八年级数学课件 全等三角形复习
合集下载
人教版八年级上册 12.2 三角形全等的判定 复习课课件 (共38张PPT)
B
证明：连接AD， ∵AC=DC
∴∠CAD= ∠CDA
同理， ∠BAD= ∠BDA
∴ ∠BAC= ∠BDC
∵ AC=DC
∠A= ∠D
AB=DB
∴△ABC≌ △DBC（SAS）
A C
如图所示，
△ABC≌△DBC ，那么 B 边边边定理得证。
三角形的判定定理四
D
在两个三角形中，
如果有三条边相等，
AC=DC
求证：OE=OF 证明 在△AOB和△COD中
E
A
B
OB=OD
∠AOB=∠COD
O
OA=OC ∴△AOB≌△COD （SAS） ∴∠B=∠D （全等三角形的对应角相等） D 在△BOE和△DOF中
∠B=∠D
C F
OB=OD ∠BOE=∠COF ∴△BOE≌△DOF （ASA） ∴OE=OF （全等三角形的对应边相等）
1、如右图：已知，∠ABE=∠CBD, ∠BCE=∠DBA,EC=AD 求证：AB=BE,BC=DB
2、如右图：已知，AD, EF,BC交于O，且AO=OD，BO=OC， EO=OF 求证：△AEB≌△DFC
全等三角形的判定（三）
AAS（角角边定理）
定理的引入:
如图在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，
那么这两个三角形全 等。
AB=DB
△ABC≌ △DBC（SSS）
BC=BC
例1：如图，已知AB=CD，BC=DA。
说出下列判断成立的理由： （1）△ABC≌△CDA A
D
（2）∠B=∠D
解（1）在△ABC和△CDA中 B
C
AB=CD（已知）
BC=DA（已知）
AC=CA（公共边）
人教版数学八年级上册复习课件：第12章《全等三角形》
三个角对应相等的两个三角形全等吗？
三个角对应相等的两个三角形不一定全等
两边和其中一边的对角对应相等的两 个三角形全等吗？
A
\
==
B
D
C
两边和其中一边的对角对应相等的两
个三角形不一定全等
找第三边 (SSS) （1）：已知两边----
找夹角 （SAS)
已知一边和它的邻角 (2):已知一边一角---
A
D
E
F
B
C
已知，如图,AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线 上的一点,试说明:BF=CF.
证明：在△ABD和△ACD中
AB=AC
BD=CD
AD=AD ∴ △ABD≌ △ACD(SSS) ∴∠BAD= ∠CAD又∵F是AD延长线上 一点，∴∠BAF= ∠CAF 在△ABF和△ACF中
AB=AC ∠BAF= ∠CAF
（3）要记住“有三个角对应相等”或“有两边 及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一 定全等；
（4）时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共 角” 、“公共边”、“对顶角”
学而不思则罔
回
头
一
看
你有哪些收获呢？
， 我
与大家共分享！
想
说
…
课后作业
合
作
学 习 ‘
请同学们回去后自 己找几个你认为与
乐
本章有关的题目与
已知一边和它的对角
找这边的另一个邻角(ASA) 找这个角的另一个边(SAS) 找这边的对角 (AAS)
找一角(AAS)
(3):已知两角---
找两角的夹边(ASA) 找夹边外的任意边(AAS)
已知:如图∠B=∠DEF,BC=EF,补充条件 求证:ΔABC≌ ΔDEF (1)若要以“SAS”为依据，还缺条件 ＿AB＿=＿DE＿＿； (2) 若要以“ASA”为依据，还缺条件∠＿A＿CB＿= ∠＿D；FE
人教版八年级上册数学12.2三角形全等的判定第4课时用“HL”判定直角三角形全等课件
只需找除直角外的两个条件即可 （两个条件中至少有一个是一对 边相等）
课后作业
➢ 从课后习题中选取 ➢ 完成练习册本课时的习题
归纳：两个三角形全等判定思路
已知条件
可选择的 判定方法
寻找条件
一边和 一 它的邻 边角 一
角
一边和
它的对
角
ASA SAS AAS AAS HL
找这条边的另一个邻角
找这个角的另一边
找这条边的对角 找另外任意一个角 看这个角是否是直角， 若是，找任意一条直角边
随堂演练
1. 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∠C′=∠C=90°，∠B′=∠A，AB = B′A′，则下列 结论正确的是（ C ）
方法总结
证明线段相等可通过证明三角形全 等解决，作为“HL”公理就是直角 三角形独有的判定方法.所以直角三 角形的判定方法最多，使用时应该 抓住“直角”这个隐含的已知条件.
