 n=3 具有3位有效数字.
再如 3.1416 作为 的近似值时 -3.1416 = 0.3141592…101-0.31416101
1975 年 J. H. Wilkinson成为第五位图灵奖获得者。
教材及参考资料
清华大学出版社《数值分析》 李庆扬 王能超 易大义 编
数值分析 机械工业出版社 Numerical Analysis David Kincaid Ward Cheney 著
浙江大学《数值分析》 华中科技大学《数值分析》
4. 认真进行数值计算的训练，学习各章算法完全是 为用于实际计算，必须真会算。
威尔金森（James Hardy .Wilkinson，19191986），Wilkinson是数值分析和数值计算的 开拓者和奠基人。1940 年，开始研究弹道的 数学模型与数值计算。 1946 年成为Turing 的助手，协助设计 Pilot ACE 计算机。1969 年他当选为英国皇家学会院士；1970年工业 和应用数学会(s1am)授予他冯·诺伊曼奖； 1987年他获得美国数学会的chauvenet奖。著 名的美国阿尔贡国家实验室曾聘威尔金森为 荣誉高级研究员并两次向他授奖。
一、误在建差立来数源学模与型分过类程中,要将复杂的现象抽
象归结为数学模型,往往要忽略一些次要因 素的影响,而对问题作一些简化,因此和实际 问题有一定的区别.—模型误差
在建模和具体运算过程中所用的数据往往 是通过观察和测量得到的,由于精度的限制, 这些数据一般是近似的,即有观测误差
➢ 求近似解 —— 方法误差 (截断误差）
1 Βιβλιοθήκη Baidu00
100
乙打字时的相对误差
er*
1 1000
0.1 0 0
3 、有效数字
定义：如果
x x* 1 10n 2
则说 x近* 似表示 准x 确到小数后第 位n，并从这 第n位起直到最左边的非零数字之间的一切数字都
称为有效数字，并把有效数字的位数称为有效位数。
由上述定义
3.1416 1 104
➢ 机器字长有限 —— 舍入误差
用计算机、计算器和笔算，都只能用有限位
小数来代替无穷小数或用位数较少的小数来
代替位数较多的有限小数，如：
3.14159265 3.1415927
2 1.414213562
2 1.4142136
1 1 0.166666666 3! 6
1 0.16666667 3!
0.0000074…，有
x-x*=0.0000074… 0.000008=0.810-5
例3 而近似值x* =3.1415，它的绝对误差是 0.0000926…，有 x-x*=0.0000926… 0.0001=0.110-3
可见，绝对误差限不是唯一的，但越小越好
只用绝对误差还不能说明数的近似程度,例如甲 打字每100个错一个,乙打字每1000个错一个, 他们的误差都是错一个,但显然乙要准确些,这 就启发我们除了要看绝对误差外,还必须顾及量 的本身。
例如，当函数 f x用Taylor多项式
Pn x
f
0
f 0 x
1!
f 0 x2
2!
L
f (n) 0 xn
n!
近似代替时，数值方法的截断误差是
Rn x
f
x Pn x
f (n1) xn1
(n 1)!
在 x 与 0 之间
截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算 工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差.
≤0.00000074 101 ＝ 0.0000074<0.00005 <0.5 10-4 m-n=1-n=-4, 所以 n=5。因此，x*= 3.1416有5 位有效数字。
关于有效数字说明：
① 用四舍五入取准确值的前n位x*作为近似值,则 x*必有n位有效数字。如3.142作为 的近似值 有4位有效数字，而3.141有3位有效数字.
e(x) x x * e(x)是近似值 x的* 绝对误差,简称为误差。
例:若用以厘米为最小刻度的尺子去量桌子的长，大约 为1.56米，求1.56米的绝对误差。
1.56米的 绝对误差=？
不知道！
但实际问题往往可以估计出 e x不超过某个正数 ，
即 x x* 则称 为绝对误差限，有了绝对误差限
所提出的算法必须具有：可靠的理论分析;理 想的精确度;收敛且稳定;误差可以分析或估计.
计算复杂性好
时间复杂性好__指节省时间； 空间复杂性好__指节省存储量。
通过数值实验证明算法行之有效.
