(完整版)复数的几何意义课件(公开课)
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2024版712复数的几何意义课件
复数乘法运算几何解释
旋转角度相加
两个复数相乘时，其辐角相加，相当于在复平面上将两个向量进行旋转，旋转的角度等于两个向量辐角之 和。
伸缩因子相乘
两个复数相乘时，其模相乘，相当于在复平面上将两个向量进行伸缩，伸缩的程度等于两个向量模的乘积。
复数除法运算几何解释
旋转角度相减
两个复数相除时，其辐角相减，相当于在 复平面上将一个向量进行旋转，旋转的角 度等于被除数向量辐角减去除数向量辐角。
解题技巧总结归纳
技巧1
在解决与复数模有关的问题时， 可以运用复数模的几何意义，将 问题转化为平面几何问题进行处
理。
技巧2
在解决复数乘法运算时，可以运用 复数乘法运算法则进行计算，同时 注意化简过程中的一些特殊角度和 公式。
技巧3
在解决与复数有关的问题时，可以 灵活运用复数的代数形式和三角形 式进行转换，以便更好地解决问题。
向量的共轭
复数a+bi的共轭复数为a-bi，对应的向量为从点Z(a,b)到原点的向量。
向量的运算
复数的加、减、乘、除运算可以转化为向量的加、减、数乘、旋转等运算。
03
复数极坐标形式及转换关系
极坐标定义及性质介绍
定义
极坐标是一种二维坐标系，其中点由距离原点的长度（半径）和与正x轴的角 度（极角）确定。
复数的模与辐角
复数的模定义为 $|z| = sqrt{a^2 + b^2}$，辐角 $theta$ 由 $z$ 在复平面 上的位置确定，满足 $tan theta = frac{b}{a}$。
复数的共轭与逆
复数 $z = a + bi$ 的共轭 为 $overline{z} = a - bi$， 当 $z neq 0$ 时，其逆为 $z^{-1} = frac{a bi}{a^2 + b^2}$。
复数的几何意义课件
这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 复平面 ，x轴叫做 实轴 ， y轴叫做 虚轴 . 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应； 反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复 数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi
因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与
零向量对应)，即复数z＝a＋bi
平面向量
→ OZ
，这是复数的
另一种几何意义.
思考 (1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？
答案 不是.
(2)象限内的点与复数有何对应关系？
பைடு நூலகம்
答案 第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；
第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；
第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；
第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负.
知识点二 复数的模 1.如图所示，向量O→Z的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a
＋bi|.如果 b＝0，那么 z＝a＋bi 是一个实数 a，它的模等于|a|(就是 a 的绝 对值).由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝ a2＋b2 (r≥0，r∈R).
2.复数的模的性质，设z1，z2是任意两个复数，则 (1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|，zz12＝||zz12||(|z2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到). (2)|zn1|＝|z1|n(n∈N*). (3)|z1|－|z2|≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|时，即 z1，z2 所对应的向量同向共线； ②当||z1|－|z2||＝|z1＋z2|时，即 z1，z2 所对应的向量反向共线. (4)||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1－z2|＝|z1|＋|z2|时，即 z1，z2 所对应的向量反向共线； ②当||z1|－|z2||＝|z1－z2|时，即 z1，z2 所对应的向量同向共线.
完整版复数的几何意义课件公开课
uuur
3.复数的模及其几何意义 | z | = | OZ| ? a 2 ? b2
几何意义： 复数 z=a+bi在复平面上对应的点 Z(a,b)
到原点的距离。
课后作业：课本 P55,A 组第5 题，B组第1 题。
课题：3.1.2 复数的几何意义
情境导入：思考实数的几何意义
在几何上，我们 用什么来表示实
数?
实数可以用数轴 上的点来表示。
实数 一一对应数轴上的点
(数)
(形)
想一想
类比实数的表示，可以 用什么来表示复数？
复数的 一般形 式？
Z=a+bi(a, b∈R)
实部!
虚部!
一个复数由什 么唯一确定？
一个复数由它的实 部和 虚部唯一确定
例1 已知复数z=(m2+m-6)+(m 2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数 m取值范围。
解：由?? ?
m2 m2
? ?
m m
? ?
