如何培养学生一题多解的能力
如何培养学生一题多解的能力
苏教版六年级上册数学第七单元“解决问题的策略”中有一道我国古典数学趣题，即“鸡兔同笼”，教材中常用的解法是：“假设法”。教学中我不但让学生掌握了“假设法”，还引导学生学会了多种方法的解答。
鸡兔同笼
鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露。
数清脚共五十双，各有多少鸡和兔。
解法1——推算法。
若笼中全是鸡或兔，脚将分别是36双。72双。已知脚50双，接近36双,可知鸡多兔少。50—36=14（双）72—50=22（双），因为1鸡1兔相差脚一双。可知鸡兔指数差为22—14=8（只），由鸡兔只数和36可知，鸡：（36+8）÷2=22（只），兔（36—8）÷2=14（只）。也可由鸡多兔少，设鸡35只，兔一只，则脚37双；设鸡34只，兔2只，则脚38双……这样鸡逐渐增多，兔逐渐增多，最后必推算出鸡22只，兔14只。
解法2——让兔子起立
让兔子起立，那么鸡兔触地双数相同，这时共有脚36双，比实际少50－36=14（双）.减少的14双是因为兔子起立而少，1只兔子少1双脚，故兔子14只，鸡22只。
解法3——图像法
⑴画头和身
⑵再按鸡生脚
⑶补足脚差数
⑷鸡兔见分晓，鸡22只，兔14只。
解法4——去脚法
设想每个笼中每个小动物的脚都被砍去一双。剩余双数为50—36=14（双）这时，鸡脚全砍去了，剩余是兔子的脚。因1只兔剩一双脚，可知兔子有14只。
解法5——增头法
假想笼中的小动物都是在长出一个头来，这样笼中就有头2×36=72（只）.此时，1只兔有2只兔，2双脚，即脚，头数一样多，那么多出来的22脚即为鸡
的只数。
解法6——折半法
若笼中鸡金鸡独立，笼中兔双脚直立，则触地脚是原来的一半，即50只。因鸡单脚站立，1只脚的就是1只鸡，现笼中有36头，多余的脚50—36=14（只）就是兔子的只数。
上述解法，各有特色：有的直观，有的生动形象，有的充满幻想，别具一格。很容易调动学生学习的积极性，让学生在愉快的教学环境中学习知识，发展思维，掌握解决问题的能力。
小学数学一题多解浅见
小学数学一题多解浅见内容摘要： 在数学教学中，我们常遇到同一道题有几种解法的现象，人们通常称之为一题多解。一题多解确实是一种在各级数学教学中都常见到的数学现象，怎样才能提高学生以题多解的能力呢？我认为可以从四个方面入手，要告诉学生一题多解是一种常见的数学现象；要教育学生充分认识培养一题多解对学好数学的重要意义；要指导学生一题多解的方法；引入竞争机制，鼓励一题多解；从而调动学生一题多解的积极性，达到逐步提高学生一题多解能力的目的。 关键词：小学数学一题多解方法与技巧积极性 在数学教学中，我们常遇到同一道题有几种解法的现象，人们通常称之为一题多解。如“一千零一针，仨半孩子分，每人分几根？”解法一，用整数计算，可得1001÷7×2= 286；解法二，用小数计算，可得出1001÷3.5 =286；解法三，用列方程计算，设每个孩子分ⅹ根针，可列方程
3.5ⅹ=1001，解之，得ⅹ=286由此可见，一题多解确实是一种在各级数学教学中都常见到的数学现象。 数学教学是以各种数学现象作为教学内容的，既然一题多解是一种常见的数学现象，就不能不引起我们每位数学教师的高度重视，而且大量的教学实践已经证明，加强对学生一题多解能力的培养，对大面积提高数学成绩确实大有好处。由于同一道数学题大多有几种解法，并能在最短的时间内拿出最正确的答案。如果不放心还可以用其他方法来验证。这样既能开拓学生的思路，节省学生的时间，还能提高学生做题的准确率。 那么怎样才能提高学生以题多解的能力呢？我认为可以从几个方面入手： 一、要告诉学生一题多解是一种常见的数学现象，虽然并非每道数学题都有几种解法，但多种数学题有多种解法却是事实。 二、要教育学生充分认识培养一题多解对学好数学的重要意义，引起学生对自己一题多解能力的高度重视。 三、要指导学生一题多解的方法。这就要求数学教师
小学数学一题多解与一题多变
小学数学一题多解与一题多变B 摘要：在本文里，一题多用特指渗透于同一数学问题里的不同的数学思想；而一题多变则是指对同类数学问题的不同问法与解答的归纳，并进而构建数学模型。在小学数学教学过程中，教师可结合教学内容和学生的实际情况，采取多种形式的训练，培养学生思维的敏捷性和灵活性，以达到诱导学生思维发散，培养发散思维能力的目的。 关键词：数学，一题多解，一题多变，创造性，创设思维 思维的广阔性是发散思维的又一特征。思维的狭窄性表现在只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云。反复进行一题多解、一题多变的训练，是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法。可通过讨论，启迪学生的思维，开拓解题思路，在此基础上让学生通过多次训练，既增长了知识，又培养了思维能力。教师在教学过程中，不能只重视计算结果，要针对教学的重难点，精心设计有层次、有坡度，要求明确、题型多变的练习题。要让学生通过训练不断探索解题的捷径，使思维的广阔性得到不断发展。要通过多次的渐进式的拓展训练，使学生进入广阔思维的佳境。 一、一题多解，有利于加强学生的思维训练 一题多解，指对同一数学问题的结论可以由多种途径获得。就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题，它属于解题的策略问题。上这种课的主要目的有三条：一是为了充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧；二是为了锻炼学生思维的灵活性，促进他们长知识、长智慧；三是为了开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。 心理学研究表明，在解决问题的过程中，如果主体所接触到的不是标准的模
从“一题多解”转变为“多题一解”