构造数值算法主要手段
采用“近似替代”方法→逼近 采用“构造性”方法 采用“离散化”方法
把求连续变量的问题转化为求离散变量的问题 采用“递推化”方法
20 世纪最伟大的科学技术发明---计算机 计算机是对人脑的模拟，它强化了人的思维智能； 软件的核心就是算法。 算法犹如乐谱， 软件犹如CD盘片， 而硬件如同CD唱机。
“什么是数值计算方法？”
数值计算方法是计算数学的一个主要组成部分. 数值计算方法又称计算方法或数值分析，是一门 与计算机应用密切结合的实用性很强的数学课程， 它专门研究各种数学问题的一类近似解法——数 值方法，即从一组原始数据（如模型中的某些参 数）出发，按照确定的运算规则进行有限步运算， 最终获得数学问题数值形式的满足精度要求的近 似解。
2、相对误差与相对误差限
定义：设 x是准确值，x是* 近似值，e是* 近似值的误差，
称
e* x x*
xx
一般情况下是不知道 的，怎么办？
为近似值 x的* 相对误差，记作 e，r*
通常取
er*
e* x*
x x* x*
事实上，当
er*
较e* 小时
x*
e* e* e* x x*
复杂的计算归结为简单过程的多次重复，易 于用循环结构来实现（迭代法）。 采用各种搜索方法
如何学好数值计算方法？
1. 认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本 任务，主动适应“公式多”的特点；
2. 注重各章建立算法的问题的提法，搞清问题的基 本提法，逐步深入；
3. 理解每个算法建立的数学背景，数学原理和基本 线索，对最基本的算法要非常熟悉；
1 2(x1 1)
10(n1)
(x1
1) 10m1
1 2
10mn
由有效数字定义可知,x*具有n位有效数字。证毕
例8: 要使 20的相对误差不超过0.1%，应取 几位至少有效数字？
解: 20的首位数是 a1 4.
就可以知道 x 的范围为
x* x x*
即 x 落在 x* , x* 内。
在应用上，常常采用下列写法来刻划 x的* 精度。
x x*
例1 设x ==3.1415926… 近似值x*=3.14,它的绝 对误差是 0.001 592 6…，有
x-x*=0.0015926… 0.002=0.210-2 例2 又近似值x* =3.1416，它的绝对误差是
2
定义 :' 若近似值 x的* 误差限是某一位的半个单位,
该位到x的* 左边第一位非零数字共有 n位,
就说 x有* 位n有效数字。 一般来说，
x* a1 101 a2 102 an 10n m *
其中，a1是1到9中的一个数字；a2是 an
0到9中一个数字；m为整数，且
x x* 1 10mn 2
例5. 3.142作为π的近似值时有几位有效数字.
解： 3.141592…= 0.3141592…×101 3.142 = 0.3142×101 m= 1
|π-3.142 |=|0.3141592…× 10-10.3142× 10|1 ＜ 0.000041×101＜ 0.0005= 12×103
1 10mn 2 a1 10m1
1 10(n1) 2a1
er *
1 10( n1) 2a1
一般应用中可以取r*=1/2a1 10-(n-1), n 越大,r*越小 ∴有效数字越多，相对误差就越小.
例7: 取3.14作为 的四舍五入的近似值时，求其 相对误差限。
解：3.14=0.314 101 a1=3 m=1 ∵ 四舍五入的近似值,其各位都是有效数字 ∴ n=3
② 有效数字相同的两个近似数，绝对误差不一定 相同。例如，设x1*=12345,设x2*=12.345,两者 均有5位有效数字但绝对误差不一样 x- x1* =x- 12345 ≤ 0.5= 1/2 100 x- x2* =x- 12.345≤0.0005=1/210-3
③ 把任何数乘以10p(p=0,1,…)不影响有效位数.
根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米， 600米，1000米…）处的水温，也就是说我们可根据给 定的数据能求出T(x)。
2、铝制波纹瓦的长度问题
建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一 块平整的铝板压制而成的.
假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从中心线) 为1英寸,且每个波纹以近似2π英寸为一个周期. 求 制做一块波纹瓦所需铝板的长度L.
数值计算方法
第一章 绪论
应用问题举例
1. 湖水在夏天会出现分层现象，接近湖面温度较高，越 往下温度变低，这种上热下冷的现象影响了水的对流 和混合过程，使得下层水域缺氧，导致水生鱼类的死 亡。如果把水温看成深度的函数T(x)，有某个湖的观 测数据如下：
深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13
数值计算方法课程主要讨论如何构造求数学模 型近似解的算法，讨论算法的数学原理、误差和复 杂性，配合程序设计进行计算试验并分析试验结果。
与纯数学的理论方法不同，用数值计算方法所 求出的结果一般不是解的精确值或者准确的解析表 达式，而是所求真解的某些近似值或近似曲线。
数值计算方法的主要特点
借助计算机提供切实可行的数学算法.