6 2
? ?
0 0
得???m??
3? m ?2或
?2 m?
1
? m? (?3,?2) ? (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
m＝－1.
(2) 由题意得
??m2－ m－ 2＜ 0
? ??
m
2
－
3
m
＋
2
＞
0
∴
?? ? ??
－ 1＜ m m＞ 2或
＜2 1＜ m＜ 1.
(3) 由已知得 m2－ m－ 2＝ m2－ 3m＋ 2. ∴ m＝ 2.
复数的几何意义（二）
3.复数的模及其几何意义 | z | = | OZ| ? a 2 ? b2
几何意义： 复数 z=a+bi在复平面上对应的点 Z(a,b)
到原点的距离。
课后作业：课本 P55,A 组第5 题，B组第1 题。
课题：3.1.2 复数的几何意义
情境导入：思考实数的几何意义
在几何上，我们 用什么来表示实
数?
实数可以用数轴 上的点来表示。
实数 一一对应数轴上的点
(数)
(形)
想一想
类比实数的表示，可以 用什么来表示复数？
复数的 一般形 式？
Z=a+bi(a, b∈R)
实部!
虚部!
一个复数由什 么唯一确定？
一个复数由它的实 部和 虚部唯一确定
例1 已知复数z=(m2+m-6)+(m 2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数 m取值范围。
解：由?? ?
m2 m2
? ?
m m
? ?
6 2
? ?
0 0
得???m??
3? m ?2或
?2 m?
1
? m? (?3,?2) ? (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
m＝－1.
(2) 由题意得
??m2－ m－ 2＜ 0
? ??
m
2
－
3
m
＋
2
＞
0
∴
?? ? ??
－ 1＜ m m＞ 2或
＜2 1＜ m＜ 1.
(3) 由已知得 m2－ m－ 2＝ m2－ 3m＋ 2. ∴ m＝ 2.
复数的几何意义（二）
712复数的几何意义课件
代数运算规则
加法
减法
乘法
除法
$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$
$(a + bi) - (c + di) = (a c) + (b - d)i$
$(a + bi) times (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$
$frac{a + bi}{c + di} = frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + frac{bc ad}{c^2 + d^2}i$，其中 $c^2 + d^2 neq 0$。
复数 $z = a + bi$ 的模定义 为 $|z| = sqrt{a^2 + b^2}$，辐角 $theta$ 是向 量与正实轴之间的夹角，满 足 $tan theta = frac{b}{a}$。
包括复数的加法、减法、乘 法、除法以及乘方等运算规 则。
常见误区提示
1 2
忽略虚数单位的性质 在计算过程中，学生可能会忘记 $i^2 = -1$ 这 一基本性质，从而导致计算错误。
乘法运算规则
乘法公式
对于两个复数z₁ = r₁(cosθ₁ + isinθ₁)和z₂ = r₂(cosθ₂ + isinθ₂)，它们的乘积为z₁z₂ = r₁r₂[cos(θ₁ + θ₂) + isin(θ₁ + θ₂)]。
乘法运算性质 复数在极坐标形式下的乘法运算具有“模相乘，辐角相加” 的性质。
312复数的几何意义ppt课件
设 $z_1 = a + bi neq 0$，$z_2 = c + di neq 0$，则 $frac{z_1}{z_2} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$。
02
复数在平面坐标系中表示
复平面与极坐标系简介
学科竞赛与活动
鼓励学生参加数学竞赛和 数学建模等活动，提高应 用复数解决问题的能力。
