2014年云南大学数学分析考研真题考研试题硕士研究生入学考试试题
2014考研数学一真题及答案
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）B（2）D（3）D（4）B（5）B（6）A（7）（B ）（8）（D ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）012=---z y x（10）11=-)(f（11）12+=x xy ln （12）π（13）[-2,2]（14）25n三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）【答案】2121111111110202211212112=-=--=--=--=--=+--++→→+∞→+∞→+∞→+∞→⎰⎰⎰u e lim u u e lim x )e (x lim ,xu x )e (x lim xtdt dt t )e (lim )x ln(x dt ]t )e (t [lim u u u u x x x xx x x x x 则令（16）【答案】20202232222=+=+='++'⋅++')x y (y xy y y x xy y y x y y yx y )(y 20-==或舍。
x y 2-=时， 21106606248062480633333223223-==⇒==+-=+-+-=+-⋅+⋅+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y04914190141411202222222362222>=''=''=''+-''-''=''+'+'++''⋅+'⋅+'+'+''+')(y )(y )(y )(y )(y y x y x y x y y y x )y (x y y y y y y y )y ( 所以21-=)(y 为极小值。
2014年考研数一真题及解析
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2014年考研数学二试题及答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
（1）当x →0+时，若1ln (12),(1-cos )x x αα+均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是（ ） （A ）），（∞+2 （B ）（1，2） （C ）），（121 （D ））（210， 【答案】B【解析】当x →0+时，∵()()ln12~2x x αα+，111211(1cos )~()()22x x ααα-=·2x α ，∴由2111 2.ααα>>⇔<<且（2）下列曲线有渐近线的是（ ）（A ）.sin x x y += （B ）.sin 2x x y +=（C ）.1sin x x y += （D ）21sin .y x x=+【答案】C【解析】1sin()11lim lim lim(1sin )1x x x x f x x a x x x x→∞→∞→∞+===+= 11lim[()]lim[sin ]lim sin 0x x x b f x ax x x x x→∞→∞→∞=-=+-==∴y=x 是y=x +1sin x的斜渐近线注：渐近线有3种：水平、垂直、斜渐近线。
本题中(A)(B)(D)都没有渐近线，(C)只有一条斜渐近线。
（3）设函数()f x 具有2阶导数，()()()()011g x f x f x =-+,则在区间[0，1]上（ ）(A)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≥.(B)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≤ (C)当0f ''≥时，()()f x g x ≥.(D)当0f ''≥时，()()f x g x ≤【答案】D【解析】方法1：（利用函数的凹凸性）当() 0f x "≥时，()f x 是凹函数，而()g x 是连接()()0,0f 与()1,1f （）的直线段，如右图 故()()f xg x ≤方法2：（利用函数的单调性）()()()h x g x f x =-令，则(0)(1)0h h ==，由洛尔定理知，(0,1)()0,h ξξ'∃∈=，使若()0f x ''≥，则()0,()h x h x '''≤单调递减， 当(0,)x ξ∈时，()()0h x h ξ''≥=，()h x 单调递增，()(0)0,g(x)()h x h f x ≥=≥即； 当(,1)x ξ∈时，()()0h x h ξ''≤=，()h x 单调递减，()(1)0,g(x)()h x h f x ≥=≥即；注：当0f x '≥（）时，只能说明()f x 是单调增加的，但增加的方式可能是以凸的形式，也可能是以凹的形式，若是前者，则()()f x g x ≥，此时(A)成立，如()f x x =；若是后者，则()()f x g x ≤，此时(B)成立，如2()f x x =.（4）曲线⎪⎩⎪⎨⎧++=+=，t t y ，t x 14722上对应1t =的点处的曲率半径是（ ）（A ）.5010 （B ）.10010 （C ）.1010 （D ）.105 【答案】C【解析】令()27x t t ϕ==+ ()241y t t t ψ==++则2,()2t t t ϕϕ'''=（）=; ()24t t ψ'=+ ()2t ψ"=当t =1时，(1)2,(1)2(1)6,(1)2ϕϕψψ''''''====则332222|2226|811010(26)40K ⨯-⨯===+,曲率半径11010.K ρ== （5）设函数()arctan f x x =，若)()(ξf x x f '=，则22limx xξ→=（ ）（A ）1. （B ）.32 （C ）.21（D ）.31【答案】D【解析】由()()arctan , f x x f x ==()xf ξ'得21arctan 1x x ξ=⋅+ ()3322222|||()()()()|1[()()]y t t t t K y t t ϕψϕψϕψ''''''''-=='''++2arctan arctan x x x ξ-=,222232000011arctan arctan 11lim lim lim lim arctan 33x x x x x x x xx x x x xx ξ→→→→---+∴==== （6）设函数()u x y ，在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足0022222=∂∂+∂∂≠∂∂∂yux u y x u 及，则（ ） （A ）()u x y ，的最大值和最小值都在D 的边界上取得. （B ）()u x y ，的最大值和最小值都在D 的内部取得.（C ）()u x y ，的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得. （D ）()u x y ，的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得. 【答案】A【解析】A=22u x ∂∂，B=2u x y∂∂∂，C=22u y ∂∂，22200 0B A C AC B A B ≠+=-=--<，，，∴D 内部无极值.（7）行列式=dc dc b a ba 00000000（ ）（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc --（C ）2222a dbc - (D)2222b c a d -【答案】B【解析】41440000004(1)00(1)00000000a ba b a ba bc bd a c d c d c dc d++-+-按第行展开 32212(1)(1)()()()()()a b a b c b d a c dc dad bc bc ad ad bc ad bc bc ad ad bc ++=-⋅-+⋅⋅-=-⋅--=--=--注：此题按其它行或列展开计算都可以。
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析.doc
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。
（1）下列曲线中有渐近线的是 （A ）sin y x x =+.(B)2sin y x x =+.(C)1sin y x x =+.(D)21sin y x x=+.【解析】1sin()11lim lim lim(1sin )1x x x x f x x a x x x x→∞→∞→∞+===+= 11lim[()]lim[sin ]limsin 0x x x b f x ax x x x x→∞→∞→∞=-=+-==∴y=x 是y=x +1sin x的斜渐近线【答案】C(2)设函数()f x 具有2阶导数，()()()()011g x f x f x =-+,则在区间[0，1]上（ ） (A)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≥. (B)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≤ (C)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≥.(D)当0f '≥时，()()f x g x ≤【解析】当() 0f x "≥时，()f x 是凹函数而()g x 是连接()()0,0f 与()1,1f （）的直线段，如右图 故()() f x g x ≤ 【答案】D(3)设(),f x y是连续函数，则110(,)ydy f x y -=⎰⎰（A）11110(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰.（B）1101(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰⎰.（C ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin ).d f r r dr d f r r dr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰（D ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin ).d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰【解析】积分区域如图 0≤y ≤1.1x y ≤≤-用极坐标表示，即：D 1:,012r πθπ≤≤≤≤ D 2: 10,02cos sin r πθθθ≤≤≤≤+【答案】D （4）若{}2211,(cos sin )(cos sin )mina b Rx a x b x dx x a x b x dxππππ--∈--=--⎰⎰，则11cos sin a x b x +=（A ）2sin x π.(B)2cos x .(C) 2sin x π. (D)2cos x π. 【解析】令2(,)(cos sin )Z a b x a x b x dx ππ-=--⎰2(cos sin )(cos )0(1)2(cos sin )(sin )0(2)a b Z x a x b x x dx Z x a x b x x dx ππππ--⎧'=---=⎪⎨'=---=⎪⎩⎰⎰由（1）得 202cos 0axdx π=⎰故10,0a a ==由（2）得 0120sin 22sin x xdx b b xdxππ===⎰⎰【答案】A(5)行列式00000000a b abc d c d= （A ）（ad-bc ）2（B ）-（ad-bc ）2。
2014年考研数学试题详解及评分参考
有
ò ò ò EY1 =
+¥ -¥
y
×
1 2
[
f1( y) +
f2 ( y)]dy
=
1 2
+¥ -¥
y
×
f1( y)dy
+
1 2
+¥ -¥
y
×
f2 ( y)dy
=
1 2
(m1
+
m2 ),
EY2
=
1 2
(EX1
+
EX 2
)
=
1 2
(m1
+
m2
)
，可见
EY1
=
EY2
；
ò ò ò 又 E(Y12 ) =
+¥ -¥
x + sin x
1 x
= 1，且 lim[(x+ sin x®=
0
，故
y
=
x
是其斜渐近线.
综上所述，应选 (C) .
