高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第12节导数与函数的极值最值课时分层训练0

学 习 资 料 专 题

课时分层训练(十四) 导数与函数的极值、最值

A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)

一、选择题

1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) 【导学号：51062086】 A ．y ＝x 3

B ．y ＝ln(－x )

C ．y ＝x e －x

D ．y ＝x ＋2

x

D [由题可知，B ，C 选项中的函数不是奇函数，A 选项中，函数y ＝x 3

单调递增(无极值)，而D 选项中的函数既为奇函数又存在极值．]

2．当函数y ＝x ·2x

取极小值时，x 等于( ) A.1ln 2

B ．－1

ln 2

C ．－ln 2

D ．ln 2

B [令y ′＝2x

＋x ·2x ln 2＝0， ∴x ＝－1

ln 2

.

经验证，－1ln 2为函数y ＝x ·2x

的极小值点．]

3．函数y ＝ln x －x 在x ∈(0，e]上的最大值为( ) A ．e B ．1 C ．－1

D ．－e

C [函数y ＝ln x －x 的定义域为(0，＋∞)． 又y ′＝1x －1＝1－x

x

，令y ′＝0得x ＝1，

当x ∈(0,1)时，y ′＞0，函数单调递增； 当x ∈(1，e]时，y ′＜0，函数单调递减． 当x ＝1时，函数取得最大值－1.]

4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2

＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－1,2)

B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)

C ．(－3,6)

D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B [∵f ′(x )＝3x 2

＋2ax ＋(a ＋6)，

由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4a 2

－4×3(a ＋6)＞0，即a 2

－3a －18＞0， ∴a ＞6或a ＜－3.]

5．设函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x

的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )图象的是( )

A B C D

D [因为[f (x )e x

]′＝f ′(x )e x

＋f (x )(e x

)′＝[f (x )＋f ′(x )]e x

，且x ＝－1为函数

f (x )e x 的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0.选项D 中，f (－1)＞0，f ′(－1)＞0，

不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0.]

二、填空题

6．函数f (x )＝13

x 3＋x 2

－3x －4在[0,2]上的最小值是________．

－173 [f ′(x )＝x 2

＋2x －3，令f ′(x )＝0得x ＝1(x ＝－3舍去)，又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，故f (x )在[0,2]上的最小值是f (1)＝－173

.]

7．设a ∈R ，若函数y ＝e x

＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：51062087】

(－∞，－1) [∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x

＋a . ∵函数y ＝e x

＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x

＋a ＝0有大于零的解， ∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x

＜－1.]

8．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2

，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．

30 23 000 [设该商品的利润为y 元，由题意知，

y ＝Q (p －20)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000，

则y ′＝－3p 2

－300p ＋11 700， 令y ′＝0得p ＝30或p ＝－130(舍)，

当p ∈(0,30)时，y ′＞0，当p ∈(30，＋∞)时，y ′＜0， 因此当p ＝30时，y 有最大值，y max ＝23 000.]

三、解答题

9．已知函数f (x )＝－x 3

＋ax 2

＋b (a ，b ∈R )．

(1)要使f (x )在(0,2)上单调递增，试求a 的取值范围；

(2)当a <0时，若函数满足y 极大＝1，y 极小＝－3，试求y ＝f (x )的解析式． [解] (1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax . 依题意f ′(x )≥0在(0,2)上恒成立，

即2ax ≥3x 2

.∵x ＞0，∴2a ≥3x ，∴2a ≥6，∴a ≥3， 即a 的取值范围是[3，＋∞).6分 (2)∵f ′(x )＝－3x 2

＋2ax ＝x (－3x ＋2a )．

∵a ＜0，当x ∈⎝

⎛⎦⎥⎤－∞，23a 时，f ′(x )≤0，f (x )递减． 当x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫23a ，0时，f ′(x )＞0，f (x )递增．

当x ∈[0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )递减.12分

∴⎩⎪⎨⎪⎧

f 极大＝1，f 极小⎝ ⎛⎭

⎪⎫23a ＝－3

⇒⎩

⎪⎨

⎪⎧

a ＝－3，

b ＝1.

∴f (x )＝－x 3

－3x 2

＋1.15分

10．据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k (k >0)．现已知相距18 km 的A ，B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a ，b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC ＝x (km)．

(1)试将y 表示为x 的函数；

(2)若a ＝1，且x ＝6时，y 取得最小值，试求b 的值. 【导学号：51062088】 [解] (1)设点C 受A 污染源污染程度为ka

x

2，点C 受B 污染源污染程度为kb

－x

2

，

其中k 为比例系数，且k >0，从而点C 处受污染程度y ＝ka x

2＋

kb

－x

2

.6分

(2)因为a ＝1，所以y ＝k x

2＋

kb

－x

2

，

y ′＝k ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－2

x

3＋

2b －x 3

，10分 令y ′＝0，得x ＝

18

1＋3b

，

又此时x ＝6，解得b ＝8，经验证符合题意，