未来发展趋势预测
复数在物理学中的应用
预测复数在量子力学、电磁学等物理 学领域的应用前景和发展趋势。
复数在工程领域的应用
探讨复数在信号处理、控制系统等工 程领域的应用潜力和发展方向。
复数在计算机科学中的应用
分析复数在计算机图形学、人工智能 等领域的应用前景和挑战。
复平面
复平面是一个二维平面，其中横轴表 示复数的实部，纵轴表示复数的虚部 。这样，每个复数都可以在复平面上 找到一个对应的点。
极坐标系
极坐标系是一种二维坐标系，其中每 个点由到原点的距离（半径）和从正x 轴逆时针旋转到该点的角度（极角） 来确定。
复数在复平面上表示方法
点表示法
在复平面上，一个复数a+bi可以 表示为点(a,b)。
几何变换：旋转、伸缩和反射
旋转
在复平面上，旋转可以通过乘以 复数 $e^{itheta}$ 实现，其中 $theta$ 是旋转角度。例如，将
点 $z$ 绕原点逆时针旋转 $theta$ 角度后得到点 $ze^{itheta}$。
伸缩
伸缩可以通过乘以一个实数实现 。例如，将点 $z$ 沿着从原点到 该点的直线方向拉伸或压缩 $k$ 倍（$k > 0$）后得到点 $kz$。
复数的几何意义课件(公开课)
复数的几何意义课件(公 开课)
复数是数学中非常重要的概念之一。本课件将介绍复数的几何意义，复数的 运算规则以及在平面直角坐标系中的表示等内容。
什么是复数？
复数是由实数和虚数构成的数。其形式为a+bi，其中a是实部，b是虚部。
实数
实数是指可以表示物数是指不能表示物理量的数，其定义为i，其中 i^2=-1。
复数的加法、减法、乘法规则
复数的加法和减法遵循实部相加、虚部相加的规则。复数的乘法遵循分配律和虚数单位i的平方等于-1。
1
加法
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
2
减法
(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
3
乘法
(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
1
正弦函数
sin(θ) = 虚部 / 模
余弦函数
2
cos(θ) = 实部 / 模
3
正切函数
tan(θ) = 虚部 / 实部
复数的指数形式表示
复数可以用指数形式来表示，其中e为常数，i为虚数单位，θ为幅角。
1 公式
a+bi = |a+bi| * e^(iθ)
复数的模和共轭
复数的模表示复数到原点的距离，共轭表示虚部符号取相反数。
模
模表示复数的绝对值，记作|a+bi| = √(a^2+b^2)。
共轭
共轭是将复数的虚部取相反数，记作a-bi。
复数在平面直角坐标系中的表 示
复数可以用平面直角坐标系中的点来表示。实部表示点的横坐标，虚部表示 点的纵坐标。
复数是数学中非常重要的概念之一。本课件将介绍复数的几何意义，复数的 运算规则以及在平面直角坐标系中的表示等内容。
什么是复数？
复数是由实数和虚数构成的数。其形式为a+bi，其中a是实部，b是虚部。
实数
实数是指可以表示物数是指不能表示物理量的数，其定义为i，其中 i^2=-1。
复数的加法、减法、乘法规则
复数的加法和减法遵循实部相加、虚部相加的规则。复数的乘法遵循分配律和虚数单位i的平方等于-1。
1
加法
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
2
减法
(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
3
乘法
(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
1
正弦函数
sin(θ) = 虚部 / 模
余弦函数
2
cos(θ) = 实部 / 模
3
正切函数
tan(θ) = 虚部 / 实部
复数的指数形式表示
复数可以用指数形式来表示，其中e为常数，i为虚数单位，θ为幅角。
1 公式
a+bi = |a+bi| * e^(iθ)
复数的模和共轭
复数的模表示复数到原点的距离，共轭表示虚部符号取相反数。