(2) 设函数 f (x) 具有 2 阶导数， g(x) = f (0)(1- x) + f (1)x ，则在区间[0,1] 上
(A) 当 f ¢(x) ³ 0 时， f (x) ³ g(x)
y2
×
1 2
[
f1( y) +
f2 ( y)]dy=
1 2
+¥ -¥
y2
f1 (
y)dy
+
1 2
+¥ -¥
y2
f2
(
y)dy
=
1 2
(s12
+
m12 )
+
云南大学2004-2012 高等代数-数学分析-研究生入学试题
二、（15 分）设 是不为 1 的 5 次单位根，证明：行列式
4 4 4 4
3 3 3 4 3
D
125
2 2 4 2 2
4
三、（20 分）设 f (x1, x2,..., xn) X AX 是一实二次型，若有实 n 维向量 X1, X2 使
X1AX1 0, X2 AX2 0 ，
六、（20 分）设 f (x1, x2, x3, x4) 2x1x2 2x1x3 4x1x4 2x2x3 ，试分别在实数域上和复数
域上把它化为规范型，并写出相应的可逆线性变换
七、（10 分）设 A 为半正定矩阵，证明：对任意正实数 , E A 为正定矩阵
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云南大学 2004 年硕士研究生入学考试试题 （答案必须写在答题纸上）
六、（15 分）将函数 f (x) ln(4x x2) 在 x 1 处展开为幂级数，并求出其收敛域。
七、（20
分）设
x3
f
( y,
y ) ，其中 x
f
具有连续的二阶偏导数，求
x
, y
,
2 y2
, 2 xy
八、（15 分）设 xi 0 (i 1, 2,..., n) ，且 x1 x2 ... xn a ，求函数 n x1x2...xn 的最
(II) :1,2,3,4;
(III
)
:
1
,2
,3
,
1 5
假设秩 (I ) =秩 (II ) =3，秩 (III ) =4。证明：向量组 (IV ) :1,2 ,3 ,5 4 的秩为 4。
七、（20 分）设 f (x1, x2,..., xn) 和 g(x1, x2,..., xn) 为两个实二次型，f (x1, x2,..., xn) 正定。
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若a a n n =∞→lim ，且0≠a ，则当n 充分大时有（ ）（A ）2a a n > （B ）2a a n <（C ）n a a n 1-> （D ）na a n 1+< 【答案】A【考点】极限的概念 【详解】 【解法一】lim 0n n a a ε→∞=⇔∀>，当n 充分大时，有-n a a ε<取2a ε=，有-2n a a a <即22n a a a a a -<<+当0a >时，322n a a a <<；当0a <时，322n a aa <<.从而2n a a >. 故选A .【解法二】根据极限的保号性推论：若,0lim ≠=∞→a a n n 则存在0>N ，当N n >时，10,<<>θθa a n取21=θ，故选A . 【解法三】令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+--=为偶数为奇数n n a n n a a n 1111，则排除D C B ,,，故选A .（2）下列曲线中有渐近线的是（ ）（A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）21sin y x x=+ 【答案】C【考点】函数的渐近线 【详解】对于选项A ， lim(sin )x x x →∞+ 不存在，因此没有水平渐近线，同理可知，选项A 没有铅直渐近线， 而sinxlimlim x x y x x x→∞→∞+=不存在，因此选项A 中的函数没有斜渐近线； 对于选项B 和D ，我们同理可知，对应的函数没有渐近线；对于C 选项，1siny x x=+.由于1sin lim lim1x x x yx x x→∞→∞+==，又()1lim 1lim sin0x x y x x→∞→∞-⋅==.所以1sin y x x =+存在斜渐近线y x =.故选C.（3）设23()P x a bx cx dx =+++，当0→x 时，若()tan P x x -是比3x 高阶的无穷小，则下列选项错误的是（ ）（A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）61=d 【答案】D【考点】高阶无穷小、泰勒公式、洛必达法则 【详解】 【解法一】由泰勒展开式：)(31tan 33x o x x x ++=知，若()tan P x x -是比3x 高阶的无穷小 则必有：31,0,1,0====d c b a ，故选D.【解法二】由题意可知2330tan lim 0x a bx cx dx xx →+++-= 230lim(tan )00x a bx cx dx x a →∴+++-=⇒=23223200tan 23sec lim lim 03x x a bx cx dx x b cx dx x x x →→+++-++-== 220lim(23sec )01x b cx dx x b →∴++-=⇒=22222222220000123sec 23tan 23tan lim lim lim lim 3333x x x x cx dx x cx dx x cx dx x x x x x →→→→++-+--==+ 20211lim()00,333x cx d c d x →=+-=⇒==（4）设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]内（ ） （A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ （B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ 【答案】D【考点】函数单调性的判别、函数图形的凹凸性 【详解】 【解法一】令)()()(x f x g x F -=则)()1()0()(x f f f x F '-+-='由拉格朗日中值定理知，存在)1,0(∈ξ，使得)()()01()0()1(ξξf f f f '='-=- 即0)(='ξF又因为)()(x f x F ''-=''若()0f x ''≥，则()0F x ''≤，所以)(x F '单调递减， 当(0,),()0,()x F x F x ξ'∈>单调递增， 当(,1),()0,()x F x F x ξ'∈<单调递减，又0)1(.0)0(==F F ，所以()0F x ≥，即()()f x g x ≤，故选D 【解法二】令2()f x x =，则函数()f x 具有2阶导数，且()0f x ''≥ 所以()(0)(1)(1)g x f x f x x =-+= 当]1,0[∈x 时，()()f x g x ≤，故选D（5）行列式00000000a ba bc dc d=（ ） （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a dbc - （D ）2222b c a d - 【答案】B【考点】行列式的性质、行列式按行（列）展开定理 【详解】 【解法一】1323000000000000000000000000a b b a b a a ba bd c c c r r c d d c a b c d c d c d↔-↔ 2()()()b a a b bc ad ad bc ad bc d c c d=⋅=--=-- 故选B 【解法二】21410a 00000(1)0(1)000000000b a b a b a ba c d cbcd d c d c d++=⨯-+⨯-3323(1)(1)a b a ba d cbcd c d++=-⨯⨯--⨯⨯- 2()()a b a b a bad bc bc ad ad bc c d c d c d=-+=-=--（6）设123,,ααα为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A【考点】向量组的线性无关性 【详解】132312310(,)(,,)01k l k l ααααααα⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭记132312310(,),(,,),01A k l B C k l ααααααα⎛⎫⎪=++== ⎪ ⎪⎝⎭若123,,ααα线性无关，则1323()()()2,r A r BC r C k l αααα===⇒++线性无关. 由1323,k l αααα++线性无关不一定能推出123,,ααα线性无关.如：123100=0=1=0000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，1323,k l αααα++线性无关，但此时123,,ααα线性相关.故选A.（7）设随机事件A 与B 相互独立，且()0.5P B =，()0.3P A B -=，则=-)(A B P （ ） （A ）0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4 【答案】B【考点】事件的概率、事件的独立性【详解】()()()()()()P A B P A P AB P A P A P B -=-=- ()0.5()0.5()0.3()0.6P A P A P A P A =-==⇒=.()()()()()()0.50.50.60.2P B A P B P AB P B P A P B -=-=-=-⨯=.故选B.（8）若321,,X X X 是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本，则统计量3212X X X S -=服从的分布为（ ）（A ）)1,1(F (B))1,2(F (C))1(t (D))2(t 【答案】C 【考点】t 分布 【详解】 【解法一】21212~(0,2),~(0,1),2X X X X N N σσ-- 2233~(0,1),()~(1)X X N χσσ12122332S==~(1)2()X X X X t X x σσ--∴【解法二】因为分子为正态分布，故不是F 分布，为t 分布， 又因为分母仅一项，故自由度为1，选C二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为P Q 240-=（P 为商品的价格），则商品的边际收益为【答案】Q -20 【考点】导数的经济意义【详解】40()24012022QR QP Q dR Q Q QdQ -==-=-=-收益边际收益（10）设D 是由曲线01=+xy 与直线0=+x y 及2=y 围成的有界区域，则D 的面积为【答案】2ln 23- 【考点】平面图形的面积 【详解】2212113(ln )ln 2122S y dy y y y =+=-+=-⎰面积（-）（11）设412=⎰dx xe ax ，则=a【答案】21 【考点】分部积分法 【详解】222200011()022aa a x xx x a xe dx xde xe e dx ==-⎰⎰⎰ 2222111111()()0222224a x a a a ae e ae e =-=-+=12a ∴=（12）二次积分=-⎰⎰dx e xe dy y y x110)(22【答案】)1(21-e 【考点】交换累次积分的次序、二重积分的计算 【详解】2222111111000()x xy y y y y e e dy e dx dy dx dy e dx x x -=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 222221111100000(1)x xy x y y edx dy y e dy e dx e dy ye dy x =--=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰221201111(1)0222y y e dy e e ===-⎰ （13）设二次型3231222132142),,(x x x ax x x x x x f ++-=的负惯性指数为1，则a 的取值范围是【答案】]2,2[-【考点】惯性指数、矩阵的特征值、配方法化二次型为标准形 【详解】 【解法一】二次型对应的系数矩阵为：O a a ≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0221001，记特征值为321,,λλλ则0011)(321=+-==++A tr λλλ，即特征值必有正有负，共3种情况； 因二次型的负惯性指数为⇔1特征值1负2正或1负1正1零；0402210012≤+-=-⇔a a a，即]2,2[-∈a【解法二】2222222212312132311332233(,,)2424f x x x x x ax x x x x ax x a x x x x a x =-++=++-+- 2222222213233123()(2)(4)(4)x ax x x a x y y a y =+--+-=-+-若负惯性指数为1，则240[2,2]a a -≥⇒∈-（14）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,02,32),(2θθθθx xx f ，其中θ是未知参数，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，若212θ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑=n i i X c E ，则=c【答案】n52【考点】统计量的数字特征 【详解】322222112()()()3n ni i i i x E c X c E X ncE X nc dx θθθ======∑∑⎰4222221523425nc nc x c nθθθθθ=⋅==∴= 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）求极限)11ln(])1([lim2112xx dtt e t xtx +--⎰+∞→【考点】函数求极限、变限积分函数求导、等价无穷小、洛必达法则 【详解】11221122((1))((1))limlim11ln(1)xxttx x t e t dt t e t dtx x xx→+∞→+∞----=+⋅⎰⎰1122(1)1lim lim (1)1xx x x x e x x e x→+∞→+∞--==-- 20001111lim lim lim 222t t t t t t e t e e t x t t +++→→→---====令 （16）（本题满分10分）设平面区域}0,0,41|),{(22≥≥≤+≤=y x y x y x D ，计算⎰⎰++Ddxdy y x y x x )sin(22π 【考点】二重积分的计算、轮换对称性【详解】积分区域D 关于y x =对称，利用轮换对称性，2222sin()ysin()D D x x y x y dxdy dxdy x y x y ππ++=++⎰⎰⎰⎰ 2222sin()ysin()1()2D x x y x y dxdy x y x yππ++=+++⎰⎰ 221sin()2Dx y dxdy π=+⎰⎰ 22201111sin()d cos()24d r r r rd r πθππ==-⎰⎰⎰221111cos()|cos()d 44r r r r ππ=-+⎰ 34=-（17）（本题满分10分）设函数)(u f 具有2阶连续导数，)cos (y e f z x=满足cos sin (4cos )x x z zyy z e y e x y∂∂-=+∂∂，若0)0(=f ，求)(u f 的表达式. 