高中数学必修四全套学案答案

参考答案
第一章 三角函数
§1．1 任意角和弧度制 §1．1．1 任意角
【小试身手、轻松过关】
5、B
6、D
7、D
8、{
}
372,12,348,708-- 【基础训练、锋芒初显】
9、D 10、B 11、D 12、C 13、
191与
169-；
14、{
}Z k k ∈+⋅=,135360|
αα； 15、 120与
300
16、（1）∵
150360210+-=-，
∴与
210-终边相同的角的集合为
{}
Z k k ∈+⋅=,150360| αα。

其中最小正角为 150，最大负角为
210-。

（2）∵'233153605'371484
+⋅-=-，
∴与731484'-
终边相同的角的集合为
{}
Z k k ∈+⋅=,'23315360| αα， 其中最小正角为'23315 ，最大负角为'3744
-。

17、B
【举一反三、能力拓展】
18
、
(1){}{}
4536090360,180360
225360,k k k Z
k k k Z αααα+⋅≤≤+⋅∈+⋅≤≤+⋅∈
(2) {}{}
90360150360,240
360360360,k k k Z k k k Z αααα+⋅≤≤+⋅∈+⋅≤≤+⋅∈
(3) {}904590,k k k Z αα⋅≤≤+⋅∈ 19、∵
180********+⋅<<+⋅k k α，
∴
901802
45180+⋅<<
+⋅k k α
；
当k 为偶数时，2α在第一象限，当k 为奇数时，2α
在第三象限； 即：2α
为第一或第三象限角。

∵
360360221803602+⋅<<+⋅k k α， ∴α2的终边在下半平面。

20、∵ α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k ∈Z ，
∴ ，k ∈Z 。

1)当k ＝3n 时，则有 ，n ∈Z
∴ 是第一象限角。

2)当k ＝3n ＋1时， ，n ∈Z
∴ 为第二象限角。

3)当k ＝3n ＋2时， ，n ∈Z
∴ 为第三象限角。

综上，知 为第一、二、三象限角。

§1．1．2 弧度制
【小试身手、轻松过关】
5、C
6、Ｂ
7、C
8、D
【基础训练、锋芒初显】
9、15； -157、30； 390
10、
5
π；127π-；245π．
11、B 12、B
13、{
}
2223
6
,S k k k Z π
αππαπ=-<<+
∈
{
}
4
2
,S k k k Z π
π
απαπ=+
<<+
∈,
{
}
22222,3
3
,S k k k k k Z
π
παπαππ
αππ=<<+
+
<<+∈或
【举一反三、能力拓展】
14、中心角 时，2
max 16
C
S =
15、10π，6π 16、∵弧长R R l ==
α，∴2,63==R R ；于是 ()222
1cm Rl S ==．
§1．2 任意角的三角函数 §1．2．1 任意角的三角函数
第一课时 任意角的三角函数的定义 三角函数的定义域和函数
值
【小试身手、轻松过关】
4、A
5、B
6、A
7、A
8、B
9、B 10、 B
【基础训练、锋芒初显】
11、⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+<
<+-
Z k k k ,2222
|ππ
αππ
α； 12、12=m 时，1317cos sin =
+αα；12-=m 时，13
7
cos sin -=+αα．3 13、21sin ±=θ；3
3
tan =θ． 14、
4
745πθπ<<． 15、D 【举一反三、能力拓展】
16、（1）取)15,8(1P ，则17=r ，28
15
817log tan sec log 2
2-=-=-αα； （2）取)15,8(2--P ，则17=r ，28
15817log tan sec log 22=--
=-αα 17、（1）∵3,4-==y x ，∴5=r ，于是：5
254532cos sin 2-=+-⋅=+αα． （2）∵a y a x 3,4-==，∴a r 5=，于是：
当0>a 时，52
54532cos sin 2-=+-⋅
=+αα 当0<a 时，5
2
54532cos sin 2=-+
⋅=+αα
（3）若角α终边过点()3,4P ，则25
4
532cos sin 2=+⋅
=+αα； 若角α终边过点()3,4-P ，则52
54532cos sin 2=-+
⋅=+αα； 若角α终边过点()3,4--P ，则254532cos sin 2-=-+-⋅=+αα； 若角α终边过点()3,4-P ，则5
254532cos sin 2-=+-⋅
=+αα．
§1．2．1 任意角的三角函数
第二课时 诱导公式一 三角函数线
【小试身手、轻松过关】
4、C
5、D
6、C
7、2；
【基础训练、锋芒初显】
8、D 9、D 10、B 11、B 12、
2125m ； 13、⎥⎦⎤⎢⎣⎡
-21,1； 14、Z k k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛++,43,4ππππ。

【举一反三、能力拓展】
15、略。

16、（1）()Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-
ππππ243,24；
（2）()Z k k k ∈⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡++ππππ235,23；
（3）()Z k k ∈⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∞++-
,4ππ； （4）()Z k k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛++-ππππ23,26。

