绝对值三角不等式

几何意义： 表示数轴上实数a,b对应的点A，B之间
的距离，即线段AB的长度
3.设a,b为任意两个实数，则|a+b| 的几何 意义是什么？
复习引入
3. 实数 a 的绝对值 |a| 的运算性质
| x | x
| x | x
2
| x || x |
a a b b
| x | x
|a||b|＝ |ab|
y
ab a
O
b a
x
b
ab b
a
ab
|a b||a| |b| 当且仅当 a 与b 同向时 ，等号成立.
由于定理1与三角形之间的这种联系，我们称其 中的不等式为绝对值三角不等式.
定理1: 如果a,b是实数,则 |a+b||a|+|b| 和的绝对值绝对值的和 当且仅当ab0时,等号成立. 推广： | a1 a2 a3 || a1 | | a2 | | a3 |
思考： |a| +|b|=|a+b| ？
|a| -|b|=|a - b| ？
探究新知
你能用恰当的方法在数轴上把|a|, |b|, |a+b|
表示出来吗？
ab>0 x a+b
O a b



b


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a+b

a+b
O a


ab<0 x
b

a O a+b


x

a O
b

x
探究新知
a、b是实数，用恰当的方法在数轴上把 |a|、|b|、|a+b|表示出来，你能发现|a|+|b|与 |a+b|之间的关系吗？
1、如果把定理1中的实数a,b分别换为向
量 a, b ,能得出什么结果?
定理1的几何意义
b 不共线时， 当向量 a， |a b||a| |b| 当向量 a， b 共线时， 同向：| a b | | a | | b | 反向：| a b | | a | | b |
2、若a,b,c是实数,则|a-c|与|a-b|+|b-c| 有什么关系？
分析:由于a-c, a-b与b-c都是实数,
且a-c=(a-b)+(b-c)
则可使用定理1的结论进行证明. 证明:根据定理1,有: |a-c|=|(a-b)+(b-c)| |a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.
4．求函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的最小值．
解：∵|x－1|＋|x＋1|＝|1－x|＋|x＋1|≥ |1－x＋x＋1|＝2， 当且仅当(1－x)(1＋x)≥0， 即－1≤x≤1时取等号．
∴当－1≤x≤1时，函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|
取得最小值2.
5．若对任意实数，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，求a的 取值范围． 解：a<|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立，
（1）a· b>0时
|a+b|＝|a|+|b|
a+b x a+b b
（2）a· b<0时
a O a+b
O
a
b
a
O
x
|a+b|<|a|+|b|
b
x
b
a+b O
a
x
（3）a· b=0时
|a+b|=|a|+|b|
定理1: 如果a,b是实数,则 |a+b||a|+|b| 和的绝对值绝对值的和 当且仅当ab0时,等号成立.
定理1的完善
||a|-|b|||a+b||a|+|b|，
左边取等的条件为ab 0： 右边取等的条件为ab ≥0
||a|-|b|||a-b||a|+|b|，
左边取等的条件为ab ≥0 ： 右边取等的条件为ab 0
典例示范，应用新知
例1:已知>0 |x-a|< |y-b|<, 求证: |2x+3y-2a-3b|<5 证明: |2x+3y-2a-3b| =|(2x-2a)+(3y-3b)| |2(x-a)|+|3(y- b)| =2|x-a|+3|y-b| <2+3=5 故 |2x+3y-2a-3b|<5
S(x)=2(|x-10|+|x-20|) 方法3：定理2 |x-10|+|x-20|=|x-10|+|20-x||(x-10)+(20-x)|=10 当且仅当(x-10)(20-x)0时取等号. 又解不等式: 20. (x-10)(20-x)0 得: 10x20 故当10x20时, 函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取最小值
1．在掌握本节知识过程中，要充分认识和理解 绝对值的意义和性质： aa≥0时 设 a∈R，则|a|＝ ， －aa＜0时 |a|≥0，－|a|≤a≤|a|，|a|2＝a2. 2．掌握绝对值的运算性质： |ab|＝|a|· |b|； a |a| | |＝ (b≠0)， a2＝|a|. b |b|
公路牌
.10
· x
.x · .20
20
分析:如果生活区建于公路路碑的第x km处,两个 施工队每天往返的路程之和为S(x) km. 那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
故实际问题转化为数学问题:
当x取何值时,函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取得最小值. 解:设生活区应该建于公路路碑的第x km处,两个 施工队每天往返的路程之和为S(x) km,则: S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
何时取等号？
| a1 a2 an || a1 | | a2 | | an |
何时取等号？
定理1: 如果a,b是实数,则 |a+b||a|+|b| 和的绝对值绝对值的和 当且仅当ab0时,等号成立. 1、将定理1中的b换成-b会得到什么结论？
|a-b||a|+|b|，当且仅当ab 0时，等号成立
