二倍角公式及其变形公式

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( × ) (2)存在角 α，使得 sin 2α＝2sin α 成立．( √ ) (3)对于任意的角 α，cos 2α＝2cos α 都不成立．( × )
解析：(1)错误．二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的， 而二倍角的正切公式，要求 α≠π2＋kπ(k∈Z)且 α≠π4＋kπ(k∈Z)， 故此说法错误． (2)正确．当 α＝kπ(k∈Z)时，sin 2α＝2sin α. (3)错误．当 cos α＝1－2 3时，cos 2α＝2cos α.
应用二倍角公式化简(求值)的策略
(1)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”
“形”着手分析，消除差异．
(2)公式逆用：主要形式有 2sin αcos α＝sin 2α，
sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝2sisnin2αα，cos2α－sin2α＝cos 2α，
2tan α 1－tan2
解析：原式＝12×1－2tatann1251°5°＝12tan 30°＝ 63.
答案：
3 6
4．若 sin α＝ 55，则 cos4α－sin4α＝________.
解析：cos4α－sin4α＝(cos2α＋sin2α)(cos2α－sin2α)
＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝1－2×
2．二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广
泛．常用形式：①1＋cos 2α＝2cos2α，②cos2α＝1＋c2os 2α，
③1－cos
2α＝2sin2α，④sin2α＝1－c2os
2α .
化简求值 求下列各式的值： (1)cosπ5cos25π；(2)12－cos2π8；(3)tan1π2－ 1 π .
则已知条件可化为 sinπ4＋αcosπ4＋α＝16，
tan 12
【解】
(1)原式＝2sinπ5cosπ5πcos25π＝sin25πcoπs25π
2sin5
2sin5
4π π
sin ＝
5π＝
sin5π＝14.
4sin5 4sin5
(2)原式＝1－22cos2π8＝－2cos22π8－1＝－12cosπ4＝－ 42.
(3)原式＝tanta21nπ21π－2 1＝－2·1－2tatann1π221π2＝－2×ta1nπ6＝－332＝－2 3.
＝1s6inco9s66°°＝16cocos s66°°＝116.
给值求值 (1)已知 α∈π2，π，sin α＝ 55，则 sin 2α＝__________， cos 2α＝__________，tan 2α＝__________. (2)已知 sinπ4＋αsinπ4－α＝16，且 α∈π2，π，求 tan 4α 的值．
α＝tan
2α.
1.(1)计算：cos 101°－＋cos3s8i0n°10°＝________. (2)求 sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°的值．
1 解：(1)原式＝22cos
10°＋
3 2 sin
2sin240°
10° ＝
2sin 40°＝ 2sin 40°
2.故填
2.
2.cossi2n15151°0－°ssinin22105°5°的值为(
)
A．－12
B．12
C．
3 2
D．－
3 2
1
1
解析：选 B．原式＝cocso2s2250°－°sisnin2202°5°＝2csoisn5400°°＝2ssiinn4400°°＝12.
3.1－tatnan1251°5°＝________．
【解】 (1)因为 α∈π2，π，sin α＝ 55，
所以 cos α＝－255，
所以 sin 2α＝2sin αcos α＝2× 55×－255＝－45，
cos
2α＝1－2sin2α＝1－2×
552＝35，
tan 2α＝csoins 22αα＝－43.故填－45，35，－43.
(2)因为 sinπ4－α＝sinπ2－π4＋α＝cosπ4＋α，
(2)原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
＝24sin
6°cos
6°cos 12°cos 24cos 6°
24°cos
48°
＝23sin
12°cos 12°cos 24°cos 16cos 6°
48°
＝22sin
24°cos 24°cos 16cos 6°
48°＝2sin164c8o°cso6s°48°
α∈R
二倍角的
正切公式
T2α
2tan α tan 2α＝__1_－__t_a_n_2α__
α≠π2＋kπ， α≠π4＋k2π，
其中 k∈Z

2.倍角公式的变形 (1)因为 sin2α＋cos2α＝1，所以公式 C2α 可以变形为 cos 2α＝__1_－__2_si_n_2_α__＝__2_c_o_s_2_α_－__1__；① 或 cos2α＝1＋c2os 2α，sin2α＝1－c2os 2α.② 其中公式①称为升幂公式，②称为降幂公式． (2)常用的两个变形： (sin α＋cos α)2＝sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝1＋sin 2α， (sin α－cos α)2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝1－sin 2α.
二倍角公式及其变形公式
1．二倍角公式
名称 简记符号
公式
适用范围
二倍角的 正弦公式 二倍角的 余弦公式
S2α sin 2α＝__2_s_in__α_c_o_s_α___ cos 2α＝_c_o_s_2_α_－__si_n_2_α__
C2α ＝_1_－__2_s_i_n_2α_＝_2_c_o_s_2α__－__1
552＝35.
答案：35
1．对倍角公式的三点说明 (1)前提：所含各三角函数有意义． (2)联系：公式 S2α，C2α，T2α 是在公式 Sα＋β，Cα＋β，Tα＋β 中，分 别令 β＝α 时，得到的一组公式，即倍角公式是和角公式的特例． (3)倍角公式中的“倍角”的相对性：对于两个角的比值等于 2 的情况都成立，如 6α 是 3α 的 2 倍，3α 是32α的 2 倍．这就是说， “倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．