平面及其表示方法
一、平面的基本性质

平面的基本性质教学目标:1,并能运用它解决点、线共面问题2,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题教学重点:平面基本性质的三条公理及其作用.教学难点:(1)对“有且只有一个”语句的理解.(2)确定两相交平面的交线.1.平面的概念:平面是没有厚薄的,可以无限延伸,这是平面最基本的属性常见的桌面,黑板面,平静的水面等都是平面的局部形象一个平面把空间分成两部分,一条直线把平面分成两部分2.平面的画法及其表示方法:①在立体几何中,常用平行四边形表示平面锐角画成45,横边画成邻边的两倍画两个平面相交时,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示,还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面α,平面AC等3.空间图形是由点、线、面组成的=b A⊂aαα=∅α=Al β= 集合中“∈”的符号只能用于点与直线,点与平面的关系,用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系,虽然借用于集合符号,但在读法上仍用几何语言. a α=∅或a A α=平面的基本性质公理1 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内图1 图2 图3图4公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线公理3 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面. 已知:直线l ,点A 是直线l 外一点.推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面例1 求证:三角形是平面图形已知:三角形ABC求证:三角形ABC 是平面图形例2 两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内已知:直线,,AB BC CA 两两相交,交点分别为,,A B求证:直线,,AB BC CA 共面例3 在正方体1111ABCD A B C D -中,①1AA 与1CC 是否在同一平面内?②点1,,B C D 是否在同一平面内?③画出平面1AC 与平面1BC D 的交线,平面1ACD 与平面1BDC 的交线例4 若l αβ=,,A B α∈,c β∈,试画出平面ABC 与平面,αβ的交线课堂练习1:1 下面是一些命题的叙述语(A 、B 表示点,a 表示直线,α、β表示平面) A .∵αα∈∈B A ,,∴α∈AB . B .∵βα∈∈a a ,,∴a =βα . C .∵α⊂∈a a A ,,∴A α∈. D .∵α⊂∉a a A ,,∴α∉A . 其中命题和叙述方法都正确的是( )1C2.下列推断中,错误的是( ) A .αα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,,B .B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,,,C .αα∉⇒∈⊄A l A l ,D .βα∈∈C B A C B A ,,,,,,且A 、B 、C 不共线βα,⇒重合3.一个平面把空间分成____部分,两个平面把空间最多分成____部分,三个平面把空间最多分成____部分.4.判断下列命题的真假,真的打“√”,假的打“×”(1)空间三点可以确定一个平面 ( ) (2)两条直线可以确定一个平面 ( ) (3)两条相交直线可以确定一个平面 ( ) (4)一条直线和一个点可以确定一个平面 ( ) (5)三条平行直线可以确定三个平面 ( ) (6)两两相交的三条直线确定一个平面 ( ) (7)两个平面若有不同的三个公共点,则两个平面重合 ( ) (8)若四点不共面,那么每三个点一定不共线 ( )课堂练习2: 1.选择题(1)下列图形中不一定是平面图形的是 ( ) (A )三角形 (B )菱形 (C )梯形 (D )四边相等的四边形(2)空间四条直线,其中每两条都相交,最多可以确定平面的个数是( ) (A )一个 (B )四个 (C )六个 (D )八个(3)空间四点中,无三点共线是四点共面的 ( ) (A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要(4)若a ⊂ α,b ⊂ β,α∩β=c ,a ∩b =M ,则 ( ) (A )M ∈c (B )M ∉c (C )M ∈α (D )M ∈β2.已知直线a //b //c ,直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ,求证:a 、b 、c 、d 四线共面.课后练习:11、给定四个命题:(1)一平面的面积可以等于100cm3;(2)平面是矩形或平行四边形形状;(3)铺得很平的一张白纸是一个平面;(4)20个平面重合在一起比一个平面厚20倍,其正确的有 ( )A.0B.2C.3D.42、满足下列条件,平面α∩平面β=AB,直线a⊂α,直线b⊂β且a∥AB,b∥AB的图形是 ( )3、两个平面能把空间分成几个部分 ( )A.2或3B.3或4C.3D. 2或44、三个平面把空间分成最多或最少几个部分 ( )A.8;4B.7;4C.8;6D.6;45、三条直线两两相交,经过这3条直线的平面有 ( )A.0个B.1个C.0或1个D.3个6、空间有四个点,如果其中任意三点都不在同一直线上,那么经过其中三个点的平面 ( )A.可能有3个,也可能有2个B.可能有3个,也可能有1个C.可能有4个,也可能有3个D.可能有4个,也可能有1个7、确定一个平面的条件是()A、空间三点B、空间两条件直线C、一条直线和一点D、不过同一点且两两相交的三条直线8、下列命题中正确的是()A、空间四点中有三点共线,则此四点必共面B、三个平面两两相交的三条交线必共点C、空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形D、平面a和平面b只有一个交点9、M、N、P、Q是空间不同的四点,下列命题中,错误的是()A、若MP与NQ共面,则MQ与NP异面B、若MP与NQ共面,则MQ与NP异面C、若MP=NQ,MN=PQ,则MQ=NPD、若MP^NQ,MN^PQ,则MQ^NP10、水平放置的DABC有一边在水平线上,它的斜二测直观图是正DA1B1C1,则 DABC是()A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、任意三角形11、a、b为异面直线,a上有5个点,b上有8个点,从这些点中选三个点确定一个平面,共能确定不同的平面数为_________(任意3点不共线)12、正方体的六个面把空间分成_______个部分二、填空题:7.(1)如果把图形比作一本打开的书,那么书内是向里还是向外 ;(2)αβ= ,AB α= ,AB与PQ .8.两两平行的三条直线最多可以确定个平面.9.直线AB、AD⊂α,直线CB、CD⊂β,点E∈AB,点F∈BC,点G∈CD,点H∈DA,若直线EH∩直线FG=M,则点M 在上.三、解答题:10.画一个正方体ABCD—A1B1C1D1,再画出平面ACD1与平BDC1的交线,并且说明理由.11.求证:三条两两相交且不共点的直线必共面.12、在正方体ABCD—A1B1C1D1中,设A1C与平面ABC1D1交于点O,求证:B、O、D1三点共线。
混凝土结构施工图平面整体表示方法