归纳：两个三角形全等判定思路
已知条件 两边 两角
可选择的 判定方法
SSS SAS HL ASA
AAS
寻找条件
找第三边 找两边的夹角 看是否是直角三角形 找两角的夹边 找任意一角的对边
C
B
O
E
D
A
拓展延伸
如图，有一Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC ＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在线段AC 上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动 到AC上什么位置时Rt △ABC才能和Rt △APQ全等？
拓展延伸
【分析】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角， 由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此 要分类讨论，以免漏解． （1）Rt△ABC≌Rt△QPA （2）Rt△ABC≌Rt△PQA
课后作业
➢ 从课后习题中选取 ➢ 完成练习册本课时的习题
归纳：两个三角形全等判定思路
已知条件
可选择的 判定方法
寻找条件
一边和 一 它的邻 边角 一
角
一边和
它的对
角
ASA SAS AAS AAS HL
找这条边的另一个邻角
找这个角的另一边
找这条边的对角 找另外任意一个角 看这个角是否是直角， 若是，找任意一条直角边
随堂演练
1. 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∠C′=∠C=90°，∠B′=∠A，AB = B′A′，则下列 结论正确的是（ C ）
方法总结
证明线段相等可通过证明三角形全 等解决，作为“HL”公理就是直角 三角形独有的判定方法.所以直角三 角形的判定方法最多，使用时应该 抓住“直角”这个隐含的已知条件.
归纳：两个三角形全等判定思路
已知条件 两边 两角
可选择的 判定方法
SSS SAS HL ASA
AAS
寻找条件
找第三边 找两边的夹角 看是否是直角三角形 找两角的夹边 找任意一角的对边
C
B
O
E
D
A
拓展延伸
如图，有一Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC ＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在线段AC 上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动 到AC上什么位置时Rt △ABC才能和Rt △APQ全等？
拓展延伸
【分析】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角， 由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此 要分类讨论，以免漏解． （1）Rt△ABC≌Rt△QPA （2）Rt△ABC≌Rt△PQA
三角形全等的判定(复习)
（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 （2）：全等三角形的周长相等、面积相等。 （3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
SSS、SAS、ASA、AAS、HL(RT△)
方法指引
证明两个三角形全等的基本思路：
（1）：已知两边----
找第三边
(SSS)
找夹角
（SAS)
例3：如图，OB⊥AB,OC⊥AC,垂足为B,C,OB=OC AO平分∠BAC吗？为什么？
O
C
B
A
答： AO平分∠BAC
理由：∵ OB⊥AB,OC⊥AC ∴ ∠B=∠C=90° 在Rt△ABO和Rt△ACO中 OB=OC AO=AO ∴ Rt△ABO≌Rt△ACO （HL） ∴ ∠BAO=∠CAO ∴ AO平分∠BAC
E
C
A
B
2
1
D
(2)怎样变换△ABC和△AED中的一个位置,可使它们重合?
(3)观察△ABC和△AED中对应边有怎样的位置关系?
例6：如图所示，AB与CD相交于点O, ∠A=∠B，OA=OB 添加条件 所以 △AOC≌△BOD 理由是
A
O
D
C
B
∠C=∠D
∠AOC=∠BOD
图6
知识应用：
1.已知△ABC和△DEF,下列条件中,不能保证△ABC和△DEF全等的是( ) AB=DE,AC=DF,BC=EF ∠A= ∠ D, ∠ B= ∠ E,AC=DF C.AB=DE,AC=DF, ∠A= ∠D D.AB=DE,BC=EF, ∠ C= ∠ F
F
E
D
C
B
A
例9：如图，已知AC∥EF,DE∥BA,若使△ABC≌△EDF,还需要补 充的条件可以是
SSS、SAS、ASA、AAS、HL(RT△)
方法指引
证明两个三角形全等的基本思路：
（1）：已知两边----
找第三边
(SSS)
找夹角
（SAS)
例3：如图，OB⊥AB,OC⊥AC,垂足为B,C,OB=OC AO平分∠BAC吗？为什么？
O
C
B
A
答： AO平分∠BAC
理由：∵ OB⊥AB,OC⊥AC ∴ ∠B=∠C=90° 在Rt△ABO和Rt△ACO中 OB=OC AO=AO ∴ Rt△ABO≌Rt△ACO （HL） ∴ ∠BAO=∠CAO ∴ AO平分∠BAC
E
C
A
B
2
1
D
(2)怎样变换△ABC和△AED中的一个位置,可使它们重合?
(3)观察△ABC和△AED中对应边有怎样的位置关系?
例6：如图所示，AB与CD相交于点O, ∠A=∠B，OA=OB 添加条件 所以 △AOC≌△BOD 理由是
A
O
D
C
B
∠C=∠D
∠AOC=∠BOD
图6
知识应用：
1.已知△ABC和△DEF,下列条件中,不能保证△ABC和△DEF全等的是( ) AB=DE,AC=DF,BC=EF ∠A= ∠ D, ∠ B= ∠ E,AC=DF C.AB=DE,AC=DF, ∠A= ∠D D.AB=DE,BC=EF, ∠ C= ∠ F
F
E
D
C
B
A
例9：如图，已知AC∥EF,DE∥BA,若使△ABC≌△EDF,还需要补 充的条件可以是
人教版初中八年级上册数学-期末复习 第12章全等三角形 课件(共48张PPT)
的依据是_H__L_.
第3题
4．如图，AO＝BO，下列条件不能判定△AOD≌△BOC 的是( B )
A．OC＝OD C． ∠A＝∠B
第4题 B．AD＝BC D．∠C＝∠D
【考点 3】角平分线的性质和判定 5．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，AB＝6，CD
＝2，则点 D 到 AB 的距离是_2_，△ABD 的面积是_6_.