从 一题多解 到 “ ” 多题一解 “ ” 【摘要】一题多解是训练学生发散思维的好方法，然而仅仅停留在 一题多解 的层面上远远 “ ” 不够的，即让学生的思维无限发散，不注意 收（及时归纳总结方法），那将不利于学生对数 “ ” 学思想方法的掌握和运用。因此，一题多解要关注考纲和考试说明、关注学生的 学情 “ ” 、关 注解法的选择，最终变为多解归一，升华为解一类题的方法。 【关键词】一题多解 多题一解 求异思维 发散思维 文[１]说： “一题多解应该关注考纲和考试说明、 关注学生的 ‘学情’ 、 关注解法的选择。 ” 这一点笔者在高三教学感触颇深。 让我们先看一例： 例 1.已知点 ( ) ( ) ( ) 3,0,0,33,3,0, A B C ABC - D 外接圆为 D e （1）求 D e 的方程； （2）设直线 ( ) 1 :33 l y m x =+ 与直线 ( ) 2 :31 l y nx =- 的交点为P ，且点P 在 D e 上①若 D e 关于直线 1 l 对称，求n 的值；②若 0,0 m n >> ，求证：mn m n +- 为常数。 解法一： （标准答案提供方法）将直线 1 l 与 2 l 的方程联立方程组 ( ) ( ) 33 31 y m x y nx ì =+ ? í =- ? ? 解得 ( ) 31 331 m x n m m n y n m + ì = ? - ? í + ? = ? - ? 代入圆D 的方程得： ( ) 2 2 31 31 ()3112 m n m n m n m + éù + +-= êú -- ?? 化简得 ( ) ( ) ( ) 222 3133212 m mn m n n m +++-=- 移项因式分解得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 313232232 m n m mn m n n m mn m n +=-++---+- éùéù ???? 化简得 ( ) ( )( ) 2 31331334 m n m n mn m +=+-- 因为 0 m > ，所以 ( ) ( ) 313334 m n n mn m +=-- 移项分解因式得 ( )( ) 31313(31)(1) n n m n n -+=++ 因为 0 n > ，所以 1 3 mn m n +-=- 【评注】此法是参考答案提供的方法，对照题意思路清晰——入口宽，但要想真正化到最 终结果，却不太容易——运算量大。然而这一点符合《考试说明》考查学生运算求解能力的 要求，毕竟此法是通性通法。 解法二：设直线 1 l 与圆D 的交点 ( ) 00 , Q x y ，则将直线 1 l 与圆D 的方程联立方程组 ( ) 22 33 2390 y m x x y y ì =+ ? í +--= ? ? 消去 y 得
整理小学数学一题多解行程问题
小学数学一题多解行程问题
1.简案 1课时
师引导学生对两道题目进行表述，根据表述内容列式计算，明确用除法计算的两种情况。（播放动画，单击）探究一：平均分 （1）呈现问题，出示教科书第23页例3左图。（播放动画，单击） 引导学生明确数学信息和数学问题。学生先独立思考，画图并列式计算，然后小组内交流方法。教师巡视，对画图有困难学生进行指导。 （2）反馈交流 学生可能会有画一画，摆一摆，分一分，列算式的方法得出结果。教师在评价中予以肯定，重点讲解算式，配合学生的图予以理解。请学生说一说15、3、5分别指什么，算式15÷3=5表示什么意思。 师生共同分析明确，这个问题实际上就是在解决把15平均分成3份，每份是多少的问题。（播放动画，单击）在回顾与反思环节，请学生说一说他们的方法，师生共同得出可以用乘法帮助检验结果是否正确。 探究二：按给定的每几个为一份分 教学方法同例3左图，引导学生明确数学信息和数学问题。学生独立思考，画图并列式计算。 学生列式：15÷5=3（个）。师追问为什么要用除法计算，这
个问题实际是在解决什么。分析得出这个问题就是在求15里面有 几个5，用除法计算。 在回顾与反思环节，请学生说一说他们的方法，师生共同得出可以用乘法检验结果是否正确。（播放动画，单击） 探究三：比较异同，体会内在联系 师引导学生对比两题的异同，明确用除法计算的两种情况。 求把一个数平均分成几份，每份是几和求一个数里有几个几的问 题。（播放动画，单击） 练习一：教科书第24页，练习五第1题。（单击） 练习二：教科书第24页，练习五第3题。（单击） 2.详案 课前预习：
数学解题之一题多解与多题一解[1]
数学解题之一题多解与多题一解[1]
摘要 本文意在明确一题多解和多题一解与学生思维能力发展之间的关系，从而使教师在数学解题教学过程中更加重视解题方法对学生思维能力的培养。本文通过两种典型例题即一题多解型和多题一解型的讲解，阐述了通过不同的例题可以达到对学生思维能力的训练培养的目的。通过一题多解，可以开阔学生思路、发散学生思维，让学生学会多角度分析和解决问题；通过多题一解，能够加深学生的思维深度，分析事物时学会由表及里，抓住事物的本质，找出事物间内在的联系。与此同时，对一题多解和多题一解的运用，要注意相互结合，灵活运用，不可只求一技，失之偏颇。 关键词：一题多解多题一解思维能力 数学解题过程中一题多解与多题一解对学生思维能力的培养 引言
现代心理学认为，数学是人类思维的体操，在培养人的聪明才智方面起着巨大的作用。所以，数学教学实质上是数学思维活动的教学。也就是说，在数学教学中，除了要使学生掌握基础知识、基本技能外，还要注意培养学生的思维能力。培养学生的思维能力是新课程改革的基本理念，也是数学教育的基本目标之一。“学生在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概况、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式进行思考和做出判断。” 数学思维能力对形成理性思维有着独特的作用。因此，作为一名数学教师，应把培养学生的思维能力贯穿在教学的全过程。 惠州市惠州区广播电视大学舒芳教授在《在数学解题教学中培养学生的思维能力》中认为，不同
初中数学一题多解与一题多变(1)