§1．2．2 同角三角函数的基本关系
【小试身手、轻松过关】
2、B
3、41±
；4
15±(α在一象限时取正号，在三象限时取负号)． 4、1； 5、562cos ±
=α；12
6
tan ±=α(α在一象限时取正号，在二象限时取负号)． 【基础训练、锋芒初显】
6、B
7、B
8、A
9、D 10、()Z k k k ∈+<
<+,22
322
ππ
αππ
11、A 12、B 13、
2529 14、103 15、0=m 或8=m ；43tan -=α或12
5tan -=α 16、C
【举一反三、能力拓展】
17、左边αααααα2222cos sin cos sin 2cos sin -++=()α
ααα222
cos sin cos sin -+=
=-+=-+=
1
tan 1
tan cos sin cos sin αααααα右边．
18、（1）由5
1
cos sin =+ββ可得：
25
1cos sin 21cos cos sin 2sin 2
2
=
+=++ββββββ； 于是：2512cos sin -
=ββ，()25
49cos sin 21cos sin 2
=-=-ββββ； ∵0cos sin <ββ且πβ<<0，∴0sin >β，0cos <β． 于是：5
7cos sin =
-ββ． （2）54sin =β；53cos -=β；3
4tan -=β． 19、αsin
§1．3 三角函数的诱导公式
第一课时 公式二 三 四
【小试身手、轻松过关】
5、B
6、D
7、A
8、D
【基础训练、锋芒初显】
9、C 10、A 11、A 12、D 13、
3
3.
14、αcos -.
15、
5
1. 16、2
1a
a
+-
17、2
2
1+-
. 【举一反三、能力拓展】
18、1-. 19、32. 20、3
2
21+-。

提示：
20、设：αθ=+
75，则31cos =
α且α为第四象限角，∴3
22sin -=α， 于是：()()
θθ++-- 435sin 255cos ()()
αα+++= 360sin 180cos
3
2
21sin cos +-
=+-=αα。