用 HL 证 Rt△ABC≌Rt△DEC. 得 ∠A＝∠D， 从而 AB∥DE.
10．如图，在△ABC 和△DEF 中，下面有四个条件，请你在其中 选 3 个作为题设，余下的 1 个作为结论，写一个真命题，并加 以证明. ① AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE ＝CF.
题设：①③④；结论：② 证明提示：BC＝BE＋EC＝CF＋EC＝EF. 用 SAS 证明△ABC≌△DEF，从而 AC＝DF.
证明：(1)如图，连接 AF， ∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE， ∵∠ACB＝∠AEF＝90°，AF＝AF， ∴Rt△ACF≌Rt△AEF， ∴CF＝EF.∴BF＋EF＝BF＋CF＝BC， ∴BF＋EF＝DE；
(2)如图，DE＝BF－EF，理由是： 连接 AF，∵Rt△ABC≌Rt△ADE， ∴AC＝AE，BC＝DE， ∵∠E＝∠ACF＝90°，AF＝AF， ∴Rt△ACF≌Rt△AEF，∴CF＝EF， ∴DE＝BC＝BF－FC＝BF－EF，即 DE＝BF－EF.
24．已知 Rt△ABC≌Rt△ADE，其中∠ACB＝∠AED＝90°. (1)将这两个三角形按图①方式摆放，使点 E 落在 AB 上，DE 的延长线交 BC 于点 F.求证：BE＋EF＝DE； (2)改变△ADE 的位置，使 DE 交 BC 的延长线于点 F(如图②)， 写出此时 BF、EF 与 DE 之间的等量关系，并说明理由．
第3题
4．如图，AO＝BO，下列条件不能判定△AOD≌△BOC 的是( B )
A．OC＝OD C． ∠A＝∠B
第4题 B．AD＝BC D．∠C＝∠D
【考点 3】角平分线的性质和判定 5．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，AB＝6，CD
＝2，则点 D 到 AB 的距离是_2_，△ABD 的面积是_6_.
用 HL 证 Rt△ABC≌Rt△DEC. 得 ∠A＝∠D， 从而 AB∥DE.
10．如图，在△ABC 和△DEF 中，下面有四个条件，请你在其中 选 3 个作为题设，余下的 1 个作为结论，写一个真命题，并加 以证明. ① AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE ＝CF.
题设：①③④；结论：② 证明提示：BC＝BE＋EC＝CF＋EC＝EF. 用 SAS 证明△ABC≌△DEF，从而 AC＝DF.
证明：(1)如图，连接 AF， ∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE， ∵∠ACB＝∠AEF＝90°，AF＝AF， ∴Rt△ACF≌Rt△AEF， ∴CF＝EF.∴BF＋EF＝BF＋CF＝BC， ∴BF＋EF＝DE；
(2)如图，DE＝BF－EF，理由是： 连接 AF，∵Rt△ABC≌Rt△ADE， ∴AC＝AE，BC＝DE， ∵∠E＝∠ACF＝90°，AF＝AF， ∴Rt△ACF≌Rt△AEF，∴CF＝EF， ∴DE＝BC＝BF－FC＝BF－EF，即 DE＝BF－EF.
24．已知 Rt△ABC≌Rt△ADE，其中∠ACB＝∠AED＝90°. (1)将这两个三角形按图①方式摆放，使点 E 落在 AB 上，DE 的延长线交 BC 于点 F.求证：BE＋EF＝DE； (2)改变△ADE 的位置，使 DE 交 BC 的延长线于点 F(如图②)， 写出此时 BF、EF 与 DE 之间的等量关系，并说明理由．
人教版数学八年级上册第十二章 全等三角形复习课件-课件
求证： ∠ABC=∠DCB.
A
D
B
C
【证明】 取AD,BC的中点N,M，
连接BN,CN，MN,则有AN=DN,BM=CM.
A ND
在△ABN和△DCN中，
AN=DN，
∠A= ∠D， AB=CD，
B
C
M
∴ △ABN ≌ △DCN(SAS).∴ ∠ABN = ∠ DCN, NB=NC.
在△NBM和△NCM中，
•
【证明】 ∵CE⊥AD, ∴ ∠AGE=∠AGC=90 °.
在△AGE和△AGC中，
∠AGE=∠AGC， AG=AG， ∠EAG=∠CAG， ∴ △AGE ≌ △AGC(ASA)， ∴ GE =GC. 在△DGE和△DGC中，
D
C
EG=CG， ∠ EGD= ∠ CGD=90 °，
DG=DG. ∴ △DGE ≌ △DGC(SAS). ∴ ∠DEG = ∠ DCG.
【证明】 ∵AO平分∠BAC，CD⊥AB于点D，
A
BE⊥AC于点E, ∴OD=OE， ∠ODB=
∠OEC=90 °. 在△BOD和△COE中， ∠ODB= ∠OEC=90 °，
D
E
O
OD=OE， ∠DOB= ∠EOC，
B
C
∴ △BOD ≌ △COE(ASA)，∴OB=OC.
