第3章 土体中的应力计算
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Chapter
3
土体中的应力计算
概
述
研究土中的应力和分布规律是研究地基和土工建筑物变形
和稳定问题的依据
自重应力 附加应力 惯性力 渗透力
: 由土体自身重量所产生的应力 ：由外荷载引起的土中应力
1 地基中的几种应力状态 a、三维（空间）应力状态
xy xy xz ij yz yy yz zx zy zz
zz (OXAY ) zz (OYBZ) zz (OZCT) zz (OTDX )
A
Y O
B
Z
Point of interest
zo ( KsI KsII KsIII KsIV ) p
（b）O 在荷载面外部
O D C X D Z O
(q)
C
(q)
影响因素 （1） 分布荷载p(x,y)的分布规律及其大小 （2） 分布荷载作用面积 A 的几何形状及大小
（3） 应力计算点的坐标值
z p0
3.3.2.1 空间问题的附加应力计算 （一） 矩形面积竖直均布荷载 1. 角点下应力
B
dP dA
x
p
x L y x
R z
R
z
集中荷载 dP = dxdyp0, M点处 dz 为
基压缩变形的主要原因。因为一般基础都埋臵于地面下一定深度，因此在计
算由建筑物造成的基底附加压力时，应扣除基底标高处土中原有的自重应力
p0 p cd p 0 d
cd
cd
p
cd
p0
3.3 地基中的附加应力
附加应力：指建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上 的应力。
6个独立应力分量
z x y z zy
zx x
xy
y
b、二维应变状态（平面应变）
xy 0 xz ij 0 0 yy 0 zz zx
y 0
yx yz 0
z
zx
x y z
x
c、侧限应力状态
0 xy 0 ij 0 0 yy 0 zz 0
P z1
m点下
r m
z3
z2
沿水平面
沿z轴
(2) r>0 的竖向线上
P r
z较小时，z ，z ； z较大时，z ，z
z3
z2
z1
m
沿水平面
沿z轴
m点下
(3) 在 z=cost 的水平面上的分布
• z 在 P 作用线上最大，随r ， z 。 • 随深度 Z ， P 作用线上z ，水平面上应力分布趋向均匀
力）
2.
接触压力的大小影响因素
地基土和基础的刚度大小 荷载大小 基础埋深 地基土的性质
3.2.1
基底压力的分布规律
（一）基础的刚度的影响 1. 弹性地基上的完全柔性基础(EI=0)
均布荷载
基础
柔性基础
地面下沉线
基底压力
地面下沉线 柔性基础
柔性基础：
基底压力
基底压力的分布形式与作用在它上面的荷载分布形式相一致。 如土坝(堤)、路基、油罐等薄板基础、机场跑道。可认为土坝底 部的接触压力 分布与土坝的外形轮廓相同, 土柱重量。 其大小等于各点以上的
根据圣维南原理，基底压力的分布形式对地基中应力计算
的影响将随深度的增加而减小，至一定深度后，地基中的应力
分布几乎与基底压力的分布形式无关，而只决定于荷载合力的
的大小和位臵
目前，在地基计算中，允许采用简化方法，即假定基底
压力按直线分布的材料力学方法。
3.2.2 基底压力的简化计算 （一）中心荷载作用 矩形
(0)
(q)
C (0)
zz (ABCD )
zz (OXAY ) zz (OYBZ) zz (OZCT) zz (OTDX )
(0)
B
Y
A
Step 4 -q on OXDT
zM ( KsI KsII KsIII KsIV ) p
（二）矩形面积竖直三角形荷载
ex, ey—竖直荷载对y , x轴的偏心距 (m)
2、单向偏心
基底两端的压力为
pmax,
min