模
模表示复数的绝对值，记作|a+bi| = √(a^2+b^2)。
共轭
共轭是将复数的虚部取相反数，记作a-bi。
复数在平面直角坐标系中的表 示
复数可以用平面直角坐标系中的点来表示。实部表示点的横坐标，虚部表示 点的纵坐标。
数学312《复数的几何意义》优质课课件
在交流电路中，两个同频率正弦量之间的相位之差称为相位差，它 反映了两个正弦量在时间上相互超前或滞后的关系。
相位差与复数的关联
在交流电路中，复数可以用来表示正弦量的振幅和相位，因此相位 差也可以通过复数运算来求解。
应用实例
在电力系统中，相位差的概念对于分析电网的稳定性、计算功率因数 等具有重要意义。
信号处理中频率域分析基础
灵活运用共轭复数
在求解复数问题时，共轭复数往往能起到简化计算的作用。
注意辐角的取值范围
辐角的主值一般取在(-π, π]之间，需要根据具体情况进行调整。
常见问题解答
如何判断两个复数是否相等？答
如何求解复数的模？答
两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部 分别相等。
利用模的计算公式进行计算，注意结果应 为非负数。
进行向量的合成来实现。
乘法运算
复数的乘法可以通过向量的旋转 和伸缩来实现，具体地，乘以i相 当于逆时针旋转90度，乘以-i相
当于顺时针旋转90度。
运算性质
复数的运算满足交换律、结合律 和分配律等基本性质，这些性质 在复平面中可以通过向量的运算
来体现。
模长和幅角概念引入
模长定义
复数的模长是指该复数在复平面中对应的向量的长度，记 作|z|。
频率域分析的概念
在信号处理中，将信号从时间域变换到频率域进行分析的方法称 为频率域分析。
复数在频率域分析中的作用
在频率域分析中，复数被用来表示信号的频谱，其中实部表示信号 的幅度谱，虚部表示信号的相位谱。
应用实例
在通信系统中，频率域分析被广泛应用于信号调制、解调、滤波等 处理过程中。
控制系统稳定性判断依据
幅角定义
复数的幅角是指该复数在复平面中对应的向量与正实轴之 间的夹角，记作arg(z)。
相位差与复数的关联
在交流电路中，复数可以用来表示正弦量的振幅和相位，因此相位 差也可以通过复数运算来求解。
应用实例
在电力系统中，相位差的概念对于分析电网的稳定性、计算功率因数 等具有重要意义。
信号处理中频率域分析基础
灵活运用共轭复数
在求解复数问题时，共轭复数往往能起到简化计算的作用。
注意辐角的取值范围
辐角的主值一般取在(-π, π]之间，需要根据具体情况进行调整。
常见问题解答
如何判断两个复数是否相等？答
如何求解复数的模？答
两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部 分别相等。
利用模的计算公式进行计算，注意结果应 为非负数。
进行向量的合成来实现。
乘法运算
复数的乘法可以通过向量的旋转 和伸缩来实现，具体地，乘以i相 当于逆时针旋转90度，乘以-i相
当于顺时针旋转90度。
运算性质
复数的运算满足交换律、结合律 和分配律等基本性质，这些性质 在复平面中可以通过向量的运算
来体现。
模长和幅角概念引入
模长定义
复数的模长是指该复数在复平面中对应的向量的长度，记 作|z|。
频率域分析的概念
在信号处理中，将信号从时间域变换到频率域进行分析的方法称 为频率域分析。
复数在频率域分析中的作用
在频率域分析中，复数被用来表示信号的频谱，其中实部表示信号 的幅度谱，虚部表示信号的相位谱。
应用实例
在通信系统中，频率域分析被广泛应用于信号调制、解调、滤波等 处理过程中。
控制系统稳定性判断依据
幅角定义
复数的幅角是指该复数在复平面中对应的向量与正实轴之 间的夹角，记作arg(z)。
2024版复数的几何意义课件公开课
复数运算在电路分析中的应用
利用复数运算可方便地分析交流电路中的电压、电流和功率等问题。例如，通过复数乘法可 计算电压和电流的相位差，通过复数除法可计算电路的阻抗等。
04
方程求解与根轨迹绘制
一元二次方程求解方法回顾
公式法
对于一般形式的一元二次 方程，可以使用求根公式 进行求解。
配方法