【考点】多元函数求偏导、一阶线性微分方程 【详解】 令y e u xcos =，()cos x zf u e y x∂'∴=⋅∂ ()(sin )x zf u e y y ∂'=⋅-∂ cos sin (4cos )x x z zyy z e y e x y∂∂-=+∂∂ 22()cos ()sin [4()]x x x f u e y f u e y f u u e ''∴⋅+⋅=+即：u u f u f =-')(4)(u u ue u f u f e 44)](4)([--=-'∴两边积分得：)41(41)(4444C e ue du ue u f eu u u u++-==----⎰即：)41(41)(4uCe u u f ++-=因为0)0(=f ，解得41-=C所以41()(41)16uf u e u =-- （18）（本题满分10分） 求幂级数(1)(3)nn n n x∞=++∑的收敛域及和函数.【考点】幂级数求收敛域、和函数 【详解】 （Ⅰ）(2)(4)lim1(1)(3)n n n n n ρ→∞++==++ ，∴收敛半径11R ρ==当1x =±时，级数发散，故收敛域为(1,1)-（Ⅱ）令0()(1)(3)nn S x n n x ∞==++∑， 则1201()(3)(3),0xn n n n S t dt n xn x x x ∞∞++===+=+≠∑∑⎰令210()(3)n n S x n x∞+==+∑，则3310()1xn n x S t dt xx∞+===-∑⎰3231232()1(1)x x x S x x x '⎛⎫-∴== ⎪--⎝⎭2321223132323()(),0(1)(1)(1)x x x x x S x S x x x x x x x '''⎛⎫⎛⎫---⎛⎫∴===≠ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭=又03S =（），所以33,(1,1)(1)xS x x x -=∈--（）（19）（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间],[b a 上连续，且)(x f 单调增加，1)(0≤≤x g . 证明：（I ）a x dt t g xa-≤≤⎰)(0，],[b a x ∈；（II ）⎰⎰⎰≤+badtt g a abadx x g x f dx x f )()()()(【考点】定积分中值定理、不等式的证明 【详解】 （I ）【解法一】因为函数)(x g 在区间],[b a 上连续，且1)(0≤≤x g . 所以⎰⎰⎰≤≤xax axadt dt t g dt 1)(0即a x dt t g x a-≤≤⎰)(0【解法二】由定积分中值定理知：存在),(b a ∈ξ，使得)()()(ξg a x dt t g xa-=⎰，又因为],[b a x ∈时1)(0≤≤x g ， 所以)()()(0a x g a x -≤-≤ξ 即a x dt t g xa-≤≤⎰)(0【解法三】 设1()()xah x g t dt =⎰，则1()0h a =，1'()()0h x g x =≥1()h x ∴单调增加∴当[],x a b ∈时，1()0h x ≥.设2()()xah x g t dt x a =-+⎰，则2'()()1h x g x =-0()1g x ≤≤ ，2'()0h x ∴≤2()h x ∴单调减少.又2()0h a =，∴当[],x a b ∈时，2()0h x ≤∴当[],x a b ∈时，a x dt t g xa-≤≤⎰)(0（II ）令()()()()()xa xa g t dt aaF x f u g u du f u du+⎰=-⎰⎰'()()()[()]()()[()]()x xa a F x f x g x f a g t dt g x f x f a g t dt g x ⎡⎤∴=-+⋅=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰由（I ）知()xaa g t dt a x a x +≤+-=⎰，又()f x 单调增加，()[()]x af x f ag t dt ∴≥+⎰；又因为(x)0g ≥'()0F x ∴≥ ()F x ∴在区间[],a b 上单调增加又()0F a =，()0F b ∴≥即()()()()ba ba g t dtaaf xg x dx f x dx +⎰≥⎰⎰（20）（本题满分11分）设E A ,302111104321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=为3阶单位矩阵.（I ）求方程组0=Ax 的一个基础解系； （II ）求满足E AB =的所有矩阵B .【考点】齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解 【详解】1234100()01110101203001A E --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭1205412301021310013141--⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪--⎝⎭ 100126101021310013141-⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭（I ） 方程组0=Ax 的同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=4443424132x x x x x x x x ，即方程组0=Ax 的一个基础解系为1231α-⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（II ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+-=01312244434241x x x x x x x x ，即通解为12110k α⎛⎫⎪- ⎪+ ⎪- ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+-=04332644434241x x x x x x x x ，即通解为26340k α⎛⎫⎪- ⎪+ ⎪- ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=--=01312144434241x x x x x x x x ，即通解为31110k α-⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭，123261131(,,)141000B k k k ααα-⎛⎫⎪-- ⎪∴=+ ⎪-- ⎪⎝⎭，321,,k k k 为任意常数 （21）（本题满分11分）证明：n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n 00200100 相似. 【考点】矩阵的特征值、相似对角化 【详解】设⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 111111111A ，⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦00010002000n B 因为1)(,1)(==B r A r所以A 的特征值为：n A tr n n ======-)(,0121λλλλB 的特征值为：n B tr n n =='='=='='-)(,0121λλλλ 关于A 的特征值0，因为1)()()0(==-=-A r A r A E r ，故有1-n 个线性无关的特征向量，即A 必可相似对角化于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00 同理，关于B 的特征值0，因为1)()()0(==-=-B r B r B E r ，故有1-n 个线性无关的特征向量，即B 必可相似对角化于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n 00 由相似矩阵的传递性可知，A 与B 相似. （22）（本题满分11分）设随机变量X 的概率分布为21}2{}1{====X P X P ，在给定i X =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布)2,1)(,0(=i i U ，（I ）求Y 的分布函数)(y F Y ； （II ）求EY .【考点】一维随机变量函数的分布、随机变量的数字特征（期望） 【详解】（I ）()()y F y P Y y =≤(1)(1)(2)(2)P Y y X P X P Y y X P X =≤==+≤==11(1)(2)22P Y y X P Y y X =≤=+≤= ① 当0y < 时，(y)0Y F =② 当01y ≤<时，1113(y)2224Y F y y y =+⨯= ③ 当12y ≤<时，1111(y)22224Y yF y =+⨯=+④ 当2y ≥时，11(y)122Y F =+=综上：003y 014(y)1122412Y y y F y y y <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪+≤<⎪⎪≥⎩（II ）'30141(y)(y)1240Y Y y f F y ⎧<<⎪⎪⎪==≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他12-013131133()4442424Y EY yf y dy ydy ydy +∞∞==+=⨯+⨯=⎰⎰⎰（23）（本题满分11分）设随机变量Y X ,的概率分布相同，X 的概率分布为32}1{,31}0{====X P X P ，且X 与Y 的相关系数为21=XY ρ. （I ）求),(Y X 的概率分布； （II ）求}1{≤+Y X P .【考点】二维离散型随机变量及其概率 【详解】 （I ）由题意有：1cov(,)11222XY X Y EXY EXEY DX DY DX DYρ-=⇒=⇒=2212,3339EX EY DX DY ====⨯=112225229339EXY DX DY EX EY ∴=⋅+⋅=⨯+⨯=所以XY 的概率分布为XY0 1 P4/9 5/9即：95)1,1()1(=====Y X P XY P 所以，（X,Y ）的概率分布为：YX 0 1 0 2/9 1/9 11/95/9(II)54(1)1(1)1(1,1)199P X Y P X Y P X Y +≤=-+>=-===-=。
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三及参考答案
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ）（A ）2n a a >（B ）2n a a <（C ）1n a a n >- （D ）1n a a n<+（2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1siny x x=+ （D ）21siny x x=+ （3）设23(x)a P bx cx dx =+++ ，当0x → 时，若(x)tanx P - 是比x 3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是 （A ）0a =（B ）1b = （C ）0c = （D ）16d =（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥（5）行列式0000000aba b c dc d= （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a d b c - （D ）2222b c a d -（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的 （A ）必要非充分条件（B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4（8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ的简单随机样本，服从的分布为（A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2)二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。
2014年考研数学一真题及答案解析
n
n
E(c
X
i
2
)
c
E(X i2) ncE(X2) nc
i 1
i 1
2 2x 3 dx
3 2
2nc 1 x 4 2 5nc 2 = 2 C 2
3 2 4
2
5n
15. 解：
lim
x
x
(t
2
1
(e t
1)
t)
dt
1
x2 ln(1 1)
lim x
2z x 2
2z y 2
4( z
ex
cos
y)e2x
，若
f
(0)
0,
f
(0)
0 ，求
f
(u)
的表达式.