专题二 证明角相等
【例2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交
判 定 一般三角形 SSS,SAS,ASA,AAS
直角三角形 除上述判定方法之外，还
有“HL”
角平分线的性质定理
角平分线的判定定理
专题复习
专题一 证明线段相等
【例1】如图，点D、E分别在线段AB、AC上，已知AD=AE, ∠B= ∠C,H为线段BE、CD的交点，求证：BH=CH.
人教版八年级数学上册 第12章全等三角形复习课
△ABC绕点C旋转一定角度 （大于零度而小于六十度）， 以上的结论海成立吗？
∴ BE=AD
5：如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？
C
3
AE
1 2
4
D
解：AC=AD
B
理由：在△EBC和△EBD中
∠1=∠2 ∠3=∠4 EB=EB ∴ △EBC≌△EBD (AAS) ∴ BC=BD 在△ABC和△ABD中 AB=AB ∠1=∠2 BC=BD ∴ △ABC≌△ABD (SAS) ∴ AC=AD
第12章 全等三角形 复习课
全章知识结构图
三角形全等 （全等的判定）
S.S.S. S.A.S. A.S.A. A.A.S. H.L.（RtΔ）
图形的全等
命题与证明（定义、 命题、公理、定理）
——证明
基本作图
画线段
画角 画垂线 画垂直平分线 画角平分线
一.全等三角形：
1.什么是全等三角形？一个三角形经过 哪些变化可以得到它的全等形？
3.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、
BE并延长AE交BC的延长线于点F，给出下列5个
关系式：：①AD∥BC，②，DE=EC③∠1=∠2，
④∠3=∠4，⑤AD+BC=AB。将其中三个关系式作
为已知，另外两个作为结论，构成正确的命题。
请用序号写出两个正确的命题：（书写形式：
如果……那么……）（1）
(1)定义（重合）法；
解题 (2)SSS；
中常 (3)SAS；
不包括其它形
用的 4种
(4)ASA；
状的三角形
方法 (5)AAS.
直角三角形 全等特有的条件：HL.
∴ BE=AD
5：如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？
C
3
AE
1 2
4
D
解：AC=AD
B
理由：在△EBC和△EBD中
∠1=∠2 ∠3=∠4 EB=EB ∴ △EBC≌△EBD (AAS) ∴ BC=BD 在△ABC和△ABD中 AB=AB ∠1=∠2 BC=BD ∴ △ABC≌△ABD (SAS) ∴ AC=AD
第12章 全等三角形 复习课
全章知识结构图
三角形全等 （全等的判定）
S.S.S. S.A.S. A.S.A. A.A.S. H.L.（RtΔ）
图形的全等
命题与证明（定义、 命题、公理、定理）
——证明
基本作图
画线段
画角 画垂线 画垂直平分线 画角平分线
一.全等三角形：
1.什么是全等三角形？一个三角形经过 哪些变化可以得到它的全等形？
3.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、
BE并延长AE交BC的延长线于点F，给出下列5个
关系式：：①AD∥BC，②，DE=EC③∠1=∠2，
④∠3=∠4，⑤AD+BC=AB。将其中三个关系式作
为已知，另外两个作为结论，构成正确的命题。
请用序号写出两个正确的命题：（书写形式：
如果……那么……）（1）
(1)定义（重合）法；
解题 (2)SSS；
中常 (3)SAS；
不包括其它形
用的 4种
(4)ASA；
状的三角形
方法 (5)AAS.
直角三角形 全等特有的条件：HL.
新人教版八年级数学 全等三角形复习课件人教版
G M
H
FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）. ∴FG＝FH（等量代换） ∴点F在∠DAE的平分线上
11.如图，在R△ABC中，∠ACB=45度 ，∠BAC=90度，AB=AC，点D是AB的 中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC 交AF的延长线于E，求证：BC垂直且 平分DE.