§1．3 三角函数的诱导公式
第二课时 公式五 六
【小试身手、轻松过关】
4、A
5、B
6、C
7、0 【基础训练、锋芒初显】
8、C 9、C 10、C 11、C 12、C
13、
1312．14、211a
a ++-
提示：
14、由已知：a -=
26tan ，于是：2
1126cos a
+=
；2
126sin a
a +-=
．
∴ (
)(
)
2
1126cos 26sin 206cos 206sin a
a ++-=-=-+-
．
15、7．
【举一反三、能力拓展】
16、
2
5
． 17、0． 18、3．
提示：
18、()()()42000cos 2000sin 2000++++=απαπb a f
()[]()[]41999cos 1999sin ++++++=αππαππb a ()()841999cos 1999sin +-+-+-=απαπb a
()381999
=+-=f §1.4.1正弦函数、余弦函数的性质
【知识梳理 双基再现】
31.(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)
22
32.(0,1),(,0)(,1)(,0),(2,1)
22ππ
ππππ
ππ--
【小试身手 轻松过关】
1、R [-1,1]
2、R [-1.1]
3、（略）
4、把sin y x =的图象向左平移22
k π
π+
，或向右平移322
k π
π+
【基础训练 锋芒初显】
1、B
2、B
3、A
4、B
【举一反三 能力拓展】
1、略
2、略
3、一个
§1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
第一课时
【知识梳理 双基再现】
1～3略
【小试身手 轻松过关】 1. 4 2. 2 3. 4. 4ππππ 【基础训练 锋芒初显】
1.24.
2...
3.3.
4.1A π
πϕω
5、是周期函数，周期为π
【举一反三 能力拓展】
1、不是
2、是 周期为2
π
3、是 无最小正期
第二课时
【知识梳理 双基再现】
1、sin()sin cos(-)=cos x x x x -=-
2、原点、奇函数，y 轴 偶函数
3、32,2(), 2,2()2222k k k z k k k z ππππππππ⎡⎤⎡⎤
-
++∈++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
4、[]()22k k k z πππ-∈， []()22k k k z πππ+∈，
5、22
k π
π+
322
K π
π+
6、2K π 2K ππ+
【小试身手 轻松过关】
1、2. 0. 3. －3
2、
|,2x x k k Z ππ⎧⎫
=+∈⎨⎬⎩⎭
3、5|22,6
6x k x k k Z π
πππ⎧
⎫+≤≤+
∈⎨⎬⎩
⎭
4、54532cos
sin cos sin 12545
ππππ
<<-<< 【基础训练 锋芒初显】
1、④
2、5[22]45
k x k ππ
ππ-+<<
+ 3、A 4、D 5、A 6、B 7、B 8、B 9、A 10、5[,2]3π
π 【举一反三 能力拓展】
1.,(0,)
2 (0,)22
cos sin sin()sin 2
π
αβππ
ααβ
π
αβ
∈∴-∈>∴->
sin x 在(0,)2
π
上增函数
2
2
π
αβ
π
αβ∴
->∴+<
2.解：
(4)(4)362
cos(4)cos(4)66
cos[(4)]sin(4)233x x x x x x π
π
π
πππππ
++-=∴-=-=-+=+ 2sin(4)3y x π∴=+周期242
T ππ== 当242()232
k x k k Z π
ππππ-+≤+≤+∈时函数递增，∴函数的递增区间为 5[,]()242242
k k k Z ππππ-++∈ 当3242()232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈时函数递减， ()724224
2k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦函数的递减区间为， 当()242
k x k Z ππ=+
∈时，max 2y =; 当5()242k x k Z ππ=-+∈时，min 2y =-. §1.4.3正切函数的性质与图象
【知识梳理 双基再现】
1.||
2.|,2
3.(,),22x x k k Z R k k k Z π
πωππππππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭
-
++∈ 4.奇
5.①| 2x k x k k Z πππ⎧
⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭
②{}| x x k k Z π=∈ ③| k Z 2x k x k π
ππ⎧⎫
-<<∈⎨⎬⎩⎭ ④|32x k x k ππππ⎧⎫
+<<+⎨⎬⎩⎭
2.C
3.A
4.C
【基础训练 锋芒初显】
1、C
2、B
3、C
4、A
5、C
6、C
7、D
8、C
9、A
10、D 11、C 【举一反三 能力拓展】
1、解：()tan ||f x x =化为
tan (,0)
2()tan (,0)
2x x k x f x k Z x x k x πππ
π⎧
≠+≥⎪⎪=∈⎨⎪-≠+<⎪⎩
可知，函数的定义域为{|,x x R ∈且},2x k k Z π
π≠+∈
值域为(,)-∞+∞图象为:
2、解2262x k k ππ
π
ππ-<-<+ k z ∈
242233k x k k Z π
π
ππ∴-<<+∈ ∴函数在24(2,2)33k k π
π
ππ-+
k Z ∈上递增
3、解：
06
0sin tan cos 12π
απ
ααα<<∴<<<<<
又tan y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增. tan(sin )tan(tan )tan(cos )ααα∴<<
§1.5函数sin()y A x ωϕ=+的图象
【知识梳理 双基再现】
1、向左；向右
2、缩短；伸长
3、伸长；缩短；[-A,A]；A;-A
4、向左；向右;缩短；伸长；伸长；缩短
【小试身手 轻松过关】
1、D
2、C
3、B
4、D 点拨：由题干图可知932,()344A T πππ==
--=， 由23ππω=，得22,2sin(),33
y x ωϕ=∴=+ 由“五点法”中的第一零点323(,0),0,4342
πππϕϕ∴⨯+=∴=-， 5、B
6、sin() 3y x π
=- c o s (2)
3y x π
=+ 【基础训练 锋芒初显】
1、A
2、A
3、D
4、A
5、A
6、B
7、D
8、
C
39.44(2
4;2x k k Z x k πππππ=+∈=-
-
10、()2
k k Z ππ-∈ 11、2sin(2)6y x π=+
12、10
π 13、解：22,3,2,sin(3)3
T A y x ππωϕω=
====+ ∵图象过55(,0)sin(3)099ππϕ∴⨯+= 即5sin()03
πϕ+=又||ϕπ< 故函数解析式为2sin(3)3y x π=+
. 14、解：cos()2y x π
=-，即为sin y x =
cos(2)6y x π∴=-横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得cos()6
y x π=-，再沿x 轴向右平移3
π个单位，得cos()63y x ππ=--,即cos()sin 2y x x π=-= 15、解：设sin()y A x ωϕ=+, 由图象知
5323,,2223
T T ππππω=-=∴=∴= 又A=5，将最高点(,5)4π代入25sin()3y x ϕ=+，得25sin()534y πϕ=⨯+=所以 2,
622()
3||,325sin()33
k k k Z y x π
π
ϕππ
ϕππ
ϕπϕπ+=+∴=+∈<∴=∴=+
【举一反三 能力拓展】
1、解：A=2，半周期
13,6,,2sin().233
T x T y ππωϕ===∴=+ 又10,1,sin ,||,226
x y ππϕϕϕ===<∴= ∴解析式2sin()36
x y π=+ 2、解：（1）该函数的周期134,33
T πππ=-= 所以212
T πω==，又A=3, 所以所给图象是曲线3sin 2x y =沿X 辐向右平移3
π而得到的，于是所求函数的解析式为: 113sin ()3sin()2326
y x x ππ=-=-. 设（x,y ）为13s i n ()26
y x π=-上任意一点，该点关于直线2x π=对称点应为(4,)x y π-,所为与13sin()26y x π=-关于直线2x π=对称的函数解析式是13sin()26y x π=-+ 3、解：由图可知:
3035,()222236
T A πππ-=
==--=, 则5226.535
3
T T πππωπ=∴=== 而66(),5532
x ππϕϕ+=⨯-+= 910ϕπ∴= 则函数解析式为
3693sin()25102
y x π=++. §1.6三角函数模型的简单应用
【知识梳理 双基再现】
1、周期
2、π
3、B
【小试身手 轻松过关】
1、A
2、52sin()24
y x ππ=+ 3、B 【基础训练 锋芒初显】
1、A 点拨:如图所示,
在Rt ABO ∆中，3,tan 30
h BO =
= 在Rt AOC ∆中，CO AO h == 在Rt BOC ∆
2h =
2、（1）最大用电量为50万度，最小用电量为30万度.
（2）观察图象可知，从8～14时的图象是sin()y A x b ωϕ=++的半个周期的图象, 11(5030)10,(5030)402212148,26
10sin()40.6A b y x ππωωπϕ∴=⨯-==⨯+=⨯=-∴=∴=++ 将8,
30x y ==代入上式，解得
,6
π ∴所求解析式为10sin()40,[8,14]66
y x x ππ=++∈, 3、（1）100sin()33I t ππ=+ （2）不能
4、解（1） 4.8sin() 5.6,[0,].2h π
θθ=-+∈+∞
【举一反三 能力拓展】
1、由条件可得：出厂价格函数为ππ=-+12sin(
)644y x ,
销售价格函数为ππ=-+232sin(
)8,44y x 则利润函数为:
)4
sin 222(]6)44sin(28)434sin(2[)(12x m x x m y y m y πππππ
-=---+-=-= 所以，当x=6时，Y=（2+22）m ，即6月份盈利最大.
2、解：( 1)由题中图所示，这段时间的最大温差是30－10＝20（℃）.
（2）图中从6时到14时的图像是函数 的半个周期的图像，
∴ ，解得 ．
由图示， ， ．
这时 ．将x=6， 代入上式，可得 ．
综上，所求解析式为 ， ．
第一章三角函数单元测试
1. B
2. C
3. D
4. A
5. Ａ
6.C
7.C
8.Ｂ
9.B 10. B 11.Ｄ 12.D 13. ),0(π 14.x x cos 2sin - 15.21 16.2
3-
17．原式221112=-+-+12=
18．3tan 2
απαπ=<<且
sin 0,cos 0αα∴<<，
由22sin sin cos 1αααα⎧=⎪⎨+=⎪⎩
得sin 1
cos 2
αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪
⎩sin cos αα∴-= 19．设需x 秒上升100cm .则
π
π15,100502460=∴=⨯⨯⨯x x （秒） 20。