（18）（本题满分 10 分）
设 为曲面 z x2 y2 (z 1) 的上侧，计算曲面积分
I (x 1)3dydz( y 1)3dzdx (z 1)dxdy
（19）（本题满分 10 分）
5、B 解析：
0a b0 a00b 0cd 0 c00d
ab 0
ab0
a (1)21 c d 0 c (1)41 0 0 b
00d
cd0
a d (1)33 a b c b (1)23 a b
cd
cd
ad a b bc a b cd cd
(bc ad ) a b cd
(ad bc)2
2
2a
xx 13
4xx 23
x 2 2a x x a2 x 2 x 2 4 x x a2 x 2
1
13
3
2
23
3
(x 1
a
x )2 3
2014年考研数学一真题及答案解析(完整版)(文都教育)
来源： 来源：文都教育 一、选择题： 选择题：1~8 小题， 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出四个选项中， 下列每题给出四个选项中，只有一个选项 符合题目要求的， 请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。 符合题目要求的 ，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上 。 （1）下列曲线中有渐近线的是 （A） y = x + sin x . (B) y = x 2 + sin x . (C) y = x + sin
∞
∫
+∞
−∞
yf1 ( y )dy +
1 2
∫
+∞
−∞
yf 2 ( y )dy
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1 1 EX 1 + EX 2 2 2 1 1 1 EY2 = E[ ( X 1 + X 2 )] = EX 1 + EX 2 2 2 2 =
即 xy ′ + y ln
x = 0 两边同除 x 得 y
令u =
u+x
du 1 + u ln = 0 dx u
整理得 两端积分得
du 1 = dx u (ln u − 1) x
∫ u(ln u − 1) = ∫ x dx + ln C
∫
d (ln u − 1) 1 = dx + ln C ln u − 1 x
1 . x
(D)
1 y = x 2 + sin . x
1 f ( x) x = lim(1 + 1 sin 1 ) = 1 = lim 【解析】 解析】 a = lim x →∞ x →∞ x →∞ x x x x 1 1 b = lim[ f ( x) − ax] = lim[ x + sin − x] = lim sin = 0 x →∞ x →∞ x →∞ x x 1 ∴y=x 是 y=x+ sin 的斜渐近线 x x + sin
2014考研数学一真题及答案详解
2014考研数学一真题及答案详解2014年全国硕士研究生入学考试数学一真题及答案详解Part A1. 设f(x) = sinx + cosx (0 ≤ x ≤ π)，则f '(x) = _____解析：f(x) = sinx + cosx，则f '(x) = cosx - sinx 当x ∈ [0, π]时，cosx ≥ 0 且sinx ≥ 0，所以f '(x) = cosx - sinx ≥ 0答案：cosx - sinx2. 已知函数f(x) = sinx + cosx，定义在[0, π]上，则f(x)在[0, π]上的最大值为____，最小值为____。
解析：f(x)在[0, π]上的最大值和最小值分别为f(π/4)和f(π/4 + π)。
f(π/4) = sin(π/4) + cos(π/4) = √2f(π/4 + π) = sin(π/4 + π) + cos(π/4 + π) = -√2答案：最大值为√2，最小值为-√23. 设向量a = 2i - 3j + k，b = i + j + 2k，则向量a与向量b的夹角为____°。
解析：向量a与向量b的夹角cosθ为cosθ = (a·b)/(|a||b|) = (2 - 3 + 2)/(√4 + 9 + 1)√6 = 1/√6故θ = arccos(1/√6)答案：θ ≈ 32.5°4. 已知向量a，b，其大小分别为3和4，且它们的夹角为60°。
则向量a + b的大小为____。
解析：根据余弦定理，a + b的大小为|a + b|² = |a|² + |b|² + 2|a||b|cosθ = 9 + 16 + 2×3×4×1/2 = 25故|a + b| = √25 = 5答案：55. 设函数y = f(x)在点x = a处可导，且f '(a) > 0，则以下哪个极限一定存在？（）(A) lim[x→a]f(x)/x(B) lim[x→a]f(x)(C) lim[x→a](f(x))^2(D) lim[x→a]f(x) - f(a)解析：由可导性可知，右导数和左导数存在且相等，则有lim[x→a]f(x)/x = lim[x→a](f(x) - f(a))/(x -a)×(x - a)/x = f '(a)×1 = f '(a)lim[x→a]f(x) = f(a)lim[x→a](f(x))^2 = (lim[x→a]f(x))² = (f(a))²lim[x→a]f(x) - f(a) = lim[x→a](f(x) - f(a)) = f '(a)×(a - a) = 0故正确选项为：(A) lim[x→a]f(x)/x答案：(A)6. 设函数y = x³ + px + q，则当p = 0 时，y = x³+ q有两个零点，一个为0，另一个为____。
2014年考研数学(三)真题
（C）当 f (x) 0 时， f (x) g(x)
0ab 0 a00b
0cd 0 5．行列式 c 0 0 d （ ）。
（A） (ad bc)2
（B） (ad bc)2
（D）当 f (x) 0 时， f (x) g(x)
（C） a2d 2 b2c2
（D） b2c2 a2d 2
6．设1,2 ,3 均为三维向量，则对任意常数 k, l ，向量组1 k3,2 l3 线性无关是向
21．（本题满分 11 分）。
1 1 1 0 0 1
1 1 10Fra bibliotek02
证明 n 阶矩阵 1
1
1 与 0
0
n 相似。
22．（本题满分 11 分）。
设随机变量 X 的概率分布为 PX 1 PX 2 1 ，在给定 X i 的条件下，随机变
2 量Y 服从均匀分布U (0.i)(i =1, 2) 。
__________。
13．设二次型 f x1, x2 , x3 x12 x22 2ax1x3 4x2 x3 的负惯性指数是 1，则 a 的取值范围
是__________。
14 ． 设 总 体
X
的概率密度为
f
x;
2x 3 2
,
x 2
，其中
是未知参数，
0, 其他
n
X1,
X 2,,
（1）求Y 的分布函数 FY y 。
（2）求 EY 。
23．（本题满分 11 分）。
设随机变量 X ,Y
的概率分布相同，X
PX
的概率分布为
0
1 PX
3，
1
2 3
,且
X
与
2014年考研数学二真题及解析
（
）
2 3
(C)
1 2
(D)
1 3 2u 0 xy
（ ）
(6) 设函数 u ( x, y ) 在有界闭区域 D 上连续， 在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数， 且满足
2u 2u 及 2 2 0， 则 x y
(A) u ( x, y ) 的最大值和最小值都在 D 的边界上取得 (B) u ( x, y ) 的最大值和最小值都在 D 的内部上取得
1
)
(A) (2, )
(B) (1, 2)
(C) ( ,1)
1 2
(D) (0, ) ( )
1 2
(2) 下列曲线中有渐近线的是 (A) y x sin x (C) y x sin (B) y x sin x (D) y x sin
2 2
1 x
1 x
（ ）
(3) 设函数 f ( x ) 具有 2 阶导数，g ( x ) f (0)(1 x ) f (1) x ， 则在区间 [0,1] 上 (A) 当 f ( x ) 0 时， f ( x ) g ( x ) (C) 当 f ( x ) 0 时， f ( x ) g ( x ) (B) 当 f ( x ) 0 时， f ( x ) g ( x ) (D) 当 f ( x ) 0 时， f ( x ) g ( x )
x t 2 7 (4) 曲线 上对应于 t 1 的点处的曲率半径是 2 y t 4t 1
(A)
（
）
10 50
(B)
10 100
(C) 10 10
(D) 5 10
2 (5) 设函数 f ( x ) arctan x ， 若 f ( x ) xf ( ) ， 则 lim 2 x 0 x
云南大学2003--2019年数学分析、高等代数考研真题
学 七、（20
分）设
u
=
x
3f
(xy,
y x
),
其中
f
具有连续的二阶偏导数，求
∂u ∂x
,
∂u ∂y
,
∂2u ∂y 2
,
∂2u ∂x∂y
八、（15 分）设 x i > 0(i = 1,2,Λ , n), 且 x1 + x 2 + Λ + x n = a, 求函数 u = n x1x 2 Λ x n
的最大值，并证明不等式 n
复数域上把它化为规范型，并写出相应的可逆线性变换.
七、（10 分）设 A 为半正定矩阵，证明：对任意正实数 ,E A 为正定矩阵.
