多缝的夫琅禾费衍射

A
δ
δ O aθ B
aθ δ
θ
A a
sin N sin
a0 (
sin
) ( sin N sin
)
其中
a sin
ΔL
I
I0
(
sin
)2
(
sin N sin
)2
d sin
单缝衍射因 子
缝间干涉因子
2、缝数N对多缝干涉条纹的影响（多缝使条纹细而明亮）：
⑴ 主极大（明条纹中心）：
光栅主要用于光谱分析，测量光的波长、光的强度分布等。
ad
a
d
透射式光栅
反射式光栅
1、光栅方程：
光栅常数： d = a + b 明条纹衍射角满足： d sin k 称为光栅方程。
( k 0, 1, 2, )
例题5-6：He—Ne激光器发出波长λ=632.8nm的红光，垂直入射于每厘米有
6000条刻线的光栅上。求各级明纹衍射角。
入射时，其λ1=589.00nm和λ2=589.59nm钠双线的1 级主极大对应的角距离为多大？
解：对光栅方程 d sinθ = kλ 两边取微分，得：
d cos d k d ∵Δλ很小 k
d cos 而 cos 1 (sin )2 1 ( k )2
d
即 k d 2 k 22
I
N2
由上讨论可知：
0 12
n
N 4
当相邻缝间距d 一定时，多
缝干涉和双缝干涉明纹间隔 都是一样的（与N无关）。
n 0 1 234
随着缝数的增加，明条纹变 得越细、越亮，而明条纹之
N 6
间是大片暗区。
n 0 1 2 34 5 6
3、单缝衍射因子对多缝干涉的影响、缺级：
当α=±k'π （k'= 1, 2, 3, …)
解：
d sin 2 d sin 2
求得
arcsin 2 d 0.552 rad
arcsin 2
d
0.334
rad
所以2级光谱中，α、δ谱线的角距离为：
0.218 rad
例题
5-10：
波长为600nm的单色光垂直入射于光栅。第2、3级明纹分 别出现在sinθ2=0.20和sinθ3=0.30处，第4级缺级。求⑴光栅
当 d sin k
即
2 2k
时：
sin N 0 , sin 0
sin N N , sin
或 ( sin N )2 N 2 sin
I
I0
(
sin
)2
(
sin N sin
)2
当δ = 0，2π，4π，… 时
aθ aθ aθ aθ aθ aθ
A
此时缝间干涉因子最大，所以满足下式
①由惠更斯—菲涅耳原理，k=±10 时θ=±90°。此方向上无衍射光；
注： ②题中 sinθ2=0.20和sinθ3=0.30两个条件只需一个即可。
例题 5-11：若钠双线（λ1=589.00nm和λ2=589.59nm）第3级两衍
射明纹在衍射角为θ=10°方向上刚好能被某光栅分
辨，求：①光栅常数；②此光栅总宽度。
d sin k ( k 0,1,2, )
的位置为多缝干涉的主极大，且光强为每条单缝在该处光
强的 N2 倍！
I N 2 I
双缝 I = 4 Iθ 如：
6 缝 I = 36 Iθ
⑵ 极小（暗条纹中心）：
I
I0
(
sin
)2
(
sin N sin
)2
当： k 2k sin 0
但： N n N 2n sin N 0
缝衍射光强公式。
解：
⑴ d ab 2
aa
即 2， 4 缺级
所以单缝衍射中央明纹内有3条干涉明纹：0、±1级明纹。
⑵ 因为： d b a 多缝干涉因子：
d sin a sin
( sin N )2 ( sin 2 )2 ( 2 cos )2
sin
sin
I
I0 (
sin
)2 (
P0
所以：多缝夫琅和费衍射的光强分布
为单缝衍射和多缝干涉的总效果。
L
1、光强分布：( N = 6 )
衍射角为 θ 时，相邻狭缝出射的平行光之间的 光程差和相位差为：
L d sin ,
2 d sin
由振幅矢量法：a
2OC sin
2
,
A 2OC sin N
2
令 d sin 则：
2
Nδ C
以 k = 1、λ = 589.30nm 和 Δλ = 0.59nm 代入上式，得：
0.014 2.44 104 rad
例题 5-9：
每厘米刻有 4000 条线的光栅（d=2500nm)，计算在第 2 级光谱中氢原子的α (λα= 656nm )和δ (λδ= 410nm )两条谱 线间的角距离。（设光垂直入射于光栅）
解：①
d sin 3 d 3 1.02 105 m
sin
② 由 R 和 R Nk
得： N 333 3
所以光栅总宽度为： L Nd 3.4mm
解： 光栅常数 d 1 cm 1667 nm 6000
令 2 得： kmax d 2.63
即只能看到±1、 ±2 级条纹。
一级明纹衍射角： 1 arcsin d 22.31 二级明纹衍射角： 2 arcsin 2 d 49.39
2、光栅光谱：