–2tan α
21．2tan 2tan 5y x a x =++22(tan )5x a a =+-+ [,]42x ππ∈tan [1,]x ∴∈+∞∴ 当1a ≤-时，25y a ≥-+，此时tan x a =- ∴ 当1a >-时，25y a ≥+，此时tan 1x =
22．④②或②⑥
第二章 平面向量
§2．1平面向量的实际背景及基本概念
§2．1.1平面向量的概念及几何表示
【小试身手、轻松过关】
1．√ 2．× 3．× 4．× 5．× 6．× 7．√ 8．× 9．× 10．√ 【基础训练、锋芒初显】
11．力、位移、速度 12．A 13．零向量O 14．①③
【举一反三、能力拓展】
15．直线 16．圆
§2.1.2 相等向量与共线向量
【小试身手、轻松过关】
1．B 2．C 3．C 4．C 5．C 6．D 7．D 8．D 9．D 10．B
【基础训练、锋芒初显】
11．2，相同，2相反 12．AO 、CO 、OC 、OD 、DO 、OB 、BO ，、
13．OC ，,BA CD 14．同一个点上
【举一反三、能力拓展】
15．与OA 相等和向量有：,,DO CB EF ，与OB 相等的向量有：,,FO AB ED
16．略
17．（1）,,,,,,BA ED DE DC CD EC CE （2）5 18．略
§2 .2 平面向量的线性运算
§2．2.1向量的加法及其几何意义
【小试身手、轻松过关】
1．D 2．C 3．D 4．C
【基础训练、锋芒初显】
5．D 6．C 7．D 8．B 9．A 10．B
【举一反三、能力拓展】
11．,,,MC O BA AC 12．同向，反向且||||a b >，反向且||||,,a b <<≤
13．向东偏北45°走
§2.2.2 向量减法运算及其几何意义
【小试身手、轻松过关】
1．C 2．C 3．A 4．C
【基础训练、锋芒初显】
5．C 6．C 7．D 8．A
【举一反三、能力拓展】
9．AB
10．700km ，北偏西，500km 。

§2.2.3向量数乘运算及其几何意义
【小试身手、轻松过关】
1．10a - 2．8a 3．55a b + 4． 666a b c +- 5．15a 6．
10a b + 7．B 【基础训练、锋芒初显】
8．C 9．3/2 10. 略
§2．3 平面向量的基本定理及坐标表示
§2．3.1 平面向量的基本定理
【小试身手、轻松过关】
1、C
2、B
3、B
4、C 【基础训练、锋芒初显】
5、C
6、C
7、D
8、D
9、7923,44
a b a b +-－ 10、－8 【举一反三、能力拓展】
11、②③⑤ 12、k=2 13、k=1±
§2．3.2 平面向量的正交分角及坐标表示
【小试身手、轻松过关】
1、（2，3）（6，5）
2、（2）
【基础训练、锋芒初显】
3、B
4、D
【举一反三、能力拓展】
5、略
§2．3.3 平面向量的坐标运算
1
2【小试身手、轻松过关】
1．（2，-3），（-4，-7），（-3，6），（13，-21） 2．（5，-8）
【基础训练、锋芒初显】
3．（-1.1） 4．（3，2）
【举一反三、能力拓展】
5．C 6．D 7．A 8．B 【举一反三、能力拓展】 9．(0,3)(2,1)a b ==
10．设点M （x ，y ）是线段AB 的中点，则1
2OM OA OB ⎡⎤=
+⎣
⎦
上式换用向量的坐标得[]1122121211
(,)(,)(,)(,)22
x y x y x y x x y y =+=++
1212,22x x y y x y ++∴== 11．1(,2)2
§2．3.4 平面向量共线的坐标表示
【基础训练、锋芒初显】
1．C 2．C 3．D 4．C 5．B 6．D 7．B
【举一反三、能力拓展】
8．①不共线 ②共线 9．略 10．共线
§ 2.4.1平面向量的数量积
1.-4 6.B 11.B 16.a+b =7
a-b =21
∴a+b a-b =21
17. a-b =22
2.4 7.B 12.C
3.
正三角形 8.B 13.B 4.
9.D 14.C 18.(1)m=-2,λ
=-
(2) λ=2 5.10.D
15.D
19.a b=-63
§2.4.2 平面向量、数量积的坐标表示 模 夹角
第一课时
1.D
6.C 11.-63
16.(4.2)或（-4.-2）
2.A
7.
12.D 17.不能，提示：设C （0,y ）则
AC=(1,y-2)-∴AC CB=4-+(y-2)(-1-y)
2217
=-y +y 2=(y-)-<0
24
--恒
成立
∴AC CB 不垂直于,即ABC ∠≠900
,故不能
3.-7
8.450
13.B 4.32
9.A
14.D
10.D
15.C
第二课时
1. λ =2 5.A
2.C 6.D 10.②④
3.x=0
7.C
11.C 4.λ <3
x 62
≠-且 8.D
12.D
13.(1)k=19 (2)平行反向
§2.5 平面向量 应用举例 §2.5.1 平面几何的向量方法
1.B
2.4a
3.A
4.(4,-4)
5.证明：由已知可知可设AB=BC=a,DE=FD=b ∴AE=AB+BE=a+b,FC=FD+DC=b+a
∵a+b=b+a ∴AE=FC AE:FC 即边平等且相等，∴AECF 是平行四边形
4003
6.7略
8.连结EC,EB,则EC=ED+DC,EB=EA+AB
又因ED+EA=0,EC+EB=AB+DC+ED+EA=AB+DC 所以
在EBC 中，因F 为BC 中点，故EF 是EC ，EB 为斜边的平等四边的对角线的一半，则
1
EF EC+EB)2＝（
故1
EF=(AB+DC)EF AB CD 2
⇒
9.10.略
11.AP:PM=4:1
§2.5.2 向量在物理中的应用举例
1.C
2.D
3.B
4.(-3,-4)
5.D
6.B
7.D
8.13N
9.
或 11.AD 方向为北偏西400
,且AD =200(km)５６
12.解：(1)W=0F S cos a (2)W=F s (3) F s=F S cosa ,因为余弦函数在［0,π］上是减函数，所以，当a 逐渐增大时，F s 逐渐减少。

