第5章：实用计算方法

上式写作
d12 d 22 dn2
d1 n d2n d nn 0
展开后得到 的 n 次本征方程
(1)n (v n a1v n1
an1v an ) 0
其中 a1 (d11 d22 dnn ) trD 矩阵的迹的负值 当质量矩阵M为对角矩阵时
nr (1) (2)
A a j ( j ) a
j 1 r
ar 1 a1
a2
ar
( r ) 假设模态矩阵
T
待定系数列阵
将假设模态 代入瑞利商
AT KA aT T K a aT Ka R( A) T T T T 2 A MA a M a a Ma
1 0 0 1 2 1 1.8 2 12.24 0.2 T M M 0 1 0 m 1.8 1 m 0.2 7 2 1 1 1 0 0 2 2
近似取前二阶假设模态为 计算缩并的质量矩阵和刚度矩阵
(aT Ma ) (a T Ka ) (a T Ka ) (a T Ma ) a a j j
aT Ka 1 T T 2 a Ma (a Ma )
所以
T 2 (a Ka ) (aT Ma ) 0 a j a j
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例: 图示三自由度系统,用瑞利法估算基频的上限 解: 动力学方程为
考虑到离固定基座愈远的物体的等效弹簧刚度愈小，位 T 移愈大，近似取 1 1.4 1.8 1.48k R( ) 0.1568k / m 代入瑞利商，得到 9.44m 故 1 0.3959 k / m 与精确解 1 0.3730 k / m 的相对误差为6%
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T
若取 1 1.8 2 相应得到
1 0.3749 k / m
1.720k R( ) 0.1405k / m 12.24m
与精确解 1 0.3730 k / m 的相对误差为0.5% 如何假设模态呢? 一般地,可以系统的静变形作为假设模态 比如右图,可假设在三个 质点处分别作用有mg, mg, 2mg的力,此时三个 质点的位移分别为 4mg/k, 7mg/k, 8mg/k 因此,可假设模态为 4 7 8
T
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二.李兹法（Ritz)
里茨法是瑞利法的改进。用里茨法不仅可计算系统的基 频，还可算出系统的前几阶频率和模态。里茨法将瑞利 法的近似模态进行改进，提出更合理的假设模态，从而 使计算出的基频更接近真实值。 里茨法基于与瑞利法相同的原理，但将瑞利法使用的单 个假设模态改进为若干个独立的假设模态的线性组合
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刚度矩阵为
2 1 0 k K 1 3 2 0 2 2

(1)
1 1.8 2
T
2 1 0 1 2 1 1.8 2 1.72 0.4 T K K 1 3 2 k 1.8 1 k 0.4 13 2 1 1 0 2 2 2 1
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其中
Krr T K , Mrr T M
由于瑞利商在系统的真实模态处取驻值，因而，向量 Ａ中的各待定系数可由下面的驻值条件来确定 R ( j 1, 2, , r ) 0 a j 因为
R a j a j
aT Ka R( A) T 2 a Ma
x A sin( t )
动能
1 T T x Mx 2
其中A为由n个振幅组成的列阵
1 T 势能 V x Kx 2
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将主振动的规律代入动能和势能，得最大动能和最大势能
Tmax 1 2 T A MA 2
Vmax
1 T A KA 2
邓克利法计算的为基频的下限,即低于实际的基频.
?
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例: 图示三自由度系统,用邓克利法估算基频的下限 解: 动力学方程为
当只有 m1 时 当只有 m2 时
k12 k1k2 /(k1 k2 ) k / 2 k / 2m k123 2k / 5 1 1 1 1 5 当只有 m3 时 2 k123 k1 k2 k3 2k 3 k / 5m 3 1 1 8m 2 1 0.3535 k / m 2 1 i 1 i k
j 1
其中 N 为简正模态矩阵
T
a2
an
系数列阵
代入瑞利商
n aT N T K N a aT a R( ) T T T a j 2 j 2 a N M N a a Ea j 1 2 a j j 1 n
可以证明
2 12 R( ) n
trD tr(FM ) f ii mi
i 1 n
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而特征方程又可以写为
系数
n
(v v1 )(v v2 )
(v vn ) 0
a1 vi
i 1
n
导出
v f
i 1 i i 1
n
ii
mi
柔度影响系数
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故有

i 1
n
1
2 i

n
1
2 i 1 i
因为对一般结构来讲,第二阶及以上的固有频率远大 于第一阶基频,因此上式左端可只保留基频项,导出
1

2 1

n
1
2 i 1 i
这就是说:我们可以把系统当作是n个单自由度系统, 只须计算出这n个单自由度系统的固有频率后,用上 式便可估计基频.
2 2
12 k / m
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该结构的精确解为
1 0.3730 k / m
误差5.2%
§ 5.2 瑞利法和李兹法 一.瑞利法（Rayleigh) 瑞利法是一种基于能量原理的近似方法 通常用于估算系统基频的上限 配合邓克利法算出的基频下限，可以估计实际基频的 大致范围 讨论n自由度保守系统。设系统作某阶主振动

