柯西不等式ppt

柯西不等式
提出问题
问题1：
若 a, b, c, d 都是任意实数，试比较 2 2 2 2 2 (a b )(c d ) 与 ( ac bd ) 的大小.
( a b )( c d ) ( ac bd )
2 2 2 2
2
柯西简介
柯西（1789-1857 ）是法国著名的数学家、力学家。 1805年，柯西以第二名的成绩考入巴黎综合工程学校 学习。两年后转到道路桥梁工程学校学习，毕业后， 20岁的柯西成为法国港口城市瑟堡设防阵地建设项目 的工程师，同时开始了他科学研究的生涯，1816年成 为巴黎综合工程学校教授同年被任命为法国科学院院士，不久又 被任命为法兰西学院和巴黎大学理学院教授。柯西一生著述丰富， 仅次欧拉，不仅在数学方面，还在物理学和天文学等领域， 写下了大量创造性的论文。 我们高中所学导数的定义，以及微分、定积分都是柯西给出 的。柯西待人和善热情，生活有节制，而且简朴，但是缺乏常识， 只要一离开数学他的理智和洞察力，就完全丧失。柯西是一个偏 执的天主教徒，他逝世前最后对主教练下的话是“人死了，但事 业永存”。
2 2
小结
1、知识总结：
柯西不等式的简单形式： (a 2 b2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2
a 2 b2

（当且仅当bc ad 时取等号，a , b, c , d R）
c 2 d 2 ac bd
柯西不等式的向量形式：

2、思想方法总结：
柯西不等式
定理：对任意实数a,b,c,d，有
(a
2
b )( c
2
2
d
2
) ( ac bd )
2
当且仅当ad=bc时，等号成立.
特点： 平方的和的乘积不小于乘积的和的平方
柯西不等式的证明
问题2：
如何证明柯西不等式？
柯西不等式的向量形式
已知、 是平面上任意两个向量，则| | | | | |.
（当且仅当 / / 时取等号）
认识事物的过程实质就是“观察－发现、 猜想－论证－应用－再发现－再论证－再应 用…”的过程.
谢谢
当 / / 时，等号成立.
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柯西不等式的简单应用
例1 已知| 3x 4 y | 5, 求证：x y 1.
2 2
例2 对例1改用柯西不等式的向量 形式来证明.
练 习
1 1.已知a+b 1, 求证：a b . 2
2 2
1 1 2.设ab 0, 求证：（a b ） （ 2 2 ) 4. a b