第四章数字特征

同理，乙射击一次的平均成绩是
E Y = 8×0.2 + 9×0.5 + 10×0.3 = 9.1 (环)。
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例4.1.2 假设某人有 10 万元，如果投资于一项目将有 30%的可能获利 5 万，60% 的可能不赔不赚，但有 10%的可能损失全部 10 万元；同期银行的利率为 2% ，问他应该如何决策？
抽出 4 张 。如果全是真的，则赢得这 400元；如果这 4 张中至少有一张假币，只输 100 元。
问这种规则是否公平，或者说你是否愿意参加？
解. 分析， 公平合理的规则必须是双方的平均获利都等于 0 以 X 记每局赌博中庄家的获利 (可以为负) ，则 X 所有可能的取值是 – 400 与 100 。
0
5 ye y dy 5
0
即平均需要等待 5 分钟。
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二. 数学期望的基本性质
1. 随机变量线性变换的期望等于期望的线性变换 即，设 a、b 是两个常数，则有： E ( a + bX ) = a + b E (X) ；
2. 随机变量和的期望等于期望的和 对任意的 n 个随机变量 X1、X2、…、Xn，都有： E (X1 + X2 + … + Xn ) = E X1 + E X2 + … + E Xn
解. 如果要用数学期望的定义计算庄家的平均获利，
需要求出 Y 的分布律。
利用数学期望的性质，因为 E Xi = 50/3 ，
所以庄家总的利润平均来说有 200 元 。
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补充 更精确的模型应该假定每天参赌的人数服从
参数 的泊松分布，此时庄家的平均利润是 ×E X
练习4.1.6 在例题2.2.1 中讨论了汽车过十字路口的问题。通过
相关系数与协方差， 随机向量分量之间的关系， 或者是：两个随机变量相依的程度。
第一节 数学期望与方差
一. 数学期望(均值) 的定义
直观理解，数学期望就是一个随机变量所有可能 取值的加权平均值，权就是这些可能值相应的概率。
例如， 1. 假定发生意外的概率是 0.001，则在购买保险的 15,000 人中，平均起来有多少个人需要赔偿？ 2. 统计资料表明强烈地震的间隔服从参数 430 (天) 的指数分布，则平均多长时间发生一次强震？
1. 离散随机变量的数学期望
如果 X 的分布律 P { X = xk } = pk ,k ≥ 1 满足： ∑k ≥ 1 | xk pk | ＜ + ∞
则定义离散随机变量 X 的数学期望是
E X = ∑k ≥ 1 xk pk
2. 连续随机变量的数学期望
如果 X 的密度函数 p (x) 满足： | xp( x) | dx 则定义连续随机变量 X 的数学期望是 E X xp( x) dx
解. 以 X 记这个项目 的投资利润。
利润 5 0 – 10 概率 0.3 0.6 0.1
平均利润为：
E X = 5×0.3 + 0×0.6 + (– 10)×0.1 = 0.5，
而同期银行的利息是 10×0.02 = 0.2 ，
因此从期望收益的角度应该投资这个项目。
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例4.1.3 在古典概率模型中设计了如下一个赌局： 每个人从有 3 张假币的 10 张 100 元纸币中随机地
第四章 数字特征
第一节 数学期望与方差 第二节 常用分布的期望与方差 第三节 协方差与相关系数
数字特征是由随机变量的分布决定的一些常数， 它们只能刻划随机变量的部分随机特性。
数学期望 (Expectation)， 随机变量的平均取值；又被称为是：均值
方差(Variance) ， 随机变量在它的平均值附近取值的分散程度。
显然 X 的分布律为：
xk – 400 100
pk
—1 6
—56
因此，X 的数学期望，即庄家在每局赌博中
的平均获利为：
E X = (– —40—0 ) + ( —50—0 ) = 5—0 。
6
6
3
这种赌博对庄家有利，平均一局他将净赚 16.67 元
思考2
如果一天有 12 个人参加这种赌博，庄家的平均 获利又是多少？
E Y = E [ g(X1,X2,…,Xn)]
... g( x1 , .., xn ) p( x1 , .., xn ) dx1 ..dxn E X xp(x, y) dxdy
例4.1.5 在前面的例题4.1.3的赌局里，如果一天有 12 个人参加赌博，则庄家总的获利是随机变量 Y = X1 + X2 +…+ X12，每个 Xi 独立同分布。
每个路口的概率是 q ，X 是首次停止时通过的路口数。 X 01 2 3 4 pk p pq pq2 pq3 q4
例4.1.1 一位著名的射击教练将从两个候选人中挑选 一人作为他的队员，甲还是乙的成绩更好？
成绩(环数) 8 甲的概率 0.1 乙的概率 0.2
9
10
0.3 0.6
0.5 0.3
解. 以 X、Y 分别表示甲、乙射击一次的结果，
显然 X 的数学期望(甲射击一次的平均成绩)是
E X = 8×0.1 + 9×0.3 + 10×0.6 = 9.5 (环)，
(2) 如果连续随机变量 X 具有密度函数 p(x) ，
则随机变量 Y = g(X) 的数学期望是：
E Y = E [ g(X)] = g( x) p( x) dx
(3) 如果连续随机向量 (X1，X2，…，Xn) 具有
联合密度函数 p(x1,x2,…,xn) ，则随机变量
Y = g(X1,X2,…,Xn) 的数学期望是
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例4.1.4 在例题2.4.4 中假定乘客在公交车站等车的 时间 X ( 分钟) 服从参数 5 的指数分布， p (x) = 0.2 e – 0.2 x ， x ＞ 0 问这个人的平均等车时间是几分钟？
解. 平均等车时间即Βιβλιοθήκη Baidu数学期望 E X ，因此
E X xp( x) dx 0.2xe 0.2x dx
3. 独立随机变量乘积的期望等于期望的乘积
如果 X1、X2、…、Xn 相互独立，则有： E (X1×X2×…×Xn) = E (X1)×E (X2) ×…×E (Xn)
4. 随机变量函数的期望公式 (1) 如果离散随机变量 X 具有分布律： P { X = xk } = pk ,k ≥ 1 ， 则随机变量 Y = g(X) 的数学期望是： E Y = E [ g(X)] = ∑k ≥ 1 [ g(xk) pk ]