( 2)
2 1 1
T
2 ( K M )a 0 新的特征值问题为
特征方程为
K 2M 0
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2 ( m / k ) 令 得 1.72 12.24 0.4 0.2 0 0.4 0.2 13 7
( j) ( j) ( j 1, 2, A a 原来系统的前r个模态向量
, r)
由于满足了瑞利商的驻值条件，用里茨法求出的模态 比瑞利法更为合理。但毕竟不是真正的模态，所导出 的固有频率仍高于真实值 例: 图示三自由度系统,用里茨法估算系统的前二阶频率 解: 质量矩阵为
1 0 0 m M 0 1 0 0 0 2
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§ 5.1 邓克利法(Dunkerly) 邓克利法计算基频的近似值为实际基频的下限,它 是由邓克利在用实验确定多圆盘的横向振动固有频 率时提出的. Mx Kx 0 自由振动动力学方程为
左乘柔度矩阵F得
令 D FM 自由振动时
FMx x 0 Dx x 0
若假设模态 接近于第k阶的真实模态, 即比起 ak
来其它的系数都为小量
?
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a j j ak
代入瑞利商得
( j 1, 2,
, n, j k )
n j 1
j
1
2 2 2 R( ) k ( 2 ) j k j
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• Prof. Lanhe Wu • Shijiazhuang Tiedao Univ.
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第五章 线性振动的近似计算方法
线性多自由度系统自有振动问题归结为刚度矩阵和质 量矩阵的广义本征值问题。系统的自由度很大时，必 须利用电机计算机数值运算。除对特征方程直接求根 的方法以外，本章介绍另外近似计算方法。可作为实 用的工程计算方法对系统的振动特征作近似估算，也 可用于编制电子计算机程序处理自由度数很大的复杂 结构的振动问题。各种方法中邓克利法最简单，瑞利 法与里茨法基于能量守恒原理，矩阵迭代法适用于计 算系统最低几阶的固有频率和模态,子空间迭代法是 矩阵迭代法与里茨法的结合，传递矩阵法适合于链状 结构系统.
( j 1, 2,
, r)
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利用二次齐次函数的特点，有
T a (aT Ka ) 2 Ka a j a j
T a (aT Ma ) 2 Ma a j a j
j列 其中，aT / a j eT j 为 r 阶单位阵的第
T
( i )T
一般说来，系统的模态通常是不知道的，因而只能 用一个假设的模态代入瑞利商求频率的近似值
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若任选一个列阵ψ作为假设模态，它一般不是实际模态， 但总能表示为简正模态的线性组合
( j) a j N N a n
a a1
x A sin( t )
( D vE ) A 0
代入动力学方程,得标准特征值问题 2 其中 v 1/
A的非零解条件要求方程的系数行列式为零 D vE 0
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设
D (d ij ) d11 d12
d n1
根据保守系统机械能守恒原理，应有 Tmax Vmax 导出
AT KA R( A) T 2 A MA
瑞利商
若A准确地等于第i阶模态，将 A ( i ) 代入上式 算出的瑞利商应准确等于第i阶固有频率的平方值
(i ) K 2 R( ( i ) ) ( i ) i M ( i )
代入前式，得到的
r 个方程综合为
( K M )a 0
2
于是问题又归结为矩阵的本征值问题 但是:新的本征值问题较原系统的本征值问题规模小 里茨法实质上起着使坐标缩并的作用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
K
M
缩并系统的刚度矩阵 缩并系统的质量矩阵
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2 2 2 , , 由缩并系统解得r个特征根 1 2 r 及r个特征向量 a(1) , a(2) , a( r ) 2 2 原来系统的前r个特征值 j j ( j 1, 2, , r )
这表明: 若假设模态 与第 k 阶模态 ( k ) 的差别为一阶 2 小量，则瑞利商与第 k 阶固有频率平方 k 的差别为 二阶小量。 从而证明瑞利商在系统的各阶真实模态处取驻值。 2 2 j 1 0 特殊情形: k 1 时 瑞利商在基频处取极小值 因此,瑞利法估计的基频必为实际基频的上限. 思考:你能从物理的角度解释为什么瑞利法估计的基频 总大于实际的基频吗?
时所产生的第
f ii 的物理意义为沿第 i 坐标施加单位力
坐标的位移 设想系统内只保留第 i 质量时，则 f ii 的倒数必等于此 单自由度系统的刚度系数 k i 记系统内只保留第 i 质量时的单自由度系统，其固有 ~2 1 mi 频率的平方 i f ii mi 2 i ki
i
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