4.5.1曲边梯形的面积

度xi xi xi1 ．
O a x1 x1 x2 x2
•把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形．
f(xi)xi
xi-1 xi xi
xn-1 b x
•任取xi [xi1，xi ] ，以f (x i) xi近似代替第i个窄曲边梯形的面
积．
n
•曲边梯形的面积近似为：A f (xi )xi ． i1
•在 [a, b]中任意插
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
（4）逼近 当分割无限变细，即x 0(亦即n )时，
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
1 n3
1 (n 6
1)n(2n 1)
1 (1 1 )(2 1 ) 1 6n n 3
所以S 1，即所求曲边三角形的面积为1。
3
3
分割
以曲代直
作和
逼近
当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x) 在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从 而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi) 作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x来近似表示 小曲边梯形的面积
i
1
n i1
n n
1
0
ln
f
( x)dx
e . 故
lim n
n
f
1 n
f
2 n
f
n n
1
ln f ( x)dx
0
五、小结
１．定积分的实质：特殊和式的极限．
分、粗、和、精 ２．定积分的思想和方法：
分割 求和 取极限
化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
积零为整
取极限
精确值——定积分
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
（2） 以直代曲
Si
f
(i
1)x n
(i
1)2 n
1 n
（3）作和
n
S S1 S2 Sn Si i1
n f(i -1) 1 n (i -1)2 1 i1 n n i1 n n
n
i 1
i n
2
1 n
1 n3
n i 1
i2
1 n3
n(n
1)(2n 6
1)
1 6
1
1 n
2
1 n
,
0 n
n
1 x2dx
0
lim 0 i1
x i 2xi
lim 1 1 1 2 1 n 6 n n
1. 3
1
例2 利用定义计算定积分 e xdx
0
解 f ( x) ex 在 [0,1]上连续，故f(x)在[0,1]上可积
y = f(x) y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为
A A1+ A2 + + An
分割越细，面积的近似值就越精确。当分 割无限变细时，这个近似值就无限逼近所 求曲边梯形的面积S。
下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程 求yx2所围成的曲边梯形图形
（1）分割
把区间[0，1]等分成n个小区间：
[0, 1 ],[ 1 , 2],,[i 1, i ],,[n 1, n ],
n nn
二、定积分的定义
定义设函数 f ( x)在[a, b]上有界，在[a, b]中任意插入
若干个分点 a x x x x x b
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为
xi xi xi1，(i 1,2,)，在各小区间上任取
一点xi （xi xi ），作乘积 f (xi )xi (i 1,2,)
(A)0.05 (B)0.5 (C)0.25 (D)1
解析：设力 f＝kx(k 为比例系数)， 当 f＝1 时，x＝0.01，可解得 k＝100， 则 f＝100x，如图，
弹簧伸长 10 cm 所做的功即为图中阴影部分的面积． ∴W＝12×0.1×10＝0.5(J)，故选 B.
小结 （曲边梯形的面积求法）
1
n
lim
0 i1
f (xi )xi
e1
1
lim
n
n
1
x
lim
x0
e
x
1
1
en 1 1
lim(e 1) n
n
1
en 1
例 3. 设函数 f ( x)在区间[0,1]上连续，且取正值.
1
试证 lim n f 1 f 2 f n e . n n n n
ln f ( x )dx
0
证明 利用对数的性质得
lim n f 1 f 2 f n n n n n
e ln lim n n
f
1 n
f
2 n
f
n n
极限运算与对数运算换序得
lim ln n
f 1 f 2 f n
en
n n n
lim
e n
1 n ln n i1
为方便计，将 [0,1]n 等分，左侧取点
xi
i
n
1
,
xi
1 n
i 1
f (xi ) e n
n
i 1
f (xi )xi
1 [e0 n
1
1
en
2
en
n1
e n ]
1 等比数列
1 n
1
(en )n
1
1 en
(e 1)
n
1
en 1
1, 0 n
nΒιβλιοθήκη Baidu
lim
x0
e
x
x
1
lim
x0
1 ex
入 n 1个分点．
y
•得n个小区间：
[xi1 , xi ] (i=1, 2 , ···, n)．
f(x2) f(x1)
•区间[xi1 , xi ]的长
度xi xi xi1 ．
O
a x1 x1 x2 x2
y = f(x) f(xi)
f(xi)xi
xi-1 xi xi
xn-1 b x
n
•曲边梯形的面积近似为：A f (xi )xi ．
i1
10．在直角坐标平面内，由直线 x＝1, x＝0, y＝0 和抛物线 y＝－x2＋2 所围成的平面区域 的面积是多少？
解：把区间[0,1]n 等分，每个小区间的长度 Δx＝1n.