次梁 2φ18
主梁(框架梁) 次梁 8φ8(2)
(2)截面注写方式 在梁平面布置图上对所有梁按规定进行编号,从每种编号的梁中各选一根,
先将“单边剖面符号”画在该梁上,再引出绘制相应的截面配筋图,并在其上注 写截面尺寸和配筋具体数值。可单独使用,也可与平面注写方式结合起来。
三、板平法施工图的表示方法
c 贯通纵筋。其表达与有梁楼盖规定相同。
当局部区域的板面标高与整体不同时,应在图上注明板面标高高差及分布范 围。
例:一板带注写为ZSB3(5A) h=300 b=2500 15φ10@100(10)/φ10@200 (10) Bφ16@100;Tφ18@200,表示3 号柱上板带,有5跨且一端有悬挑;板带 厚300mm,宽2500mm;板带配置暗梁箍 筋,近柱端为φ10@100共15道,跨中为 φ10@200,均为10肢箍,贯通纵筋下部 为φ16@100,上部为φ18@200。
注: (xxA)为一端有悬挑,(xxB)为两端 有悬挑,悬挑不计入跨数。
②梁截面尺寸(必注)。等截面时用b×h表示,
为加腋梁时用b×h Yc1×c2表示,其中C1为 腋长,C2为腋高;对两端高度不相等的悬挑 梁,用斜线分隔根部与端部的高度值,即为 b×h1/h2。
③梁箍筋的配置(必注)。包括箍筋级别、直 径、加密区、非加密区间距、肢数
xx
(xx)为跨数
xx (xxA)为跨数及一端有悬挑
xx (xxB)为跨数及二端有悬挑
xx
b 板厚。注写为h=xxx,当悬挑板的端部改变截面厚度时,用斜线分隔根部 与端部的高度值,注写为h=xxx/xxx。
c 贯通纵筋。按板块的下部和上部分别注写, 以B代表下部,T代表上部,B&T代表下部 和上部;X向贯通纵筋以X打头,Y向贯通纵 筋以Y打头,两向贯通纵筋配置相同时以X &Y打头。当为单向板时,另一项贯通的分
混凝土结构施工图平面整体表示方法学习

混凝土结构施工图平面整体表示方法(简称平法)是把结构构件的尺寸和钢筋等,按照平面整体表示方法制图规则,整体直接表达在各类构件的结构平面布置图上,再与标准构造详图相配合,即构成一套完整的结构施工图的方法。
一、结构施工图的识读方法及步骤结构施工图包括结构设计总说明、结构平面图和构件详图。
1.基础施工图的识读步骤1)看图名、比例。
图名常用1—1断面、2—2断面……或用基础代号表示。
读图时先用基础详图的名字(1—1或2—2等)去对应基础平面的位置,了解这是哪一道基础上的断面;2)看基础断面图中轴线及其编号。
如果该基础断面适用于多道基础的断面,则轴线的圆圈内可不予编号;3)看基础断面各部分详细尺寸和室内外底面、基础底面的标高。
如基础厚度、大放脚的尺寸、基础的底宽尺寸以及它们与轴线的相对位置尺寸。
从基础底面标高可了解基础的埋置深度;4)看基础断面图中基础梁的高、宽或标高及配筋;5)看施工说明等。
了解对基础的施工要求。
2.柱平法施工图的识读步骤1)查看图名、比例;2)校核轴线编号及其间距尺寸,要求必须与建筑平面图、基础平面图保持一致;3)与建筑图配合,明确各柱的编号、数量及位置;4)阅读结构设计总说明或有关说明,明确柱的混凝土强度等级;5)根据各柱的编号,查阅图中截面标注或柱表,明确柱的标高、截面尺寸和配筋情况。
再根据抗震等级、设计要求和标准构造详图,确定纵向钢筋和箍筋的构造要求(如纵向钢筋连接的方式、位置和搭接长度、弯折要求、柱头锚固要求、箍筋加密区的范围)。
3.剪力墙平法施工图的识读步骤1)查看图名、比例;2)首先校核轴线编号及其间距尺寸,要求必须与建筑图、基础平面图保持一致;3)与建筑图配合,明确各段剪力墙的暗柱和端柱的编号、数量及位置、墙身的编号和长度、洞口的定位尺寸;4)阅读结构设计总说明或有关说明,明确剪力墙的混凝土强度等级;5)所有洞口的上方必须设置连梁,如剪力墙洞口编号,连梁的编号应与剪力墙洞口编号相对应。
平面及表示法

A
B
(2)点与平面的位置关系:
点A在平面α上: 记为:A∈α
B
点B不在平面α上记:为:B∈ α
A
α
(3)直线与平面的位置关系:
直线a上的所通过直线a.记为:a α
直线a与平面α只有一个公共点A时,称直 线a与平面α相交。 记为:a∩α=A
直线a与平面α没有公共点时,称直线a与 平面α平行。 记为:a∩α=φ 或 a∥α.
四.平面的表示方法:
平面可以用希腊字母表示,也可以用代表表 示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶 点字母表示。
D
C
A
B
如:平面α,平面β,平面ABCD,平面AC 平面BD等。
五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系:
(1)点与直线的位置关系:
点A在直线a上: 记为:A∈a
a
点B不在直线a上: 记为:B∈a
平面及其表示法
一.平面的概念: 光滑的桌面、平静的湖面等都是我
们熟悉的平面形象,数学中的平面概念 是现实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征:
平面没有大小、厚薄和宽窄,平面在空 间是无限延伸的。
三.平面的画法: (1)水平放置的平面: (2)垂直放置的平面:
ß a
通常把表示平面的平行四边形的锐角 画成450
(3)在画图时,如果图形的一部分被另一 部分遮住,可以把遮住部分画成虚线,也 可以不画。
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给他倒了一杯水,因为我刚在幼儿园里学了一首歌,词里说的是给妈妈倒水,可我妈还没回来呢,我就先给我爸倒了。我爸只说了一句,好儿子……就流泪了。从那次起,我知道他是爱我的。光头小男孩说。 ? 我给我奶奶耳朵上夹了一朵花,要是别人,她才
混凝土结构施工图平面整体表示方法

梁平法施工图截面注写方式示例
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梁平法施工图截面注写方式示例
序号
XX XX XX
跨数及是否带有悬挑
(XX)、(XXA)或(XXB) (XX)、(XXA)或(XXB) (XX)、(XXA)或(XXB)
非框架梁
悬挑梁
L
XL
XX
XX
(XX)、(XXA)或(XXB)
(XX)、(XXA)或(XXB)
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梁集中标注的内容:五项必注值及一项选注值,集中标 注可以从梁的任意一跨引出。 1、梁编号:必注值; 2、梁截面尺寸:必注值。为等截面梁时,用b×h表示; 当为加腋梁时,用b×h Yc1×c2表示,其中c1为腋长, 为 c2 腋高;当为悬挑梁且根部和端部高度不同时,用斜 线分隔根部与端部的高度值,即为b×h1/h2; 3、梁箍筋:钢筋级别、直径、加密区与非加密区间距及 肢数; 4、梁上部贯通筋或架立筋根数:必注值; 5、梁顶面标高高差:选注值。指相对于结构层楼面标高 的高差值,有高差时将其写入括号内,无高差时不注。
柱列表注写方式内容
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柱平法施工图列表注写方式示 例
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柱类型 框架柱 框支柱
代号 KZ KZZ
序号 柱类型 XX XX 梁上柱 剪力墙上 柱
代号 LZ QZ
序号 XX XX
1)注写柱编号:柱编号由类型代号和序号组成 2)注写各段柱的起止标高:自柱根部往上以变截面位置或 截面未变但配筋改变处为界分段注写。 3)注写柱截面尺寸 b×h 及与轴线关系的几何参数代号 b1、 b2和h1、h2的具体数值,须对应于各段柱分别注写。 4)注写柱纵筋、分角筋、截面 b边中部配筋和 h边中部筋 三项。当为圆柱时,表中角筋注 写圆柱的全部纵筋。 5)注写箍筋类型及箍筋肢数 注写柱箍筋,包括钢筋级别、直径与间距。
混凝土结构工程施工图平面整体表示方法