P 6e (1 ) A B
P
e
当e<B/6时，基底压力为梯形分布
x B L
当e＝B/6时，为三角形分布
当e>B/6时，基底压力不承受拉力，重
新分布
P
P e
e
x y
L
x y
L
pmax
2P 3( B / 2 e) L
dP
dA o O’ x
p0
B x
y
L
z
R
z
R
x
P0 x dP dxdy B
dP 在O点下任意 M 处引起的竖直附加应力dz
3 p0 xz3dxdy d z 2 2B ( x y 2 z 2 )5 / 2
z d z t1 p0
注：求O/点下的应力时，可用竖向均布荷载与竖直三角形荷载叠加。
Mx y My x P p ( x, y ) BL Ix Iy
式中 Mx, My —竖直偏心荷载P对基底x , y轴的力矩(kNm); Mx =P ex ; My = P ey Ix, Iy—基底分别对x , y轴的惯性距 (m4) Ix = BL2/6 ，Iy = LB2/6
T
(q)
A B O A
(q)
B
(q)
Y
Z
Point of interest
Step 1 + q on OXAY
X D
Z
O
X D
Z
O
(q) (q)
C
(0) ( 0)
(q) (q)
T
C
(q) (0)
T
A
B
Y
A
B
Y
Step 2 -q on OZBY X D Z O T
Step 3 + q on OZCT
F
i 1 i
n
i
F1
Fi
z
r1 ri
pi ri
z
3.3.2 分布荷载下地基附加应力
dA dd
dF p( x, y)dd
η
y
ζ
x dζ R
dη
z M (x,y,z)
3z 3 z d z A 2
p( x, y)dd A [( x )2 ( y )2 ]5 / 2
3. 弹塑性地基上有限刚性的基础 ( 0 < EI < )
由于土体超过强度后，会出现塑性区，又基础并不是绝对刚性，
可以变形引起应力重分布，基底压力分布实际很复杂。具体分布形式
与地基、基础材料特性及基础尺寸、荷载形状、大小等因素有关
基底压力
(二) 荷载及土性的影响
实测资料表明：刚性基础底面上的压力分布如图，当荷载较小时，
K 3( B / 2 e)
（三）水平荷载作用
基础受斜荷载作用时，将斜向荷载 R分解为竖直向荷载Pv和水
平向荷载Ph，由Ph引起的基底水平应力假定为均匀分布于整个基础
底面
R
矩形： ph=Ph/BL 条基： ph=Ph/B
Pv
Ph
3.2.2 基底附加压力
土的自重应力不引起地基变形，只有作用于地基表面的附加应力才是地
z
，只研究z
90o-
x z zy x z
3P z 3 P z 5 2 2 R z
R
y
z
zx
y
3 z 5 ( ) 2 R
α 称为集中应力系数
讨论z的分布特征： (1) 沿P作用线方向
3 K 2
3 P z 2 z 2
沿P作用线方向， z 随深度而减小
2. 弹性地基上的绝对刚性基础(EI=) 在均布荷载作用下，基础只能保持平面下沉而不能弯曲
均布荷载
刚性基础 基底压力
均布荷载
基底压力
刚性基础
弹性解:
基础两端应力为无穷大
刚性基础：基底压力的分布形式与作用在它上面的荷载分布形式不 相一致。
建筑物的墩式基础、箱型基础，水利水电工程中的水闸基础、 混凝土坝等
形，无侧向位移及剪切变形，则地基内的土体处在侧限应力状
态，在深度z处平面上，自重产生的竖向应力等于单位面积上土 柱的重量
z
1
1. 竖向自重应力
地基内任意深度 Z 处的自重应力为：
sz 1 H1 2 H 2 i H i
i 1 n
注： 地下水位以上用天然容重，以下应采用浮容重
计算方法假设：
1、将地基看成是均质的线性变形半空间，直接采用弹性力
学解答
2、将基底压力看成是线性分布荷载，而不考虑基础刚度的
影响