初中数学一题多解与一题多变 北兴中学 王成录 时代在变迁，教育在进步，理念在更新。前两年提出考试要改革，有了《指导意见》，于是一批批探索性、开放性和应用性试题不断涌现；如今又提出课程要改革，有了《课程标准》，其中突出了学生自主探索的学习过程，强调应用数学和创新能力的培养，鼓励教师创造性教学，学生学会学习。 面临这种崭新的教育形势，我们会思考这样一些问题：教学要如何从静态转为动态？怎样有效地指导学生独立地分析问题、解决问题，形成有效的学习策略，提高效益？该如何引导和组织学生从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，激发学生的学习兴趣和创新意识，培养创新能力？等等。我个人在实际教学过程中，对这些问题作过一些深思和一些尝试，其中比较突出的是引导学生进行一题多解和一题多变的训练。下面，我提出几个实例来分析其引导过程与方法，抛砖引玉，仅供参考。 一、一题多解，多解归一 对于"一题多解"，我是从两个方面来认识和解释的：其一，同一个问题，用不同的方法和途径来解决；其二，同一个问题，其结论是多元的，即结论开放性问题。一题多解，有利于沟通各知识的内涵和外延，深化知识，培养发散性和创造性思维；多解归一，有利于提炼分析问题和解决问题的通性、通法，从中择优，培养聚合思维。 例1：如图，已知D 、E 在BC 上，AB=AC ，AD=AE ， 求证：BD=CE. E D C B A
（本题来自《几何》第2册69页例3） 思路与解法一：从△ABC和△ADE是等腰三角形这一角度出发，利用"等腰三角形底边上的三线合一"这一重要性质，便得三种证法，即过点A作底边上的高，或底边上的中线或顶角的平分线。其通法是"等腰三角形底边上的三线合一"，证得BH=CH. 思路与解法二：从证线段相等常用三角形全等这一角度出发，本题可设法证△ABD≌△ACE或证△ABE≌△ACD，于是又得两种证法，而证这两对三角形全等又都可用AAS、ASA、SAS进行证明，所以实际是六种证法。其通性是"全等三角形对应边相等"。 思路与解法三：从等腰三角形的轴对称性这一角度出发，于是用叠合法可证。 例2：已知，如图，在⊙O中，AD是直径，BC是弦，AD⊥BC，E 为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？（要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程） 思路与解法一：从相等的线段这一角度出发，可得如下结论： 1.OA=OD； A Array 2.BE=CE； 3.AB=AC； 4.BD=CD. D
小学数学“一题多解”的探究
小学数学“一题多解”的探究 数学是一种应用非常广泛的学科,它将数与量、结构和空间关系在生活中具体应用和体现。“一花独放不是春，百花齐放春满园”。数学自身同样存在“百花齐放”的状态。数学中存在的“百花齐放”，指的是数学的多种表现形式，数学题中的一题多解便是其中之一。一题多解表现了思维的灵活性和广阔性，对沟通知识引起多路思维大有益处，它是激发学生学习兴趣，调动学生学习积极性的有效方法，与此同时，它也是数学教学的一种重要方法，是在不改变条件和问题的情况下，让学生多角度、多侧面地进行分析和思考，探求不同的解题思路。在探求的过程中，由于学生思维发散点不同，因而能找出多种解题途径，收到培养求异思维的效果。六至十二岁的小学生新鲜感强，目的性不够明确，爱动、好问，注意力不够稳定，很难长时间把注意力集中到同一学习活动上；教师教给学生的是现成的结论、现成的论证、现成的说明，一切都是现成的，无需学生动手实践就可以将知识快速地储存于自己的大脑。因此，教师付出再多辛苦劳动的结果却是学生学习完许多知识便忘。此时巧妙地引入一题多解，更好地好地体现了以学生为本的主导思想，同时又减轻教师教学负担，转变教师教学模式。 例如，有这样一题“两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，5小时后相遇。一辆汽车的速度是每小时55千米，另一辆汽车的速度是每小时45千米，甲、乙两地相距多少千米？”它的解法就有多种。 【分析1】先求两辆汽车各行了多少千米，再求两辆汽车行驶路程的和，即得甲、乙两地相距多少千米。 【解法1】一辆汽车行驶了多少千米？ 55×5=275（千米） 另一辆汽车行驶了多少千米？ 45×5=225（千米） 甲、乙两地相距多少千米？ 275+225=500（千米） 综合算式：55×5+45×5 =275+225=500（千米） 【分析2】先求出两辆汽车每小时共行驶多少千米，再乘以相遇时间，即得甲、乙两地相距多少千米。 【解法2】两车每小时共行驶多少千米？ 55+45=100（千米） 甲、乙两地相距多少千米？ 100×5=500（千米） 综合算式：（55+45）×5 =100×5 =500（千米） 【分析3】甲、乙两地的距离除以相遇时间，就等于两辆汽车的速度和。由此可列出方程，求甲、乙两地相距多少千米。 【解法3】设甲乙两地相距x千米。 x÷5=55+45 x=100×5 x=500 【分析4】甲乙两地距离减去一辆汽车行驶的路程，就等于另一辆汽车行驶的路程，由此列
一题多解,培养学生的发散性思维
一题多解，培养学生的发散性思维 教学不只是继承和吸收前人的知识成果，还必须应用和创新，教师应该把传授知识和培养能力、掌握方法放在同等重要的位置。通过例题示范和习题的一题多解，可以开拓思路，培养学生的发散性思维能力，还可以通过纵横发散，使知识串联、综合沟通，达到举一反三的目的。 一、发散性思维的定义 发散性思维，又称扩散性思维、辐射性思维、求异思维，是一种从不同的方向、途径和角度去设想，探求多种答案，最终使问题获得圆满解决的思维方法。 发散性思维的特点是：充分发挥人的想象力，突破原有的知识圈，从一点向四面八方辐射开，并通过知识、观念的重新组合，寻找更新更多的设想、答案或方法。例如，一题多解、一词多组、一字多意或通过不同方法去探究答案的思维活动。 例如，风筝的用途是什么？有人回答：放在空中玩儿、测量风向、当射击靶子。还有人回答：传递军事情报、作联络暗号等等。他们根据不同的想法说出他们各自的答案，这样从不同的角度考虑问题将会促使学生拓展思维，把所学的知识灵活地运用，提高解题能力。 二、培养学生一题多解 一题多解训练，就是启发和引导学生从不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的运算过程去分析、解答同一道数学题的练习活动。教
