抛物线的定义及其标准方程

抛物线标准方程的推导
y y y
M
H
K O
N
l
· ·
O O
F
x
y y
y
H
K
M
H
x
M
H
x
M
x
F o
(1)
Ko F
K o F
l
l
(2)
l
(3)
解：过点F作直线 l 的垂线，垂足为K.以直线KF为x
轴线段KF的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系xoy.
p p 设M ( x, y), 则焦点F的坐标为（ ， 0），准线的方程为x ． 2 2
x y y x - 2 1(a 0、b 0) 2 - 2 1(a 0、b 0) 2 a b a b
2
2
2
2
1、椭圆的定义及标准方程 x2 y2 y 2 x2 2 1(a b 0) 2 1(a b 0) 2 2 a b a b 2、双曲线的定义及标准方程 x2 y 2 y 2 x2 - 2 1(a 0、b 0) 2 - 2 1(a 0、b 0) 2 a b a b
2
x by(b 0)
2
a 焦点坐标（ ,0）, 4 a 准线方程 x 4
b 焦点坐标（0, ）, 4 b 准线方程 y 4
总结反思
今天你有哪些收获？
⑴知识方面:
抛物线的定义及其标准方程
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⑵数学方法方面: 直接法、待定系数法
⑶数学思想方面: 数形结合思想、分类讨论思想、 类比转化的思想
关于x、y的二次方程 如果是关于 x与y 、x 与y 的方程与 什么曲线呢？
2 y = ax +bx+c(a 0) 3、二次函数
2
2
抛物线
的图象是什么？
我们对抛物线已有了哪些认识？
y
o
x
二次函数是开口向上或向下的抛物线.
探照灯轴截面
雷达天线
抛物线是开口向上、向下、向左、向右 的均有。 y
一次项系数直接除以4，得焦点相对应的横（纵） 坐标；准线方程系数的符号与焦点坐标符号相反.
探究深化
变式 求抛物线的焦点坐标和准线方程.
（ 1） y2 = 8 x （2）x2=4y
焦点（2,0）；准线 x= -2 焦点（0,1）；准线 y= -1
（3）2y2+3x=0 焦点（-3/8,0 ）；准线 y= 3/8
点F在定直线l外 4、用点的轨迹如何定义抛物线？
抛物线定义
平面内与一个定点F和一条定直线l （F 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
定点F叫做抛物线的焦点. 定直线l叫做抛物线的准线.
H
l）
M
平面内， MF MH ; （ 1）
注：
l
F
（2）“一动二定一相等”； （3）定点F不在定直线l上.
准线
焦 点
思考
当定点F在定直线l上时，到定点F的距离等于 到定直线l的距离的点的轨迹会是什么图形？
l
∟F
·
当F在l上时，点的轨迹是过点F且垂直于 l的一条直线.
抛物线标准方程的推导
H
想一想？ 求曲线方程的 如何建立直角 K 基本步骤是怎样的？
坐标系？
· F ·· N
l
M
令︱FK ︱=p>0
p KN FN 2
p 0 , 2
l l
0 , 2
y
p 2
x
x 2 2 py p 0
p y 2
探究深化
例1 已知抛物线的方程是
（1）y2 = - 12x；（2） y =12x2. 求它们的焦点坐标和准线方程.
归纳：求抛物线准线方程和焦点坐标步骤 （1）先将方程化为标准形式； （2）定型（确定焦点及准线位置）； （3）定量（求出焦点坐标、准线方程）.
p 的几何意义是:
焦点到准线的距离.
一条抛物线，开口方向不一致，方程也不同， 所以，抛物线的标准方程还有其它形式.
四 种 形 式 标 准 方 程 的 探 讨
图形
y H M x
标准方程
焦点坐标
准线方程
y 2 2 px
O F
p 0
y 2 2 px
l
M
一次变量定焦点 点位置及开口方向 ? 开口方向看正负
p ,0 2
x p 2
p p , 0 x 如何确定抛物线焦 2 2
y
H
F O l
x
p 0
y
F O y O F M H H M x
x 2 2 py
p 0
如果x是一次项， 负时向左，正向右 p 如果y是一次项， 负时向下，正向上
y
y
y
H
M
H
x
M
H
x
M
x
K
F o
(1)
Ko F
K o F
l
2
l
2
(2)
l
2
(3)
y 2 px-p ( p 0)
y 2 px
2
y 2 px+p ( p 0)
2
（p 0）
抛物线的标准方程
把方程 = 2px（p＞0） 叫做抛物线的标准方程. y2
K
l
O
y
.F
x
p p 焦点F的坐标:（ ， 0），准线的方程: x ． 2 2 开口方向:向右.
o
x
想 2、如何准确画出抛物线？ 一 y 想 ？
o
1、抛物线用点的轨迹如何定义呢？
x
请同学们观察画法
K
共同体讨论解决问题：
M
A F
l
1、三角板的直角起到了什么作用？ 点M到直线的距离是MK
2、从作法中了解动点M满足怎样的几何条件？ 点M到定点 l F的距离与到定直线距离相等
3、定点F满足什么条件？
抛物线的定义 及其标准方程
复习旧知
1、椭圆的定义及标准方程
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大 于︱F1F2︱)的点的轨迹.
x2 y2 y 2 x2 2 1(a b 0) 2 1(a b 0) 2 2 a b a b 2、双曲线的定义及标准方程
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等 于常数（小于︱F1F2︱且不等于零)的点的轨迹.
探究深化
例2 已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，
焦点到准线的距离是3，求抛物线的标准方程.
变式
待定系数法
1、已知抛物线的焦点在x轴上，焦点到准线 的距离是3，求抛物线的标准方程. 2、已知抛物线的焦点到准线的距离是3，求 抛物线的标准方程.
分类讨论方程形式
归纳：焦点在坐标轴上的抛物线的方程设法
y ax(a 0)