解三角形经典例题

解三角形

1.1正弦定理和余弦定理

1.1.1正弦定理

【典型题剖析】

考察点1：利用正弦定理解三角形 例1

在ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.

【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。

解：

::1:2:3,A .,,,

6

3

2

1::sin :sin :sin sin

:sin

:sin

::11: 2.63222A B C B C A B C a b A B C ππ

π

π

π

π

π

=++=∴=

=

=

∴===

=而

【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。

例2在ABC 中，已知

C=30°，求a+b 的取值范围。

【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。

解：∵C=30°，

sin sin sin a b c A B C ===

∴

（150°-A ）.

∴

°

·2sin75°·cos(75°

-A)=

2

cos(75°-A)

① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b

取得最大值2

② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°, ∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，

∴＞

2

cos75°

=2

×4

综合①②可得a+b 的取值范围为

> 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状

例3

在△ABC 中，2

a ·tanB=2

b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。

【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。 解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB 得：

()

()2

2

sin sin 2R sin 2R sin cos cos B A A B B A •

=•,

sin cos sin cos ,A A B B ∴=

即sin 2sin 2A B =，2222A B A B π∴=+=或，

2A B A B π

∴=+=

或.

∴ABC 为等腰三角形或直角三角形。

【解题策略】“在△ABC 中，由sin 2sin 2A B =得∠A=∠B ”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B 或∠

A+∠B=2π

”的导出过程。

例4

在△ABC

中，如果lg lg lg sin lg a c B -==-，并且B 为锐角，试判断此三角形的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC 的形状。

解：

lg sin sin 2B B =-∴=

.

又∵B 为锐角，∴B=45°.

由

lg lg c a c a -=-=得

由正弦定理，得sin sin 2A C

=

, ∵18045,A C =︒-︒-代入上式得：

()

2sin 135C C =︒-

()

2sin135cos cos135sin C C =︒-︒

,C C =+

cos 0,90,45.C C A ∴=∴=︒∴=︒ ABC ∴为等腰直角三角形。

考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式

例5

在△ABC 中，求证222222

cos cos cos cos cos cos a b b c c a A B B C C A ---++=+++.

【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将222a b c ，，转化为

222sin ,sin ,sin A B C . 证明：由正弦定理的变式a 2sin ,2sin R A b R B ==得：

2222224sin 4sin =

cos cos cos cos a b R A R B

A B A B --++ 2224[cos cos ]cos cos R A B =

+（1-A ）-(1-B)

222(cos cos )

4(cos cos )

cos cos B A R B A A B -==-+

同理22

222

24(cos cos ),

cos cos 4(cos cos ).

cos cos b c R C B B C c a R A C C A -=-+-=-+

2=4(cos cos cos cos cos cos )0R B A C B A C ∴-+-+-==∴左边右边等式成立。

【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用。 例6

在△ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，C=2B ，求证22

c b ab -=.

【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用. 证明：

180,180.A B C B C A ++=︒∴+=︒-

2,.C B C B B =∴-=又

sin()sin(180)sin ,B C A A +=︒-=

2222222224(sin sin )

4(sin sin )(sin sin )

42sin cos 2cos sin

2222

4sin()sin()4sin sin .c b R C B R C B C B B C C B B C C B

R R C B C B R A B ab ∴-=-=+-+-+-=••••=+-===∴右边等式成立.

【解题策略】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质。

,,,2222

222.

A B C

A B C A B C A B C ππππ+++=+=-=-+=-（1）

(2)sin()sin ,cos()cos ,tan()

tan .A B C A B C A B C +=+=-+=-

(3)sin cos ,cos sin ,tan 22222

cot .2

A B C A B C A B

C

+++===