通过配方将一元二次方程 转化为完全平方形式，进 而求解。
复数的几何意义课件公开课
目录
• 复数基本概念与性质 • 复数在平面上的表示 • 几何意义探讨：旋转与伸缩变换 • 方程求解与根轨迹绘制 • 极坐标形式下复数几何意义 • 总结回顾与拓展延伸
01
复数基本概念与性质
复数定义及表示方法
复数定义
复数是实数和虚数的和，形如 $z = a + bi$，其中 $a, b$ 为实数， $i$ 为虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
周期性规律
当$n$增加时，复数的辐 角$ntheta$呈现周期性变 化，周期为$2pi$。
模长的幂次变化
复数的模长在幂运算中按 幂次变化。
几何意义在电路分析中应用
交流电路中的复数表示
在交流电路中，电压和电流可用复数表示，其中实部表示幅度，虚部表示相位。
阻抗的复数形式
电路中的阻抗可用复数表示，实部表示电阻，虚部表示电抗。
复数的模与辐角
复数的模定义为 $|z| = sqrt{a^2 + b^2}$，辐角 $theta$ 是复数向量与正实轴之间的夹角，满足 $tan theta = frac{b}{a}$。
复平面与复数的几何表示
复平面是一个二维平面，其中横轴表示实部，纵轴 表示虚部。复数 $z = a + bi$ 在复平面上对应于点 $(a, b)$。
利用复数运算可方便地分析交流电路中的电压、电流和功率等问题。例如，通过复数乘法可 计算电压和电流的相位差，通过复数除法可计算电路的阻抗等。
04
方程求解与根轨迹绘制
一元二次方程求解方法回顾
公式法
对于一般形式的一元二次 方程，可以使用求根公式 进行求解。
配方法
通过配方将一元二次方程 转化为完全平方形式，进 而求解。
复数的几何意义课件公开课
目录
• 复数基本概念与性质 • 复数在平面上的表示 • 几何意义探讨：旋转与伸缩变换 • 方程求解与根轨迹绘制 • 极坐标形式下复数几何意义 • 总结回顾与拓展延伸
01
复数基本概念与性质
复数定义及表示方法
复数定义
复数是实数和虚数的和，形如 $z = a + bi$，其中 $a, b$ 为实数， $i$ 为虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
周期性规律
当$n$增加时，复数的辐 角$ntheta$呈现周期性变 化，周期为$2pi$。
模长的幂次变化
复数的模长在幂运算中按 幂次变化。
几何意义在电路分析中应用
交流电路中的复数表示
在交流电路中，电压和电流可用复数表示，其中实部表示幅度，虚部表示相位。
阻抗的复数形式
电路中的阻抗可用复数表示，实部表示电阻，虚部表示电抗。
复数的模与辐角
复数的模定义为 $|z| = sqrt{a^2 + b^2}$，辐角 $theta$ 是复数向量与正实轴之间的夹角，满足 $tan theta = frac{b}{a}$。
复平面与复数的几何表示
复平面是一个二维平面，其中横轴表示实部，纵轴 表示虚部。复数 $z = a + bi$ 在复平面上对应于点 $(a, b)$。
复数的几何意义PPT课件
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
变式 1 ：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在 复平面内所对应的点为Z，若点Z的位置分别
m 满足下列要求，求实数 满足的条件
（1）不在实轴上； （2）在虚轴上； （3）在实轴下方；
1. z 0
2.两个复数的模可以比较大小。
3. 复数的模 的几何意义:复数z的模即为z 对应平
面向量 O Z 的模 o z ，也就是复数 z=a+bi在复平
面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。
2021
13
实数绝对值的几何意义: 复数的模 的几何意义:
实数a在数轴上所
复数 z=a+bi在复平
对应的点A到原点O的 面上对应的点Z(a,b)到
距离. a OA
|a| = |OA|
原点的距离.