13.解：如图设AB 表示水流速度；AC 表示船垂直对岸的行驶速度，以AB 为一边，AC 为一对角线作
ABCD ，则AD 就是船的实际航行速度。

∵
AB =4 3.AC =12,
∴
AD=BC=83
,
tan ∠∴∠CAD=∠ACB=300, ∠BAD=1200. 答：船的航行速度大小为，方向与水流夹角1200
.
14.解：设a 表示此人以每小时a 公里的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为-a.
B
设实际风度为v,
那么此时的人感到的风速为v-a,设OA=aOB=2--,
∵PO+OA=PA,∴PA=v a,-这就是感到由正北方向吹来的风速。

∵PO+OB=PB,∴PB=v 2a -，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB 。

由题意：∠PBO ＝450
,PA ⊥BO,BA=AO,
从而，POB 为等腰三角形，∴v
15.解：设CE CF 、分别表示A 、B 处所受的力，重力用CG G W （与重合）表示为100N ，则CE CF=CG ＋.
∵∠ACG=1500
, ∠BCG =1200
, ∴∠BCE=∠ACB=3600
-1500
-1200
-900
， ∴∠BCG=∠BCG-∠BCE=1200
-900
=300
.
A
O
同理可得∠FCG ＝600
.
∴0
CE =EG cos30=100?
01
CF =CG cos 60=100?50N 2
＝。