师在教学活动中做好学生课堂教学的引导者和组织者，在课堂教学中，引导学生从多方面考虑问题，培养学生的一题多解能力，培养学生的发散思维能力，使其养成一个良好的解题方法和思路。 1.启发联想，诱发一题多解 联想是由一事物想到另一个事物的思维过程，它是创造性思维的起点。课堂上启发学生展开联想，进行发散性思维，可以帮助学生突破感官时空限制，扩大感知领域，唤起学生对已有知识和经验的回忆，沟通新旧知识之间的联系，达到一题多解，发展学生的思维。 例.某厂有工人126人，男女工人之比是5∶4，男工有多少人？读题后，引导学生根据“男女工人数之比是5∶4”展开联想：①男工人数是女工人数的；②女工人数是男工人数的；③男工人数占全厂工人的；④女工人数占全厂工人的；⑤男工人数比女工人数多；⑥女工人数比男工人数少；⑦男工人数占5份，女工人数占4份。 这样老师不断地启发、诱发学生，学生的联想越丰富，思路就越宽阔，解题方法也就越新颖、越多样。 2.巧设提问，诱发一题多解 学生学习的实质是在教师的启迪下自主探索建构的过程。解题时巧设问题，如“这题还有别的解法吗？”“如果……会怎样？”等势必会扩大学生思考的范围，拓宽学生解决问题的视野，促使学生开动脑筋，更深入地思考，去发现解决问题的新思路、新途径。 例.客车和货车同时从甲乙两地相对开出，客车每小时行50千米，货车每小时行40千米，4小时相遇。甲乙两地相距多少千米？
数学解题之一题多解与多题一解
摘要 本文意在明确一题多解和多题一解与学生思维能力发展之间的关系，从而使教师在数学解题教学过程中更加重视解题方法对学生思维能力的培养。本文通过两种典型例题即一题多解型和多题一解型的讲解，阐述了通过不同的例题可以达到对学生思维能力的训练培养的目的。通过一题多解，可以开阔学生思路、发散学生思维，让学生学会多角度分析和解决问题；通过多题一解，能够加深学生的思维深度，分析事物时学会由表及里，抓住事物的本质，找出事物间内在的联系。与此同时，对一题多解和多题一解的运用，要注意相互结合，灵活运用，不可只求一技，失之偏颇。 关键词：一题多解多题一解思维能力
Abstract A multi solution with multi-title, a solution is a monly used method in the teaching of mathematical problem solving. To a given problem, can mathematical knowledge has been an organic gathering of students' divergent thinking is a good opportunity for its exercise; a solution of the multi-title, students can digest the knowledge, but also training the students of the Idea. In this paper, two typical example that is a question to the multi-solution and multi-title solution-based explanation on the purpose of training the training of the students' thinking abilities can be achieved through different examples. To a given problem, you can broaden the horizons of the students 'thinking, divergent thinking of the students, for students to learn multi-angle analysis and problem solving; a solution more than the question, can enhance students' depth of thinking, learn to analyze things from outside to inside, to seize the the nature of things, find things intrinsically linked. This article is intended relationship between the development of the ability to clear a given problem and a solution of the multi-title, with students thinking, so that teachers pay more attention to the culture of problem-solving approach to students' thinking ability in mathematical problem solving teaching process. Key words：Multiple solutions for one question A solutions of the multi-title Thinking ability
一题多解之五种方法解一道经典数学题
