解析几何应用题

解析几何应用题

一．填空题

1.嫦娥一号奔月前第一次变轨后运行轨道是以地球中心F 为焦点的椭圆，测得近地点A 距

离地面，远地点B 距离地面，地球半径为，关于这个椭圆有以下四

种说法：①焦距长为；②短半轴长为；③离心率；

其中正确的序号为______ __

2、某桥的桥洞呈抛物线形(如图)，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到

警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度约为 米（精

确到0.1米）

二．解答题

3. 如图示，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，

其中tg α=31，在距离港口O 为13a(a 是正常数)浬北偏东β角的A 处有一个供给科考船物资的小岛，其中cos β=132

，现指挥部紧急征调沿海岸线港口O 正东m 浬的B 处的补给船，速往小岛

A 装运物资供给科考船。该船沿BA 方向不变全速追赶科考船并在C 处相遇。经测算当两船运行的航线与海岸线O

B 围成的△OB

C 面积S 最小时，补给最适宜.

（1）、求S 关于m 的函数关系式S （m ）; （2）、当m 为何值时，补给最适宜？

4.某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的士只能沿道路,AP BP 运送到P 处，100PA m =，

150PB m =，060

APB ∠=，试说明怎样运才能最省工。

北 东

O Z C A

B

5.（本小题满分16分）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限

高4米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.

(Ⅰ)若最大拱高h 为5米，则隧道设计的拱宽l 是多少？

(Ⅱ)若最大拱高h 不小于5.5米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为lh S 4π=

，柱体体积为：底面积乘以高.本题

结果精确到0.1米）

6. (本小题满分16分)河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5 m 时，水面宽为8 m ，一小船

宽4 m ，高2 m ，载货后船露出水面上的部分高

34

m ，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船恰好能通行.

7．某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图2所示，某卡车载一

集装箱，箱宽3m ，车与箱共高4m ，此车能否通过此隧道？请说明理由．

8.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案是：如图，航天器运行（按

顺时针方向）的轨迹方程为125

10022

=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、

⎪⎭⎫ ⎝

⎛764,0M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D . 观测点)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器.

（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；

（2）试问：若航天器在x 轴上方，则在观测点B A 、测得离航天

器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

参考答案1.① ② ③ 2. 2.6 3. .(1)以O 为原，指北方向为y 轴建立直角坐标系，则直线OZ 的方程为y=3x.设点A 的坐标为（x 0,y 0），则x 0=13a cos β=3a ，y 0=13a sin β=2a ,所以A （3a ,2a ）. 又B （m ，0），则直线AB 的方程为 y=m a a -32(x －m).由 y=3x 及 y=m

a a -32(x －m), 求得 C(a m am 732-,a m am 736-).∴ S （m ）＝S OBC ∆＝a m am 7332- (m>37a ). (2)S(m) ＝…＝a [(m －3

7a )＋)37(9492a m a -＋314a ]≥a [29492a ＋314a ]=328a 2当且仅当m －37a ＝)3

7(9492a m a -, 即 m ＝314a (m ＝314a ＞37a ) 时，等号成立.故当m ＝3

14a 浬时，补给最适宜4. 解析：以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，设M 是分界线上的点，则有MA PA MB PB +=+，于是有

15010050MA MB PB PA -=-=-=，这说明这条分界线是以,A B 为焦点的双曲线的右支，在

APB ∆中，由余弦定理得：22202cos60AB AP PB AP PB =+-17500=，从而25a =，

2243754AB c ==，2223750b c a =-=，所以所求分界线方程为221(25)6253750

x y x -=≥，于是运士时，将此双曲线左侧的士沿AP 运到P 点，右侧的士沿BP 运到P 点最省工。

5．解：(Ⅰ)如图建立直角坐标系，则点P （10，4）， 椭圆方程为12

222=+b y a x .将b=h =5与点P 坐标代入椭圆方程，得3.333

1002,350≈===

a l a 此时.因此隧道的拱宽约为33.3米.（II ）由椭圆方程12222=+

b y a x ，得.14102222=+b a 7.5,3.28220224,210,21410,.28024,,2,804102410122222222≈=≈======≥====≥⨯⨯≥+=b h a l b a b

a S a

b lh S b h a l ab ab b a 此时得有取最小值时当所以且即因为

πππ

故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.