混凝土结构工程施工图平面整体表示方法在框架梁中,取消了原来纵向钢筋中的弯起钢筋,增加了加密箍筋,增加了文字注解,配合具有通用标准构造详图,减少钢筋的结构立面图及其截面图,提高了效率。
平面整体表示方法制图规则,可以用在钢筋混凝土结构的各种构件中,有“集中标注”和“原位标注”两种表示方式。
梁的平面注写包括集中标注与原位标注集中标注表达梁的通用数值原位标注表达梁的特殊数值。
当集中标注中的某项数值不适用于梁的某部位时,则将该项数值原位标注,施工中,原位标注优先于集中标注。
集中标注:1、梁编号。
2、梁截面尺寸。
3、箍筋:钢筋级别、直径、加密区及非加密区、肢数。
4、梁上下通长筋和架立筋。
5、梁侧面纵筋:构造腰筋及抗扭腰筋。
6、梁顶面标高高差(选注)。
梁钢筋的标注方法原位标注内容包括梁支座上部纵筋(该部位含通长筋在内所有纵筋)、梁下部纵筋、附加箍筋或吊筋、集中标注不适合于某跨时标注的数值。
原位标注:1、梁支座上、下部纵筋。
2、吊筋、附加箍筋。
根据平法制图的规则计算梁中主筋的结构尺寸在图中标注的KL1框架梁的上边缘引出一条铅垂线。
在这条铅垂线的右侧标注有几行字:第一行KLI 框架梁)梁的截面尺寸为300mmx500mm。
通常第二行∮6@100/200(2)表示箍筋采用直径为6mm的HPB235级钢筋,加密箍筋间距为100mmm,非加密箍距为200mm,通长区箍筋均为双肢箍。
第三行2∮16表示采用两根直径为16mm的HRB335级梁的通长筋。
通长筋是沿梁的全长布置的。
梁的左、右两端上方所标标注的4∮16,里边包括了2∮16通长筋。
剩下的2∮16是两段直角形筋和2∮16通长筋,是承受梁端部的负弯矩的。
梁下部中间的4∮16是承受梁中下部的正弯矩的(抗拉作用),钢筋贯通全梁。
如图铅垂线及其右侧注的几行字就是“集中标注”。
假设给出的框架结构F三级抗震设防,混凝土的强度等级采用C30。
柱距为6000mm,柱宽400mm,査《三、四级抗震等级楼层框架梁KL 》部分。
建筑平、立、剖面图表现(高教知识)

相对标高
楼梯
卫生间
厨房
房间
定位轴线
此楼座北 朝南
标高零点
钢筋混凝土柱
门
窗
全面分析
12
建筑平面图的图示内容
图名与比例
建筑平面图常用比例1:50、1:100、1:200
定位轴线 房间的位置、形状、数量 门、窗布置及编号 其他建筑构配件的设置 尺寸和标高 详图索引、剖切符号、指北针和文字说明等 屋顶形状及其上构配件
全面分析
20
3.屋顶平面图
屋顶平面图比较简单,可用较小的比例 绘制。屋顶平面图表明了屋顶的形状,屋 面排水方向及坡度,天沟或檐沟的位置, 还有女儿墙、屋檐线、雨水管理、上人孔 及水箱的位置等。
全面分析
21
(三)屋顶平面图的识读
屋顶平面图主要反映屋面上天窗、水箱、铁爬梯、通风道、 女儿墙、变形缝等的位置以及采用标准图集的代号、屋面排水 分区、排水方向、坡度、雨水口的位置、尺寸等内容。
里面一道为门、窗洞及洞间墙的高度尺寸。
此外,还应标注某些尺寸,如室内门窗洞、窗台的高度 及有些不另画详图的构配件尺寸等。剖面图上两轴线间 的尺寸也必须注出。
全面分析
35
4、检查无误后,擦去多余的作图线,描深。标注轴线、尺寸、门窗编号,注写图 名、比例及文字说明等
全面分析
36
建筑剖面图
剖面图的形成
假想用一个垂直剖切平 面把房屋剖开,将观察 者与剖切平面之间的部 分房屋移左,把留下的 部分对与剖切平面平行 的投影面作正投影,所 得到的正投影图,称为 建筑剖面图,简称剖面 图。
①宜标注在图样的下方或左侧。
②横向编号应用阿拉伯数字,从左至右顺序编写;
③竖向编号应用大写拉丁字母,从下至上顺序编写,
14.1平面及其基本性质

a b
14.1平面及其基本性质(1)
例1、正方体的各顶点如图所示,正方体的三个面所在平
面 A1C1,A1B1,B1C1,分别记作、、,试用适当的符号填空.
(1)A1______, _B1_______ (2)B1______, _C1_______ (3)A1______,_D1 _______
14.1平面及其基本性质(1)
❖ (二)平面的表示方法:
❖ 1、几何表示:
①
水平放置①:
③
正视垂直放置②: ② 侧视垂直放置③:
❖ 2、符号表示:
(1)直线AB,直线l,直线a
(2)平面ABCD(顶点字母),
平面αβγ(小写的希腊字母),平面M、N
❖ 3、点、线、面的位置关系(借用集合符号)
14.1平面及其基本性质(1)
❖ 例4、空间三个点能确定几个平面? 空间四个点能确定几个平面?
❖ 例5、 空间三条直线相交于一点,可以确定几个平面? 空间四条直线相交于一点,可以确定几个平面?
❖ 例6、两个平面可以把空间分成________部分, 三个平面呢?_________________。
三条直线相交于一点,可以确定几个平面?
m
(3) l
P
(4)P l,P ,Q l,Q
Q
14.1平面及其基本性质(1)
例3、如图,正方体 ABCDA1B1C1D 1,E,F分别是
B1C1, BB1的中点,问:直线EF和BC是否相交;
如果相交,交点在哪几个平面内?
D1
C1
A1
B1 E
DF C
A
B
14.1平面及其基本性质(1)
(4)_____A _1B_ 1 ______B_1B
第四章点线面的投影 (1)