Wilkinson在数值分析研究领域作出了杰出贡献，是数值计算 的早期开拓者，其工作加速了数字计算机 ( 在科学计算中 ) 的 使用。他研究的主要问题是线性代数方程组和矩阵特征值问题 的数值解法，特别是他的向后误差分析法 (backward error analysis)的创造性工作奠定了数值分析和数值计算早期的理论 基础。
这个问题就是要求由函数 f(x)=sin x 给定的曲线从 x=0 到 x=48 英寸间的弧长L.
由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:
L 48 1 ( f ' (x)) 2 dx 48 1 (cos x)2 dx
0
0
上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法 来计算.
数值计算方法的意义、内容与方法
四舍五入后……
1 3.1416 0.0000074
2
1 3
0.333
0.000033
3 x 8.1235 0.00005
在数值计算方法中，主要研究截断误差和舍入误差 （包括初始数据的误差）对计算结果的影响！
二、 误差的概念
1、绝对误差与绝对误差限
定义：设 x是准确值，x为* x的一个近似值，称
4 、误差限与有效数字的关系
定理1：对于用*式 表示的近似数 ，x* 若 具x有* 位n有效
数字，则其相对误差为:
er *
1 10 ( n1) 2a1
证: ∵ x* = 0.a1a2…an10m
∴ x* ≥a110 m-1
又 ∵ x*具有n位有效数字,则x- x*≤1/210m - n
e*r
x x* x*
r*=1/2a1 10-(n-1)=1/2*3 10-2=0.17%
定理2: 若近似数x*=0.x1x2…xn10m相对误差
er *
1
10 (n1)
2(x1 1)
则该近似数具有n位有效数字.
证:∵ x*=0.x1x2…xn10m
∴ x* ≤ (x1+1) 10m-1
x x*
x x* x*
x*
e* 2
e* x* 2
x x*
x*x
x* x* e* 1 e* x*
是 e的r* 二次方项级,故可忽略不计.
相应地，若正数 r 满足
x x* x
r
则称 为r 的x 相对误差限。
例4. 甲打字每100个错一个，乙打字每1000个 错一个，求其相对误差
解： 根椐定义:甲打字时的相对误差
er*
m –n =1–n =-3 所以 n =4，具有4位有效数字.
例6. 当取3.141作为 的近似值时
-3.141=0.3141592…101 -0.3141101 ≤0.0000592 101 <0.005=1/2 10-2
m=1,m-n=1-n=-2, 所以 n=3 具有3位有效数字.
再如 3.1416 作为 的近似值时 -3.1416 = 0.3141592…101-0.31416101
1975 年 J. H. Wilkinson成为第五位图灵奖获得者。
教材及参考资料
清华大学出版社《数值分析》 李庆扬 王能超 易大义 编
数值分析 机械工业出版社 Numerical Analysis David Kincaid Ward Cheney 著
浙江大学《数值分析》 华中科技大学《数值分析》
4. 认真进行数值计算的训练，学习各章算法完全是 为用于实际计算，必须真会算。
威尔金森（James Hardy .Wilkinson，19191986），Wilkinson是数值分析和数值计算的 开拓者和奠基人。1940 年，开始研究弹道的 数学模型与数值计算。 1946 年成为Turing 的助手，协助设计 Pilot ACE 计算机。1969 年他当选为英国皇家学会院士；1970年工业 和应用数学会(s1am)授予他冯·诺伊曼奖； 1987年他获得美国数学会的chauvenet奖。著 名的美国阿尔贡国家实验室曾聘威尔金森为 荣誉高级研究员并两次向他授奖。
一、误在建差立来数源学模与型分过类程中,要将复杂的现象抽
象归结为数学模型,往往要忽略一些次要因 素的影响,而对问题作一些简化,因此和实际 问题有一定的区别.—模型误差
在建模和具体运算过程中所用的数据往往 是通过观察和测量得到的,由于精度的限制, 这些数据一般是近似的,即有观测误差
➢ 求近似解 —— 方法误差 (截断误差）
1 Βιβλιοθήκη Baidu00
100
乙打字时的相对误差
er*
1 1000
0.1 0 0
3 、有效数字
定义：如果
x x* 1 10n 2
则说 x近* 似表示 准x 确到小数后第 位n，并从这 第n位起直到最左边的非零数字之间的一切数字都
称为有效数字，并把有效数字的位数称为有效位数。
由上述定义
3.1416 1 104
➢ 机器字长有限 —— 舍入误差
用计算机、计算器和笔算，都只能用有限位
小数来代替无穷小数或用位数较少的小数来
代替位数较多的有限小数，如：
3.14159265 3.1415927
2 1.414213562
2 1.4142136
1 1 0.166666666 3! 6
1 0.16666667 3!