第二章平面向量单元测试
一．选择：ABBBB CC 二．填充：
(8)±12 (9) (2,1) (10) 10 (11)k<0且k ≠-1 三.解答:
(12)2
3
=
(13)213
331132±-=或或k
(14) ①2
11
=
⋅ ;②900 (15) ①(略);
②6
1
cos =x
第三章 三角恒等变换
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
§3.1.1 两角和与差的余弦公式
【小试身手、轻松过关】
1、
462,426-+ 2、--4
26+,42
6- 3、3512 3528- 4、 2627-
【基础训练、锋芒初显】
5、 6、B 7、 8、65
16
;127253+127
253-34
3815cos
±=α
【举一反三、能力拓展】
9、2－3 （提示7o
=15o
-8o
） 10、B
§3.1.2 两角和与差的正弦、正切和余切
【小试身手、轻松过关】
1、21-
2、C
3、A
4、10
362+- 5、1 6、αcos
【基础训练、锋芒初显】
7、1663-
8、3
7 9、2 10、C 【举一反三、能力拓展】 11、253204 12、4
3-
§3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
【小试身手、轻松过关】
1、
42 2、22 3、22- 4、21 5、2
2 6、αcos 7、α2tan
8、2
【基础训练、锋芒初显】
9、C 10、C 11、D 12、
57 13、119120169120169120、－、- 14、 9
2
4－
15、24
7
【举一反三、能力拓展】
16、50231－
17、3
3
21， 两角和与差的三角函数单元测试
【课内四基达标】
一、1.B 2.C 3.A 4.C 5.C 6.B 7.A 8.A 9.D 10.C
二、11.
4π 12. 41k π，k ∈Z 13. 33 14.［-214，2
14］
由①2
+②2
得:2+2cos(α-β)＝1
⇒ cos(α-β)＝-2
1
⇒ cos(α+β)＝2cos 2
2
β
α+ -1＝
2sec
22β
α+-1＝
2
tan
122β
α++-1
⇒ cos(α+β)＝
1
12
+-1＝0 16.解：∵tan α-tan β＝2tan 2
αtan β⇒tan β＝α
α
2
tan 2tan + ∴原式＝
ββαβαs i n s i n 2c o s c o s 2s i n +＝
β
α
tan 2sin +cos2α
＝sin2
α·α
α
tan tan 212++cos2α
＝2sin αcos α·ααtan tan 212++cos 2α-sin 2
α
＝αααα22sin cos cos sin 2+·ααtan tan 212++α
ααα2222sin cos sin cos +-
＝αα2tan 1tan 2+·ααtan tan 212++αα22tan 1tan 1+-＝αα2
2tan 1tan 42+++αα22tan 1tan 1+-＝3 17.解：原式＝︒︒︒10cos 10sin 410cos 22-sin10°(︒︒5sin 5cos -︒︒5cos 5sin )＝︒︒10sin 210cos -sin10°
︒︒︒5cos 5sin 10cos ＝︒︒10sin 210cos -2cos10°＝︒︒-︒10sin 220sin 210cos ＝
︒
︒-︒-︒10sin 2)
1030sin(210cos ＝
︒︒+︒-︒10sin 210sin 310cos 10cos ＝2
3
18.解：B A B A tan tan tan tan +-＝C B C sin sin sin -⇒
B
B A A B B
A A cos sin cos sin cos sin cos sin +
-
＝C
B C sin sin sin - ⇒
)
sin()sin(B A B A +-＝C B
C sin sin sin -
⇒ sin(A-B)＝sinC-sinB ⇒sin(A-B)＝sin(A+B)-sinB ⇒2cosAsinB ＝
sinB ⇒cosA ＝
21⇒A ＝60°⇒cos
2C B +＝2
1
【能力素质提高】
1.解：f(x)＝2cos 2
x-2kcosx+2k-1 令t ＝cosx 则f(t)＝2t 2
-2kt+2k-1 t ∈［-1，1］
①△＝4k 2
-8(2k-1)≤0⇒k 2
-4k+2≤0⇒2-2≤k ≤2+2
总之 k>2+2
2.解：cos(α-
6π)＝1312 ∴sin(α-6π)＝135
∴cos α＝cos ［(α-6π)+6π］＝cos(α-6π)cos 6π-sin(α-6π)sin 6
π
＝1312·23-135
·21＝26
5312- 3.解：∵a n ＝S n -S n-1＝3π［n 2+2n-(n-1)2-2(n-1)］＝3
π (n 2+2n-n 2
+2n-1-2n+2) ＝
3
π
(2n+1) a n -a n-1＝3π［2n+1-2(n-1)-1］＝3
π (2n+1-2n+2-1)＝32π
∴}{n a 是首项为π，公差为3
2π
的等差数列
∴原式＝cos 2
(a n -3
2π)+cos 2a n +cos 2
(a n +
3
2π)＝(-
21
cosa n +2
3 sina n )2+cos 2
a n +(-
21cosa n -2
3 sina n )2＝21cos 2a n +23sin 2a n +cos 2a n ＝23 cos 2a n +23sin 2
a n
＝
2
3
【综合实践创新】
1.C
2.解：(1)当θ2≠
2
π时，θ2＝21 (θ1+θ3) ⇒tan θ2＝tan(21θ1+21
θ3)
⇒
2tan 12tan 2222
θθ
-＝2
tan 2tan 12tan 2tan 3
131θθ
θθ-+ 若tan 2
22θ＝tan 21θ·tan 23θ⇒2tan 22θ＝tan 21
θ +tan 23θ ∴
tan 21θ,tan 22θ,tan 23θ既成等差数列又成等比数列 ∴tan 21θ＝tan 22
θ＝tan 23θ ⇒
θ1＝θ2＝θ3与已知公差不为零矛盾
∴θ2≠2
π
时，tan 21θ,tan 22
θ,tan 23θ不可能成等比数列
(2)若θ2＝2π时，21θ +23θ＝2π⇒ 21θ＝2π-23
θ ⇒tan 21
θ＝cot 23θ ∴
tan 21θ·tan 23θ＝1 又tan 22θ＝tan 4
π＝1 ∴tan 2
22θ＝tan 21
θ·tan 23θ
∴当θ2＝2
π
时，tan 21θ,tan 22
θ,tan 23θ可以成等比数列
3.解：∵∠COB ＝α ∴∠COD ＝π-2α
∴BC ＝2sin 2
α CD ＝2sin 22απ-＝2cos α
∴l ＝2+4sin 2α+2cos α⇒l ＝2cos α+4sin 2α+2， α∈(0，2
π
)
∴l ＝-4sin 22α+4sin 2α+4 当sin 2α＝2
1时，5max =l
§3.2 简单的三角恒等变换
§3.2.1 三角函数求值
【知识梳理、双基再现】
1．1cos 22
θ
-； 1cos 21cos 2;21cos 2θθθ+--； 2． 2α； θ
3．1sin 2θ- ； 1sin 2θ+； 4．tan()4
π
θ+。

【小试身手、轻松过关】 1．
D
2． B 3． A 4． 1 5．
【基本训练、锋芒初显】
6． B 7． B 8． B 9．
18
10． 4
π
11. 解：法一：由已知
2
1
tan ,3tan 1tan 1=⇒=-+θθθ
sin2θ-2cos 2
θ=θ
θθθ2
22cos sin 2cos -sin2+=54tan 12
tan 22-=+-θθ 法二：sin2θ-2cos 2
θ=sin2θ-cos2θ-1=-cos(
θπ
22
+)-sin(
θπ
22
+)-1
=5
41)
4
(tan 1)
4tan(2)4(tan 1)
4(
tan 1222
-=-+++-+++--θπθπ
θπθπ
12. 解：∵),0(,πβα∈，50
7cos -=α
∴),0,33(71tan -∈-=α),0,3
3(31tan -∈-=β ∴),65(
,ππβα∈，α+2β)3,2
5(ππ
∈, 又tan2β=
43
tan 1tan 22
-=-β
β,12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα,
，
6
π
<.
12tan tan 12tan tan )2tan(=-+=
+β
ββa a a 60,2π
βπ<<<a 6
5π
β<
2
5sin 22cot 2tan =
=+a a a 5
4
sin =
a ，
2
π
3
sin
cos 3
cos
sin )3
sin(πππ∙-∙=-a a a 2
35
32
15
4⨯
⨯—33410
1
—（∴α+2β=
4
11π
【举一反三、能力拓展】
13. 解 ∴ < ∵0<β 易求出 。