E 证明： ∵ △ABC和△ECD都是等边三角形 ∴ AC=BC DC=EC ∠BCA=∠DCE=60° B ∴ ∠BCA+∠ACE=∠DCE+ ∠ACE 即∠BCE=∠DCA 在△ACD和△BCE中 AC=BC ∠BCE=∠DCA DC=EC ∴ △ACD≌△BCE (SAS) C D A
∴ BE=AD
边为角的对边 找任一角 AAS 找夹角的另一边 SAS ② 已知一边一角 边为角的邻边 找边的对角 AAS
找夹边 ASA ③已知两角 找任一边 AAS 找夹角的另一角 ASA
二.角的平分线： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平 分线上 (已知） ∴ QD＝QE（角的平分线上的点到角的两
12.已知：如图：在△ABC中，BE、CF 分别是AC、AB两边上的高，在BE上 截取BD=AC，在CF的延长线上截取 CG=AB，连结AD、AG。 求证：△ ADG 为等腰直角三角形。
A G F D H C E
B
13.已知：如图21，AD平分 ∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于 F，DB=DC， 求证：EB=FC
A
B
D
C
E
7.如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA， CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。
华东师大版数学八年级上册第13章全等三角形复习(课件)
归纳：在等腰三角形中，
① 顶角+2×底角=180°
④ 0°＜顶角＜180°
② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2
⑤ 0°＜底角＜90°
4.已知：如图， 在△ABC中， AB=AC。D是BC边上的中 点，∠B=300，求：（1）∠ADC的大小；（2）∠1的大小。
A
解：（1） ∵AB=AC，BD=CD（已知）
∴AB⊥BC（三线合一） ∴∠ADC=∠ADB= 90°
B
D
C
（2）∵∠1+∠B+∠ADB=180°(三角形内角和定理)
∵ ∠B=30°(已知)
∴∠1=1800-∠B-∠ADB（等式的性质）。
=1800-30°-90°=60°
5.如图，AB∥CD，∠1=∠2，
求证：：AB=AC
A
分析：
要证AB=AC，
证明△CDF≌△BEF。
M
利用角平分线的判定定理说明结论。 C
D
F
A
EB
N
2.△ABC中，AB＞AC ，∠A的平分线与 BC的垂直平分线DM相交于D，过D作DE ⊥AB于E，作DF⊥AC于F，求证：BE=CF。
A
提示：
连接BD、CD，利用线段的垂
直平分线的性质可得BD=CD；
C
利用角平分线的性质证明
B
可设法证明∠B=∠2 ，
D
12
C
而∠1=∠2 ，
你能写出证明过程吗？
因此只要证明∠B=∠2 ，
而已知AB∥CD，从而可证。
复习时间：2分钟 复习方法：独立看书，独立思考。 复习要求：能熟练说出尺规作图的作法。
1.如图是求作已知线段的中点的尺规作图， 把作法补充完整：
① 顶角+2×底角=180°
④ 0°＜顶角＜180°
② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2
⑤ 0°＜底角＜90°
4.已知：如图， 在△ABC中， AB=AC。D是BC边上的中 点，∠B=300，求：（1）∠ADC的大小；（2）∠1的大小。
A
解：（1） ∵AB=AC，BD=CD（已知）
∴AB⊥BC（三线合一） ∴∠ADC=∠ADB= 90°
B
D
C
（2）∵∠1+∠B+∠ADB=180°(三角形内角和定理)
∵ ∠B=30°(已知)
∴∠1=1800-∠B-∠ADB（等式的性质）。
=1800-30°-90°=60°
5.如图，AB∥CD，∠1=∠2，
求证：：AB=AC
A
分析：
要证AB=AC，
证明△CDF≌△BEF。
M
利用角平分线的判定定理说明结论。 C
D
F
A
EB
N
2.△ABC中，AB＞AC ，∠A的平分线与 BC的垂直平分线DM相交于D，过D作DE ⊥AB于E，作DF⊥AC于F，求证：BE=CF。
A
提示：
连接BD、CD，利用线段的垂
直平分线的性质可得BD=CD；
C
利用角平分线的性质证明
B
可设法证明∠B=∠2 ，
D
12
C
而∠1=∠2 ，
你能写出证明过程吗？
因此只要证明∠B=∠2 ，
而已知AB∥CD，从而可证。
复习时间：2分钟 复习方法：独立看书，独立思考。 复习要求：能熟练说出尺规作图的作法。
1.如图是求作已知线段的中点的尺规作图， 把作法补充完整：
人教版八年级上册数学《三角形全等的判定》全等三角形说课复习
在直角三角形中。
只须找除直角外的两个条件即可（两个条 件中至少有一个条件是一对对应边相等)。
谢谢
三角形全等的判定 第1课时
课件
人教版 初中数学
情景引入
一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如 图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复 原来三角形的原貌吗？
学习目 标
1．理解判定三角形全等的“边角边”条件．
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）
几何语言：
B
∵∠C=∠C′=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
A
C
AB=A′B′，
B′
BC=B′C′，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)。
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
放到Rt△ABC上，它们全等吗？ A
B
C
探究验证
N
A
A′
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/jianli/
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
B
C
M B′
C′
作法：
（1）画∠MC'N=90°； （2）在射线C'M上截取B'C'=BC；
只须找除直角外的两个条件即可（两个条 件中至少有一个条件是一对对应边相等)。
谢谢
三角形全等的判定 第1课时
课件
人教版 初中数学
情景引入
一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如 图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复 原来三角形的原貌吗？
学习目 标
1．理解判定三角形全等的“边角边”条件．
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）
几何语言：
B
∵∠C=∠C′=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
A
C
AB=A′B′，
B′
BC=B′C′，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)。
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
放到Rt△ABC上，它们全等吗？ A
B
C
探究验证
N
A
A′
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/jianli/
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
B
C
M B′
C′
作法：
（1）画∠MC'N=90°； （2）在射线C'M上截取B'C'=BC；
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形章末复习课件共58张
章末复习
例3 如图12-Z-7, 在△ABC和△DEF中, 点B,E, C, F在同一直线上, 下面 有四个条件, 请你从中选三个作为题设, 余下的一个作为结论, 写出 一个正确的命题, 并加以证明. ①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF.
章末复习
分析
条件 结论 是否正确
章末复习
例2 如图12-Z-4, ∠B=∠C=90°, E是BC的中点, DE平分∠ADC. 求证：AD=AB+CD.
