高考数学总复习第十一章推理与证明算法复数第1节归纳与类比教案文含解析北师大版

高考数学总复习第十一章推理与证明算法复数第1节归纳与类比教案文含解析北师大版

第1节归纳与类比

最新考纲 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

知识梳理

1.合情推理

类型定义特点

归纳

推理

根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每

一个都有这种属性.我们将这种推理方式称为归纳推理

由部分到整体、由

个别到一般

类比

推理

由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据

一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特

征，我们把这种推理过程称为类比推理

由特殊到特殊

(1)定义：根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.

[微点提醒]

1.合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明.

2.在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误.

3.应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的.若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的.

基础自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( )

(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( )

(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( )

(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.( )

解析(1)类比推理的结论不一定正确.

(3)平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适.

(4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确.

答案(1)×(2)√(3)×(4)×

2.(选修1-2P57习题3-1T2改编)数列2，5，11，20，x，…中的x等于________.

解析由5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，推出x－20＝12，故x＝32.

答案32

3.(选修1-2P55练习2改编)将正整数1，2，3，4，…按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________.

解析由三角形数组可推断出，第n行共有2n－1个数，且最后一个数为n2，所以第10行共19个数，最后一个数为100，左数第10个数是91.

答案91

4.(2019·淄博一模)有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值为0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点，以上推理( )

A.大前提错误

B.小前提错误

C.推理形式错误

D.结论正确

解析大前提是“对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，且满足在x0附近左右两侧导函数值异号，那么x＝x0才是函数f(x)的极值点，所以大前提错误.故选A.

答案 A

5.2019·西安二模)对于任意正整数n，2n与n2的大小关系为( )

A.当n≥2时，2n≥n2

B.当n≥3时，2n≥n2

C.当n≥4时，2n≥n2

D.当n≥5时，2n≥n2

解析当n＝2时，2n＝n2；当n＝3时，2nn2；归

纳判断，当n≥4时，2n≥n2.故选C.

答案 C

6.(2018·大连模拟)在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－

n(n<19，且n∈N+)成立.类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则存在的等式为________.

解析根据类比推理的特点可知：等比数列和等差数列类比，在等差数列中是和，在等比数

列中是积，故有b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N+).

答案b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N+)

考点一归纳推理多维探究

角度1 与图形变化有关的推理

【例1－1】(2018·南昌模拟)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数

分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为________.

解析由2＝1＋1，3＝1＋2，5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6

年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55.

答案55

角度2 与数字或式子有关的推理

【例1－2】(2019·安阳一模)如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)

按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1，0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)

处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1，0)处标5，点(－1，1)处标6，点(0，1)处标7，……，

以此类推，则标2 0192的格点的坐标为( )

A.(1 010，1 009)

B.(1 009，1 008)

C.(2 019，2 018)

D.(2 018，2 017)

解析点(1，0)处标1，即12；点(2，1)处标9，即32；点(3，2)处标25，即52；……，由

此推断点(n＋1，n)处标(2n＋1)2，当2n＋1＝2 019时，n＝1 009，故标2 0192的格点的坐

标为(1 010，1 009).故选A.