Δy
ΔΖ
β
Δy α 实长
例2 已知直线AB的H投影及a′,其α为30°,求AB的 V投影。
b'
△Z
△Z
α
例3 已知ab,b′,β=30°,求a′b′。 a′
b′
a′b′
b
60°
a
例4 已知AB实长40㎜,点A距V面30㎜,求ab, 问有几解?
例5 已知AB=40㎜,α=30°,β=45°,求AB的两投影。
用定比关系,如图中的(2)。
三、交叉两直线—既不平行又不相交的两条 直线
( 1)
( 2)
( 3)
投影特性:交叉两直线的投影可能表现为相互平
行,但不可能所有同面投影均平行,如上图中 (1);交叉两直线的投影也可能表现为相交,但 同面投影的交点不是真正交点的投影,不满足投影 规律,如上图示(2)、(3)。
例3
求AB、CD的公垂线(或距离)。 a' n' b' n a(b)
距离
c' m'
d'
c
m d
作业:
P21-28。
§4-6 平面的投影
平面的表示方法 平面的分类及其投影特性
一、平面的表示方法
b' a' b a c c' a' b b' c'
a
不在一条直线 上的三个点
c
直线及直线 外一点
a′ b′
a〞 b〞
a b
若zA > zB ,表示A在B之上。
右图中,A在B的左后上方。
重影点及其可见性判定:
如果空间两点恰好位于某一投影面的一条垂 线上,该两点在该投影面上的投影重合为一点, 则称这两点为对该投影面的重影点。
平面及其表示方法

平面及其表示方法平面其表及法示一平面.的概念:滑的桌面光平静的、湖面都是等我们熟的悉面形象,平学中数的面平念概是实现面平加抽象的结果以。
二.平的特征面:面平有没大小厚、薄宽和,窄面平空在间无限是延的。
伸.三平的面法画:1)水(平置的放面平:()2垂放直置的面:平ßa通常把表平示面平行四的边的形角锐画成4053)(在画图时,果如形的一图分部被一另部分住,遮以可把住部遮分成虚线,也可画以不画。
四.平面表的方示:法平面以用希可腊母表字示,可也以代用表表示平的面行四边平形四的顶个或点对相两的顶点个母字示表。
DC BA如平:面α平,面,平面AβCBD,平A面平面CD等B。
五.用数学符来表示点、号、线之面的位间置系:(1)关点与直线的置关位系:点在A线a上直记::A∈a为点B不在直线上a:为:记Ba∈()点2与面的平置位系:点关在平面α上:记A:A为α∈为:B∈α记B点在平面不上:αAαAaBB()直线与平3面位置的关:系线直上a的有点都所平面α上在称,线a在直面α内,或称平平面α过通线直.记为:aaα直线与平a面α只有一公共点A个时称,线a直与平α面相交。
记:a∩α为A=直线a 平与α面没公有点共,称直时a与线平α面行。
记为:a平α∩=φa 或∥αaa.ααaAα(4)平与面面的位置关系:平当平面α上所有点都的平在面上时β,平面称α与平β重合。
面当两个不平同α面与面平有公共点β,时它的们共公组成集合点a称平面α,与平面β交。
记相:α∩β=当a面α与平面β平有没公点时,共称平α面平与β平面。
记:行α∩β=或φα∥。
ββaαααββ.用数学五符号表示点来、线、面间之位置关的系:BaBαab AαaAAαA∈aB∈aAα∈B∈βαaaαb∩α=Aa∩=φα或aα∥αβαβαΑβ与合α重∩β=a∩αβ=或φ∥α例1β画.出两竖个直放的相交平面置。
例.把下2列语句集用合号表示符并画出,直观。
图()点1A在面平内,αB点在不面α平,内A,点B都在线直a上;(2)平面α与平β相交于直面线,m线直a在平α面且内平于直线行m.BααAmaaβ例.把3下图列中形点、线的面、关用集系合符表号示出来laαaAααAlβBABlaβ练习根:下据列件作图条:1)(∈A,aαα,A∈a;(2)aα,bαc,αa且b=∩Ab∩,=Bc,c∩a=C()3∩αβl=,∈Aα且Aβ∈4()A∈α,A∈l,∩βl=B,α∩β=,B∈mm作业:P48练习4P56习题1练习:“纪世P”021、2。
柱-平面表示法

柱段的起止标高作如下规定:
列表注写法中各段柱的起止标高,自柱根部往上以柱变截面位置或截面 不变钢筋改变处为分界段注写。其中各类柱的根部位置规定为:
1.框架柱或框支柱根部标高指基础顶面标高; 2.芯柱的根部标高是根据结构实际需要而定的起始位置标高; 3.梁上柱的根部标高是指梁顶面标高; 4.剪力墙上柱的根部标高一般为剪力墙顶面标高。但需注意柱在剪
当箍筋沿柱全高为一种间距时,则不使用"/"。 当圆柱采用螺旋箍筋时,需在箍筋前加“L”。例:LΦ10@100/200,表示采用螺旋箍筋,Ⅰ级钢筋 即HPB300级钢筋,直径为Φ10,加密区间距为100,非加密区间距为200。
截面注写方式:系在柱平面布置图的柱截面上,分别在同一编号的柱中选择一个 截面,以直接注写截面尺寸和配筋具体数值的方式来表达柱平法施工图。
柱纵向受力钢筋:
柱配筋的具体方式、数量以柱截面形状及箍筋类型图相结合的方式表达。
① 注写柱纵筋时,当柱纵向受力钢筋直径相同,各边根数也相同,将纵筋注写在 全部纵筋一栏中;
② 柱各边根数不同时,柱纵筋分角筋、截面b边中部钢筋、截面h边中部钢筋 三项分别注写(对于采用对称配筋的矩形截面柱,可仅注写一侧中部钢筋, 对称边省略;对于采用非对称配筋的矩形截面柱,必须每侧均注写中部钢 筋)。
柱箍筋:
柱箍筋表达需要分别注写箍筋类型、箍筋的肢数、箍筋的级别、直径、间距。 用"/"表示柱端箍筋加密区与柱身非加密区长度范围内箍筋的不同间距。 例如:Φ10@100/200表示箍筋为Ⅰ级钢筋即HPB300级钢筋,直径为Φ10,加密区间距为
100,非加密区间距为200。若表达为Φ10@100/200(Φ12@100)则表示箍筋加密区范围内箍 筋用量有变化,其中框架节点核心区范围内箍筋使用量为Φ12@100,其余加密区范围内箍筋 使用量是Φ10@100,非加密区范围内箍筋使用量是Φ10@200。
1.6平面及其方程

平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为n=(A, B, C). 讨论: 1.填写下表: 平面方程 By+Cz+D=0 Ax+Cz+D=0 Ax+By+D=0 Cz+D=0 Ax+D=0 By+D=0 法线向量 n=(0, B, C) n=(A, 0, C) n=(A, B, 0) n=(0, 0, C) n=(A, 0, 0) n=(0, B, 0) 法线向量垂直于 平面平行于 x轴 x轴 y轴 y轴 z轴 z轴 x轴和y轴 xOy平面 y轴和z轴 yOz平面 x轴和z轴 zOx平面
平面的点法式方程 过点M0(x0, y0, z0)且法线向量为n=(A, B, C)的平面的方程 为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
例1 求过点(2, -3, 0)且以n=(1, -2, 3)为法线向量的平面的 方程. 解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 (x-2)-2(y+3)+3z=0, 即 x-2y+3z-8=0.
平面的点法式方程 过点M0(x0, y0, z0)且法线向量为n=(A, B, C)的平面的方程 为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
例2 求过三点M1(2,-1, 4)、M2(-1, 3,-2)和M3(0, 2, 3)的平 面的方程.
解 我们可以用 M 1M 2 M 1M 3 作为平面的法线向量 n. 解
2.平面Ax+By+Cz=0有什么特点? 提示: D=0, 平面过原点.
平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为n=(A, B, C). 例3 求通过x轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解 可设此平面的方程为 By+Cz=0. 又因为此平面通过点(4, -3, -1), 所以有 -3B-C=0. 将C=-3B其代入所设方程, 得 By-3Bz=0. 于是所求的平面方程为 y-3z=0. 提示:平面通过 x 轴 , 表明 A=0( 它的法线向量垂直于 x 轴 ) 且 D=0(它通过原点).
14.1 平面及其基本性质