章末复习
分析
角平分线 的性质
作EF⊥AD
EC=EF
E是BC的中点
EF=EB Rt△AFE≌Rt△ABE
AF=AB
CD=DF
AD=AB+CD
同理
章末复习
证明：如图 12-Z-4, 过点 E 作 EF⊥AD 于点 F. ∵∠C=90°, DE 平分∠ADC, ∴EC=EF. ∵E 是 BC 的中点, ∴EC=EB, ∴EF=EB. 在 Rt△AFE 与 Rt△ABE 中, AE=AE, EF=EB, ∴Rt△AFE≌Rt△ABE,∴AF=AB. 同理可得 FD=CD, ∴AD=AF+FD=AB+CD.
全等三角 形的性质
应用
角的平 分线
全等三角形
章末复习
全等三 角形
角的平 分线
全等三角形
边边边(SSS)
一般三 角形
直角三 角形
性质
边角边(SAS) 角边角(ASA) 角角边(AAS)
角的平分线上 的点到角的两 边的距离相等
SSS, SAS, ASA, AAS
HL(只适用于判定两 个直角三角形全等)
∴△AOD≌△BOC(SAS)．
沪科版数学八年级上册14.2.6全等三角形判定方法的综合运用课件(共19张PPT)
又∵AE＝DF，∴OD＋DF＝OA＋AE，即OF＝OE，在△COF和△BOE中， OC＝OB， ∠1＝∠2， OF＝OE，∴△COF≌△BOE(SAS)∴∠F＝∠E，∴EB∥CF.
旋转90°型三角形全等的证明
△ABC和△EAD都是等腰直角三角形，且B、C、D在同一直线上．求证：EC⊥BD.
仿例
△ABC为等腰直角三角形，CD⊥AB于点D，点E、F分别在AC、BC上，若DE⊥DF，求证：AE＝CF .
分析：由图观察，△ADE与△CDF为旋转90°关系．
证明：∵△ACB为等腰直角三角形，∴CA＝CB，∴∠A＝∠B＝45°.又∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠A＝∠ACD＝45°，∴DA＝DC.∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，∴∠EDC＋∠CDF＝90°.又∵∠ADE＋∠EDC＝90°∴∠ADE＝∠CDF，
典例
证明：∵△ABC和△EAD为等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠AEC＝∠ADB， 又∠AHE＝∠CHD， ∴∠EAH＝∠HCD＝90°，∴EC⊥BD.
第十四章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定14.2.6 全等三角形判定方法的综合运用
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.掌握全等三角形判定和性质的综合运用；2.运用综合分析法解决全等三角形的相关问题.
掌握全等三角形判定和性质的综合运用
运用综合分析法解决全等三角形的相关问题
回顾复习
判定两个三角形全等除了定义以外，我们还学习了哪些方法？
在△AED和△AEB中， AE＝AE， ∠AED＝∠AEB， DE＝BE，∴△AED≌△AEB (SAS)
旋转90°型三角形全等的证明
△ABC和△EAD都是等腰直角三角形，且B、C、D在同一直线上．求证：EC⊥BD.
仿例
△ABC为等腰直角三角形，CD⊥AB于点D，点E、F分别在AC、BC上，若DE⊥DF，求证：AE＝CF .
分析：由图观察，△ADE与△CDF为旋转90°关系．
证明：∵△ACB为等腰直角三角形，∴CA＝CB，∴∠A＝∠B＝45°.又∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠A＝∠ACD＝45°，∴DA＝DC.∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，∴∠EDC＋∠CDF＝90°.又∵∠ADE＋∠EDC＝90°∴∠ADE＝∠CDF，
典例
证明：∵△ABC和△EAD为等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠AEC＝∠ADB， 又∠AHE＝∠CHD， ∴∠EAH＝∠HCD＝90°，∴EC⊥BD.
第十四章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定14.2.6 全等三角形判定方法的综合运用
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.掌握全等三角形判定和性质的综合运用；2.运用综合分析法解决全等三角形的相关问题.