1 O B C D ① A 一题多解之五种方法解一道经典数学题 江苏海安紫石中学 黄本华 一题多解是我们学习数学的特好方法！通过一题多解，我们可以多角度、多方位地去思考解题的方案，这样不仅能加强知识间的联系，同时也增添新颖性和趣味性，优化我们的思维结构，提升我们的思维能力。更重要的是，一题多解让我们不仅只满足解题目标的实现，而是让我们拥有了研究学问的态度！ 例题 如图，在平面直角坐标系中，点A (－1，0)，B (0，3)，直线BC 交坐标轴于B ， C 两点，且∠CBA ＝45°.求直线BC 的解析式． 【分析】要求BC 解析式，现在已经知道了B 点坐标，所以只要求到C 点坐标就好了。这就要用到条件∠CBA ＝45°。但这个条件如何用呢？这是本题的难点，也是关键点。考虑到这个角是45°，我们可以尝试做垂线，构造等腰直角三角形。如图①，作AD ⊥BC 于D ，由A 、B 的坐标可知1OA =，3OB =，根据勾股定理2 2 10AB OA OB =+=， 5BD AD ==AC x =，则1OC x =+，25DC x =-255BC x =-，在 RT OBC ?中， 根据勾股定理得出222OC OB BC +=，即()2 222 13(55)x x ++=-，解得15 2 x =- （舍去），25x =，求得6OC =，得出C （﹣6，0），然后根据待定系数法即可求得BC 的解析式． 解法一：如图①，作AD ⊥BC 于D ， ∵点A （﹣1，0），B （0，3）， ∴1OA =，3OB =，∴2 2 10AB OA OB =+=， ∵∠CBA =45°，∴△ABD 是等腰直角三角形， ∴5BD AD == 设AC x =，则1OC x =+， ∴25DC x =-，∴BC=+255BC x = -+， 在152 x =- 中，222OC OB BC +=2 ，即()222213(55)x x ++=-）， 解得x 1=﹣ （舍去），25x =， ∴5AC =，6OC =，∴C （﹣6，0）， 设直线BC 的解析式为3y kx =+，
培养学生一题多解的能力
培养学生一题多解的能力 青海省大通县斜沟乡中心学校雍存虎 一题多解表现了思维的灵活性和广阔性，对沟通知识引起多路思维大有益处。一题多解是数学教学的一种重要方法，是在不改变条件和问题的情况下，让学生多角度、多侧面地进行分析和思考，探求不同的解题思路。在探求的过程中，由于学生思维发散点不同，因而能找出多种解题途径，收到培养求异思维的效果。同时，也是激发学生学习兴趣，调动学生学习积极性的有效方法。 进行一题多解训练，通常采用两种方法。一种是先找出常规解法，然后进行发散性思考，探求不同解法。例如：“加工一批零件，甲独做9小时完成，乙独做6小时完成，现在两人合作，完成任务时，甲做了72个，这批零件共有多少个？”按工程问题的常规思路解答可先求出两个合作需要的时间，在求零件总数。另一种是摆出题目后，就直接进行发散，就像上面一题，我们可以从甲的工作量与工作总量关系角度去思考，先求出甲的工作量占总量的几分之几，再求零件总数；我们也可以从甲、乙两人工作量关系或工作效率的倍数关系去思考，先求出甲工作量是乙工作量的几分之几或乙工效是甲工效的几倍，再求零件总数。前种方法属于“同中求异”，后种方法属于“异
中求同”，但两者的目标是一致的，在发散思维的前提下“殊途同归”。 另外，这两种训练方法的例题，我们同样可以用代数的方法（即列方程）去思考。不同的解法来源于不同的思路，不同思路又出自不同的分析角度。实践表明：一题多解，可以给学生提供一个灵活运用知识的机会。 一题多解训练，就是启发和引导学生从不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的运算过程去分析、解答同一道数学题的练习活动。上这种课的主要目的有三条：一是为了充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧；二是为了锻炼学生思维的灵活性，促进他们长知识、长智慧；三是为了开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。 我们知道，一题多解训练的目的，不是单纯地解题，而是为了培养和锻炼学生的思维，发展学生的智力，提高学生的解题能力。所以，在实际训练中，我们不能满足于学生会用几种一般的方法来分析解答应用题。如果只以一般的几种解法为满足，对学生通过多向思维求得的其他解法特别是一些较为复杂的解法不提倡，不鼓励，甚至还挖苦、批评、责备学生，这样就会挫伤学生思维的积极性，影响学生的学习兴趣，不利于培养学生的创造能力。实践证明，学生的解法越多，表明学生的思维越灵活，思路越开阔。学生能够根据题意和数量关系，运用所学习和掌握的知识不拘泥、不守旧，乐于打破一般的框框去进行广阔的思维，十分用心地去探求各种解题方法，就越有利于
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数学解题之一题多解与 多题一解
浅谈一题多解培养学生发散思维 摘要 本文意在明确一题多解中学生思维能力的发展，从而使教师在数学 解题教学过程屮更加重视解题方法对学生思维和发散思维的培养。本文通过两道典型例题对一题多解型的讲解，通过不同的例题可以达到对学生思维能力的训练培养的目的。通过一题多解，可以开阔学生思路、发散学生思维，让学生学会多角度分析和解决问题；对一题多解灵活运用，对培养学生发散思维，启发学生独立思考具有较好的指导意义。 关键词：一题多解发散思维思维能力 一题多解对学生思维能力的培养 同一数学问题用不同的数学方法可以达到异曲同工之效，我们称之为“一题多解”。其特点就是对同一个问题从不同的角度、不同的结构形式、不同的思维方式去解答同一个问题。一题多解能快速整合所学知识，重要的是培养学生细致的观察力、丰富的联想力和独立思考、解决问题的能力。 (-)提高分析、解决问题的能力 ?题多解，能够使学生开阔思维，把学过的知识和方法融合在 ?起，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生独立思考的能力。 例1. 甲乙两地相距450千米。客车和货车同时从两地相向而行，客车行完全程需10小时，货车行完全程需15小时，相遇时两车各行 多少千米？ 解法一：用路程问题的解法。 根据速度二路程÷时间可以求出客车的速度为450÷10二45 （千米/小时），货车的速度为450÷15二30 （千米/小时）。