x
z=a+bi
y
Z(a,b)
a(aOx
|z|=|OZ| a2 b2
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0) 思考： (1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ (2)满足|z|=5(z∈C)的这z些值复有几个数？对应的点在
（4）在直线 x3y0上；
解：（1）m2 m且 1
（2） m2 且 m3
（3）2m1
（4）m0或 m2
2021
复数几何意义ppt课件
加强实践应用能力
通过解决实际问题，提高复数 几何意义的应用能力和技巧。
关注前沿研究动态
关注复数在科学研究和技术应 用中的最新进展和趋势。
THANKS
感谢观看
利用欧拉公式求解三角恒等式问题
将三角恒等式转化为复数形式
01
利用欧拉公式，将三角恒等式中的三角函数转化为复数形式，
从而简化问题。
利用复数性质进行化简
02
利用复数的性质，如共轭复数、模长等，对转化后的复数进行
化简。
转化回三角恒等式形式
03
将化简后的复数形式转化回三角恒等式形式，得到问题的答案
。
典型例题分析与解答
例题2
已知点P的坐标和平移向量，求点P平移后的新坐标。
典型例题分析与解答
解答
将点P的坐标表示为复数形式，然后将平移向量的横纵坐标分别加到复数的实部和虚部上 ，得到新的复数坐标，再转换回平面直角坐标系中的坐标形式。
例题3
已知正方形ABCD的四个顶点坐标和缩放因子k，求正方形ABCD缩放后的新坐标。
解答
几何变换类型及特点
平移变换
图形在平面内沿某一方向 移动一定的距离，不改变 图形的形状和大小。
旋转变换
图形绕某一点旋转一定的 角度，不改变图形的形状 和大小，只改变图形的位 置和方向。
缩放变换
图形的大小发生变化，形 状不变，通过改变图形的 比例尺来实现。
利用复数实现平移、旋转和缩放操作
平移操作
通过复数加法实现，将复数的实部和虚部分别加上平移向量的横 纵坐标。
表示方法
复数通常用代数形式$z=a+bi$表 示，其中$a$称为实部，$b$称为 虚部。此外，还有三角形式、指 数形式等表示方法。
(完整版)3.1.2《复数的几何意义》ppt课件
模，记做 z 或 a bi
z=a+bi
Z(a,b)
如何求复数
的模？？
a
y b
ox
uuur z OZ a2 b2
复数的模的几何意义：
复数z=a+bi在复平面所对应的点Z（a，b）到原点 的距离
例4、已知复数z 1=3+2i，z2=-2+4i，比较这两
个复数模的大小
解：Q z1 13, z2 2 5 z1 z2
解：m2 m m 020来自,得m m
2或m 0
1
m 1,
一种重要的数学思想：数形结合思想
二、复数的向量表示
z=a+bi Z(a,b)
a
y b
ox
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
uuur 一一对应
平面向量 OZ
三、复数的摸
uuur
向量 OZ 的模叫做复数z=a+bi的
练习：已知复数 z k 3i, (k R) 的模为
5，求k的值
解：z k 2 9 5, k 2 16 k 4
实数 (数)
一一对应
数轴上的点 (形)
实数的几何模型:
01
x
注:规定了正方向，原点，单位长度的直线叫做数轴.
由复数相等的内涵可知,任何一个复数 z a bi(a,bR) ，都可以与一个有序数对 (a,b) 唯一确定。 因为有序数对(a,b) 与平面直角坐标系中的点一一对应，所以 复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应的关系.
有序实数对(a,b)
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
z=a+bi
Z(a,b)
如何求复数
的模？？
a
y b
ox
uuur z OZ a2 b2
复数的模的几何意义：
复数z=a+bi在复平面所对应的点Z（a，b）到原点 的距离
例4、已知复数z 1=3+2i，z2=-2+4i，比较这两
个复数模的大小
解：Q z1 13, z2 2 5 z1 z2
解：m2 m m 020来自,得m m
2或m 0
1
m 1,
一种重要的数学思想：数形结合思想
二、复数的向量表示
z=a+bi Z(a,b)
a
y b
ox
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
uuur 一一对应
平面向量 OZ
三、复数的摸
uuur
向量 OZ 的模叫做复数z=a+bi的
练习：已知复数 z k 3i, (k R) 的模为
5，求k的值
解：z k 2 9 5, k 2 16 k 4
实数 (数)
一一对应
数轴上的点 (形)
实数的几何模型:
01
x
注:规定了正方向，原点，单位长度的直线叫做数轴.
由复数相等的内涵可知,任何一个复数 z a bi(a,bR) ，都可以与一个有序数对 (a,b) 唯一确定。 因为有序数对(a,b) 与平面直角坐标系中的点一一对应，所以 复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应的关系.
