离散时间信号复习提纲+例题(2,3章)

注：用算子的观点来看待z 变换是很有意义的。算子是函数和映射的推广，在定义映射时， 往往要求定义域和像域具有相同的性质，即相同的集合，而算子的定义域和像域可以不同， 例如z 变换将一个离散的序列变换为复变量z 的连续函数。由于人们对函数研究的手段较丰 富，这是高等数学中重要任务之一。 z 变换分为双边z 变换和单边z 变换，后者定义为
2.3 线性时不变系统
按照线性时不变系统的定义， 直接推导出输入输出关系——卷积， 对卷积再不用作过多 的说明。
2.4 线性时不变系统的性质
因为所有线性时不变系统都是由卷积和来描述， 所以这类系统的性质就能用离散时间卷
积的性质来定义。因此，单位脉冲响应就是某一特定线性时不变系统性质的完全表征。 线性时不变系统稳定性的条件是
(2.133)式和(2.134)式一起构成序列的傅里叶表示。(2.133)式是一个综合公式，称为傅里叶反 变换。 也就是说它把序列x[n]表示成频率在2¼ 的区间范围内， 由X (ej! )确定每一个复正弦分 量相对大小的、如下式所示的无限小的复正弦的叠加：
(2.134)式是由x[n]计算X (ej! )的表示式，称为傅里叶变换，更明确一些称为离散时间傅里叶 变换(DTFT)。它用来分析该序列x[n]，以确定用(2.133)式来综合x[n]时，每一个频率分量需 要占多少分量。就像分析一个物质构成成分一样，或者用三棱镜分解光一样。 一般而言，序列x[n]的 DTFT 为复数，也可表示为
第 3 章 z 变换
3.0 引言
已经看到， 傅里叶变换在表示和分析离散时间信号与系统中起着关键的作用。 这一章要 建立一个序列的z 变换表示，并将研究一个序列的性质是如何与它的z 变换的性质联系起来 的。因为可能在z 变换中分析序列的性质更直观和简单。引入这种推广的主要原因是傅里叶 变换不是对所有的序列都收敛， 能有一个包括更为广泛信号的傅里叶变换的推广形式是有用 的。第二个优点是在分析问题中，z 变换概念往往比傅里叶变换更方便。
线性时不变系统因果性的条件是
逆系统
Figure 2.14
在第 3 章将会看到，z 变换将提供求决逆系统的一种直接方法。
2.5 线性常系数差分方程
线性时不变系统中的一种重要子系统是由这样的一些系统组成，这些系统的输入x[n]和 输出y [n]满足N 阶线性常系数差分方程，其形式为
在初始松驰的条件下，且a0 b0 6= 0时，上述方程描述的是因果的 LTI 系统。 差分方程的求解方法。 有反馈和无反馈的两种典型结构对应 IIR 和 FIR 系统。
2.8 傅里叶变换的对称性质(略) 2.9 傅里叶变换定理
2.9.1 傅里叶变换的线性 2.9.2 *时移和频移 2.9.3 *时间倒置 2.9.4 频域微分 2.9.5 *帕斯瓦尔定理 2.9.6 *卷积定理 2.9.7 *调制或加窗定理
2.10 离散时间随机信号(略) 2.11 小结
序列的时域分解——单位脉冲序列的移位加权和； 系统的性质——记忆性、线性、时不变性、因果、稳定性、可逆性等； LTI 系统输入输出关系——卷积和； LTI 系统一个子类的描述——LCCDE； 两类系统——IIR 和 FIR； LTI 系统的特征函数——复指数序列，并引入特征值的概念，被定义为系统的频率响应； 序列的频域表示——DTFT； DTFT 的性质。 必做习题：2.6、2.7、2.10、2.11、2.20 选做习题：2.26、2.27、2.34
离散时间信号处理总复习提纲
第 2 章 离散时间信号与系统
2.0 引言