∴ ∵0< ∴0<＋2 ∴a+24
πβ＝.
14. 解 由已知 得 . ∵0<a< ∴ 从而
＝ ＝ ）
§3.2.2 三角函数化简及证明
【知识梳理、双基再现】
1．12[cos(α+β)+cos(α-β)]；1
2
[sin(α+β)+sin(α-β)]；
2．2sin 2
θϕ+cos 2θϕ-；2cos 2θϕ+sin 2θϕ-；
3．2cos
2
θϕ+cos
2
θϕ-；-2sin
2
θϕ+sin
2
θϕ
-
【小试身手、轻松过关】
10
10sin 2
0=
∈βπβ），且，（2
1.4
32tan ,1
3tan ==ββ5
32sin 1cos =
-=a a
）
a 4(2cos a)-4
cos(a)
-42sin(1
a 2cos 2-∙-πππ
a)
-4cos(a)42sin(1
a 2cos 2π
π∙--1a
2cos a
2cos cos2a 1-a 2cos 2==.sina
sin )cos(a 2sina )a 2sin(sina βββ＝得：+-+1.C
2.D
3.B
4.2sin2
【基本训练、锋芒初显】
5.C.
6.B
7.C
8.C
9.-2
10.cos α 11.32
-
12. 解：原式＝
＝
= 13.
证明 ∵)sina cos(a 2)a 2sin(ββ+-+
=)sina cos(a 2a])sin[(a ββ+-++
＝)sina cos(a 2)sina cos(a )cosa sin(a βββ+-+++ ＝)sina cos(a )cosa sin(a ββ+-+
＝a]-)sin[(a β+ ＝.sin β
两边同除以
【举一反三、能力拓展】
14.解：ααααcos cos )cos(2cos ]1)(cos 2[2
1
)(22x x x x f --+--= =αααα2
2cos cos cos )cos(22
1)(cos +----x x x
=21cos ]cos cos 2))[cos(cos(2
-+---ααααx x x
=2
1cos ]cos cos sin )[sin cos(2
-+--ααααx x x
=ααα2cos 21)]cos()[cos(++--x x x 2cos 2
1
-=
∴)(x f 的值域为]2
1
,21[-，周期为π，是偶函数，
当)](2
,[Z k k k x ∈+∈π
ππ时)(x f 是增函数，当)](,2
[Z k k k x ∈-
∈ππ
π时)(x f 是减
函数。