3.3.1 竖直集中力下的附加应力 1 单个竖向集中力
布辛内斯克根据弹性理论计算出地基下某一点 M 的6个应力分 量和三个位移分量。由于对地基沉降意义最大的是竖向法向应力
(4) 空间分布
空间等值面形状如泡状，称之应力泡
P
集中力 P 在地基中引起的 附加应力的分布是向下、向四周
0.1 P 0.05 P 0.02 P
无限扩散开的。地基附加应力越
深越小，越远越小，Z=0为奇异点， 无法计算附加应力
2 荷载作用多个集中力及不规则分布
Fn 1 F1 F2 z 1 2 2 2 ... n 2 2 z z z z
基底压力如图a，接近于弹性理论解；荷载增大后，基底压力呈马鞍形； 荷载再增大时，呈抛物线以致倒钟形。
荷载逐渐增加
实测资料表明：刚性基础在砂土地基表面时，基底压力分布易成
抛物线，放在 粘土地基 表面时，易成 马鞍形 分布。
砂土地基
粘土地基
在基础端部，砂土比较容易侧向移动，而粘土因具有粘聚力不大 容易侧向移动，可以承担一定的压力。
G G dA w hw A 20dA 10hw A
p F 20d 10hw A
F
hw
条基：在长度方向取1m
p
F G P B B
P 为沿长度方向1米内的相应荷载值kN/m
P
（二） 偏心荷载作用
B
1、双向偏心
ey
若基底受双向偏心荷载作用，基
L
x
ex y
底任意点的基底压力计算公式
1 H1 2 H2 3 H3
1 H1
sz
2 H2 //3H3
z
2. 水平向自重应力
将土体视为各向同性的弹性体，由广义虎克定律
x
sx
E
E
( sy sz )
sx sy
x y 0
sx sy
1
sz K 0 sz
K0 和 与土的种类、密度有关，可由试验确定源自3.21. 概 念
基底压力
基底压力：上部结构荷载和基础自重通过基础传递，在基础底面处
施加于地基上的单位面积压力
基底反力：反向施加于基础底面上的压力 基底附加应力：基底压力扣除因基础埋深所开挖土的自重应力之后 在基底处施加于地基上的单位面积压力。（基底净压
2
0
d
L B
式中: α c 是竖直均布压力矩形基底角点下的附加应力系数，它是 m， n 的函数，其中m = l / b，n = z / b。l 是矩形的长边，b 是矩形的短边， z 是从基底起算的深度，pn是基底净压力
2、任一点的应力—角点法 (a）O 在荷载面内部
D
X
T
O
C
Z
zz (ABCD )
3dP z 3 3 pdxdy z3 d z 5 2 2 R 2 ( x y 2 z 2 )5 / 2
z
3p 1 dxdy 0 0 2 ( x 2 y 2 z 2 ) 5 / 2 p m mn 1 1 [arctg ( 2 )] 2 2 2 2 2 2 2 n 1 m n 1 m n m n 1 n c P0
z ( c t1 ) p0 t 2 p0
（三） 圆形面积竖直均布荷载作用时中心点下的附加应力
dp 在 M 点引起的附加应力dz 由（3-6a）为：
3 pz 3 dd d z 2 2 5/ 2 2 ( z )
d
r
在整个圆面积上积分：
z
x y 0
x y
xy yz xz 0
z
y
z x
2 土力学中应力符号规定 正应力：压为正，拉为负
剪应力：以逆时针为正
（＋） （＋） （+） （+）
材料力学
土力学
3.1
土体的自重应力
自重应力：由于土体本身的有效重量而产生的应力 假设地基为半无限弹性体，土体在自重应力下只能产生竖向变
p F G P BL BL
P
L
式中 P：作用于基础底面的竖直荷载 G：基础及其上回填土的重量 G = GdBL , G为砼基础及其上回填土的平均容重 一般取 G=20kN/m3，但地下水位以下部分
B
应减去浮力 10kN/m3
d：基础埋深，必须从设计地面或室内外平均设 计地面算起。
