有限元基础理论教程 lecture05 ppt课件.ppt

A
bi
Axc
ci
Ayc ]
A
1 2A
(ai
bi xc
ci
yc )
1 3
A
Ryi
1 3
qy At
Ryj
1 3
q
y
At
Rym
1 3 qy At
三角形中的一点P可以用子三角形面 积定义的自然坐标来确定。面积坐 标定义为，
Li
Ai A
Lj
Aj A
Lm
Am A
点P表示为，P(Li , Lj , Lm )
面积坐标在三角形全面积上的积分为
2）体力的移置
令单元所受的均匀分布体力为，
{q}
qx
q
y
虚功相等，
{ *}e T{R}e { *}e T [N]T{q}tdxdy
{R}e [N]T {q}tdxdy
(2-17)
例题2.4、设有均质等厚的三角形单元ijm，受 到沿y方向的均布载荷qy的作用。求均布体力 移置到各结点的载荷。
Rxi Ni
Ryi
0
Rxj Ryj
s
Nj 0
Rxm
N
m
Rym 0
0
Ni
0 N
j
q0x
tds
0
Nm
取局部坐标s，在i点s=0，在j点s=l，L为ij边的长度。
在ij边上，以局部坐标表示的插值函数为，
Ni
1
s L
s Nj L
载荷为
qx
q
s L
Nm 0
Rxi
cr bs
cr cs
1
2
br bs
0 cs tA bs
例2.6、属于平面应力问题的弹性体被划分成3个单元、5 个结点。结点坐标如下：1(0,2a)，2(0,a)， 3(a,a)，4(0,0)， 5(a,0)。
单元结点的局部编号顺序如下，
e1(1,2,3); e2(2,4,5); e3(2,5,3) 试求单元1的单元刚度矩阵。
A
Lai Lbj Lcmdxdy
(a
a!b!c! bc
2)!
A
3）分布面力的移置
设在单元的边上分布有面力， q [qx , qy ]T
虚功相等，
{ *}e T{R}e
*
e
T
[N]T {q}tds
s
{R}e [N]T{q}tds s
例题2.5、在均质、等厚的三角形单元ijm的ij边上作用有 沿x方向按三角形分布的载荷，求移置后的结点载荷。
单元1结点的局部编号如下，
i - 1, j - 2, m - 3
ai x j ym xm y j 0 a a a a2 a j xm yi xi ym a 2a 0 a 2a2
am xi y j x j yi 0 a 0 2a 0
bi y j ym a a 0 b j ym yi a 2a a bm yi y j 2a a a ci xm x j a 0 a c j xi xm 0 a a cm x j xi 0
L 0
(1
s )q L
s L
tds
qt( s2 2L
s3 3L2
)
L 1 qtL 06
Rxj
L 0
s L
q
s L
tds
qt
s3 3L2
L 1 qtL 03
设ij边的长度为L，先把分布面力 等效为作用在距 i结点2/3L处P点 的集中力，再移置到结点上。
2.4 单元刚度矩阵
ui
vi
u v
u
v
j j
um
vm
(2-19)
记为 {} [B]{}e
[B]矩阵称为几何矩阵。
[B]矩阵可以表示为分块矩阵的形式，
B [Bi Bj Bm ]
Bi
1 2A
bi
0
0
ci
ci bi
(2-20)
由物理方程，可以得到单元的应力表达式，
D DB e
[D]称为弹性矩阵，对于平面应力问题，
K e [B]T [D][B]tA
{F}e [K]e{ }e
（2-25）
单元刚度矩阵表示为分块矩阵：
K e
[[KKijii
] ]
[Kmi ]
[Kij ] [K jj ] [Kmj ]
[[KKijmm]] [Kmm ]
单元刚度矩阵的分块为
[Krs ] [Br ]T [D][Bs ]tA
[Krs
单元的结点力 F e Fxi Fyi Fxj Fyj Fxm Fym T
单元的虚应变 * B * e
单元结点力虚功 * e T F e
单元的内力虚功 * T tdxdy
* e T Fe * T tdxdy
* T ( B * e)T
]
Krx,sx
K
ry,sx
Krx,sy
K
ry,sx
r i, j, m
s i, j, m
[Krs ]
1 2A
br
0
0 cr
cr br
(1
E
2
)
1
0
1 0
1
0
0
1 2A
bs
0
cs
2
Et
4(1 2 ) A
br bs
1
2
cr cs
crbs
1
2
br cs
br cs
1
2
Ni
0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
u v
j j
um
vm Leabharlann Ni1 2A (ai
bi x
ci
y)
由几何方程可以得到单元的应变表达式，
u
x
v
y
u y
v x
1 2A
b0i ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
ui
0
vi
cm bm
*
e
T
[B]T
用结点位移表示应力 [S] e [D][B] e
* e T F e * e T [B]T[D][B]tdxdy e
Fe [B]T [D][B]tdxdy e
单元刚度矩阵
K e [B]T [D][B]tdxdy
（2-24）
在3结点等厚三角形单元中[B]和[D]的分量均为常量， 则单元刚度矩阵可以表示为，
D
(1
E
2
)
1
1
0 0
应力矩阵 S DB
0
1
0
2
S [Si S j Sm ]
Si
DBi
2
E A(1
2)
bi
1
bi
2
ci
ci
1
ci
2
bi
应用虚功原理可以建立单元结点位移与结点力的关 系矩阵，即单元刚度矩阵。 虚功原理：在外力作用下处于平衡状态的弹性体， 如果发生了虚位移，则所有外力在虚位移上做的虚 功等于内应力在虚应变上做的虚功。
Rxi Ni
Ryi
0
Rxj Ryj
N 0
j
Rxm
N
m
Rym 0
0
Ni
0 0
N
j
q
y
t
dx
dy
0
Nm
Rxi 0, Rxj 0, Rxm 0
Ryi Niqytdxdy qyt Nidxdy
N i dx dy
1 2A
(ai
bi
x
ci
y)dxdy
1 2A [ai