信号的定义： 通常用于代表携带信息的某些东西， 在数学上信号可以表示为一个或多个 独立变量的函数。按照惯例，我们把一个信号的数学表达式中的独立变量看作时间，进而根 据独立变量的不同性质，将信号分为连续时间信号和离散时间信号。数字信号在时间上和 幅度上都是离散的。 信号处理系统也能像信号一样来分类。 根据输入输出的信号特性分为连续时间系统、 离 散时间系统和数字系统。离散时间系统和数字系统的区别在于是否考虑信号幅度的连续性。 本书的重点放在离散时间信号与系统上，即不考虑信号幅度量化的过程。 离散时间信号可以采样一个连续时间信号来得到， 或者也可以直接由某一个离散时间过 程产生，如人口普查，交通流量等。无论离散时间信号是怎么来的，离散时间信号处理系统 具有许多诱人的特点。 离散时间系统可以用来对模拟系统进行仿真， 或者更重要的是实现那 些用连续时间硬件无法实现的信号变换， 如傅里叶级数和傅里叶变换等， 这些都是信号处理 中重要的手段和算法。 本章讨论一维离散时间信号和信号处理系统的基本概念， 重点是线性时不变离散时间系 统。尽管某些离散时间信号来自对连续时间信号的采样，但情况并非总是如此，很多离散时 间系统也不只是对相应的模拟系统的近似。 再者， 离散时间系统与连续时间系统之间还存在 着某些重要的差别。因此，我们采样一种独立于连续时间系统的理论，只是在必要时才离散 时间信号与连续时间信号关联起来。
2.6.1 线性时不变系统的特征函数
可以借助高等代数中特征向量的概念引入特征函数。在高等代数中Ax = ¸x，因此称x 为特征向量，¸称为该特征向量对应的特征值。 考虑输入序列x[n] = ej!n ; ¡1 < n < 1，则单位脉冲响应为h[n]的 LTI 系统的响应由 卷积可得
因此，ej!n 是该系统的特征函数，相应的特征值为H (ej! )。从(2.110)式可见，系统对输入的 复指数信号的影响完全由H (ej! )决定，相当于幅度加权，特征值H (ej! )称为系统的频率响 应。H (ej! )一般情况下是复数，可以写成
几个概念：傅里叶变换有时也称傅里叶频谱，或简称为频谱，进而分为幅度谱和相位谱。 序列x[n]离散时间傅里叶变换(DTFT)存在的两类条件：x[n]绝对可和与平方可和。 两类条件的区别：x[n]绝对可和是傅里叶变换存在的充分条件，并且保证一致收敛性。平方 可和只能保证均方收敛，即“能量”的误差可以趋于零。以 Gibbs 效应为例。 按照定义，一个稳定的序列是绝对可加的，因此全部稳定序列都有傅里叶变换，从而任 何稳定系统都有一个(幅度)有限且连续的频率响应。 傅里叶变换表示的概念可以很严格地推广到这样一类序列， 这类序列可以表示成离散频 率分量的和，如
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2.1 离散时间信号：序列
离散时间信号在数学上表示为数的序列。 对模拟信号的采样
x[n]有时代表整个序列，有时代表第n个样值，视具体情况。
2.1.1 基本序列和序列运算
序列的延迟、相乘、数乘、相加以及对自变量的翻转。 基本序列 单位脉冲序列：± [n]——用来表示一般的序列，如(2.5)式和(2.6)式。 单位阶跃序列：u[n]——常与其它序列相乘来表示因果性。 指数序列：A®n ，在表示和分析线性时不变离散时间系统中极为重要。根据A、®的取值， 序列表现出不同的特性。 正弦序列：A cos(!0 n + Á); f or all n，其中A和Á为实数。
2.6.2 突然加上的复指数输入(略) 2.7 用傅里叶变换表示序列
线性时不变系统的频率响应表示方法(相对于时域h[n])的优点之一就是像在例 2.20 所做
的这样一些系统特性的解释往往容易得出。这一点在第 5 章还要更为详尽地阐述。然而，眼 下还是要回到这样的问题，即对一个任意的输入序列如何求得(2.117)式的表示形式。 很多序列都能表示为如下傅里叶积分的形式：
3.1 z 变换
采用与傅里叶变换平行的方式引入z 变换。
其中z 是一个复变量。有时候将(3.2)式看作一个算子是有益的，它把一个序列变换成为一个 函数，称z 变换算子Z [¢]，定义为
利用这一解释，z 变换算子就看作是将序列x[n]变换为函数X (z )，z 是一个连续复变量，一个 序列和它的z 变换之间的相应关系用符号记为
z 变换和序列的傅里叶变换之间的关系
(3.6)式可以看作是原序列x[n]和指数序列r¡n 相乘后的傅里叶变换。 很明显， 对于r = 1， (3.6) 式就是x[n]的傅里叶变换。 因为z 变换是一个复变量的函数，因此利用复数z 平面来描述和阐明z 变换是方便的。
Figure 3.1
The unit circle in the complex z-plane.