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2004 年云南大学硕士研究生入学考试试题
专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论 考试科目：《数学分析》
其中 s 是上半球面 z R 2 x 2 y2 的下侧。
六、（20
分）设
A
-
5 4
56
（1）求 A 的特征值，特征向量。
（2）试求使 C1AC为对角矩阵的C，求A 2（n n为正整数）。
七、（20 分）设 A，B，C，D Pnn，若A：X AXB CX XD，X Pnn ,
证明：（1）A为Pnn的线性变换,。（2）当C D 0时，A，B可逆 A可逆 。
x tan x
2
x = 3t 2 + 2t + 3
四、（15
分）设
y=y(x)是由方程组
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸..指定位置上•11、当x0时，若In ■ (1 2x), (1 -cosx)〉均是比x 高阶的无穷小，则:-的取值范围是()(A ) (2,(B ) (1,2)1 (C )(-,1)2(D )1(02)【答案】B【考点】等价无穷小、高阶无穷小【详解】1 x )0 时，ln ：(1 2x) ~ (2x):,1(1(1 _cosx)-〜！- 1 2平x12 )2因为它们都是比x 高阶的无穷小，故用＞1,1，即1 ：：： :• ：：： 2a2、下列曲线中有渐近线的是()【详解】 对于选项A ，xim (x sin x )不存在，因此没有水平渐近线,同理可知，选项 A 没有铅直渐近线,y x +si nx而lim lim 不存在，因此选项 A 中的函数没有斜渐近线;x 厂X x 匚- x对于选项B 和D,我们同理可知，对应的函数没有渐近线；+ - 11y x+sin-对于C 选项，y = x sin.由于lim limx=1，又xx x ¥x11lim_ y -1 x 二 lim.sin 0 .所以 y = x ■ sin 存在斜渐近线 y = x .故选 C. x 】- x 】- X x(A) y 二 x sin x(C) y 二 x sinx【答案】C【考点】函数的渐近线2(B ) y = x sinx (D) y = x 2 sin 丄 x(4)设函数f(x)具有2阶导数，g(x) = f(0)(1 -x) • f (1)x，则在区间［0,1］内()(A)勺f(X)_0 时，f(x) —g(x)当(B)勺f(X)_0 时，f(x)乞g(x)当(C)勺f(X)_0 时， f (x) _g(x)当(D)当勺f (x) _0 时，f(xHg(x)【答案】D【考点】函数单调性的判别、函数图形的凹凸性【详解】【解法一】令F(x) =g(x) -f(x)则F (x) (0) f (1) - f (x)由拉格朗日中值定理知，存在(0,1)，使得f(1)-f(0) =(1-0)f「)= f「) 即F ( J =0又因为F ”(x)二-f (x)若「(x) 一0,则F (x)乞0，所以F(x)单调递减，当(0, ), F (x) 0,F(x)单调递增，当( ,1),F (x) <0,F(x)单调递减，又F(0) =0.F(1) =0，所以F(x) 一0,即f(x)乞g(x)，故选D【解法二】令f(x)=x2，则函数f(x)具有2阶导数，且「(x)_0所以g(x)二f (0)(1 —X) f (1)x 二x当x [0,1]时，f (x^g(x)，故选D4、曲线x#7,上对应于心的点处的曲率半径是()y =t 2 4t 1【答案】C【考点】参数方程求导、曲率及曲率半径 【详解】巴25、设函数 f (x) =arctan x ，若 f (x) =xf ()，则 lim 2 =() T x 2 (A )1 (B )23(C 2(D)1【答案】D【考点】 函数求导、函数求极限【详解】** f (x) arcta n x 1xx 1 2.•2 x - arctanx…J —arcta nxI I 6、设函数u(x, y)在有界闭区域 D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足0及EXy-2-2T ”0，则() x :y(A ) u(x, y)的最大值和最小值都在 D 的边界上取得 (B ) u(x, y)的最大值和最小值都在D 的内部取得(C ) u(x, y)的最大值在D 的内部取得，u(x, y)的最小值在 D 的边界上取得 (D ) u(x, y)的最小值在D 的内部取得，u(x, y)的最大值在 D 的边界上取得【答案】A(A 」50100(C)10、.. 10叫.Hx2 3X1 - 3 - \72 X 2 + X n29、【考点】二元函数极值的充分条件 【详解】2 2 2 2 2 因为寻于，故V 与C 号异号.又 7=0，则AC -B 2：：：0,所以函数u （x,y ）在区域D 内没有极值.又连续函数在有界闭区域内有最大值和最小值，故最大值和最小值在7、行列式【答案】B【详解】【解法一】 故选B 【解法二】8、设为3维向量，则对任意常数k,l ，向量组：k 3 / 2 H 3线性无关是向量组〉1,〉2, ?3线性无关的（） （A ） 必要非充分条件 （B ） 充分非必要条件 （C ） 充分必要条件 （D ） 既非充分也非必要条件 【答案】A【考点】向量组的线性相关性 【详解】:■、填空题：9〜14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸 指定位置上1二dx 二:x 22x 5D 的边界点取到.(A ) (ad -be)2(B )2-(ad -be)(C ) a 2d 2 -b 2c 2(D ),2 2 2 , 2b c -a d【考点】分块矩阵的行列式运算、 行列式的性质、行列式按行（列）展开定理3【答案】3二8【考点】无穷限的反常积分【详解】10、设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f (x) =2(x—1),x・［0,2］，贝U f(7) = 【答案】1【考点】一阶微分方程、周期函数【详解】11、设z =z(x,y)是由方程e2yz x2 y2z =确定的函数，则41【答案】-丄(dx dy)2【考点】隐函数求偏导、全微分【详解】12、曲线L的极坐标方程是r - v，贝V L在点(rc) =(「)处的切线的直角坐标方程2 2是______ . ______Q TF【答案】y - - 2 x •—Tt2【考点】参数方程求导、极坐标与直角坐标的转化、切线方程【详解】把极坐标方程化为直角坐标方程丄x = r cos — v COST令••y = r sin J - ^sin)13、一根长为1的细棒位于x轴的区间［0,1］上，若其线密度^(x) --x22x 1，则该细棒的质心坐标x =11【答案】20【考点】质心坐标【详解】b_ J xP(x)dx x 二 a质心横坐标公式:b.，(x)dxa2 214、设二次型 f (x 1, x 2, x3^x 1 -x 2 2a^x 3 4x 2x 3的负惯性指数 为1，贝U a 的取值范围是 _______ . _____ 【答案】[-2,2]【考点】二次型的规范形、矩阵的特征值、配方法化二次型为标准形 【详解】【解法一】则’1 • '2 • ‘3二tr(A) =1 -1 • 0 =0，即特征值必有正有负，共 3种情况； 因二次型的负惯性指数为 1=特征值1负2正或1负1正1零；1 0 a^0-12=T+a 2E0，即 a^[—2,2] a 2【解法二】三、解答题：15〜23小题,共94分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤•15、(本题满分10分)【考点】函数求极限、变限积分函数求导、等价无穷小、洛必达法则 【详解】16、(本题满分10分) 已知函数y =y(x)满足微分方程 x 2 y 2y 、1-y ■，且y(2) =0，求y(x)的极大值与极小值 【考点】微分方程、函数的极值所以：x 二114 2312\j0x （—x 2+2x+1）dx （寸 3X 2X ）0 11o （—x 2 2x 1）dx（寸 xx ）20二次型对应的系数矩阵为:0 -1 2 a2°」=O ,记特征值为、J?, '3x In （1-）【详解】17、(本题满分10分)设平面区域 D -；(x, y) 1 _x 2y 2_4,x _0, y _0^，计算Xsin(、x口dxdy •Dx+y【考点】二重积分的计算、轮换对称性 【详解】积分区域D 关于y = x 对称，利用轮对称行， 18、(本题满分10分)_2_2设函数f (u)具有2阶连续导数，z=f(e x cosy)满足—f —| = (4z e x cosy)e 2x .dx dy若 f (0) = 0 , f (0) = 0，求 f (u)的表达式•【考点】多元函数求偏导、二阶常系数非齐次线性微分方程 【详解】 令 u = e x cosy即：f (u) -4f(u) =u对应的齐次微分方程的特征方程为：『-4 =0解得：* = 2, r 2 二-2故齐次微分方程的通解为: 设 f *(u) =au b ，则 f * (u) =a, f * (u) =0，、 1 * 1代入微分方程解得： a ,b =0，即f (u) u44故 f (u^C 1e 2x C 2e'x 丄4所以 f (u) =2Ge 2u -2C 2ed -丄，f (u^4C 1e 2u 4C 2e ②4因为 f (0) =0， f (0) =0，代入解得：G1,C 2116 1612x1- 2 x1所以 f(u) e e u16 16419、(本题满分10分)2u2uf (u)二 Ge C 2e设函数f(x), g(x)在区间［a,b］上连续，且f(x)单调增加，Omg(x)乞1.x证明：(I) (I) 0 兰 a g(t)dt 兰X —a, X^［a,b］；ba+J g(t)dt b(II) f(x)dx » f (x)g(x)dxa -a【考点】定积分中值定理、不等式的证明【详解】(I)【解法一】因为函数g(x)在区间［a,b］上连续，且O_g(x)_1.XX x所以Odt 空g(t)dt » 1dta -a -ax即0 空g(t)dt 乞x「aa【解法二】x由定积分中值定理知：存在(a,b)，使得g(t)dt =(x-a)g( J，L a又因为x • ［a,b］时0乞g(x)空1，所以0 二(x-a)g( )^(x「a)x即0 g(t)dt _ x - aa【解法三】xx a+［g(t)dt(II )令F(x)「a f(u)g(u)du — .a a f (u)du20、(本题满分11分)设函数f(x) —，［0,1］.