（1）几小时后两车相遇：450÷（45+30）二6 （小时） （2）相遇时客车行了多少千米：45X6二270（千米） （3）相遇时货车行了多少千米：30X6二180（千米） 解法二：用比例分配的方法。 两车所需的时间之比是：10:15,根据距离一定，速度与时间成反比例关系进行解答。 （1）两车所需的时间之比是：10:15=2:3 所以两车速度之比是：3:2 （2）两车运行时间相同，所以路程与速度成正比例，即两车行驶路程之比是：3:2 3 （3）相遇时客车行了多少千米：450×（- ）=270（千米） 5 2 （4）相遇时货车行了多少千米:450×（- ）=180（千米） ^ 5 答：相遇时客车行了270千米，货车行了180千米。 解法三：工程问题的方法解决 客车行完全程要10小时，每小时行全程的1/10 货车行完全程需15小时，每小时行全程的1/15 相遇时间为:1÷（1/10 + 1/15） =6 （小时） 6小时客车行了全程的：6X1/10=3/5 所以客车行了： 450X3/5 = 270 （千米） 所以货车行了：450-270 = 180 （千米）...？解法一：求出两车相遇时间，进而求出相遇时两车各自的行驶路程，这种方法是处理类似行问题最为i般的方法，也是最为普遍的解决方法，是解决更为复杂的工程问题的基础。而解法二是通过对公式路程二速度X时间的灵活运用，只需求
一题多解对小学生数学思维的促进作用
一题多解对小学生数学思维的促进作用 一题多解对小学生数学思维的促进作用■文/魏成艳 在小学数学教学中，教师要注重培养学生的数学思维能力，让他们在分析问题时能从多角度、多层次出发，深刻理解和领悟所学内容，能用多种方法解决问题，促进他们数学思维的深入发展。在进行一题多解的教学中，教师要把学生放到学习主体的位置上，发挥学生的学习主动性，让他们在教师的引导下进行深入思考，通过联想和比较找出解决问题的方法，促进他们数学发散思维的发展，实现高效的课堂教学。 一、一题多解拓宽学生的思维面在小学数学教学中让学生运用一题多解的方式进行学习，教师要引导学生从不同的角度对问题进行分析和思考，摆脱定势思维的影响和束缚，找出不同的解决方法。在一题多解教学中，激发学生的好胜心，让他们利用已有知识进行充分探究，找到不同的解决方法。在解题过程中，学生的思维不断深入，让他们从已有的知识中选择有用的信息，顺利解决问题。在数学教学中，教师要加强对学生思维能力的训练，提高学生的思维灵敏性，拓宽他们的思维面，促进数学综合能力的发展。二、一题多解培养学生的创设思维能力随着素质教育的进行，小学生成为了课堂学习的主体，在教学过程中，教师要根据他们的学习情况进行教学设计，发挥学生的学习主动性，让他们通过
积极的思考和分析掌握所学知识，并能用掌握的知识分析和解决问题。在教学改革的进程中，教师要实现高效的课堂教学效率，在激发学生学习兴趣的同时，还要培养他们的创新思维能力。因此，在教学过程中，教师可以采用一题多解的方式来对学生进行思维训练，让他们在用知识的过程中提高思维的灵敏性，加深对知识的理解，能够灵活运用知识分析问题，从多个角度探究问题，找到解决问题的多种方法。在一题多解过程中，学生的创造力得到了充分发挥，他们在学习中能够举一反三，有效提高数学学习能力，促使他们的数学综合素质获得发展，实现高效的课堂教学。三、一题多解促进学生的发散思维在小学数学教学中进行一题多解的思维训练，有助于促进学生发散思维的发展，让他们对题目进行全面分析，从题干中找出有用信息，提高他们的审题能力和解题能力，大大提高学习效率。在进行一题多解的训练时，教师要给学生充足的思考和探究时间，让他们能对问题进行深入分析，从不同的角度找到解决问题的切入点，用多种方法解决问题，促进他们发散思维的发展。在数学教学过程中，教师在引导学生分析问题时，要让他们从各个角度进行大胆尝试，利用知识之间的联系进行分析和思考，通过联想、比较找到解决问题的方法。在培养学生的发散思维时，运用一题多解的方式能够让学生的思维变通性得到发展，让他们的数学思维摆脱定势思维的束缚，促进思维灵活性的发
如何培养学生一题多解的能力
如何培养学生一题多解的能力 苏教版六年级上册数学第七单元“解决问题的策略”中有一道我国古典数学趣题，即“鸡兔同笼”，教材中常用的解法是：“假设法”。教学中我不但让学生掌握了“假设法”，还引导学生学会了多种方法的解答。 鸡兔同笼 鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露。 数清脚共五十双，各有多少鸡和兔。 解法1——推算法。 若笼中全是鸡或兔，脚将分别是36双。72双。已知脚50双，接近36双,可知鸡多兔少。50—36=14（双）72—50=22（双），因为1鸡1兔相差脚一双。可知鸡兔指数差为22—14=8（只），由鸡兔只数和36可知，鸡：（36+8）÷2=22（只），兔（36—8）÷2=14（只）。也可由鸡多兔少，设鸡35只，兔一只，则脚37双；设鸡34只，兔2只，则脚38双……这样鸡逐渐增多，兔逐渐增多，最后必推算出鸡22只，兔14只。 解法2——让兔子起立 让兔子起立，那么鸡兔触地双数相同，这时共有脚36双，比实际少50－36=14（双）.减少的14双是因为兔子起立而少，1只兔子少1双脚，故兔子14只，鸡22只。 解法3——图像法 ⑴画头和身 ⑵再按鸡生脚 ⑶补足脚差数 ⑷鸡兔见分晓，鸡22只，兔14只。 解法4——去脚法 设想每个笼中每个小动物的脚都被砍去一双。剩余双数为50—36=14（双）这时，鸡脚全砍去了，剩余是兔子的脚。因1只兔剩一双脚，可知兔子有14只。 解法5——增头法 假想笼中的小动物都是在长出一个头来，这样笼中就有头2×36=72（只）.此时，1只兔有2只兔，2双脚，即脚，头数一样多，那么多出来的22脚即为鸡
的只数。 解法6——折半法 若笼中鸡金鸡独立，笼中兔双脚直立，则触地脚是原来的一半，即50只。因鸡单脚站立，1只脚的就是1只鸡，现笼中有36头，多余的脚50—36=14（只）就是兔子的只数。 上述解法，各有特色：有的直观，有的生动形象，有的充满幻想，别具一格。很容易调动学生学习的积极性，让学生在愉快的教学环境中学习知识，发展思维，掌握解决问题的能力。
小学数学一题多解启发式教学策略