当基础埋深范围内有地下水时，设基底至地下水位距离为hw，则
3
土体中的应力计算
概
述
研究土中的应力和分布规律是研究地基和土工建筑物变形
和稳定问题的依据
自重应力 附加应力 惯性力 渗透力
: 由土体自身重量所产生的应力 ：由外荷载引起的土中应力
1 地基中的几种应力状态 a、三维（空间）应力状态
xy xy xz ij yz yy yz zx zy zz
zz (OXAY ) zz (OYBZ) zz (OZCT) zz (OTDX )
A
Y O
B
Z
Point of interest
zo ( KsI KsII KsIII KsIV ) p
（b）O 在荷载面外部
O D C X D Z O
(q)
C
(q)
影响因素 （1） 分布荷载p(x,y)的分布规律及其大小 （2） 分布荷载作用面积 A 的几何形状及大小
（3） 应力计算点的坐标值
z p0
3.3.2.1 空间问题的附加应力计算 （一） 矩形面积竖直均布荷载 1. 角点下应力
B
dP dA
x
p
x L y x
R z
R
z
集中荷载 dP = dxdyp0, M点处 dz 为
基压缩变形的主要原因。因为一般基础都埋臵于地面下一定深度，因此在计
算由建筑物造成的基底附加压力时，应扣除基底标高处土中原有的自重应力
p0 p cd p 0 d
cd
cd
p
cd
p0
3.3 地基中的附加应力
附加应力：指建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上 的应力。
6个独立应力分量
z x y z zy
zx x
xy
y
b、二维应变状态（平面应变）
xy 0 xz ij 0 0 yy 0 zz zx
y 0
yx yz 0
z
zx
x y z
x
c、侧限应力状态
0 xy 0 ij 0 0 yy 0 zz 0
P z1
m点下
r m
z3
z2
沿水平面
沿z轴
(2) r>0 的竖向线上
P r
z较小时，z ，z ； z较大时，z ，z
z3
z2
z1
m
沿水平面
沿z轴
m点下
(3) 在 z=cost 的水平面上的分布
• z 在 P 作用线上最大，随r ， z 。 • 随深度 Z ， P 作用线上z ，水平面上应力分布趋向均匀
力）
2.
接触压力的大小影响因素
地基土和基础的刚度大小 荷载大小 基础埋深 地基土的性质
3.2.1
基底压力的分布规律
（一）基础的刚度的影响 1. 弹性地基上的完全柔性基础(EI=0)
均布荷载
基础
柔性基础
地面下沉线
基底压力
地面下沉线 柔性基础
柔性基础：
基底压力
基底压力的分布形式与作用在它上面的荷载分布形式相一致。 如土坝(堤)、路基、油罐等薄板基础、机场跑道。可认为土坝底 部的接触压力 分布与土坝的外形轮廓相同, 土柱重量。 其大小等于各点以上的
根据圣维南原理，基底压力的分布形式对地基中应力计算
的影响将随深度的增加而减小，至一定深度后，地基中的应力
分布几乎与基底压力的分布形式无关，而只决定于荷载合力的
的大小和位臵
目前，在地基计算中，允许采用简化方法，即假定基底
压力按直线分布的材料力学方法。
3.2.2 基底压力的简化计算 （一）中心荷载作用 矩形
(0)
(q)
C (0)
zz (ABCD )
zz (OXAY ) zz (OYBZ) zz (OZCT) zz (OTDX )
(0)
B
Y
A
Step 4 -q on OXDT
zM ( KsI KsII KsIII KsIV ) p
（二）矩形面积竖直三角形荷载
ex, ey—竖直荷载对y , x轴的偏心距 (m)
2、单向偏心
基底两端的压力为
pmax,
min
P 6e (1 ) A B
P
e
当e<B/6时，基底压力为梯形分布