定义数列1 +xt(x)二f(x)，f2(X)二f ( f’X))，…，f n(x)二f (f n4(x))，-记S n是由曲线y = f n (x)，直线X =1及X轴所围平面图形的面积，求极限lim nS n. n ?:【考点】定积分求面积、函数求极限【详解】21、(本题满分11分)汙2已知函数f (x, y)满足- 2( y 1)，且f (y, y) = (y 1) - (2 - y)ln y.求曲线f (x, y) = 0 所围图形绕直线y =-1旋转所成旋转体的体积• 【考点】偏积分、隐函数、旋转体的体积 【详解】(f2由函数 f (x, y)满足 2(y1)可知：f (x,y)二 y 2 • 2y •「(x)又 f(y,y) =y 2 2y：(y) =(y 1)2-(2-y)ln y所以：(y) =1 -(2 - y)ln y所以 f(x,y)二 y 2 2y 「(x)二 y 2 2y 1 _(2 — x)ln x = (y 1)2 _(2-x)ln x 令 y 1，贝U f(x, y) =0对应的曲线方程为：z 2 =(2-x)lnx ，定义域为[1,2]则曲线f(x,y)=0所围图形绕直线y =-1旋转，即Z 2=(2-X )I nx 绕z =0旋转，所成的旋转体体积22、(本题满分11 分)3 -4'1 _2设A0 1 _1 1,E 为3阶单位矩阵2 0一(I) 求方程组 Ax =0的一个基础解系; (II) 求满足AB =E 的所有矩阵B . 【考点】解线性方程组 【详解】% = -x 4x 2 =2x 4 (I )方程组Ax =0的同解方程组为2 〜，即基础解系为 帆=3x 4 X 4 二 X 4-1(II ) Ax 二的同解方程组为: Ax 的同解方程组为: X2 X1 X3X4■■n、 1 = —X4 —1■-1"■-1x2 =2x4 +121 0的同解方程组为：，即通解为k3+X3 =3X4 +1310丿X4 = X4 + 0、、0丿4 Ax =X[ = —X4 x2=2X4 x3 —3x4X4 =X4X +2 2& -1 3k 。
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上. (1) 下列曲线有渐近线的是()(A) y = x +sin x (C) y = x + sin 1x(B) y = x 2 + sin x (D) y = x 2 + sin 1x【答案】(C)x + sin 1 sin 1【解析】关于C 选项： limx = lim1+ lim x = 1+ 0 = 1 ，又x →∞?x x →∞ x →∞ xlim[x + sin 1 - x ] = limsin 1 = 0 ，所以 y = x + sin 1存在斜渐近线y = x . x →∞?x 故选(C).x →∞ x x(2) 设函数 f (x ) 具有二阶导数， g (x ) = f (0)(1- x ) + f (1)x ，则在区间[0,1] 上 ()(A) 当f '(x ) ≥ 0 时，f (x ) ≥ g (x )(B) 当f '(x ) ≥ 0 时，f (x ) ≤ g (x )(C) 当f ''(x ) ≥ 0 时，f (x ) ≥ g (x )(D) 当f ''(x ) ≥ 0 时，f (x ) ≤ g (x )【答案】(D)【解析】令 F (x ) = g (x ) - f (x ) = f (0)(1- x ) + f (1)x - f (x ) ，则F (0) = F (1) = 0 ,F '(x ) = - f (0) + f (1) - f '(x ) , F '(x ) =- f '(x ) .若f ''(x ) ≥ 0 ，则F ''(x ) ≤ 0 ， F (x ) 在[0,1] 上为凸的.又 F (0) = F (1) = 0 ，所以当x ∈[0,1] 时，F (x ) ≥ 0 ，从而 g (x ) ≥ f (x ) .故选(D).1 1- y (3) 设 f (x , y ) 是连续函数，则?0dy-f (x , y )dx = ( )1 x -1 0(A)0 dx ?f (x , y )dy + ?-1 dx ?0f (x , y )dy1- y 2 1-x 20 ? ?+ ? ? πππ3 π (x - a cos x - b sin x )2 d x = min π(x - a c os x - b s in x )2d x -π-π ? ?(B)1 1-xdx 0πf (x , y )dy + ?-1 dx ?-1f (x , y )dyπ1(C)2 d θ ?cos θ +sin θ f (r cos θ , r sin θ )dr + ?π d θ ? f (r cos θ , r sin θ )dr2π1π 1(D)2 d θ ?cos θ +sin θ f (r cos θ , r sin θ )rdr + ?πd θ ? f (r cos θ , r sin θ )rdr 02【答案】(D) 【解析】1 1- ydy -f (x , y )dx = ?-1 dx ?011-xf (x , y )dy 0 dx 0f (x , y )dy π1π1= ? 2 d θ ?cos θ +sin θ f (r cos θ , r sin θ )rdr + ?πd θ ? f (r cos θ , r sin θ )rdr . 00 2故选(D).-π 11 a ,b ∈R{?-π}a 1 cos x +b 1 sin x =()(A) 2sin x(B) 2cos x(C) 2π sin x【答案】(A) 【解析】(D) 2π cos x(x - a cos x - b s in x )2 dx = ?π(x - b sin x )2 - 2a cos x (x - b sin x ) + a 2x cos 2 x ?dx= ?-π= ?-π(x 2 - 2bx sin x + b 2 sin 2 x + a 2 cos 2 x )dxx 2dx + 2 π(b 2 sin 2x + a 2 cos 2 x - 2bx sin x )dx 0= 4(a 2 + b 2 ) π ? 1 - 4b π ? 2 + 2 π 32 2 2 3= π (a 2 + b 2 - 4b ) + 2π 33= π ??a 2 + (b - 2)2- 4?? + 2 π 3当a = 0,b = 2 时，积分最小. 故选(A).1-x 21- y 21-x 2(4) 若，则k l(A) (ad - bc )2【答案】(B)(B) -(ad - bc )2(C) a 2d 2 - b 2c 2(D) b 2c 2 - a 2d 2【解析】由行列式的展开定理展开第一列a b 0 a b 0= -a c d 0 - c 0 0 b 0 0 d c d 0= -ad (ad - bc ) + bc (ad - bc )故选(B).= -(ad - bc )2 .(6) 设 a 1, a 2 , a 3 均为三维向量，则对任意常数 k , l ,向量组 a 1 + ka 3 , a 2 + la 3 线性无关是向量组B = (α1 α2 α3 ) 线性无关的()(A) 必要非充分条件 (B)充分非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件【答案】(A)【解析】(α + k αα + l α ) = (ααα ? 1 0 ? ) 0 1 ?. 1323123 ? ? ? ?) 记A = (α1 + k α3α2 + l α3 ) ，B = (α1 α2 α3 ) ， A . 若α1,α2,α3 线性无关，则r (A ) = r (BC ) = r (C ) = 2，故 P (A - B ) = 0.3线性无关.P (B - A ) = 举反例. 令α3 = 0 ，则α1,α2 线性无关，但此时α1,α2,α3 却线性相关.综上所述，对任意常数Q = 40 - 2 p ，向量 p 线性无关是向量 D 线性无关的必要非充分条件. 故选(A).0 a b 0a 0 0 b0 c d 0c 0 0 d1Y (7) 设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P (B ) = 0.5 ， P (A - B ) = 0.3，则 P (B - A ) = ( )(A) 0.1 (B) 0.2 (C) 0.3 (D) 0.4【答案】(B)【解析】已知a =， A 与 f ( x , x , x ) = x 2 - x + 2ax x + 4x x 独立， a ，123121 32 3P (A - B ) = P (A ) - P (AB ) = P (A ) - P (A )P (B )= P (A ) - 0.5P (A ) = 0.5P (A ) = 0.3，则P (A )= 0 .，则 P (B - A ) = P (B ) - P (AB ) = P (B ) - P (A )P (B ) = 0.5 - 0.5?0.6 = 0.5 - 0.3 = 0.2 .故选(B).(8) 设连续性随机变量 X 1 与 X 2 相互独立，且方差均存在， X 1 与 X 2 的概率密度分别为 f 1 (x ) 与1 1 f2 (x ) ，随机变量Y 1 的概率密度为 f Y ( y ) = 2 [ f 1 ( y ) + f 2 ( y )]，随机变量Y 2 = 2( X 1 + X 2 ) ，则(A)(C) EY 1 > EY 2 ， DY 1 > DY 2 EY 1 = EY 2 ， DY 1 < DY 2(B)(D) ()EY 1 = EY 2 ， DY 1 = DY 2EY 1 = EY 2 ，DY 1 > DY 2【答案】(D)【解析】用特殊值法. 不妨设 X 1, X 2N (0,1) ，相互独立.1 1 - y 2- y 2 - y 2 f ( y ) = 1( e 2 2π 2 + e 2π 2 ) = e 2π2 ， Y 1 N (0,1) . 