明条纹衍射角与入射光波长有关。所以：复色光入射时，除 零级条纹外，其余各级条纹都随波长不同而散开，形成光栅 衍射光谱。
II
I0 (
ssiinnu ))22 u
L
sin a a0
I
I0 (
sin
)2
a sin
θ
a
当衍射角θ一定时，所有单缝衍射条纹 在屏上的位置完全重合。因此，多缝衍 射条纹比单缝衍射条纹明亮很多。
db θ
同时各单缝之间还会产生干涉现象。
根据双缝干涉明条纹公式：
θ
P
d sin k
相邻单缝间干涉条纹也完全重合。
上相邻两缝的间距是多少？⑵光栅上狭缝的宽度为多少？
⑶在-90°～90°范围内实际呈现的全部光谱级数。
解：⑴ d sin2 2
d 2 sin2 6.0m
⑵ a d 4 1.5m ⑶ 当 sin 1 时, kmax d 10
而实际呈现的光谱线数为（共15条） ：
0, 1, 2, 3, 5, 6, 7 , 9
时，单缝衍射因子：
( sin )2 0
即各单缝衍射暗纹满足：
a sin k'
I
单缝衍射
-2
-1
0
而多缝干涉明纹满足：
d sin k
多缝干涉
d 3 a
a sin
1
2
∴当 d a b k m（整数）时： -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
a a k'
d sin
I N 2I0
①
0
0
0
0
②
3
2π
6
π
③
2
3
4π
3
2π
④
π
6π
2
3π
⑤
4
3
8π
2
3
4π
⑥
5
3
10π
5
6
5π
⑦ 2π 12π π
6π
N2
36I0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
N2
36I0
④
A=0
aθ
180°
⑤
aθ
A=0
240°
⑥
A=0
aθ 300°
⑶ 次极大：
在N-1个极小之间还有N-2 个次极大，但光强很小。
线宽度Δλ。
瑞利分辨判据：当一条谱线的k级主极大 与另一谱线同级极大的相邻极小重合时， 两条谱线恰能分辨。
λ1
λ2
可以证明：光栅的分辨本领
R Nk
1
2
2
1 2
可见：
① k大，则R大（光谱线分得更开）； ② N大，则R大（条纹更细）。
例题 5-8：宽为2.54cm的光栅有10000条刻线。当钠黄光垂直
k = -4 k = -3
k=0
k=4 k=3
k = -2
k=2
k = -1 k = 1
-90°-80°-70°-60°-50°-40°-30°-20°-10° 0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90°
3、光栅的分辨本领：
波长很接近的两条光谱线（λ1、λ2）能否被分辨，还取决于谱
例题5-7：一每厘米有4000条刻线的光栅， 以白光垂直入射。试描述其衍射光谱。
解：d 1 cm 2500nm
4000
arcsin k d
中央明纹 1级光谱 2级光谱 3级光谱 4级光谱
(紫端)θV
0 9.2° 18.7° 28.7° 39.8°
(红端)θR
0 17.7° 37.4° 65.8° > 90°
§5.3 多缝的夫琅和费衍射
双缝干涉光屏上条纹亮度很小。 解决办法：多缝干涉。
a：透光缝宽度、 b：档光部分宽度。
d = a + b 为相邻两缝的间距。
θ a db
θ
对每一条单缝：
θ
P
A → aθ 、A0 → a0 、u → α
当衍射角为θ 时：
P0
aA aA00ssiniunu
u
aa
sin
sin
则缝间干涉因子： ( sin N sin )2 0 即满足以上条件处出现极小。
因： n
N
所以：n N 1, N 2, , 2N 1 处为相邻两个主极大之间的 N-1 个极小。
① 、⑦
aθຫໍສະໝຸດ Baidu
A = 6 aθ
②
A=0
60°
aθ
③
A=0
120°
aθ
N N 2
( sin N )2 sin
sin N sin
)2
I0 (
sin
)2 (
2 cos
)2
4 I0 (
sin 2 2
)2
其中： 2 ( 2a ) sin
§5.4 衍射光栅（多缝衍射的应用）：
大量平行、等宽、等距狭缝排列起来形成的光学元件称为光栅。
实用光栅每毫米内有几十至上千条刻痕。一块100×100 mm2的光
栅可有 60000 至 120000 条刻痕。
多缝干涉的k级极大处正好是 单缝衍射的k'级极小处，所以
多缝衍射
m的整倍数干涉明条纹将不出
现，称为缺级现象。
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
例题 5-5： ⑴双缝中，挡光部分宽度与透光缝等宽，即b=a。则单缝
衍射的中央主极大内含有几条干涉明纹？⑵若b=0，则两 缝合成宽2a的单缝，求证：多缝衍射光强公式简化为单