x B L
当e＝B/6时，为三角形分布
当e>B/6时，基底压力不承受拉力，重
新分布
P
P e
e
x y
L
x y
L
pmax
2P 3( B / 2 e) L
dP
dA o O’ x
p0
B x
y
L
z
R
z
R
x
P0 x dP dxdy B
dP 在O点下任意 M 处引起的竖直附加应力dz
3 p0 xz3dxdy d z 2 2B ( x y 2 z 2 )5 / 2
z d z t1 p0
注：求O/点下的应力时，可用竖向均布荷载与竖直三角形荷载叠加。
Mx y My x P p ( x, y ) BL Ix Iy
式中 Mx, My —竖直偏心荷载P对基底x , y轴的力矩(kNm); Mx =P ex ; My = P ey Ix, Iy—基底分别对x , y轴的惯性距 (m4) Ix = BL2/6 ，Iy = LB2/6
T
(q)
A B O A
(q)
B
(q)
Y
Z
Point of interest
Step 1 + q on OXAY
X D
Z
O
X D
Z
O
(q) (q)
C
(0) ( 0)
(q) (q)
T
C
(q) (0)
T
A
B
Y
A
B
Y
Step 2 -q on OZBY X D Z O T
Step 3 + q on OZCT
F
i 1 i
n
i
F1
Fi
z
r1 ri
pi ri
z
3.3.2 分布荷载下地基附加应力
dA dd
dF p( x, y)dd
η
y
ζ
x dζ R
dη
z M (x,y,z)
3z 3 z d z A 2
p( x, y)dd A [( x )2 ( y )2 ]5 / 2
3. 弹塑性地基上有限刚性的基础 ( 0 < EI < )
由于土体超过强度后，会出现塑性区，又基础并不是绝对刚性，
可以变形引起应力重分布，基底压力分布实际很复杂。具体分布形式
与地基、基础材料特性及基础尺寸、荷载形状、大小等因素有关
基底压力
(二) 荷载及土性的影响
实测资料表明：刚性基础底面上的压力分布如图，当荷载较小时，
K 3( B / 2 e)
（三）水平荷载作用
基础受斜荷载作用时，将斜向荷载 R分解为竖直向荷载Pv和水
平向荷载Ph，由Ph引起的基底水平应力假定为均匀分布于整个基础
底面
R
矩形： ph=Ph/BL 条基： ph=Ph/B
Pv
Ph
3.2.2 基底附加压力
土的自重应力不引起地基变形，只有作用于地基表面的附加应力才是地
z
，只研究z
90o-
x z zy x z
3P z 3 P z 5 2 2 R z
R
y
z
zx
y
3 z 5 ( ) 2 R
α 称为集中应力系数
讨论z的分布特征： (1) 沿P作用线方向
3 K 2
3 P z 2 z 2
沿P作用线方向， z 随深度而减小
2. 弹性地基上的绝对刚性基础(EI=) 在均布荷载作用下，基础只能保持平面下沉而不能弯曲
均布荷载
刚性基础 基底压力
均布荷载
基底压力
刚性基础
弹性解:
基础两端应力为无穷大
刚性基础：基底压力的分布形式与作用在它上面的荷载分布形式不 相一致。
建筑物的墩式基础、箱型基础，水利水电工程中的水闸基础、 混凝土坝等
形，无侧向位移及剪切变形，则地基内的土体处在侧限应力状
态，在深度z处平面上，自重产生的竖向应力等于单位面积上土 柱的重量
z
1
1. 竖向自重应力
地基内任意深度 Z 处的自重应力为：
sz 1 H1 2 H 2 i H i
i 1 n
注： 地下水位以上用天然容重，以下应采用浮容重
计算方法假设：
1、将地基看成是均质的线性变形半空间，直接采用弹性力
学解答
2、将基底压力看成是线性分布荷载，而不考虑基础刚度的
影响
3.3.1 竖直集中力下的附加应力 1 单个竖向集中力