有序实数对(a,b)
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
复数的几何意义ppt课件(公开课)
阻抗
在交流电路中，电阻、电 感和电容的阻抗可用复数 表示，实部表示电阻，虚 部表示电感和电容。
频域分析
通过傅里叶变换将时域信 号转换为频域信号，频域 信号可用复数表示。
振动与波动的复数描述
简谐振动
简谐振动的位移、速度和加速度可用复数表示，方便进行振幅、 频率和相位的计算。
波的叠加
多个波叠加时，可用复数表示各波的振幅和相位，便于计算合成 波的振幅和相位。
复数的运算与几何意
04
义
复数的加法与减法
01
02
03
加法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i$。
减法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i$。
复数的几何意义ppt课 件(公开课)
目录
• 引言 • 复数的表示方法 • 复数的几何解释 • 复数的运算与几何意义 • 复数在几何中的应用 • 复数在其他领域的应用
引言
01
复数的基本概念
01
02
03
04
定义
复数是形如 $a + bi$ 的数， 其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
实部和虚部
在复数 $a + bi$ 中，$a$ 称 为实部，$b$ 称为虚部。
共轭复数
若 $z = a + bi$，则其共轭复 数为 $a - bi$。
模
复数概念及其几何意义PPT课件
向量表示法在复平面中应用
向量加法
在复平面上，两个复数的 加法可以通过向量加法来 实现，即分别将两个复数 对应的向量进行合成。
向量乘法
复数的乘法也可以通过向 量来表示，乘法的结果可 以通过向量的模长和辐角 来计算。
向量与复数转换
向量和复数之间可以相互 转换，通过向量的坐标可 以得到对应的复数，反之 亦然。
工程学中的应用
在信号处理、控制系统等领域，复数可以表示信号的频率、振幅 和相位等信息，有助于信号的分析和处理。
数学中的应用
在代数、几何、三角等领域，复数可以作为一种工具来解决一些 复杂的问题，如方程的求解、图形的变换等。
思考题与课堂互动环节
思考题
提出一些与复数相关的思考题， 让学生自主思考和解答，加深对 复数概念的理解和应用。
阐述利用复数性质证明三角不等式的方法 ，如柯西-施瓦茨不等式等。
应用举例
举例说明三角函数求解问题在实际问题中 的应用，如物理学中的振动分析、信号处 理中的频谱分析等。
05
微分方程中复数解法探讨
一阶线性微分方程求解
一阶线性微分方程标准形式
$y' + p(x)y = q(x)$
复数在求解中的应用
通过引入复数，将实数域上的一阶线 性微分方程扩展到复数域上，从而简 化求解过程。
a示d}{例c^2+d^2}i$。
计算$(2+3i)(4-5i)$，结果为$23-2i$；计算 $frac{2+3i}{4-5i}$，结果为$frac{7}{41}+frac{22}{41}i$。
幂运算和根式运算拓展
幂运算规则
根据复数模与辐角的定义，有$(r(costheta+isintheta))^n=r^n(cos ntheta+isin ntheta)$，其中$r$为复数模，$theta$为辐角。
2024年度《复数的几何意义》PPT课件
三角函数的对称性
02
sinθ 是奇函数，cosθ 是偶函数
复数指数函数的周期性及对称性
03
e^(iθ) 的周期为 2π，且具有旋转对称性
16
应用举例
利用欧拉公式求解三角函数值
通过计算 e^(iθ) 的实部和虚部，可以得到 sinθ 和 cosθ 的值
利用复数表示法分析电路中的正弦交流信号
在电路分析中，正弦交流信号可以用复数表示，从而简化计算和分析过程
例1
求复数 $z = 2 + 3i$ 在 复平面上绕原点逆时针 旋转 $90^{circ}$ 后的 结果
2024/3/23
例2
求复数 $z = 1 + i$ 在 复平面上沿向量 $(2, 1)$ 平移后的结果
例3
求以 $(1, 2)$ 为圆心、 半径为 $sqrt{5}$ 的圆 在复平面上的方程，并 判断点 $(3, 4)$ 是否在 该圆上
VS
性质
共轭复数与原复数的和与差分别为实数的 两倍和虚数的两倍，即 $z + z^* = 2a$ ，$z - z^* = 2bi$。
2024/3/23
6
运算规则
01 加法
$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$
02 减法
$(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$
复数的运算
复数是形如 $a + bi$（其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是 虚数单位，满足 $i^2 = -
1$）的数。
复平面是一个二维平面，其 中横轴表示实部，纵轴表示 虚部。每个复数在复平面上
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1. z 0
2.两个复数的模可以比较大小。
面3向. 复量数Ouu的Zur 模的模的几uouzr何，意也义就:复是数复z数的模z即=为a+z 对bi应在平
复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。
实数绝对值的几何意义: 复数的模 的几何意义:
实数a在数轴上所
复数 z=a+bi在复平
对应的点A到原点O的 面上对应的点Z(a,b)到
例1 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m取值范围。
解：由mm22
m m
6 2
0 0
得m
3 2
m2 或m
1
m(3,2) (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
❖ 练习2、在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－ 3m＋2)i对应点
❖ (1)在虚轴上；(2)在第二象限； ❖ (3)在直线y＝x上． ❖ 分别求实数m的取值范围
❖ [解析] (1)由题意得m2－m－2＝0.解得m＝2或 m＝－1.