小学数学“一题多解”启发式教学策略 研究报告 吉首市第六小学课题组 课题批准文号：JCJY2011014 课题类别：湘西自治州“十二五”教育科研规划课题 学科分类：基础教育数学 课题主持人：吴福笔 主要研究人员：吴福笔陈江平韩景翠梁卫忠周萍赵苗杨满芝 唐辉明向海燕陈先文高满英石柳红胡银军田玉琢摘要：本课题通过对小学生自主学习习惯，自学方法以及“一题多解”的意识与能力等问题进行研究，探究出培养小学生自主学习习惯的途径；寻找到培养小学生养成“一题多解”的习惯，解决问题策略的多样化和最优化意识的方法，为培养创新型人才提供理论实践经验。 关键词：小学数学一题多解启发式教学策略 一、问题提出 解决问题是数学课程标准的一块重要内容。新的数学课程标准对解决问题的目标这样阐述：“形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。”“了解同一问题可以有不同的解决办法”；“能探索出解决问题的有效方法，并试图寻找其他方法”。数学新课标在第二学段教学建议中也提出：“加强估算，鼓励解决问题策略多样化，教学应尊重每一个学生的个性特征，允许不同的学生从不同的角度认识问题，采用不同的方式表达自己的想法，用不同的知识与方法解决问题。鼓励问题策略的多样化，是是因材施教，促进每一个学生充分发展的有效途径。” 然而，从调查学生作业中可发现如下情形： 1.一个班学生对解答某一个应用题方法是何等的相似，千篇一律，一种方法，同种模式。 2.答案正确，但过程繁锁、复杂。 3.只会用教师讲的方法做，思维不顺畅。 4.只满足于一种解法。
为了改变这一现状，体现学生的个性差异，培养学生的创新意识、培养学生的解决问题策略多样化和最优化意识，故把《小学数学“一题多解”启发式教学策略》作为个人课题进行研究。 二、理论依据 1.马克思主义思想——事物联系形式多样性和转化论认为：尽管唯物主义的表现形式可以多种多样，但是有一点是一致，它们都是以一个总的联系来理解这个世界的一切现象。凡是我们意识到的东西，不管是精神现象、社会现象，还是其他一切现象，全都不出这个总的联系之外。 一切事物都有转化，有发展，各部分之间都存在内在的必然的联系，某些部分可向另一些部分转化。 2.启发式教育论：启发式教育的主要特点，是强调自学为主，学生要在教师主导启发作用下，通过自学主动学习掌握知识，自学的好坏是关系到启发式教学方法成功与否的关键，也是学生逐渐不依赖他人而独立获得知识成为学习主人的关键。 3.创新教育论认为：创新思维培养技法中提到，视野拓展法是创新思维培养的主要技法之一。它强调，问题解决可否借用别的方案，问题解决可否还有其他方案，问题解决可否有更好的方案。 4.2001年6月教育部印发的《基础教育课程纲要》强调“教师应尊重学生的人格，关注个体差异，满足不同学生的学习需要……使每个学生都能得到充分发展”。同时，还强调学生在教师的指导下“主动地、富有个性地学习”，发展学生发现问题和解决问题的能力。 三、研究目标与研究内容 “一题多解”启发式教学：是指在小学教学课堂中，教师利用启发式教学，启发、引导学生自学而获得解决问题多样性。它强调的是自主探索而非教师灌输。根据这一界定，我们确定了以下研究目标和内容： （一）研究目标 1.培育小学生数学兴趣和自主学习习惯与能力。 2.学生掌握一定自学方法的并形成自己的见解。 3.使学生初步具有解决问题策略多样化和最优化的意识。 4.构建“一题多解”启发式教学策略。 （二）研究内容 1.研究培养小学生自主学习的习惯。 2.研究培养小学生自学能力的方法。 3.研究培养小学生“一题多解”的习惯，解决问题策略的多样化和最优化意识。
一题多解训练
试谈应用题解法中“一题多解”的训练方法 应用题是小学数学教学的重点，也是个难点。应用题之所以难学，问题本身一般比较复杂是一个原因，但从教学法来说，更重要的是解题思路的训练。一题多解训练，“一题多解”的训练，是提高学生思维积极性，灵活性和创造性的最好方法。 我试从以下三个方面谈“一题多解”的训练。 1。练习方法。 练习时要由浅入深，由易到难。一道题有很多解法，在训练时，要把一般的方法让学习应用题有困难的学生解，这样有利于激发学困生的学习积极性。例如：一个三角形，底和高的长度比是5：3，底比高长84厘米。求三角形的面积。这道题用用按比例分配做一般学生能解答。还有用分数的方法，或是先求一份数的方法等，学困生想不到，这时就要让应用题解答能力强的学生做。 2。看谁的解题方法多。 一题多解训练的目的，不是单纯地解题，而是为了培养和锻炼学生的思维。即使有学生的想法不对，老师也要鼓励。批评和责备，会挫伤学生思维的积极性，影响学生的学习兴趣，不利于培养学生的创造能力。对于解题方法多的学生要充分肯定。这样有利于学生思维能力和创造力的发展，激发学生的学习兴趣。 3。引导找出最简便的解法。 求得多种解题方法之后，再找出最简便的解题方法，是一个继续思维的过程，也是一个对应用题的各种解法的再认识的过程。它是一题多解训练的一个不可忽视的环节。把握应用题的最简便的解题方法，可以进一步提高解答应用题的能力和效率。 探究小学数学应用题的多种解法是深入教学改革，推动学生数学素质提高的一个重要方面。 业务讲座：谈谈小学数学的一题多解 一题多解，就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，不同的方位，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题。教学中适当的一题多解，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和独创性，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维。 一题多解对于五、六年级学生来说尤为重要，我们每位小学教师必须引为重视，搞好训练。 下面仅就多步应用题教学过程中的一题多解，初略地介绍一下基本做法： 一、进行一题多解的实际练习。 在实际教学中，一般采用以下两种方法： 1.一般的一题多解的练习。题目是由浅入深，由易到难。解法、时间、速度等要求逐步提高。 题1南北两城的铁路长357公里，一列快车从北城开出，同时有一列慢车从南城开出，两车相向而行，经过3小时相遇，快车平均每小时行79公里，慢车平均每小时比快车少行多少公里?