二、典型习题
(一)概念的辨析 1.判断下列命题的真假,真的打“√”,假的打“×”
(1)可画一个平面,使它的长为4cm,宽为2cm。( )
(2)一条直线把它所在的平面分成两部分, 一个平面把空间分成两部分.
()
(3)一个平面的面积为20 cm2.
()
(4) 一条直线和任意一点确定一个平面
()
2、在下列命题正确的是(
• 2、习题14.1A组1 习题14.1B组1,2
• 3、画一个正方体
2.根据下列符号表示的语句,说出有关 点、线、面的关系,并画出图形.
(2)l , m A
(3) l
思考题:
几位同学一次野炊活动,带去一张折叠方桌, 不小心弄坏了桌脚,有一生提议可将几根一样长的 木棍,在等高处用绳捆扎一下作桌脚(如图所示),
类比思考:
如果两个不重合的平面有公共点,其公共点有多少个?
如图,把三角板的一个角立 在课桌面上,三角板所在的 平面与桌面所在的平面是否 只相交于一点B?为什么?
BB
两相交平面的公共部分的特点:有无穷多点, 而且是直线。
公理2 如果两个平面有一个公共点,那么 它们有且只有一条经过这个点的公共直线.
P l, Pl
同理,P∈平面CBD. ∴P在平面ABD与平面CBD的交线BD上, 即B、D、P三点在同一条直线上.
题型: 证明多线共面
【例3】求证:两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.
分析 由题知,四条直线两两相交且不共点,故有两种情况:一种是三条交 于一点,另一种是任何三条都不共点,故分两种情况证明. 要证明四线共面,先根据公理2的推论证两条直线共面,然后再证第三条直 线在这个平面内,同理第四条直线也在这个平面内,故四线共面.
平面及表示法

