两个计数原理与排列组合知识点及例题精品

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【关键字】语文、方案、情况、思路、方法、条件、问题、充分、位置、关键、需要、项目、方式、办法、标准、关系、检验、动员、分析、倾斜、保证、解决

两个计数原理与排列组合知识点及例题

两个计数原理内容

1、分类计数原理：

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 +m2 +……+m n种不同的方法.

2、分步计数原理：

完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法.

例题分析

例1某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。现要配成一荤一素一汤的套餐。问可以配制出多少种不同的品种？

分析：1、完成的这件事是什么？

2、如何完成这件事？（配一个荤菜、配一个素菜、配一汤）

3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）

4、运用哪个计数原理？

5、进行计算.

解：属于分步：第一步配一个荤菜有3种选择

第二步配一个素菜有5种选择

第三步配一个汤有2种选择

共有N=3×5×2=30（种）

例2 有一个书架共有2层，上层放有5本不同的数学书，下层放有4本不同的语文书。

（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？

（2）从书架上任取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？

（1）分析：1、完成的这件事是什么？

2、如何完成这件事？

3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）

4、运用哪个计数原理？

5、进行计算。

解：属于分类：第一类从上层取一本书有5种选择

第二类从下层取一本书有4种选择

共有N=5+4=9（种）

（2）分析：1、完成的这件事是什么？

2、如何完成这件事？

3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）

4、运用哪个计数原理？

5、进行计算.

解：属于分步：第一步从上层取一本书有5种选择

第二步从下层取一本书有4种选择

共有N=5×4=20（种）

例3、有1、2、3、4、5五个数字.

（1）可以组成多少个不同的三位数？

（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？

（3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？

（1）分析： 1、完成的这件事是什么？

2、如何完成这件事？（配百位数、配十位数、配个位数）

3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）

4、运用哪个计数原理？

5、进行计算.

略解：N=5×5×5=125（个）

【例题解析】

1、某人有4条不同颜色的领带和6件不同款式的衬衣，问可以有多少种不同的搭配方法？

2、有一个班级共有46名学生，其中男生有21名.

（1）现要选派一名学生代表班级参加学校的学代会，有多少种不同的选派方法？

（2）若要选派男、女各一名学生代表班级参加学校的学代会，有多少种不同的选派方法？

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3、有0、1、2、3、

4、5六个数字. （1）可以组成多少个不同的三位数？ （2）可以组成多少个无重复数字的三位数？ （3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？

排列与组合

1.排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相

同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的．．．．

2.排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n

A

3.排列数公式：(1)(2)(1)m

n

A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）

4.阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=．

5.排列数的另一个计算公式：m n

A =!

()!

n n m - 6.组合概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合

7．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．

．用符号m n C 表示． 8.组合数公式：(1)(2)(1)!

m m

n n m m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C m n

-=,,(n m N m n ≤∈*且 9.组合数的性质1：m n n m n C C -=．规定：10=n

C ； 10.组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n C C n 0+C n 1+…+C n n =2n

题型讲解

例1 分别求出符合下列要求的不同排法的种数

（1）6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人； （2）6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；

（3）从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒； （4）6人排成一排，甲、乙必须相邻； （5）6人排成一排，甲、乙不相邻；

（6）6人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、乙、丙可以不相邻）

解：（1）分排坐法与直排坐法一一对应，故排法种数为7206

6=A

（2）甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有14A 种选法，然后其他5人选，有5

5A 种选法，

故排法种数为4805

514=A A

（3）有两棒受限制，以第一棒的人选来分类：

①乙跑第一棒，其余棒次则不受限制，排法数为3

5A ；

②乙不跑第一棒，则跑第一棒的人有14A 种选法，第四棒除了乙和第一棒选定的人外，也有1

4

A 种选法，其余两棒次不受限制，故有2

21414A A A 种排法，

由分类计数原理，共有2522

4141435=+A A A A 种排法

（4）将甲乙“捆绑”成“一个元”与其他4人一起作全排列共有2405

522=A A 种排法

（5）甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙选择已排好的4人的左、右

及之间的空挡插位，共有2544A A （或用6人的排列数减去问题（2）后排列数为4802406

6=-A ）

（6）三人的顺序定，实质是从6个位置中选出三个位置，然后排按规定的顺序放置这三人，其余3

人在3个位置上全排列，故有排法1203

336=A C 种

点评：排队问题是一类典型的排列问题，常见的附加条件是定位与限位、相邻与不相邻

例2 假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各多少种？

（1）没有次品；（2）恰有两件是次品；（3）至少有两件是次品

解：（1）没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法，共有644460245

97=C 种

（2）恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共

有4423202

3397=C C 种

（3）至少有2件次品的抽法，按次品件数来分有二类：

第一类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有32

973C C 种