年高考数学真题圆锥曲线

2010年全国各地高考数学真题分章节分类汇编

第10部分:圆锥曲线（解答3）

8. （ 2010年高考全国卷I 理科21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 已知抛物线2

:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .

（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上； （Ⅱ）设8

9

FA FB =

，求BDK ∆的内切圆M 的方程 . 【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想.

【解析】（21）解：

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，11(,)D x y -，l 的方程为1(0)x my m =-≠. （Ⅱ）由①知，

因为 11(1,),FA x y =-22(1,)FB x y =-， 故 2

8

849

m -=

， 解得 43

m =±

所以l 的方程为

又由①知 2

214

(4)4473

y y m -=±-⨯=故直线BD 的斜率

2147

y y =-

因而直线BD 的方程为3730,3730.x y x +-=-=

因为KF 为BKD ∠的平分线，故可设圆心(,0)(11)M t t -<<，(,0)M t 到l 及BD 的距离分

别为

3131,54

t t +-. 由

313154t t +-=得19

t =，或9t =（舍去）， 故 圆M 的半径312

53

t r +=

=.

所以圆M 的方程为22

14()9

9

x y -+=

. 9．（2010年高考四川卷理科20）（本小题满分12分）

已知定点A (－1，0)，F (2，0)，定直线l ：x ＝12

，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍.设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N （Ⅰ）求E 的方程；

（Ⅱ）试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由. 10．（2010年高考江苏卷试题18）（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15

92

2=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。

（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设3

1

,221=

=x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。

[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。

（1）设点P （x ，y ），则：F （2，0）、B （3，0）、A （-3，0）。

由42

2=-PB PF ，得2

2

2

2

(2)[(3)]4,x y x y -+--+= 化简得92

x =

。 故所求点P 的轨迹为直线9

2

x =。 （2）将31,221=

=x x 分别代入椭圆方程，以及0,021<>y y 得：M （2，53）、N （13，209

-） 直线MTA 方程为：03

52303

y x -+=

+-，即113y x =+， 直线NTB 方程为：03

2010393

y x --=

---，即5562y x =-。

联立方程组，解得：7103x y =⎧⎪

⎨=⎪⎩

，

所以点T 的坐标为10(7,

)3

。 （3）点T 的坐标为(9,)m

直线MTA 方程为：

03093y x m -+=-+，即(3)12m

y x =+，

直线NTB 方程为：03093y x m --=

--，即(3)6

m

y x =-。 分别与椭圆15922=+y x 联立方程组，同时考虑到123,3x x ≠-≠， 解得：2223(80)40(,)8080m m M m m -++、

222

3(20)20(,)2020m m

N m m --++。 （方法一）当12x x ≠时，直线MN 方程为：222

22

2

222

203(20)

202040203(80)3(20)80208020m m y x m m m m m m m m m m -+-++=--+-++++ 令0y =，解得：1x =。此时必过点D （1，0）；

当12x x =时，直线MN 方程为：1x =，与x 轴交点为D （1，0）。 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D （1，0）。

（方法二）若12x x =，则由2222

24033608020m m m m --=++及0m >，得210m =，

此时直线MN 的方程为1x =，过点D （1，0）。

若12x x ≠，则210m ≠，直线MD 的斜率222

2

4010802403401

80MD

m

m

m k m m

m +==---+， 直线ND 的斜率222

2

201020360401

20ND m

m m k m m m -+==

---+，得MD ND k k =，所以直线MN 过D 点。 因此，直线MN 必过x 轴上的点（1，0）。

11. (2010年全国高考宁夏卷20）（本小题满分12分）

设12,F F 分别是椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线i 与