1 1 1 Y 2 = 2 ( X 1 + X 2 ) ， E (Y 2 ) = 2 (E ( X 1 ) + E ( X 2 )) = 0, D (Y 2 ) = 4 (D ( X 1) + D ( X 2 )) = 2 .E (Y ) = E (Y ) = 0, D (Y ) = 1 > D (Y ) = 1.1 2 1 22故选(D).二、填空题：9 14 小题,每小题4 分,共24 分.请将答案写在答．题．纸．指定位置上. (9) 曲面 z = x 2 (1- sin y ) + y 2 (1- sin x ) 在点(1, 0,1) 处的切平面方程为.【答案】2x - y - z = 1【解析】由于 z = x 2 (1- sin y ) + y 2 (1- sin x ) ，所以z ' = 2x (1- sin y ) - cos x ? y 2 ， z ' (1, 0) = 2 ；xxz ' = -x 2 cos y + 2y (1- sin x ) ， z ' (1, 0) = -1.yy所以，曲面在点(1, 0,1) 处的法向量为n ={2, -1, -1}.故切平面方程为2(x -1) + (-1)( y - 0) -(z -1) = 0 ，即2x - y - z = 1.(10) 设 f (x ) 是周期为4 的可导奇函数，且 f '(x ) = 2(x -1), 【答案】1x ∈[0, 2]，则 f (7) = ?. 【解析】由于 f '(x ) = 2(x -1) ，x ∈[0, 2]，所以 f (x ) = (x -1)2 + C ，x ∈[0, 2].又 f (x ) 为奇函数， f (0) = 0 ，代入表达式得C = -1，故f (x ) = (x -1)2 -1，x ∈[0, 2].f (x ) 是以4 为周期的奇函数，故f (7) = f (-1+ 8) = f (-1) = - f (1) = -[(1-1)2 -1] = 1.(11) 微分方程 xy '+ y (ln x -ln y ) = 0满足条件 y (1) = e 3 的解为 y = ?.【答案】 y = xe 2x +1(x > 0)【解析】 xy '+ y (ln x -ln y ) = 0 ? y ' = y ln( y) .x x令u = y，则 y = x ?u ， y ' = xu ' + u ，代入原方程得xxu '+ u = u ln u ? u ' = u (ln u -1)x分离变量得，du =dx ，两边积分可得u (ln u -1) xln | ln u -1|= ln x + C ，即ln u -1 = Cx ., X n ? i故ln y -1 = Cx . 代入初值条件 y (1) = e 3 ，可得C = 2 ，即ln y= 2x +1.x x由上，方程的解为 y = xe 2x +1,(x > 0) .(12) 设 L 是柱面 x 2 + y 2 = 1与平面 y + z = 0 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 ?Lzdx + ydz =.【答案】π【解析】由斯托克斯公式，得= ?? dydz + dzdx ∑= ?? dydz + dzdx = π ，D xy其中D xy ={(x , y ) | x + y ≤ 1}. 2 2(13) 设二次型 f (x , x , x ) = x 2 - x 2 + 2ax x + 4x x 的负惯性指数是 1 ，则 a 的取值范围.【答案】[-2, 2]1 2 3 1 2 1 3 2 3【解析】配方法： f ( x , x , x ) = ( x + ax )2 - a 2x 2 -( x - 2x )2 + 4x 2123133233由于二次型负惯性指数为 1，所以4 - a 2 ≥ 0 ，故-2 ≤ a ≤ 2 .2x,θ < x < 2θ ,(14) 设总体 X 的概率密度为f ( x ;θ ) = ?3θ 20,其他, 其中θ 是未知参数， X 1, X 2 , 为来自总体 X 的简单样本，若 E (c∑ X 2 ) = θ 2 ，则c = ?.【答案】【解析】25n E ( X 2) = i =1+∞ x 2 f (x ;θ )dx =2θ x 2 ? 2x dx-∞θ3θ 2n ?L zdx + ydz = ?? ∑ dydz dzdx dxdy ? ? ?x ?y ?z z 0 yx 1 1 1 ?= 2 ? 1 x 3θ 2 4 4 2θ θ 5θ 2 ， 2n 2 2 5n 2 2E [c ∑ X i ] = ncE ( X i =1 ) = θ 2 ? c = θ ，∴ c = 2.5n三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10 分)x1 ? ? ? ?t 2e t -1? - t ? dt 1 ?? ?求极限lim x →+∞x ?x 2ln ?1+ 1 ? ? ?1 ?.x1 ?【解析】lim x →+∞ ?1 ??t 2 (e t -1) - t ??d t x 2 ln(1+ 1 ) = lim x →+∞ ?1 ??t 2 (e t-1) - t ??d t x 2 ? 1x x1= lim[x 2(e x-1) - x ]x →+∞1 =t ttx= lim-1- t = lim e -1 = lim t = 1 .(16)(本题满分 10 分)t →0+t 2t →0+2t t →0+2t 2 设函数 y = f ( x ) 由方程 y 3 + xy 2 + x 2 y + 6 = 0 确定，求 f ( x ) 的极值.【解析】对方程两边直接求导：3y 2 y ' + y 2 + 2xyy '+ x 2 y '+ 2xy = 0①令 x 1 为极值点，则由极值必要性知： y '(x 1) = 0 ，代入①式得：y 2 (x ) + 2x y (x ) = 0 .即 y (x 1 ) = 0 或 y (x 1 ) = -2x 1 . 将其代入原方程知： y (x 1 ) = 0 （舍去），即 y (x 1 ) = -2x 1 . 代入，有-8x 3 + 4x 3 - 2x 3 + 6 =，∴ x = 1. 即 y (1) = -2 ， y '(1) = 0 .1111= ex2 z ?2 z 对①式两边再求导：6y ( y ')2 + 3y 2 y ' + 2yy '+ 2x ( y ')2 + 2xyy ' + 2yy '+ 2xy '+ x 2 y ' + 2y + 2xy ' = 0 .将 y (1) = -2 ， y '(1) = 0 代入得： y ''(1) = 4> 0 .9∴ y = f (x ) 在 x = 1处取极小值， y = f (1) = -2 .(17)(本题满分 10 分)设函数 f (u ) 具有二阶连续导数， z = f (e f (0) = 0, f '(0) = 0 ，求 f (u ) 的表达式.cos y ) 满足 ?x 2 + ?y 2 = (4z + ex cos y )e 2x 若【解析】zx2 z' x2 x2 ' x x因为?x= f (e cos y )e cos y , = f ?x 2(e cos y )e cos y + f (e cos y )e cos yz= - f ?y '(e x cos y )e x sin y , ?2 z ?y 2= f ' (e x cos y )e 2x cos 2 y - f '(e x cos y )e x cos y 所以， f ' (e x cos y )e 2x = [4 f (e x cos y ) + e x cos y ]e 2xf ' (u ) = 4 f (u ) + u上述方程的通解为f (u ) = C e 2u + C e -2u - u1 24由 f (0) = 0, f '(0) = 0 得C 1 + C 2 = 0 ?2C - 2C = 11 2 4 1 1解得， C 1 = 16 , C 2 = - 16故， f (u ) = 1 e 2u - 1 C e -2u - u16 16 2 4(18)(本题满分 10 分)(x -1)3 dydz ∑+∑110 1 ? + π 7 ∞n∞设∑ 为曲面z = x 2 + y 2 (z ≤ 1) 的上侧，计算曲面积分I = ??(x -1)3 dydz + ( y -1)3 dzdx + (z -1)dxdy .∑【解析】∑ 非闭，补∑ ：平面 z = 1，被 z = x 2 + y 2 所截有限部分下侧，由 Gauss 公式，有 -+ ( y -1)3 d zdx + (z -1)dxdy= ??? ??3(x -1)2 + 3( y -1)2+1?? dVΩ= 3(x 2 + y 2 )dV - 6 xdV - 6 ydV + 7 dVΩΩΩΩ∑ 和∑1 所围立体为Ω ，Ω 关于 yoz 面和 zox 面对称，则 xdV = ydV = 0Ω Ω(x 2 + y 2 )dV =1dxdydzx2+ y 2Ωx 2 + y 2 ≤1 = 2πd θ 1r 2 (1- r 2 )rdr0 0= 2π (1 r 4 4- 1 r 6 6 ) 1 = 2π ( 1 -1 4 6 ) = π 6 dV = ? dz ?? dxdy = ?1π zdz = π0 0 Ω x 2+ y 2≤z∴- ??= 3 π 7 ? π= + π = 4π∑+∑1∴- 6 2 2 2又∑1= ??(z -1)dxdy = - ∑1x 2 + y 2 ≤1(1-1)dxdy = 0∴ I =∑ + 1∑1 - ? ? ∑1= 4-π (19)(本题满分 10 分)设数列{a },{b }满足0 < a < π ，0 < b < π， cos a - a= cosb，且级数∑b 收敛.nnn2n2(I) 证明：lim a = 0 . n →∞nnnn n =1(II) 证明：级数∑a n收敛.n =1 bn∑+∑1= 4π2- π < a n - b n 4 2nn n nn【解析】(I )∑bn 收敛n =1 ∴lim b = 0 n →∞a = cos a - cosb = -2sina n +b nsina n -b n> 0 nnn22∴sina n -b n< 0 2π 又 < ，π a n - b n即： a n < b n∴- < < 04 4 2 又0 < a < b , lim b = 0 n →∞∴lim a = 0 n →∞(II )证明：由(I ) a n= -2sina n +b nsina n -b n22-2sin a n + b n sin a n - bn ∴ a n = ?2 2 b n b n 2a n +b n b n - a n2 2 2 ≤ ?2 2 = b n - a n < bn= b n b n ∞ ∞ b 2b n ∞ 2b n 2a n又∑b 收敛∴ ∑ n收敛, ∑ 收敛 nn =1n =1 2 n =1 b n (20)(本题满分 11 分)1 -23 -4 ? 