第五章 货币的时间价值

1.普通年金（Ordinary Annuity）
指一定时期每期期末发生的等额现金流量。
（1）普通年金的现值
普通年金现值是指一定时期内每期期末收付款项 的复利现值之和。例如，若i＝6%，其普通年金 现值的计算如图。
（2）普通年金的终值
普通年金终值是指一定时期内每期期末等额 收付款项的复利终值之和。例如，若i＝6%，第 四期期末的普通年金终值的计算见图。
期初余额 总支付额 利息 本金 期末余额
年
1
2 3 4 5
5000

二者之间关系如下：
APR m APY (1 ) 1(其中m为复利计息次数) m
例6：6%的年利率每季复利一次，一 年后实际收益率是多少？
APR m APY (1 ) 1 m 6% m (1 ) 1 1.0614 1 6.14% 4
由此可以看出：APR不变，随着复利次数的 增加，APY增大。若m无限增大，这就是连 续复利的问题，实际中很少见，但 其概念在投资问题理论分析中十分重要。
4. 净现值（Net Present Value----NPV）
净现值=期望未来现金流量的现值-成本
净现值为零意味着投资人赚到了与 投资风险相应的适当、公平的报酬。
应用示例
一公司想以85000美元购置一片地。假设明年出售 这块地可获得91000美元，公司能从中获得6000 美元。若银行利率为10%，该公司是否应对这块 地进行投资？ 方法一：若将85000存入银行
查终值系数表n=5所在行，1.6介于1.539和1.611之间， 则 i1=9%, i2=10%, m1=1.539, m=1.6, m2=1.611
m m1 1.6 1.539 根据i i1 (i2 i1 ) 9% (10% 9%) 9.85% m2 m1 1.611 1.539
(1 i)
n
——终值系数，用FVIF（i,n）表示
2. 现值公式
1 PV FVn n (1 i )
FVn——最终的终值 n ——复利计息期数 i ——贴现率 PV——终值对应现在的价值
1 —— 现值系数，用 PVIF （ i,n ）表示 n (1 i )
（二）年金的现值与终值
1. 普通年金的终值
20
贷款还款额的计算
在我国，商业银行发放的住房贷款如果按照等额本 息还款法，是按月复利计息，期数按月计算。
贷款总额=月还款额×【 1 — 1/（1+月利率）期数】 ÷月利率 月还款金额=贷款总额×月利率× （1+月利率）期数 ÷【 （1+月利率）期数— 1】
四、求解贴现率（各种报酬率的总称）
当我们知道了期望未来现金流量和 贴现率后，就可以计算现值。 但在某些情况下，我们根据市场价 格知道了现值，却不知道贴现率，如何 计算贴现率？ 如何计算一项投资的期望报酬率。
永续年金的现值公式：
永续年金的现值=C/r
三、 货币时间价值的计算
用贴现现金流分析方法（DCF Analysis）
ຫໍສະໝຸດ Baidu假设1：
预期现金流量是确定的（即不存在风险）；
假设2：
所有的现金流量发生在期末(除非特别说明)。
（一）终值与现值
1. 终值公式
FVn PV (1 i)
n
PV——期初投资额，即现值 n ——复利计息期数 i ——每期利率 FVn ——投资n期后的终值
1. 用内插法（试算法）计算相对准确的贴现率；
设所求贴现率为i，所对应的参数为m，且 i1<i<i2，则（i1，i，i2）与（m1，m，m2）之 间存在的线性关系如下：
或
i i2 m m2 m m2 i i2 (i1 i2 ) i1 i2 m1 m2 m1 m2
第五章 货币的时间价值
学习要求： 1.了解货币时间价值相关的 基本概念 2.掌握货币时间价值的计算 3.掌握贴现率的计算
一、货币的时间价值 1.货币的时间价值（the Time Value of Money）， 是指货币经历一定时间的投资和再投资所 增加的价值。 具体表现为利息
2. 单利（Simple Interest）
1 (1 i) V0 A (1 i) A i t 1
n t
n
n
1 t —— 年金现值系数，用PVIFA（i,n）表示 t 1 (1 i )
2. 即期年金的终值
FVDn PMT ( FVIFAi,n )(1 i)
即期年金的现值
PVDn PMT ( PVIFAi,n )(1 i)
增长型年金现值=
增长型永续年金现值=
c r g
应用示例1
某生产线市价为160000元，可使用5年，假定使 用期满后无残值。如果采取租赁取得，每年年末 要支付租金40000元，租期5年，市场资金的利率 为8%。应该选择购置还是租赁？
1 PV 40000 159720元160000元 t t 1 (1 8%)
85000×（1+10%）=93500美元 方法二：计算土地明年出售的现值 现值PV=91000/（1+10%）=82727.27美元 方法三：计算净现值
NPV= 91000/（1+10%）-85000=-2273美元<0
二、现金流量（Cash Flow----CF）
（一） 现金流量，是指公司在一定时 期实际收到或付出的款项。
I P r t
复利（Compound Interest）
I P (1 r) P
t
其中：I—利息，P—本金 r—利率，t—期限
10%利率水平下100美元的利息
年 1 2 3 4 5 复利时年初 金额 100 110 121 133.1 146.41 复利利息 利上利 10 11 12.1 13.31 14.64 61.05 0 1 2.1 3.31 4.64 11.05 单利 10 10 10 10 10 50 年终金额 110 121 133.1 146.41 161.05
即期年金的终值
Vn A (1 i )
即期年金的现值
t 1
n
t 1
(1 i )
V0 A (1 i ) (1 i )
t t 1
n