15. 思路点拨：已知等式中的角有：βαβ+2, 结论等式中的角有：αβα,+
联系：()αβαβ-+=，()αβαβα++=+2 证明：因为()()12sin sin ≠+=m m βαβ 所以()[]()[]αβααβα++=-+sin sin m
所以()()()()αβααβααβααβαsin cos cos sin sin cos cos sin +++=+-+m m 所以()()()()αβααβαsin cos 1cos sin 1++=+-m m 所以()αβαtan 11tan m
m
-+=
+ 《三角恒等变换》单元测试题
1、∵
3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭，∴4sin 5α=，又12
sin 13β=-，β是第三象限角，∴5cos 13β=-，∴
()cos βα-531243313513565⎛⎫⎛⎫=-⨯-+-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2、依题意，∵
5sin 13α=
，∴12cos 13α=，又()4cos 5αβ+=-，∴2π
αβπ<+<，
∴
()3sin 5
αβ+=
，∵
()s i n
s i n []
βαβα=+-，
因
此有
，
3124556
sin 51351365β⎛⎫=⨯--⨯=
⎪⎝⎭
3、∵32,244x k k ππππ⎛
⎫∈-+ ⎪⎝⎭，∴c o s s i n 0x x ->，
即)s i n c o s s i n 0
42x x x π⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，∴
4s i n 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又∵c o s 2s i n 22s i n c o s 244x x x x πππ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
，∴4324
c o s 225525
x ⎛⎫=⨯⨯-=-
⎪⎝⎭
4、由
()()12cos sin sin cos 13x y x x y x +-+=
得()12
sin sin 13x x y y -+=-=⎡⎤⎣⎦，又∵y 是第
四象限角，∴
5
cos 13y =
，∵
2
2sin 1cos 2
tan
2sin 2sin cos 22y y y y y y
-==
5
12
1312313-
==-
- 5因为
()()()1sin
1cos 122
f x x x ππ
+=+++sin cos 2222x x ππππ⎛⎫⎛⎫
=+++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
()
cos
sin
2
2
x x f x π
π
=+-=，∴最小正周期是1T =
5'、∵
()()g x g x -=-，∴()()()()s i n s i n f x x f x x ππ--=-，即得：()()
f x f x -=
成立，∴
()
f x 为偶函数，又∵
()()
2g x g x +=，∴
()()
2f x f x +=，即
()
f x 的周
期为2，选C
6
、∵功
sin 2sin 3w F s t t t π⎛⎫
===- ⎪
⎝⎭，∴2w ≤ 6'、
∵()2c o s 2s i n
22s i n 45a b ϕ
ϕϕ=+=+，
2
a =，
2
b =，因此，
()()()c o s ,s i n 45c o s 904
5c o s
45
a b a b a b
ϕϕϕ⎡⎤==
+=-+=-⎣
⎦，
∴
,4
5
a b ϕ=-
7、∵
1
2cos 222cos 22y x x x x ⎫-=-⎪⎪⎝⎭2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin212x π⎛
⎫=- ⎪
⎝⎭，∵
12
12
2sin 22sin 212y x y x π
π
π⎛⎫−−−−−→==-←−−−−− ⎪⎝⎭向右平移得
向左平移得选D
8、∵42x π
π
<<，∴5244x πππ
<+<，则5c o s 413x π⎛
⎫+=- ⎪
⎝⎭，则式为
sin 22sin cos 2442sin 4cos cos 44x x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--- ⎪ ⎪ ⎪
⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭==
=- ⎪
⎛⎫⎛⎫⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 4x π⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭
9
、
∵
s
n 3c o s
22
x
x y =+2s i n 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令
223
2
3
x k x k π
π
π
ππ+=+⇒=+
()k Z ∈，当1k =-时，53x π=-
10
、∵
()()222
s i n
2s i n c o s 1c o s s i n 222t a n
1c o s s i n 2
2c o s 2s i n c o s 2
22
x x x x x x
x x x
x x ⎛⎫+ ⎪-
+⎝⎭=
=+
++2=-，∴
22tan
42sin 51tan 2x
x =
=-+
11、∵
()11
127tan tan 113
127ααββ-
=-+==⎡⎤⎣⎦⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭
，∴
()()
t
a n 2
t a n αβαβα-=-+⎡⎤⎣
⎦11
321
11
132+
==-⨯，又∵()0,βπ∈，
1tan 7β=-，0,4
πα⎛⎫∈ ⎪
⎝
⎭，∴20παβ-<-<，∴2αβ
-34π
=-
12、∵(
)26x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0m -≤对于566x ππ-≤≤恒成立，即(
)max m f x ≥
13、∵
()s i n 1x y +=
，∴
22x y k ππ+=+，∴22y k x
π
π=+-，∴
()s i n 2s i n (2)2y x k y ππ⎡⎤+=++⎢⎥⎣⎦s i n c o s 2y y π⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭
c o s 22k x ππ⎛⎫
=+- ⎪
⎝⎭
1c o s s i n
23x x π⎛⎫
=-=
= ⎪⎝⎭
14、令
cos 4t x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，∴cos 23
24y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2
2
25215222t ⎛⎛=--+≥---+=- ⎝⎭⎝⎭
15、∵
1cos tan sin 2x x
y x -=
=∴对称中心为()(),0k k Z π∈
16、∵()552sin 22sin 22sin 26612f x x x x πππ⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫=-=+
=+ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，∴周期T π=，①正确；∵递减区间是5322
62x π
ππ≤+
≤，解之为,63ππ⎡⎤-⎢
⎥⎣⎦，②错误；∵对称中心的横
坐标5526212k x k x πππ
π+
=⇒=-，当1k =时，得③正确；应该是向右平移，④不正
确．
17、解：由
15
tan
2
2
tan
2
α
α
+
=
，得1c o s 1c o s 54
s i n s i n
s i n 25
αα
ααα-++=⇒=
，又
02π
α<<
，
∴
3cos 5α=
，所以4134sin 3525210πα-⎛⎫-=⨯-⨯=
⎪⎝
⎭ 18、（1）∵
()f x a b
=，∴
(
)2cos cos f x x x x
ωωω=+
()
11
cos 2222
x x ωω=+1
sin 262
x πω⎛⎫=-+
⎪⎝⎭，即
()5s
i n
26f
x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12+，∴2221T ππωωπ==⇒=；
（2）令
5222,2
6
2
k x k
k
Z
π
π
π
ππ-
≤
+≤
+∈
，
解
之
()
f x 在
2,36k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上递增；同理可求递减区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈．
18'
依题意：
1cos cos
22a b a b
α
θ=
=
==+，又
()
0,απ∈，则
0,22α
π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴12αθ=，同理2cos sin 2
βθ=cos 22βπ⎛⎫=- ⎪
⎝⎭，因(),2βππ∈，所以
0,2
22β
π
π⎛⎫-
∈ ⎪⎝⎭，∴222βπθ=-，将1θ、2θ代入126πθθ-=有23αβπ-=-
，从而有
sin
sin sin 8
1264αβ
πππ-⎛⎫⎛⎫
=-=-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．
19
、
2sin 22cos 1tan αα
α
--()222cos tan 12cos tan 1tan 4ααπααα-⎛⎫==- ⎪
+⎝
⎭cos 241cos 22
2sin 24ππααππα⎡⎤
⎛⎫+- ⎪⎢⎥
+⎝⎭⎣⎦=-⎡⎤
⎛⎫+- ⎪⎢⎥
⎝
⎭⎣⎦()
11cos222cos2tan 4αα
πα=-+=+⎛⎫
+ ⎪
⎝
⎭24tan 422sin 2221tan 4παπαπα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭=++=+ ⎪⎛⎫⎝⎭++
⎪⎝⎭2
142225112⎛⎫- ⎪
⎝⎭=+=⎛⎫+- ⎪
⎝⎭
20、(
)211cos 1cos sin 22sin sin x x f x x x x x +-⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
212c o s 313
s i n c o s 2s i n 2c o s 2
2s i n 222
x x x x x x =+=+
s i n 23x π⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭ （1）∵
02x π<<
，∴422
3
3x π
π
π≤+
<
，
即122x ππ
≤<
时，()f x 为减函数，故()
f x 的递减区间为,122ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）∵
s i n 232x π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，∴()x k k Z π=∈，或()
6
x k k Z π
π=
+∈．
21、（1）令0x y ==，
()()22000022f f f f ππ⎛⎫
⎛⎫
=-
=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
（2）令
2x π
=
，y R ∈，()()()22f f y f y f y π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∵12f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭，∴
()()f y f y
=--，故
()
f x 为奇函数；（3）令
2y π
=
，x R ∈，有()()()
21f x f x f x π=---，即
()()
f x f x π-=……①，再令
2x π
=-
，y x =有
()()()()21f x f x f x ππ-=+--()()
f x f x π+-，
即
()()(
)
f x f x f x
ππ+
=-=-，令x t π-=，则2x t ππ+=+，所以
()()
2f t f t π=+，即
()
f x 是以2π为周期的周期函数．。