掌握全等三角形判定和性质的综合运用
运用综合分析法解决全等三角形的相关问题
回顾复习
判定两个三角形全等除了定义以外，我们还学习了哪些方法？
在△AED和△AEB中， AE＝AE， ∠AED＝∠AEB， DE＝BE，∴△AED≌△AEB (SAS)
全等三角形复习ppt课件.ppt
一、全等三角形的定义：
A
D
B
C
E
F
_能__够__完__全__重__合__的两个三角形叫做
全等三角形.记作△ABC≌△DEF
注意:对应的顶点要 写在对应的位置上
二、全等三角形的性质：
A
D
B
C
E
F
全等三角形的对应边_相__等_ 对应角_相__等_
三、全等三角形的判定方法：
判定１：边边边或SSS
A
D
AB=DE
∠B=∠E
∴△ABC≌△DEF
八年级 数学
期末总复习
判定4：角角边或AAS
A
D
B
C
E
F
在△ABC和△DEF中 ∠A=∠D
∠B=∠E
BC=EF ∴△ABC≌△DEF
八年级 数学
期末总复习
判定5：斜边、直角边或HL
A
D
B
C
E
F
在Rt△ABC和Rt△DEF中
BC=EF
AB=DE ∴Rt△ABC≌Rt△DEF
八年级 数学
期末总复习
四、角平分线的性质与判定：
性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
∵OQ平分∠AOB,QD⊥OA,QE⊥OB
∴ ____Q_D_=_Q__E____
八年级 数学
期末总复习
四、角平分线的性质与判定：
判定: 角的内部到角的两边的距离相等的点在 角的平分线上
∵QD=QE，QD⊥OA,QE⊥OB ∴ __O_Q_平__分__∠__A_O_B_
B
C
EB=DE
BC=EF
AC=DF
∴△ABC≌△DEF
八年级 数学
A
D
B
C
E
F
_能__够__完__全__重__合__的两个三角形叫做
全等三角形.记作△ABC≌△DEF
注意:对应的顶点要 写在对应的位置上
二、全等三角形的性质：
A
D
B
C
E
F
全等三角形的对应边_相__等_ 对应角_相__等_
三、全等三角形的判定方法：
判定１：边边边或SSS
A
D
AB=DE
∠B=∠E
∴△ABC≌△DEF
八年级 数学
期末总复习
判定4：角角边或AAS
A
D
B
C
E
F
在△ABC和△DEF中 ∠A=∠D
∠B=∠E
BC=EF ∴△ABC≌△DEF
八年级 数学
期末总复习
判定5：斜边、直角边或HL
A
D
B
C
E
F
在Rt△ABC和Rt△DEF中
BC=EF
AB=DE ∴Rt△ABC≌Rt△DEF
八年级 数学
期末总复习
四、角平分线的性质与判定：
性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
∵OQ平分∠AOB,QD⊥OA,QE⊥OB
∴ ____Q_D_=_Q__E____
八年级 数学
期末总复习
四、角平分线的性质与判定：
判定: 角的内部到角的两边的距离相等的点在 角的平分线上
∵QD=QE，QD⊥OA,QE⊥OB ∴ __O_Q_平__分__∠__A_O_B_
B
C
EB=DE
BC=EF
AC=DF
∴△ABC≌△DEF
八年级 数学
苏科版数学八年级上册第一章全等三角形复习课件
基本图形
类型1：平移型
模型展示
常见模型
隐含条件：平行线；重叠线段的等式性质应用转化
基本图形
类型2：轴对称型
模型展示常见模型
隐含条件：公共边，公共角，对顶角
模型说明:轴对称模型的图形，可以看成一个轴对称图形,对应角相等,对应边相等,对应图形全等.
基本图形
类型3:旋转型模型展示常见模型
隐含条件:公共边,对顶角,重叠角和重叠线段利用等式性质的转化
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
2、“角边角”或“ASA”
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
3、“角角边”或“AAS”
两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等．
4、“边边边”或“SSS”
三边分别相等的两个三角形全等。
5、“斜边、直角边”或“HL”
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
一线三等角
变：
A
B
C
A
B
C
分别根据上面所画的两幅图，猜想线段AD,BE,DE的数量关系，并证明你的猜想。
一线三等角
如图，有一直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等.
知识回顾
SSS
1、三边对应相等的两个三角形全等——SSS
2、几何语言表达：
在△ABC与△DEF中
AB=DEAC=DFBC=EF
∴△ABC≌△DEF（SSS）
知识回顾
例：
如图，AB=AC，AE=AD，BSAS
1、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等——SAS
类型1：平移型
模型展示
常见模型
隐含条件：平行线；重叠线段的等式性质应用转化
基本图形
类型2：轴对称型
模型展示常见模型
隐含条件：公共边，公共角，对顶角
模型说明:轴对称模型的图形，可以看成一个轴对称图形,对应角相等,对应边相等,对应图形全等.
基本图形
类型3:旋转型模型展示常见模型
隐含条件:公共边,对顶角,重叠角和重叠线段利用等式性质的转化
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
2、“角边角”或“ASA”
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
3、“角角边”或“AAS”
两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等．
4、“边边边”或“SSS”
三边分别相等的两个三角形全等。
5、“斜边、直角边”或“HL”
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
一线三等角
变：
A
B
C
A
B
C
分别根据上面所画的两幅图，猜想线段AD,BE,DE的数量关系，并证明你的猜想。
一线三等角
如图，有一直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等.