设矩阵 A =0 1 -1 1 ? ， E 为三阶单位矩阵.1 2 0 - 3? ? ?(I) 求方程组 Ax = 0 的一个基础解系； (II) 求满足 AB = E 的所有矩阵 B .【解析】1 -23 -4 1 0 0 ? ?1 -2 3 -4 1 0 0 ? ( A E ) =0 1 -1 1 0 1 0 ? → 0 1 -1 1 0 1 0 ?1 2 0 -3 0 0 1 ? 0 4 -3 1 -1 0 1 ?1 -23 -4 1 0 0 ? ? 1 0 0 1 2 6 -1?→0 1 -1 1 0 1 0 ? →0 1 0 -2 -1 -3 1 ? ,0 0 1 -3 -1 -4 1 ? 0 0 1 -3 -1 -4 1 ?(I) Ax = 0 的基础解系为ξ = (-1, 2,3,1)T∞1 n(II) e = (1, 0, 0)T , e = (0,1, 0)T , e = (0, 0,1) T123Ax = e 的通解为x = k ξ + (2, -1, -1, 0)T= (2 - k , -1+ 2k , -1+ 3k , k )T 11111 1Ax = e 的通解为x = k ξ + (6, -3, -4, 0)T= (6 - k , -3 + 2k , -4 + 3k , k )T222222Ax = e 的通解为x = k ξ + (-1,1,1, 0)T= (-1- k ,1+ 2k ,1+ 3k , k )T3333332 - k 1 -1+ 2k 6 - k 2 -3 + 2k -1- k 3 ? 1+ 2k ?∴ B = 1 2 3 ? （ k , k , k 为任意常数）-1+ 3k - 4 + 3k 1+ 3k ?1231 2 3k 1k 2 (21)(本题满分 11 分)k 3 ? ?11 1? 1 1 1? ? 0 0 1 ?0 0 2 ?证明n 阶矩阵 ? 与 ? 相似. ?1 1 1? ?1? ? ? 0 0 n ?1 ?2 ? 【解析】已知 A = ?(1 1) ， B = ?(0 0 1) ，则 A 的特征值为n ， 0 ( n -1重).A 属于λ = n 的特征向量为(1,1, ,1)T ； r ( A ) = 1，故 Ax = 0 基础解系有 n -1个线性无关的解向量，即 A 属于λ = 0 有 n -1 个线性无关的特征向量，故A 相似于对角阵n ? 0 ?Λ =. ? 0B 的特征值为 n ， 0 ( n -1重)，同理 B 属于λ = 0 有 n -1个线性无关的特征向量，故 B 相似于对角阵Λ .由相似关系的传递性， A 相似于 B .(22)(本题满分 11 分)设随机变量 X 的概率分布为 P {X = 1} = P {X = 2} =Y 服从均匀分布U (0,i ),(i = 1, 2).1, 在给定 X = i 的条件下，随机变量 21 ? 4 ? 4Y（I ）求Y 的分布函数 F Y ( y ) ；（II ）求 EY .【解析】（I ）设Y 的分布函数为 F Y (y) ，则F Y ( y ) = P {Y ≤ y } = P {X = 1}P {Y ≤ y | X = 1}+ P {X = 2}P {Y ≤ y | X = 2}= 1 P {Y ≤ y | X = 1} + 1 P {Y ≤ y | X = 2} 2 2当 y < 0 时， F Y ( y ) = 0 ；1 y 3y当0 ≤ y < 1时， F Y ( y ) = 2 (y + 2 ) = 4 ；1 y当1 ≤ y < 2 时， F Y ( y ) = 2 (1+ 2)；当y ≥ 2 时， F Y ( y ) = 1. 所以Y 的分布函数为0, ? 3yy < 0 ? ,0 ≤ y < 1 F ( y ) = ? 4Y(1+ y ), 1 ≤ y < 2(II) Y 的概率密度为2 2 ? 1, y ≥ 2 ? 3, 0 < y < 1, ?1 f (y) = ? , 1 ≤ y < 2, ? ? 0, ??E (Y )=?+∞f Y ( y ) d y = ?1y 3dy + ?2y 1dy 其他. -∞ 0 4 1 4 3 1 1 1 3 = ? + ? (4 -1) = 4 2 4 2 4(23)(本题满分 11 分)1- e { }nθ θ = ? ?+∞+∞设总体 X 的分布函数为? F (x ;θ ) = ? ??0,- x 2θ，x ≥ 0,x < 0, 其中θ 是未知参数且大于零. X 1, X 2 , , X n 为来自总体 X 的简单随机样本.（I ）求 E ( X ) ， E ( X 2 ) ；（I I ）求θ 的最大似然估计量θn ；（I I I ）是否存在实数a ，使得对任何ε > 0 ，都有lim P θ - a ≥ ε = 0 ？n →∞2x 【解析】 X 的概率密度为f (x ;θ ) = F '(x ;θ ) = ?- x 2 e θ, x > 0（I ） E ( X ) =+∞xf (x ; )dxx 2xθ0 , 其它 - x 2 e θdx= - xde- x 2θ= -[xex 2+∞+∞ -x 2e θdx ]= ?e - x 2θdx= 12E ( X 2) = ?2+∞ x 2 f (x ;θ )dx = ?+∞x 2 2x e2 θ dx -∞θ= - x 2de- x 2θ= -[x 2ex 2 +∞+∞ -x 2e θ 02xdx ]= θ ? +∞2x θ- x 2 e θdx= θ+∞ =πθ θ 2π θ2 θ - ? - -∞--n x i n n n ? i ] [ x n ] 0 n n ? n 2x - x i 2 n ∏ i e θ, x i > 0（II ）似然函数L (θ ) = ∏ f (x ;θ ) == ?i =1 θi =10 , 其它2x - x i2当 x i > 0(i = 1,, n ) 时，L (θ) =∏ i e θ，i =1θnx 2 ln L (θ ) = ∑[ ln 2x - ln θ - i]i =1d ln L (θ ) = ∑ni- 1 + x 2 θ= 1 ∑ 2 - θ = d θ i =1 θ θ 2θ 2 i =1θ = 1∑n 2i =11 2所以，θ 的最大似然估计量为θn = ∑ X ii =1（III ）依题意，问θ? 是否为θ 的一致估计量.1 2 2E (θn ) = E ( ∑ X i i =1) = E ( X ) = θD (θ? ) = 1 D ( X 2 ) = 1[E ( X 4 ) - E 2 ( X 2 )]nE ( X 4) = ?+∞ x 4 f (x ;θ )dx = ?+∞x 4 2x e - x 2 θdx -∞0 θ= - x 4de- x 2θ= -[x 4ex 2 +∞+∞ - x 2e θ 04x 3dx ]= 4?x 3e - x2θdx= -2θ+∞x 2de- x 2 θ= -2θ[x 2ex 2 +∞ 0+∞ -e θ 02xdx ]+∞ i θ θn- ?- ?[ 0 解得 -+∞-= 4θ ? -x 2xe θdx= -2θ2 ?- x 2xeθd (- ) 0θ= 2θ 2∴ ? 1 2 2 θ 2D (θn ) = n [2θ -θ ] =nlim D (θ? ) = 0 ∴θ? 为θ 的一致估计量∴a = θn →∞nn+∞ +∞ 2。
云南大学《高等代数》《数学分析》考研真题汇编(2009-2017年汇总)
ห้องสมุดไป่ตู้28
3
1. 2009年 HŒÆ《高等代数》ïÄ)\Æ•ÁÁK
˜! W˜K( 6 K, zK 5 ©, 30 ©)
1. A ´ s • , |A| = m, B • t • , |B| = n, C = 0 A , K |C| =
.
B0
2. g. f (x1, x2, x3) = x21 + 2x22 + 3x23 − 4x1x2 − 4x2x3 IO/´
22
13 HŒÆ 2012 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
23
14 HŒÆ 2013 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
24
15 HŒÆ 2014 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
25
16 HŒÆ 2015 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
26
17 HŒÆ 2016 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
27
18 HŒÆ 2017 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
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提示：本套资料经过精心编排，前 2 页是封面和提示部分，后面是资 料试题部分。资料涵盖了考试的重点知识和题型，可以很好的帮助你 复习备考。资料不在多而在精，一套系统的涵盖考试重点的资料，能 够帮助你很好的提高成绩，减轻学习负担，再加上自己勤奋练习，肯 定能取得理想的成绩。 寄语：无论你是考研、期末考试还是准备其他考试，既然决定了，就 要坚持到底，花几个月的时间，精心准备，在加上资料的帮助，必然 会得到回报。 1. 一份合理科学的学习计划是你备考的领航灯。要有总体的时间规划， 也要有精细到每天的计划，不打无准备的仗。 2. 资料需要反复练习，任何一件看似轻而易举的事情，都是经过反复 刻意练习的结果。公众号:第七代师兄,学习也是一样的，手里的资料， 一定要反复练习几遍，才能孰能生巧，融汇贯通，考场上才能轻松应 对。 3. 态度决定一切，不要手稿眼底，从最基础的知识学起，基础扎实了， 才能平底起高楼，才能将各类知识点运用自如。 4. 坚持到底，无论是考试还是做事情，很多人打败自己的永远是自己。 切记心浮气躁，半途而废。 5. 希望这套资料能够很好的帮助你复习备考，祝学习进步，加油。