(3)在画图时,如果图形的一部分被另一 部分遮住,可以把遮住部分画成虚线,也 可以不画。
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;
可当他快到终点时,才发现机会全错过了。 第三个弟子吸取了前边两个弟子的教训。当走过全程三分之一时,即分出大中小三类;再走三分之一时,验是否正确;等到最后三分之一时,他选择了属于大类中的一个美丽的穗。虽说,这穗不是田里最好最大的一个,但对他来说,已经 是心满意足了。 137、科学史上因语文而失误例谈 ①美国化学家路易斯于1916年在一篇中提出了共价键理论,但在本世纪20年代曾一度被称为朗缪尔理论。原因是路易斯虽很聪明,但性格内向,不善言谈,他提出功价键理论后,并未引起多大反响。致使这一理论濒临泯灭的困 境。幸亏三年后,一位思想敏锐的化学家朗缪尔看出了共价键理论的重大意义,于是,一方面凭借生动活泼流畅的文笔在有影响的《美国化学学会志》等刊物发表系列,一方面又以滔滔不绝的口才在国内大型学术会议上多次发表演说,终于使这一理论走出了困境,得到普遍承认。 ②现在举世公认,美国科学家维纳是信息论的创始人,因为他在上世纪50年代对信息论做了系统阐述,并建立了维纳滤波理论和信号预测论。可早在30年代就提出信息论的竟是中国数学家申农。最先提出信息论的却没有成为创始者,其原因固然很复杂,但有一点可以肯定,申农未能充分 利用语文工具对信息论进行系统阐述和广泛宣传,该是原因之一。 ③著名物理学家法拉第,早在1873年就已经发现了电磁感应现象,但由于他在论述这一现象时,用语晦涩,致使这项重大的科学发现在长达26年的确时间里被束之高阁。后来幸亏了酷爱诗歌的物理学家麦克斯韦以他 特有的形象思维和精练的语言,把它描述出来,才使这一重大科学发现公之于众。 138、老报纸的价值 旧报纸,若是卖给收废品的,一斤大约三四毛钱。 但吴江路就有一家老报纸馆专营《人民日报》、《光明日报》、《解放军报》和《文汇报》等老报纸,上世纪60年代的 普通报纸,每张要卖218元,就是上世纪80年代的普通报纸,每张也要卖128元。那些按理说没有收藏价值的普通旧报纸居然还卖得挺火。 原来,商家打出的宣传是这样的:为自己或者是亲人卖一份生日老报纸吧!颜色已发黄的老报纸配以充满怀旧情调的包装,就有一些历史韵味。 顾客主要是二三岁的市民,他们或者购买自己出生那一天的报纸,看看自己出生那天世界发生了哪些事,或者卖来赠送给长辈,以引起长辈对青春的记忆。 这老板叫刘德保,素有收集老报纸的兴趣。他将老报纸的卖点定位于生日礼物上,可谓别出心裁,既雅致,又有韵味;既可以 满足青年人对出生那个年代的好奇,又会唤起中老年人对逝去岁月的缅怀。三四毛钱一斤的旧报纸得以卖出每张一二百元的高价,价钱翻了千倍以上,可谓极高附加值了! 139、最大的不幸 一个人在他23岁时为人陷害,在牢房里呆了9年,后来冤案告破,他终于走出了监狱。出 狱后,他开始了常年如一日的反复控诉、咒骂:“我真不幸,在最年轻有为的时候竟遭受冤屈,在监狱度过本应最美好的一段时光。那样的监狱简直不是人居住的地方,狭窄得连转身都困难。唯一的细小窗口里几乎看不到星点灿烂的阳光,冬天寒冷难忍;夏天蚊虫叮咬……真不明白,上 帝为什么不惩罚那个陷害我的家伙,即使将千刀万剐,也难以解我心头之恨啊!” 73岁那年,在贫病交加中,他终于卧床不起。弥留之际,牧师来到他的床边:“可怜的孩子,去天堂之前,忏悔你在人世间的一切罪恶吧……”牧师的话音刚落,病床上的他声嘶力竭地叫喊起来: “我没有什么需要忏悔,我需要的是诅咒,诅咒那些施予我不幸命运的人……” 牧师问:“您因受冤屈在监狱呆了多少年?离开监狱后又生活了多少年?”他恶狠狠地将数字告诉了牧师。 牧师长叹了一口气:“可怜的人,您真是世上最不幸的人,对您的不幸,我真的感到万分 同情和悲痛!但他人囚禁了你区区9年,而当你走出监牢本应获取永久自由的时候,您却用心底里的仇恨、抱怨、诅咒囚禁了自己整整41年!” 140、索尼:不迷信专家 近几年,日本索尼公司在招聘大学生时,对学校名称采取“不准问,不准说,不准写”的“三不”方针。公司认为, 在激烈竞争和多变时代,企业需要各种人才,只有将各种不同的人聚集在一起,才能更好地发挥创造性,开发出新产品。只在少数名牌大学中招聘人才,会使企业失去活力。索尼公司的创始人之一的井深大说:“我从不迷信专家,专家倾向于争辩你为什么不做或不能做某种事情,而我们 经常强调的是从无到有去实干。”因此,索尼喜欢思想敏锐、不墨守成规、勇于探索创新的人,他们鼓励科技人才“跳槽”,可以在公司任何部门寻找新的职位,“毛遂自荐”参与项目的开发研究。公司认为,这种人思想开放,思维活跃,兴趣广泛,具有创造意识和创新精神,是实干家 而不是空谈家,有培养和发展前途,应加以重用。 141、神奇的皮鞋 多明尼奎?博登纳夫,是法国一位年轻企业家、艺术家。他所经营的公司历来就是发展美术业,但始终都是没有看到兴旺的一天。 一天,他在徒步回家的路上,突然,感到脚下有什么绊了一下,低头一看,原 来是一只破旧皮鞋,他刚想抬起脚将它踢开,却又发现这只鞋有几分像一张皱纹满布的人脸。一个艺术的灵感刹那间在他脑海里闪现,他如获至宝,于是赶忙将破旧皮鞋拾起,迫不及待地跑回家,将其改头换面,变成了一件有鼻有眼有表情的人像艺术品。 以后,博登纳夫又陆续捡 回一些残旧破皮鞋,经过他那丰富的想象力和神奇的艺术之手再加工,一双双被遗忘的“废物”先后变成奇妙谐趣的皮鞋脸谱艺术品。后来,博登纳夫在巴黎开设了皮鞋人像艺术馆,引起了轰动,生意异常兴隆。 看来,在现实生活中,在许多人不屑一顾的小小事情里,往往都隐藏 着成功的契机。当然,要获成功,得靠用心发掘。博登纳夫的这一成功,无疑就在于他比别人多了一个“艺术”心眼。 142、我们到底有多美 世界著名法学家德沃金先生到中国一游,并在几所著名法学院巡回讲演。在一次讲演后,与学生们青春激扬的问答恰恰相反,有一个蠢 货突然发问:“你对我们这所大学如何看?”他到这个学校,准确地说,到这个梯形教室,只有几十分钟,始则略有诧异,继则笑笑,充满理解地笑笑,说:“这是个极好的大学!”——他还能说什么呢?! 这是时下的一种通病。有些人见到洋人,尤其是见到欧美来的西洋人,便 非要拉住人家的手问长问短,非要请教别人自己美不美,非要请教别人我们这里是不是好山好水好地方。真的不懂,我们的学子从幼儿园起就接受爱国主义教育,居然仍旧如此不自信。 但凡有人以中国特色为名,拒绝外国的时候,被拒绝的大多是比较先进的,也是比较合理的。相 反,学习外国坏东西的时候,我们大多不谈中国特色。鼓励汽车消费时也不谈中国特色。养狗成风时也不谈中国特色。近年来中国兴起了养狗热潮,说是西洋人也喜欢养狗,因为狗是人类的朋友。但西洋人有导盲犬,我们有吗?没有。反正街上是见不到一条导盲犬。 143、以德报怨 没有社会效用 过去我们一直以为“以德报怨”是最高的道德境界,可是关于德怨相报的经济学分析却表明,以德报怨的社会效用为0分,一个小偷被抓到了,报之以德,会给他一个错误的暗示,结果鼓励他错上加错。如有人问孔子:“以德报怨,会怎么样呢?”孔子答:“怎么会用 德去报怨呢?!应当以直报怨。报德的对象只能是德而不是怨。”孔子对如何抱怨的方案是“直”,它可以理解为,一是要用正直的方式对待破坏规则的人,二是要直率地告诉对方,你什么地方做错了事。经济学家认为,以直报怨的社会效用是1分,以直报怨的人,既不想迎合你(报 德);也不想报复你(报怨);而是让你知道错在哪里,犯了什么规。在道德的范畴内,这种方式也是满不错的。 最糟糕的是以怨报怨,怨怨相报,只能两败俱伤,所以经济学分析给它打了-2分。 144、钱学森的“大成智慧学” 《日报?理论周刊》4月12日刊登中国人民大 学教授钱学敏的文章,介绍了钱学森的“大成智慧学”。 钱老曾说:“人的智慧是两大部分:量智和性智。缺一不成智慧!此为‘大成智慧学’。”什么是“量智”和“性智”呢?钱老认为,现代科学技术体系中的数学科学、自然科学、系统科学、军事科学、社会科学、思维科学、 人体科学、地理科学、行为科学、建筑科学等10大科学技术部门的知识是性智、量智的结合,主要表现为“量智”;而文艺创作、文艺理论、美学以及各种文艺实践活动,也是性智与量智的结合,但主要表现为“性智”。“性智”、“量智”是相通的。 钱老说:“‘量智’主要是 科学技术,是说科学技术总是从局部到整体,从研究量变到质变,‘量’非常重要。当然科学技术也重视由量变所引起的质变,所以科学技术也有‘性智’,也很重要。大科学家就尤其要有‘性智’。‘性智’是从整体感受入手去理解事物,是从‘质’入手去认识世界。中医理论就如此, 从‘望、闻、问、切’到‘辨施治’,但最后也有‘量’,用药都定量的嘛。” 关于“量智”与“性智”、逻辑思维与形象思维不可分离及其在科学与艺术创作过程中的作用,钱老分析:“从思维科学角度看,科学工作总是从一个猜想开始的,然后才是科学论;换言之,科学工作 是源于形象思维,终于逻辑思维。形象思维是源于艺术,所以科学工作是先艺术,后才是科学。相反,艺术工作必须对事物有个科学的认识,然后才是艺术创作。在过去,人们总是只看到后一半,所以把科学和艺术分了家,而其实是分不了家的;科学需要艺术,艺术也需要科学。” 145、平常心 三伏天,禅院的草地枯黄了一大片。“快撒些草籽吧,好难看啊!”小和尚说。“等天凉了。”师父挥挥手,“随时。” 中秋,师父买了一大包草籽,叫小和尚去播种。秋风突起,草籽飘舞。“不好,许多草籽被吹飞了。”小和尚喊。“没关系,吹走的多半是空 的,撒下去也不会发芽。”师父说,“随性。” 撒完草籽,几只小鸟即来啄食。“要命了!草籽都被鸟吃了!”小和尚急得跳脚。“没关系,草籽多,吃不完!”师父继续翻着经书,“随遇。” 半夜一场骤雨。一大早,小和尚冲进禅房:“师父!这下完了,好多草籽被雨水冲 走了!”“冲到哪儿,就在哪儿发芽!”
第1讲平面及其基本性质讲义