知识回顾
SSS
1、三边对应相等的两个三角形全等——SSS
2、几何语言表达：
在△ABC与△DEF中
AB=DEAC=DFBC=EF
∴△ABC≌△DEF（SSS）
知识回顾
例：
如图，AB=AC，AE=AD，BSAS
1、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等——SAS
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形复习课(共25张PPT)
【思维模式】在证明线段相等或角相等的题目中，通常通过证明 这两条线段或角所在的三角形全等来得到线段相等或角相等，若这 两条线段或角在不可能全等的两个三角形中，还可寻求题目中的已 知条件或图形中的隐含条件通过等量代换来达到证明全等的目的．
例3： 第一节数学课后，老师布置了一道课后练习：如图，已知在Rt△ABC中 ，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于点O．点P，D分别在AO和BC上，PB＝ PD，DE⊥AC于点E．
O，请写出图中一组相等的线段______________．
5． 如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝
_____．
20
AC＝BD或BC＝AD OD＝OC或OA＝OB．
考点3 等腰、等边三角形与全等的综合（考查频率：★★★☆☆） 命题方向：（1）等腰直角三角形与全等三角形的综合问题； （2）等边三角形与全等的综合问题．
D．1cm
例1：如图，AD是等腰直角三角形ABC的底角的平分线，∠C＝ 90°，求证：AB＝AC＋CD．
【思维模式】（1）不管是过点D作AB的垂线也 好，还是延长AC也好，实际上都是利用了角平分 线的轴对称性构造的全等三角形，得出一些相等 的线段或相等的角解决问题；（2）人教课本书 后习题给出了角平分线的另一条性质，即图中 CD∶BD＝AC∶AB，这一结论在解决很多面积有 关问题的时候，也能带来方便．
6． 如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE ＝90°，D为AB边上一点．求证：BD＝AE．
考点4 角平分线的性质与判定（考查频率：★★★☆☆） 命题方向：（1）直接考查角平分线基本图形能得到的一些基本结论；（2）角平 分线与其它知识（如中位线、等腰、垂直平分线等）的综合（后面再列举）．
例3： 第一节数学课后，老师布置了一道课后练习：如图，已知在Rt△ABC中 ，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于点O．点P，D分别在AO和BC上，PB＝ PD，DE⊥AC于点E．
O，请写出图中一组相等的线段______________．
5． 如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝
_____．
20
AC＝BD或BC＝AD OD＝OC或OA＝OB．
考点3 等腰、等边三角形与全等的综合（考查频率：★★★☆☆） 命题方向：（1）等腰直角三角形与全等三角形的综合问题； （2）等边三角形与全等的综合问题．
D．1cm
例1：如图，AD是等腰直角三角形ABC的底角的平分线，∠C＝ 90°，求证：AB＝AC＋CD．
【思维模式】（1）不管是过点D作AB的垂线也 好，还是延长AC也好，实际上都是利用了角平分 线的轴对称性构造的全等三角形，得出一些相等 的线段或相等的角解决问题；（2）人教课本书 后习题给出了角平分线的另一条性质，即图中 CD∶BD＝AC∶AB，这一结论在解决很多面积有 关问题的时候，也能带来方便．
6． 如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE ＝90°，D为AB边上一点．求证：BD＝AE．
考点4 角平分线的性质与判定（考查频率：★★★☆☆） 命题方向：（1）直接考查角平分线基本图形能得到的一些基本结论；（2）角平 分线与其它知识（如中位线、等腰、垂直平分线等）的综合（后面再列举）．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
练习
▪ 1、如图，已知AC=DB，∠ACB=∠DBC，则有 △ABC≌△ ，理由是 ，
▪ 且有∠ABCDC=B∠
，ABSA=S ；
DCB
DC
A
▪ 2、如图，已知AD平分∠BAC，
▪ 要使△ABD≌△ACD，
▪ 根据“SAS”需要添加条件
；
▪ 根据“ASA”需要添加条件AB=AC
▪ 根据“AAS”需要添加条件∠BDA=∠CDA
2、图中有哪些相等的线段？ 3、图中有哪些相等的角？
B
C
中考系列之一:全等三角形探索型问题
一、探索条件型 此类型题给出了结论，要求探索使该结论成立所具备的条件。一般地，依据三角形 全等地判定方法，补充所缺少的条件。
例改如图，已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列哪些条件 不能判定 △ABM≌△CDN
全等三角形复习
小结：判定两个三角形全等必须具备三个条件： SSS—三边对应相等的两个三角形全等 SAS—两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 ASA—两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 AAS—两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
AAA—三角对应相等的两个三角形不一定全等 SSA—两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等
一样的玻璃,那么最省事的办法是拿
(
)去配.
②
③
①
6.如图,已知AC=BD,要使得△ABC≌DCB只
需要增加一个条件是（
）
A
D
O
B
C
如图，在△ABC中，AB=AC，E、F分别为AB、AC上的点，且AE=AF， BF与CE相交于点O。
A
E
F
O
1、图中有哪些全等的三角形？ △ABF≌△ACE（SAS） △EBC≌△FCB（SSS） △EBO≌△FCO（AAS）
∠B=∠C
B
； ；A
D
C B
D C
3、如图，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上， 请你在图中再画一个顶点都在格点上的△ABC，且使△ABC≌△DEF。
A
EC
BE
C
EA
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B F D（C）
F（A）D B
F
4. 如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎
成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全
A.∠M=∠N B.AB=CD
C.AM=CN
D.∠AMB=∠NCD
M
N
A
C
B
D
二、探索结论型
此类型题给出了限定条件，但结论并不唯一，要求根据所给条件探索可能得到的结 论。
例. 如图2，AB=AD，BC=CD，AC和BD相交于E。由这些条件可以得出若干结论， 请你写出其中3个正确结论。（不要添加字母和辅助线，不要求证明） 结论1： 结论2： 结论3：
A
D
E
F
B
C
D
E
A
C
B
三、探索方案型 此类型题首先提供一个实际问题背景，按照问题的要求研究解决问题的合理方案。
四、探索编拟问题型 例. 如图，在△AFD和△BEC中，点A、E、F、C在同一直线上，有下列四个论断： ①AD=CB，②AE=CF，③∠B＝∠D，④ ∠A＝∠C.请用其中三个作为条件，余下一个 作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程。