理论力学第十章 质点动力学基本方程(Y)

一、质点动力学的基本定律
二、质点的运动微分方程
三、质点动力学的两类基本问题
一、质点动力学的基本定律
第一定律 (惯性定律):
不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
F 0
a 0
v 常矢量
不受力作用的质点是不存在的，指作用于质点上合力为零。 质点上作用的是平衡力系 惯性——物体具有保持其原有运动状态的特征
第三定律 (作用与反作用定律):
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向 相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。
第二定律（力与加速度关系定律）：
ma F
——合力矢
在力的作用下物体所获得的加速度的大小与作用力的大
小成正比，与物体的质量成反比，方向与力的方向相同。 在外力作用下，物体所获得的加速度不仅与外力有关， 而且还决定于物体本身的特征—— m 惯性
y t
kvy g 1 [ln(kv y g )] lng t k kvy g kvy g kt e ln kt g g
0

vy
dvy
dt
0
t
物体的运动方程
v0 kt v0 kt x [e 1] [1 e ] k k g g kt y h 2 (1 e ) t k k
物体的运动轨迹
v0 g gx y h 2 ln k v0 kx kv0
kr 已知：图示质点的质量为m ，受指向原点O 的力 F 作用，
力与质点到点O 的距离成正比。如初瞬时质点的坐标 为 ， y0 x x0，而速度的分量为 ，
试求：质点的轨迹。
v x。 0 v y v0
vx A1 v A y 2
k k k k sin t B1 cos t m m m m k k k k sin t B2 cos t m m m m
x x0
vx 0
边界条件定积分常数 t=0 时
k t x x0 cos m y v m sin k t 0 k m
kt
t dvx kdt 0 vx vx ln kt v0
dx v e
0 0 0
x
t
kt
dt
v0 kt v0 kt x [e 1] [1 e ] k k
ky g （2） y dvy kvy g dt
g kt g h dy 0 ( k e k )dt g g kt y h 2 (1 e ) t k k
dv ma m dt v2 ma n m
F F
n

ab 0
F
b
dv ma m F dt 2 v man m Fn

三 、质点动力学的两类基本问题
第一类问题：已知质点的运动,求作用于质点的力。
第二类问题：已知作用于质点的力,求质点的运动。 混合问题：对于多数非自由质点，一般同时存在
解：画质点受力图（质点在水平面内运动） 解法一：
Fx kx m x Fy ky m y k x 0 x m k y 0 y m
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x A1 cos y A cos 2
k k t B1 sin t m m k k t B2 sin t m m
动力学的力学模型
质点：质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 地球绕太阳的公转——质点 刚体的平动——质点 质点系：系统内包含有限或无限个质点，这些质点都具有惯性， 并占据一定的空间；质点之间以不同的方式连接或者 附加以不同的约束。 地球的自转——质点系 刚体：质点系的一种特殊情形——不变形的质点系 其中任意两个质点间的距离保持不变。
a axi a y j az k
d2x m 2 Fx ma x m x dt d2y m 2 Fy ma y m y dt d 2z m 2 Fz ma z m z dt
2、在自然轴上的投影
a a an n
ab 0
kmvx kmx m x kmv y mg kmy mg m y
（1）
kx x
kx x ky g y
dv x kv x dt

dx dt
v
v0
lnvx lnv0 kt
vx v0 e
力可视为与速度的一次方成正比，即 ，其中 F kmv m 为物体的质量，v 为物体的速度，k 为常系数。
求：物体的运动方程和轨迹。
解：以物体为研究对象，分析物体任意位置的受力与运动。 列出物体直角坐标形式的运动微分方程
F kmv km(vx i vy j ) vy y vx x
A1 x0 B1 0
A2 0 B2 v0 m k
y0
v y v0
解法二：
Fx kx m x Fy ky m y
（1）
dv x m kx dt

dx dt mdv x kxdt dt dx 2 2 2 m v x x vx x x 0 k k mvx dvx kxdx 2 2 2 0 x0
(1) F不变，a ，m
物体的运动状态容易改变——惯性小
(2) F不变，a ，m
物体的运动状态不易改变——惯性大 力的单位:牛[顿],
1N 1kg 1 m
s2
二、质点的运动微分方程
ma Fi d2r m 2 Fi dt
ma F
矢量形式的微分方程
1 、在直角坐标轴上的投影
以上动力学的两类问题。
第一类问题：比较简单。 已知质点的运动规律，求作用在质点上的力，通常未知 的是约束力。这是点的运动方程对时间求导数的过程。 第二类问题：比较复杂。 已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。这是运动
微分方程的积分过程。
已知：物体由高度h 处以速度v0 水平抛出，如图所示。空气阻