0.0000074…，有
x-x*=0.0000074… 0.000008=0.810-5
例3 而近似值x* =3.1415，它的绝对误差是 0.0000926…，有 x-x*=0.0000926… 0.0001=0.110-3
可见，绝对误差限不是唯一的，但越小越好
只用绝对误差还不能说明数的近似程度,例如甲 打字每100个错一个,乙打字每1000个错一个, 他们的误差都是错一个,但显然乙要准确些,这 就启发我们除了要看绝对误差外,还必须顾及量 的本身。
例如，当函数 f x用Taylor多项式
Pn x
f
0
f 0 x
1!
f 0 x2
2!
L
f (n) 0 xn
n!
近似代替时，数值方法的截断误差是
Rn x
f
x Pn x
f (n1) xn1
(n 1)!
在 x 与 0 之间
截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算 工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差.
≤0.00000074 101 ＝ 0.0000074<0.00005 <0.5 10-4 m-n=1-n=-4, 所以 n=5。因此，x*= 3.1416有5 位有效数字。
关于有效数字说明：
① 用四舍五入取准确值的前n位x*作为近似值,则 x*必有n位有效数字。如3.142作为 的近似值 有4位有效数字，而3.141有3位有效数字.
e(x) x x * e(x)是近似值 x的* 绝对误差,简称为误差。
例:若用以厘米为最小刻度的尺子去量桌子的长，大约 为1.56米，求1.56米的绝对误差。
1.56米的 绝对误差=？
不知道！
但实际问题往往可以估计出 e x不超过某个正数 ，
即 x x* 则称 为绝对误差限，有了绝对误差限
所提出的算法必须具有：可靠的理论分析;理 想的精确度;收敛且稳定;误差可以分析或估计.
计算复杂性好
时间复杂性好__指节省时间； 空间复杂性好__指节省存储量。
通过数值实验证明算法行之有效.
构造数值算法主要手段
采用“近似替代”方法→逼近 采用“构造性”方法 采用“离散化”方法
把求连续变量的问题转化为求离散变量的问题 采用“递推化”方法
20 世纪最伟大的科学技术发明---计算机 计算机是对人脑的模拟，它强化了人的思维智能； 软件的核心就是算法。 算法犹如乐谱， 软件犹如CD盘片， 而硬件如同CD唱机。
“什么是数值计算方法？”
数值计算方法是计算数学的一个主要组成部分. 数值计算方法又称计算方法或数值分析，是一门 与计算机应用密切结合的实用性很强的数学课程， 它专门研究各种数学问题的一类近似解法——数 值方法，即从一组原始数据（如模型中的某些参 数）出发，按照确定的运算规则进行有限步运算， 最终获得数学问题数值形式的满足精度要求的近 似解。
2、相对误差与相对误差限
定义：设 x是准确值，x是* 近似值，e是* 近似值的误差，
称
e* x x*
xx
一般情况下是不知道 的，怎么办？
为近似值 x的* 相对误差，记作 e，r*
通常取
er*
e* x*
x x* x*
事实上，当
er*
较e* 小时
x*
e* e* e* x x*
复杂的计算归结为简单过程的多次重复，易 于用循环结构来实现（迭代法）。 采用各种搜索方法
如何学好数值计算方法？
1. 认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本 任务，主动适应“公式多”的特点；
2. 注重各章建立算法的问题的提法，搞清问题的基 本提法，逐步深入；
3. 理解每个算法建立的数学背景，数学原理和基本 线索，对最基本的算法要非常熟悉；
1 2(x1 1)
10(n1)
(x1
1) 10m1
1 2
10mn
由有效数字定义可知,x*具有n位有效数字。证毕
例8: 要使 20的相对误差不超过0.1%，应取 几位至少有效数字？
解: 20的首位数是 a1 4.
就可以知道 x 的范围为
x* x x*
即 x 落在 x* , x* 内。
在应用上，常常采用下列写法来刻划 x的* 精度。
x x*
例1 设x ==3.1415926… 近似值x*=3.14,它的绝 对误差是 0.001 592 6…，有
x-x*=0.0015926… 0.002=0.210-2 例2 又近似值x* =3.1416，它的绝对误差是
2
定义 :' 若近似值 x的* 误差限是某一位的半个单位,
该位到x的* 左边第一位非零数字共有 n位,
就说 x有* 位n有效数字。 一般来说，
x* a1 101 a2 102 an 10n m *
其中，a1是1到9中的一个数字；a2是 an
0到9中一个数字；m为整数，且
x x* 1 10mn 2