几个概念：单位圆jz j = 1，序列z 变换在单位圆上的求值就是其傅里叶变换。注意 ! 是单位 圆上某点z 的矢量与复平面实轴之间的角度。 单位圆上的z ：从! = 0，即z = 1 ! z = j (! = ¼=2) ! z = ¡1(! = ¼ )对X (z )求值，就得 到了0 · ! · ¼ 的傅里叶变换。 单位圆上的z ：从! = ¼ ，即z = ¡1 ! z = ¡j (! = 3¼=2) ! z = 1(! = 0)对X (z )求值，就 等效于¡¼ · ! · 0的傅里叶变换。 在第 2 章，傅里叶变换是在一个线性频率轴上展开的，现在把傅里叶变换解释成在z 平 面单位圆上的 z 变换，也就相当于在概念上把线性频率轴缠绕在单位圆上，其中 ! = 0 在 和! = ¼ 在z = ¡1。 有了这种解释， 傅里叶变在频率上的固有周期性就自然得到了， z = 1， 因为在z 平面上2¼ rad 的改变相当于绕单位圆一次，然后又重新回到原来的同一点上来，这 不仅解释了傅里叶变的周期性，而且还说明了周期为2¼ 的原因。 z 变换也不是对所有序列或者对全部z 值都收敛。对已给定的序列，使z 变换收敛的那一 些z 值的全体就称为收敛域，缩写为 ROC。傅里叶变的一致收敛要求序列绝对可加。于是得 z 变换收敛的条件为
2.2 离散时间系统
2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5
无记忆系统：系统输出只与当前输入有关。 线性系统：满足可加性和齐次性。 时不变系统：x[n] ! y [n]，则x[n ¡ n0 ] ! y [n ¡ n0 ]。 因果性：当前输出仅与当前及之前的输入有关。 稳定性：有所有界输入产生有界输出(外部稳定条件)。
或
在 2.7 节将证明，相当广泛的一类信号都能表示成如下形式的复指数的线性组合：
根据系统响应响应H (ej! )特性的不同，可以将系统分为不同类型的系统，如低通、高 通等等。特别要强调H (ej! )的周期性，这一点由(2.109)式可以看出。
Figure 2.17
Ideal lowpass filter showing (a) periodicity of the frequency response and (b) one period of the periodic frequency response.
序列和指数序列之间的关系
!0称作复正弦或复指数的频率，单位为 rad/样本，Á称作相位。 (2.15)式中的 n问题一个整数这一事实就导致了离散时间复指数和正弦序列与连续时间 复指数和正弦信号之间的一些重要差别。由
更为一般地说，可以容易看出，频率为(!0 + 2¼r)的复指数序列(其中r 为任意整数)相互间是 无法区别的。这一点对正弦序列也成立。也就是说，复指数序列和正弦序列对于频率 !而言 总是周期的，且周期为2¼ 。 序列的这种周期性可以与采样建立起内在的联系， 这一性质的内涵在第 4 章讨论。 既然 j!0 n 如此，当讨论具有 x[n] = Ae 的复指数信号或具有 x[n] = A cos(!0 n + Á)的实正弦信号 时，只需要考虑范围为2¼ 的一般频率区间就够了，譬如¡¼ < !0 · ¼ 或0 < !0 < 2¼ 。 连续时间和离散时间的复指数与正弦信号之间的另一个重要差别是关于它们的周期性 问题(对时域变量而言)。在连续时间情况下，正弦信号和复指数信号都是周期的，且周期等 于2¼ 除以频率。 而对于离散时间的复指数和正弦信号， 并非总是周期的， 需满足 !0 N = 2¼k 时，才是周期的。 数字频率的特性：2k¼ 附近称为低频，(2k + 1)¼ 附近称为高频。
2.6 离散时间信号与系统的频域表示
对于线性时不变系统我们看到： 将输入序列表示成一组幅度加权的延迟单位样本序列之 和，就得出输出也能表示成一组幅度加权的延迟响应的和。与连续时间信号栗，离散时间信 号也可以用几种不同的方式来表示。 例如， 正弦和复指数序列在离散时间信号表示中就起着 特别重要的作用。 这是因为复指数序列是线性时不变系统的特征函数， 以及该系统对正弦输 入的响应还是正弦的，且具有与输入相同的频率，其幅度和相位则由系统决定。线性时不变 系统的这一基本性质使得利用正弦或复指数来表示信号(即傅里叶表示)在线性系统理论中 是非常有用的。