每个小曲边梯形面积 ΔSi＝f(xi)Δx
＝[－(i－n 1)2＋2]·1n(i＝1,2，…，n)．
S＝i＝nΔ1 Si＝
求．一物体的速度与时间的关系式为 v＝12t2，则 在从开始到 1 秒内运动的路程为________．
解析：物体运动的路程即为 y＝21x2，与 x＝0，x＝1 和 y＝0 围成 的曲边梯形的面积，利用分割、近似代替、求和、取极限后可得曲边 梯形的面积 S＝16.
7．若 1 N 的力能使弹簧伸长 1 cm，现在要使弹簧伸长 10 cm，问需花费的功(单位：J)为( B )
n
[
i＝1
－
i－ (n
1 )
2＋
2
]
·1n
＝n13i＝n1[2n2－(i－1)2]
＝n13[2n2·n－12－22－…－(n－1)2] ＝n13[2n3－16n(n－1)(2n－1)]＝2－16(2－3n＋n12)． Δx 无限趋于 0，即 n→＋∞时，S 无限趋于53， 所以，由直线 x＝1, x＝0, y＝0 和抛物线 y＝－x2＋2 所围成的平面区域的面积是53.
f (x1)x f(x 2 )x f(x n )x
表示了曲边梯形面积的近似值
演示
总结求解过程
•在 [a, b]中任意插
入 n 1个分点．
y
y = f(x) f(xi)
•得n个小区间：
[xi1 , xi ] (i=1, 2 , ···, n)．
f(x2) f(x1)
•区间[xi1 , xi ]的长
四、定积分的几何意义
f ( x) 0,
b
a
f
( x)dx
A
f ( x) 0,
b
a
f
(
x
)dx
A
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积 的负值
A1 A2
A3
A4
b
a f ( x)dx
A1
A2
A3
A4
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f (x)的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代数和． 在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面 积取负号．
例1 利用定义计算定积分 1 x2dx. 0
解
将[0,1]n 等分，分点为xi
i ，(i n
1,2,, n )
小区间[ xi1 ,
xi ]的长度xi
1 ，(i n
1,2,, n )
取xi xi ，(i 1,2,,n)
n
n
n
f (xi )xi xi2xi xi2xi ,
i 1
i 1
i 1
（3）当函数 f ( x) 在区间[a, b]上的定积分存在时， 称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
三、存在定理
定理1 当函数 f ( x)在区间[a, b]上连续时， 称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
定理2
设函数 f ( x)在区间[a, b]上有界， 且只有有限个间断点，则 f ( x)在 区间[a, b]上可积.
n
并作和S f (xi )xi ，记 max{ x1 , x2 ,, xn }，
i 1
如果不论对[a, b] 怎样的分法，也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点xi 怎样的取法， 只要当 0时， 和S 总趋于
确定的极限I ，我们称这个极限I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分，记为
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即 在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代 曲” y。
方案1 方案2 方案3
O
1
x
y = f(x) y
Oa
A1
b
x
用一个矩形的面积 A1近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1.
y = f(x) y
A1 Oa
A2
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
积分上限
b a
f
( x)dx
I
lim 0
n i 1
f (xi )xi
积分和
被 积分下限
被
积
积 函 数
注意：
积 表 达 式
分 变 [a,b] 积分区间 量
（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的字母无关.
b
a f ( x)dx
b
a f (t)dt
b
a f (u)du
（2）定义中区间的分法和xi 的取法是任意的.
f
i n
lim n ln f i 1
e n i1
n n
指数上可理解为：ln
上的一个积分和．分点为
f( xi
x)i在，[0（,1]i n
区间
1,2,,
n
）
因为 f ( x)在区间[0,1]上连续，且 f ( x) 0
所以ln f ( x)在[0,1]上有意义且可积 ,
n
lim ln
f
微积分在几何上有两个基本问题
1.如何确定曲线上一点处切线的斜率； 2.如何求曲线下方“曲线梯形”的面积。
y
y
y
0
直线
x0
xo
x
几条线段连成的折线
曲线？
4.5.1曲边梯形的面积
直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成的图形（曲边三 角形）面积S是多少？
为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形