(2)由题意得mm22－ －m3m－＋2＜ 2＞00
∴－ m＞1＜2或m＜ m＜2 1’
距离. a OA
|a| = |OA|
原点的距离.
x
z=a+bi
y
Z(a,b)
a(a ≥ 0) a(a 0)
Ox
|z|=|OZ| a2 b2
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
[例 2] 求复数 z1＝3＋4i 及 z2＝－12－ 2i 的模，并 比较它们的模的大小．
[解析] |z1|＝ 32＋42＝5， |z2|＝ (－12)2＋(－ 2)2＝32， ∵5＞32，∴|z1|＞|z2|.
∴－1＜m＜1.
(3)由已知得 m2－m－2＝m2－3m＋2.∴m＝2.
复数的几何意义（二）
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
uuur
平面向量 OZ
一一对应
y
z=a+bi
Z(a,b)
b
a
ox
小结
三.复数的模
y z=a+bi
Z (a,b)
注意：
x
O
| z | = |OuuZur | a2 b2
课题：3.1.2 复数的几何意义
情境导入：思考实数的几何意义
在几何上，我们 用什么来表示实
数?
实数可以用数轴 上的点来表示。
实数 一一对应数轴上的点
(数)
(形)
想一想
类比实数的表示，可以 用什么来表示复数？
复数的 一般形 式？
Z=a+bi(a, b∈R)
实部!
虚部!
一个复数由什 么唯一确定？
一个复数由它的实 部和 虚部唯一确定
小结
❖ 练习3、 ❖ 求适合下列条件的复数z在复平面上表示
的图形．
❖ (1)2≤|z|<3； ❖ (2)z＝x＋yi，x<0，y>0，且x2＋y2<9.
小结：我们在本节课里有什么收获？
1 .复平面yx轴轴------------虚实轴轴 2 .复数的几何意义
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
思考：()满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
答案：2个；5和－5
(2)满足|z|=5(z∈C)的这z值些有复几个数？对应的点 在复平面上构成怎样的图形？
答案：无数个；图形:以原点为圆心, 半径为5的圆
(3)满足3<|z|<5(z∈C)的复数z对应的点在 复平面上将构成怎样的图形？
答案：图形:以原点为圆心, 半径3至5的圆环内
(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是 实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是 纯虚数。
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在
虚轴上”的（C）。
(A)必要不充分 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
一一对应
uuur 平面向量 OZ
一一对应
uuur
3.复数的模及其几何意义 | z | = | OZ| a2 b2
几何意义： 复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)
到原点的距离。
课后作业：课本P55,A组第5题，B组第1题。
新课：复数的几何意义（一）
复数z=a+bi （数）
z=a+bi Z(a,b)
a
一一对应
有序实数对(a,b) （形）
y
建立了平面直角
坐标系来表示复数的
b 平面 ------复数平面
(简称复平面)
ox
x轴------实轴
y轴------虚轴
练习1
1．下列命题中的假命题是（D ）
(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；