平面及其基本性质知识点1 平面的概念平面是没有厚薄的,可以无限延伸,这是平面最基本的属性常见的桌面,黑板面,平静的水面等都是平面的局部形象指出: 平面的两个特征:①无限延展②平的(没有厚度)。
平面的表示:一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示,还可用平行四边形对角顶点的字母来表示。
平面的画法:在立体几何中,通常画平行四边形来表示平面。
一个平面,通常画成水平放置,通常把平行四边形的锐角画成45 ,横边画成邻边的2倍长。
两个相交平面:画两个相交平面时,若一个平面的一部分被另一个平面遮住,应把被遮住部分的线段画成虚线或不画。
集合中“∈”的符号只能用于点与直线,点与平面的关系,“⊂”和“ ”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系,虽然借用于集合符号,但在读法上仍用几何语言。
知识点2 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内指出:符号语言:,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂.知识点3 公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线指出:符号语言:P ∈α,且P ∈β⇒α∩β=l ,且P ∈l .知识点4 公理3 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面指出:符号语言:,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合推论1 一条直线和直线外的一点确定一个平面.(证明见课本)指出:推论1的符号语言:A a ∉⇒有且只有一个平面α,使得A α∈,l α⊂推论2 两条相交直线确定一个平面推论3 两条平行直线有且只有一个平面三、典例解析例1 用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.例2 求证:两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一平面内。
例3 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,对角线A 1C∩平面BDC 1=O ,AC 、BC 交于点M ,求证:点C 1、O 、M 共线.例4 已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l 1、l 2、l 3,且l 1、l 2、l 3不平行.求证:l 1、l 2、l 3相交于一点.基础练习:一、选择题:1.下面给出四个命题: ①一个平面长4m, 宽2m; ②2个平面重叠在一起比一个平面厚; ③一个平面的面积是25m 2; ④一条直线的长度比一个平面的长度大, 其中正确命题的个数是( )A. 0B.1C.2D.32.若点N 在直线a 上,直线a 又在平面α内,则点N ,直线a 与平面α之间的关系可记作( ) A、N α∈∈a B、N α⊂∈a C、N α⊂⊂a D、N α∈⊂a3.A,B,C表示不同的点,a, 表示不同的直线,βα,表示不同的平面,下列推理错误的是( ) A.A ααα⊂⇒∈∈∈∈ B B A ,;,B.βαβαβα⋂⇒∈∈∈∈B B A A ,;,=ABC.αα∉⇒∈⊄A A ,D.A,B,C α∈,A,B,C β∈且A ,B ,C 不共线α⇒与β重合4. 空间不共线的四点,可以确定平面的个数为( )A.0 B.1 C.1或4 D. 无法确定5. 空间 四点A ,B ,C ,D 共面但不共线,则下面结论成立的是( )A. 四点中必有三点共线 B. 四点中必有三点不共线C. AB ,BC ,CD ,DA 四条直线中总有两条平行D. 直线AB 与CD 必相交6. 空间不重合的三个平面可以把空间分成( )A. 4或6或7个部分B. 4或6或7或8个部分C. 4或7或8个部分D. 6或7或8个部分7.下列说法正确的是( )①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段AB α⊂, 则线段AB 延长线上的任何一点一点必在平面α内; ④一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内.A. ①②③B. ②③④C. ③④D. ②③8.空间三条直线交于同一点,它们确定平面的个数为n ,则n 的可能取值为( )A. 1B.1或3C. 1或2或3D.1或 4二、填空题:9.水平放置的平面用平行四边形表示时,通常把横边画成邻边的___________倍.10.设平面α与平面β交于直线 , A αα∈∈B ,, 且直线AB C =⋂ ,则直线AB β⋂=_____________.11.设平面α与平面β交于直线 , 直线α⊂a , 直线β⊂b ,M b a =⋂, 则M_______ .12.直线AB 、AD α⊂,直线CB 、CD β⊂,点E ∈AB ,点F ∈BC ,点G ∈CD ,点H ∈DA ,若直线HE ⋂直线FG=M ,则点M 必在直线___________上.三、解答题:13.判断下列说法是否正确?并说明理由.(1)平行四边形是一个平面; (2)任何一个平面图形都是一个平面;(3)空间图形中先画的线是实线,后画的线是虚线.14.如图,E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点,且EH与FG交于点O. 求证:B、D、O三点共线.15.证明梯形是平面图形。
平面及其表示方法

a
点B不在直线a上:记为:B∈a A
B
(2)点与平面的位置关系:
点A在平面α上: 记为:A∈α 点B不在平面α上:记为:B∈ α
B A α
(3)直线与平面的位置关系:
直线a上的所有点都在平面α上,称直线a在平
面α内,或称平面α通过直线a.记为:
a
直线a与平面α只有一个公共点A时,称直线a 与平面α相交。 记为:a∩α=A
作
,试用适当的符号
填空.
、、
例2.把下列语句用集合符号表示,并画出直观图。 (1)点A在平面α内,点B不在平面α内,点A,B
都在直线 a上; (2)平面α与平面β相交于直线 m,直线 a 在平
面α内且平行于直线 m.
B A α
a
α
a
m β
例3.把下列图形中的点、线、面关系用集合符号表 示出来。
l
四.平面的表示方法:
平面可以用大写英文字母,小写希腊字母 表示,也可以用平面上的三个(或三个以上) 点的字母表示。(平行四边形对角顶点字母)
D
C
M
A
B
如:平面M,平面α,平面β,平面AC, 平面ABCD等。
五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系:
(1)点与直线的位置关系:
点A在直线a上: 记为:A∈a
第十四章、空间直线与平面
0 1 1 平面及其基本性
质
0 4 4 空间平面与平面
的位置关系
标题
2 空间直线与直线 0 2
的位置关系
3 空间直线与平面 0 3
的位置关系
南洋中学 王莉
1 平面及其基本性质
一.平面的概念:
平面是无限延展的平的 面,是没有边界的。
《画法几何》课件——4平面及其表示方法