浅谈小学数学中的“一题多解与一题多变”
浅谈小学数学中的“一题多解与一题多变” 在当今教育模式下，通常我们数学的教育模式都是以“标准题目”和“标准答案”来解决问题，这导致学生的思维受到禁锢并沿着定向发展，导致千人一面，这种单一、刻板的思维严重地束缚着小学生创新思维的发展。因此，教师必须打破禁锢。想要锻炼思维，可以通过一系列的变式训练，以多侧面、多角度地去探索问题中的本质，这样有利于弄清知识脉络和知识间的联系，可以培养学生的思维转换能力。 在新课程改革实行的背景下，一题多解和一题多变是数学研究中的一个热点问题，一题多解式和一题多变式的教学形式也不断呈现出了新的特点，而数学作为一门应用最广泛，最能培养创造性思维和问题解决的能力的一门基础课程，通过不断激发学生积极思维和求知兴趣，从而达到举一反三、触类旁通的效果，因此其在培养学生的创新能力上具有独特优势。 一、“一题多解”在小学数学教学过程中的实践 一个题目能否得到解决的确非常的重要，但是去探求不同于别人的新解法，才是学习上梦寐以求的乐事。学生学习的兴趣往往与所创造出的欢乐是紧密相连的。因此研究一题多解是为了增强学生们的求知欲望，从而激发人们的创新精神。那么所谓的“一题多解”是什么呢？从字面上看很容易看出就是指一题多解训练，对同一问题的结论通过不同的方法得出，不断通过指引和启迪学生从不同的思路、不同的方向、不同的方法以及不同的运算过程去分析和解答问题。为了能充分解释一题多解在培养小学生思维方面的应用，将通过下面两个例子，来详细的介绍“一题多解”。 例1：计划修一条长120米的水渠，前5天修了这条水渠的20%，照这样的进度，修完这条水渠还需多少天？ 这道题先启发学生求工作效率，即从“工作量÷工作时间”来思考： 解法（1）：120÷（120×20%÷5）－5 ； 解法（2）：（120－120×20%）÷（120×20%÷5）； 这道题也还可以从分数的意义直接进行解答： 解法（3）：1÷（20%÷5）－5 ； 解法（4）：（1－20%）÷（20%÷5）； 解法（5） 5÷20%－5 例2：李老师带了若干元去买书。一部书分为上、下两集，用全部钱能买上集10册或买下集15册。已知上集比下集每本贵2元，张老师一共带了多少元？ 这题可用“归一”和“倍比”的思路解答。 解法（1）2×10÷（15－10）×15； 解法（2） 2×10×［15÷（15－10）］。 在运用“归一”和“倍比”解法的基础上，进一步启发学生进行分析，如果把李老师所带的钱看做单位“1”，那么，上集每本的钱则占总钱数的，下集每本的钱则占总钱数的，这样就可以找出一组相对应的数量，即上集比下集每本贵2元，相当于总钱数的（），因此，可得出解法（3） 2÷（）。
初中数学一题多解与一题多变汇总
____________________________________________________________________________________________ 初中数学一题多解与一题多变 时代在变迁，教育在进步，理念在更新。前两年提出考试要改革，有了《指导意见》，于是一批批探索性、开放性和应用性试题不断涌现；如今又提出课程要改革，有了《课程标准》，其中突出了学生自主探索的学习过程，强调应用数学和创新能力的培养，鼓励教师创造性教学，学生学会学习。 面临这种崭新的教育形势，我们会思考这样一些问题：教学要如何从静态转为动态？怎样有效地指导学生独立地分析问题、解决问题，形成有效的学习策略，提高效益？该如何引导和组织学生从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，激发学生的学习兴趣和创新意识，培养创新能力？等等。我个人在实际教学过程中，对这些问题作过一些深思和一些尝试，其中比较突出的是引导学生进行一题多解和一题多变的训练。下面，我提出几个实例来分析其引导过程与方法，抛砖引玉，仅供参考。 一、一题多解，多解归一 对于"一题多解"，我是从两个方面来认识和解释的：其一，同一个问题，用不同的方法和途径来解决；其二，同一个问题，其结论是多元的，即结论开放性问题。一题多解，有利于沟通各知识的内涵和外延，深化知识，培养发散性和创造性思维；多解归一，有利于提炼分析问题和解决问题的通性、通法，从中择优，培养聚合思维。 例1：如图，已知D 、E 在BC 上，AB=AC ，AD=AE ， E D C B A
求证：BD=CE. （本题来自《几何》第2册69页例3） 思路与解法一：从△ABC和△ADE是等腰三角形这一角度出发，利用"等腰三角形底边上的三线合一"这一重要性质，便得三种证法，即过点A作底边上的高，或底边上的中线或顶角的平分线。其通法是"等腰三角形底边上的三线合一"，证得BH=CH. 思路与解法二：从证线段相等常用三角形全等这一角度出发，本题可设法证△ABD≌△ACE或证△ABE≌△ACD，于是又得两种证法，而证这两对三角形全等又都可用AAS、ASA、SAS进行证明，所以实际是六种证法。其通性是"全等三角形对应边相等"。 思路与解法三：从等腰三角形的轴对称性这一角度出发，于是用叠合法可证。 例2：已知，如图，在⊙O中，AD是直径，BC是弦，AD⊥BC，E 添加字母，不写推理过程） D 思路与解法一：从相等的线段这一角度出发，可得如下结论： 1.OA=OD； 2.BE=CE； ____________________________________________________________________________________________