3.增长年金与增长型永续年金
(1 g ) C { 1[ ]}/(r g ) t (1 r )
t
g代表增长率，r代表贴现率
现金流的数量
现金流的性质
现金流发生的时间
现金流序列，是用来描述某一特定 投资的一整套现金流量。
它可能是确定的，也可能不确定。
（二）年金（Annuity），指在一定期限 内预计每期都发生的一系列等额现金流 量。

如分期付款赊购，分期偿还贷款、发放养 老金、支付租金、提取折旧等都属于年金 收付形式。

2.纯利息贷款
每期支付利息，在未来某个时点支付本金。
大多数的公司债券都是纯利息贷款
3.分期偿还贷款
有规律的分期偿还本金和利息的贷款
（1）每期支付利息的同时偿还固定数额的本 金
通常称为等额本金还款

例：某公司借款5000美元，利率9%，期限 为5年，协议规定每年在支付利息的同时偿 还1000美元本金
例2. 假设现在存入银行$2000，要想5年后得 到$3200，年存款利率应为多少？
3200=2000 ×（FVIF，i，5）
（FVIF，i，5）=1.6 查终值系数表n=5所在行，与1.6最接近的值 1.611对应10%，因而年利率大约为10%。
例3. 假如将$100存入银行，按月计息，5 年后变为$181.67，年利率应为多少？
2.复利计息次数对实际利率（收益率）的影响
设定利率（stated interest rate）：银行公布 的利率 实际利率（effective annual rate EAR）：按计 息次数算 出的利率。

公式：
EAR (1 设定利率 / m） 1
m
年百分率（APR—Annual Percentage Rate）： 1年中每期的利率乘以该年中的期数 年收益率（APY---Annual Percentage Yield）
当m 时，APY e
APR
1 。 (其中e 2.718)
五、贷款种类和分期偿还贷款
1. 纯折价贷款
到期一次还清的贷款，期限较短（如短于1年 ）的贷款常常采取这种形式
例：在市场利率为7%的情况下，一支国库券 承诺在12个月之后支付10000美元，该国库 券的市场售价应为多少？
现值=10000/（1+7%）=9345.79
FV PV (1 i ) 181.67 100(1 i )
n 60
512
(1 i ) 1.8167 i 1.01 1 1%(月利率) 年利率为1% 12 12%
例4.假设你的孩子12年后上大学时，每年学 费为5000美元。你现在只有10000美元进行 投资，当利率为多少时你的投资才能够付得 起学费？（假定学制4年，所有的学费入学时 一次性付清） 10000(1+i)12=20000 (1+i)12=2 查终值系数表知，n=12时，与2 最为接近的 值2.0122对应的利率为6%，所以利率为 6%左右时 可以付得起学费。
i i1 m m1 m m1 i i1 (i2 i1 ) i2 i1 m2 m1 m2 m1
注意：系数m可以是各种终值或现
值系数，也可以是现行市价。
例5. 假设现在存入$2000，要想5年后 得到$3200，年存款利率应为多少？
3200 2000(FVIFi,5 ) FVIFi,5 1.6

2.即期年金（Annuity Due）（先付年金）
指一定时期每期期初发生的等额现金流量
（1）即期年金的现值 即期年金现值是指一定时期内每期期初收付 款项的复利现值之和。例如，若i＝6%，其 即期年金现值的计算如图。

（2）即期年金的终值 即期年金终值是指一定时期内每期期初收付款项 的复利终值之和。例如，若i＝6%，其即期年金现 值的计算如图。 0 1 2 3 4
例1. 假定ABC银行提供一种存单，条件是现 在存入$7938.32，三年后支付$10000， 投资于这种存单的预期收益率是多少？
FV=10000 ,PV=7938.32, n=3 FV=PV* (FVIF,i,3) (FVIF,i,3)= 10000 ÷ 7938.32=1.260 查终值系数表n=3所在行，1.260对应8%的 贴现率，因而i=8% i=?
100×（1＋6%）=106 100×（1+6%）2=112.36 100×（1＋6%）3=119.10 100×（1＋6%）4=126.25 100×4.6371=463.71
3.永续年金（Perpetuity）
指期数为无穷的普通年金。 假如有一笔永续年金，每年要付给投资 者100美元，如果相关的利率水平为8％ ，那么该永续年金的现值为多少?
FVn PMT (1 i) PMT ( FVIFAi ,n )
t t 0
n 1
普通年金的终值
(1 i) 1 Vn A (1 i) A i t 1
n t 1 n
(1 i)
t 1
n
t 1
—— 年金终值系数， 用FVIFA（i,n）表示
普通年金的现值
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应用示例2
某商品房价款总计108万，银行同意向
客户提供20年的按揭贷款：客户首次 支付总房价的30%，其余部分向银行 贷款，贷款本息每年等额偿付 ，利率 为6%。 项？
该客户每年年初应向银行支付多少款
贷款金额： 108×（1-30%）=75.6万元 还款金额

1 75.6 A (1 6%) t t 1 (1 6%) 75.6 A 20 62180.26元 1 (1 6%) t (1 6%) t 1
3. 终值（Future Value），是一笔投资在未 来某个时点的现金价值。
现值（Present Value），是未来的一个 或多个现金流量相当于现在时刻的价值。
现金流量包括流出和和流入的。
FV PV (1 r )
n
贴现现金流模型（DCF Model） FV PV n (1 r )