定理2： 如果a, b, c是实数，那么 |a-c| ≤ |a-b| + |b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时等号成立。 整体代换思想
探究：你能给出定理2的几何解释吗？ 数轴上任意一点到两点的距离的和，不小于这 两点的距离。
定理1的完善
由定理1知： |a+b||a|+|b|， |a-b||a|+|b| 问： |a|-|b|与|a+b|，|a|-|b|与|a-b|有什么关系? ||a|-|b|||a+b|，当且仅当ab 0，等号成立 ||a|-|b|||a-b|，当且仅当ab ≥ 0，等号成立
3．含有绝对值的不等式的性质定理可以推广，如： |a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3|；
|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|；
|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|. 4．在应用含绝对值的不等式求某些函数的最值时一定 要注意符号成立的条件： |a＋b|＝|a|＋|b|(ab≥0)； |a－b|＝|a|＋|b|(ab≤0)； ||a|－|b||＝|a＋b|(ab≤0)； ||a|－|b||＝|a－b|(ab≥0).
C．3个
D．4个
4. 函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为（ A ） A.2 B. C.4 D.6 5. 方程 的解集为______________ 不等式 的解集为_______________
答案： {x|-3<x≤-2或x>0} {x|x>2或x<0}
|a＋b| |a|＞|b| ． 6．不等式 ≥1成立的充要条件是________ |a|－|b|
∴a<[|x＋1|－|x－2|]min.
∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3， ∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3. ∴[|x＋1|－|x－2|]min＝－3. ∴a<－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．
例3.两个施工队分别被安排在公路沿线的两 个地点施工，这两个地点分别位于公路路 牌的第10km和第20km处.现要在公路沿线 建两个施工队的共同临时生活区，每个施 工队每天在生活区和施工地点之间往返一 次. 要使两个施工队每天往返的路程之和最 小，生活区应该建于何处？
7．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2， 5 1 则|a＋b|的最大值是________ ，最小值是________ 8．若1＜a＜8，－4＜b＜2，则a－|b|的取值 (－3,8) ． 范围是________
9. 求函数y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值.
解：∵||x-3|-|x+1||≤|(x-3)-(x+1)|=4, ∴-4≤|x-3|-|x+1|≤4. 即ymax=4, ymin=-4.
练习 1．若a、b∈R，则以下命题正确的是( A A．|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| B．|a|－|b|＜|a－b|＜|a|＋|b| C．当且仅当ab＞0时，|a＋b|＝|a|＋|b| )
D．当且仅当ab≤0时，|a－b|＝|a|－|b|
2．设a，b是满足ab＜0的实数，则下列不等式中正确的 是( B )
反思盘点，整合新知
1.两个定理及拓展：定理1、定理2及几何意义；
| a | | b | | a b || a | | b |
及两边取等号的条件 2.三种思想：分类讨论、数形结合、整体代换
精选作业，拓展新知： 1. 基础练习（必做）：课本P19 第2，4，5 2.
|ab| |a| |b| 能力提升（选作）：1 | a b | 1 | a | 1 | b |
§2.1 绝对值不等式
复习引入
1. 实数 a 的绝对值 |a| 的定义是什么？
|a|=
a, a 0 0, a 0 a, a 0
|a|
几何意义:
O
A a
x
|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离.
复习引入
2.设a,b为任意两个实数，则|a－b| 的几何意 义是什么？ A a |a-b| B b x
S(x)=2(|x-10|+|x-20|) 方法1：去绝对值变成分段函数: 60-4x S(x)=2(|x-10|+|x-20|)= S 60 40 20 O 10 20 30 x 20 4x-60 0<x10 10<x20 x>20
S(x)=2(|x-10|+|x-20|) 方法2：定理1 |x-10|+|x-20||(x-10)-(x-20)|=10 当且仅当(x-10)(x-20) ≤0时取等号. 又解不等式: (x-10)(x-20) ≤0得: 10x20 故当10x20时, 函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取最小值 20.
A．|a＋b|＞|a－b| B．|a＋b|＜|a－b|
C．|a－b|＜||a|－|b||
D．|a－b|＜|a|＋|b|
3．若|a＋b|＜－c，则下列不等式：①a＜－b－c；②a ＋b＜c；③a＋c＜b；④|a|＋c＜|b|；⑤|a|＋|b|＜－c.其中，一 定成立的个数是( B ) A．1个 B．2个
3.预习准备：课本P15---19 绝对值不等式的 解法