单选题 2分 1、正垂面的正面投影积聚为直线。
B 正确 A 错误
提交
单选题 2分 2、如图所示,已知平面的水平投影和侧面投影,则平面为:
A 水平面 B 侧平面 C 正垂面 D 侧垂面
提交
投影面平行面
主讲人
平面的投影
平面对投影面的各种相对位置
平面倾角:是指平面与某一投影面所成的二面角,分别用
C
B
K A L
F N
两一般位置平面相交求交线的方法 示意图
• 求两平面的交线
c′
k
1
m
m
k
1
c
b′ PV n 2 l
QV e
a′
b2
e a l
两一般位置平面相交, 求交线步骤:
1.用求直线与平面交点 的方法,作出两平面的
两个共有点K、E。
2.连接两个共有点,
画出交线KE。
注意:交线为粗实线。
• 两平面相交,判别可见性
❖ 水平投影积聚成一条直线 abc
❖ V和W投影都是类似的三角形△abc, △abc ❖ 反映倾角、γ角的真实大小
侧垂面的投影特性
❖ 侧面投影积聚成一条直线abc ❖ V和H投影都是类似的三角形△abc, △abc ❖ 反映倾角α 、角的真实大小
α
❖ 平面在与其所垂直的投影面上的投影积聚成倾斜于投影轴的直 线,并反映该平面对其他两个投影面的倾角 ❖ 平面的其他两个投影都是面积小于原平面图形的类似形
●b
a● ●c
c
●
● b′ ●b
●c
直线及线外一点
两平行直线
两平行相交
平面图形
9
用迹线表示平面 V
X
Z
公选课(2)--第四节-平面及其方程

第四节 平面及其方程平面和直线是空间最简单的几何图形,本节和下节将以向量为工具讨论平面与直线的方程 一 平面的点法式方程• 与平面垂直的非零向量称为该平面的法向量。
显然,平面的法向量有无穷多个,而且平面上的任一向量都与该平面的法向量垂直。
• 由立体几何知道,过空间一点可以作而已只能作一个垂直于一条已知直线的平面。
下面我们利用这个结论来建立平面的方程。
• 设平面 π 过点M0(x0,y0,z0),n=(A ,B ,C )是平面 π 的法向量(图8-17)。
现在来建立平面 的方程。
• 在平面上 π 任取一点M (x,y,z ).则点M 在平面 上的充要条件是0M M n⊥即00M M n ⋅=• 因为 0000{,,}M M x x y y z z =---=(x-x0,y-y0,z-z0),n=(A,B,C),所以有(0)(0)(0)0A x xB y yC z z -+-+-=• 该方程称为平面 π 的点法式方程。
• 例1 求过点(2,1,1)且垂直于向量i+2j+3k 的平面方程。
• 解 显然,我们可以取已知向量i+2j+3k 作为所求平面的法向量n ,又因为平面过点(2,1,1),所以由公式即可得该平面方程为 • (x-2)+2(y-1)+3(z-1)=0 • 即x+2y+3z-7=0• 例2 求过点M1(1,2,-1)、M2(2,3,1)且和平面x-y+z+1=0垂直的平面方程。
• 解 因为点12,M M 所在平面上(图8-18),所以向量M1M2=(1,1,2)在该平面上。
又因为与平面x-y+z+1=0垂直,而已知平面的法向量n1=(1,-1,1),故可取平面的法向量1211 1 23-21 -1 1i j k n M M n i j k =⨯==+• 由于该平面过点M1(1,2,-1),因此由平面的点法式方程知道3(x-1)+(y-2)-2(z+1)=0,即3x+y-2z-7=0为所求的平面方程 平面的一般方程• 将方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0展开得• Ax+By+Cz+(-Ax0-By0-Cz0)=0,这是x 、y 、z 的一次方程,所以平面可用x 、y 、z 的一次方程来表示,反之,任意的x 、y 、z 的一次方程 • Ax+By+Cz+D=0 ( a ) • 是否都表示平面呢(式中A 、B 、C 不全为零)?方程是一个含有三个未知数的方程,所以有无穷多组解,设x0、y0、z0是其中一组解,则由 • Ax0+By0+Cz0+D=0 ( b )• a-b 得A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,• 它表示过点(x0,y0,z0),且以n=(A,B,C )为法向量的平面。
第2章 画法几何基础2[面]
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A
(B)
a
a
(b )
b
b
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第二章
画法几何基础
二、基本几何体的投影及三视图
(一)平面立体的投影特点及三视图
2、三棱锥的投影
常见的棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
当棱锥的各侧面是全 等的等腰三角形时,称 为正棱锥。
第三节 物体表面上点、线、面的投影 三、平面的投影(2) 迹线表示法 平面来自投影面的交线,称为平面的迹线。
正面迹线PV 侧面迹线PW
平面P与H面的交线称为水平迹线 ,用PH 表示; 平面P与V面的交线称为正面迹线 ,用PV 表示; 平面P与W面的交线称为侧面迹线
PV PW
PH
,用PW 表示。
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b
d a X
k
1 c
e
O c a d b 1 e
k
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第二章
画法几何基础
【例题5】已知矩形ABCD的水平投影以及AB边的正面投影a'b', 完成该矩形的正面投影图。
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第二章
画法几何基础
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第二章
画法几何基础
二、基本几何体的投影及三视图
(一)平面立体的投影特点及三视图 1、棱柱的投影 正六棱柱的投影
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第二章 1、棱柱的投影
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点A在直线a上: 记为:A∈a
点B不在直线a上: 记为:B∈a (2)点与平面的位置关系: 点A在平面α上: 记为:A∈α 记为:B∈ α 点B不在平面α上:
α A A
a
B
B
(3)直线与平面的位置关系: 直线a上的所有点都在平面α上,称直线a 在平面α内,或称平面α通过直线a.记为:a α 直线a与平面α只有一个公共点A时,称直 线a与平面α相交。 记为:a∩α=A 直线a与平面α没有公共点时,称直线a与 平面α平行。 记为:a∩α=φ 或 a∥α.
a a
α α
a
A
α
(4)平面与平面的位置关系: 当平面α上的所有点都在平面β上时,称平面α与 平面β重合。 当两个不同平面α与平面β有公共点时,它们的公 共点组成集合a,称平面α与平面β相交。
记: α∩ β=a。 当平面α与平面β没有公共点时,称平面α与平面β 平行。记: α∩ β=φ或α ∥ β。
内;
内;
(2)直线a,b相交于点O; (3)直线l在平面
(4)点A在平面α内,点B不在平面α内,点A,B 都在直线 a上;
例2.把下列图形中的点、线、面关系用集合符号表 示出来。
a l α a A A l B
α
β
(3)在画图时,如果图形的一部分被另一 部分遮住,可以把遮住部分画成虚线,也 可以不画。
四.平面的表示方法: 平面可以用希腊字母表示,也可以用代表表 示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶 点字母表示。
D C
A B
如:平面α,平面β,平面ABCD,平面AC 平面BD等。
五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系:
β a
α α α β
β
五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系:
B a B α
b a
α A
a
A
A
α
A∈a
B∈a
A∈α B∈α
β a
a α
b∩α=A
a∩α=φ 或 a∥α
α β
α
α
β
Α与β重合
α∩β =a
α∩ β=φ
或α ∥ β
例1.把下列文字语言转化为符号表示: (1)点A在平面
内,但不在平面
9.1平面及其表示
一.平面的概念: 光滑的桌面、平静的湖面等都是我 们熟悉的平面形象,数学中的平面概念 是现实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征:
平面没有大小、厚薄和宽窄,平面在空 间是无限延伸的。
三.平面的画法:
(1)水平放置的平面:(2)垂直放置的平面:
ß
a
通常把表示平面的平行四边形的锐角 画成450