布辛内斯克根据弹性理论计算出地基下某一点 M 的6个应力分 量和三个位移分量。由于对地基沉降意义最大的是竖向法向应力
(4) 空间分布
空间等值面形状如泡状，称之应力泡
P
集中力 P 在地基中引起的 附加应力的分布是向下、向四周
0.1 P 0.05 P 0.02 P
无限扩散开的。地基附加应力越
深越小，越远越小，Z=0为奇异点， 无法计算附加应力
2 荷载作用多个集中力及不规则分布
Fn 1 F1 F2 z 1 2 2 2 ... n 2 2 z z z z
基底压力如图a，接近于弹性理论解；荷载增大后，基底压力呈马鞍形； 荷载再增大时，呈抛物线以致倒钟形。
荷载逐渐增加
实测资料表明：刚性基础在砂土地基表面时，基底压力分布易成
抛物线，放在 粘土地基 表面时，易成 马鞍形 分布。
砂土地基
粘土地基
在基础端部，砂土比较容易侧向移动，而粘土因具有粘聚力不大 容易侧向移动，可以承担一定的压力。
G G dA w hw A 20dA 10hw A
p F 20d 10hw A
F
hw
条基：在长度方向取1m
p
F G P B B
P 为沿长度方向1米内的相应荷载值kN/m
P
（二） 偏心荷载作用
B
1、双向偏心
ey
若基底受双向偏心荷载作用，基
L
x
ex y
底任意点的基底压力计算公式
1 H1 2 H2 3 H3
1 H1
sz
2 H2 //3H3
z
2. 水平向自重应力
将土体视为各向同性的弹性体，由广义虎克定律
x
sx
E
E
( sy sz )
sx sy
x y 0
sx sy
1
sz K 0 sz
K0 和 与土的种类、密度有关，可由试验确定源自3.21. 概 念
基底压力
基底压力：上部结构荷载和基础自重通过基础传递，在基础底面处
施加于地基上的单位面积压力
基底反力：反向施加于基础底面上的压力 基底附加应力：基底压力扣除因基础埋深所开挖土的自重应力之后 在基底处施加于地基上的单位面积压力。（基底净压
2
0
d
L B
式中: α c 是竖直均布压力矩形基底角点下的附加应力系数，它是 m， n 的函数，其中m = l / b，n = z / b。l 是矩形的长边，b 是矩形的短边， z 是从基底起算的深度，pn是基底净压力
2、任一点的应力—角点法 (a）O 在荷载面内部
D
X
T
O
C
Z
zz (ABCD )
3dP z 3 3 pdxdy z3 d z 5 2 2 R 2 ( x y 2 z 2 )5 / 2
z
3p 1 dxdy 0 0 2 ( x 2 y 2 z 2 ) 5 / 2 p m mn 1 1 [arctg ( 2 )] 2 2 2 2 2 2 2 n 1 m n 1 m n m n 1 n c P0
z ( c t1 ) p0 t 2 p0
（三） 圆形面积竖直均布荷载作用时中心点下的附加应力
dp 在 M 点引起的附加应力dz 由（3-6a）为：
3 pz 3 dd d z 2 2 5/ 2 2 ( z )
d
r
在整个圆面积上积分：
z
x y 0
x y
xy yz xz 0
z
y
z x
2 土力学中应力符号规定 正应力：压为正，拉为负
剪应力：以逆时针为正
（＋） （＋） （+） （+）
材料力学
土力学
3.1
土体的自重应力
自重应力：由于土体本身的有效重量而产生的应力 假设地基为半无限弹性体，土体在自重应力下只能产生竖向变
p F G P BL BL
P
L
式中 P：作用于基础底面的竖直荷载 G：基础及其上回填土的重量 G = GdBL , G为砼基础及其上回填土的平均容重 一般取 G=20kN/m3，但地下水位以下部分
B
应减去浮力 10kN/m3
d：基础埋深，必须从设计地面或室内外平均设 计地面算起。
当基础埋深范围内有地下水时，设基底至地下水位距离为hw，则