模态参数辨识的频域方法
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还有其它地方法可用来求单自由度系统地固 有频率：
• 静位移法能量法
振动力学总结
静态位移法（单位加速度法）
静止时在重力的作用下弹簧被压缩，根据虎克定律有 k mg ，因而
wenku.baidu.com
w2 k m g
n
振动力学总结
使用静态位移法计算固有频率
P18. 例2.2
单自由度系统--自由振动 振动力学总结
……
……
…… ……
……
…… …… ……
振动力学总结 振动力学总结
一般来说，任何具有弹性和惯性的力学系统 均可能产生机械振动。 机械结构产生振动的内在原因是本身具有振 动时储存动能和势能，而且释放动能和势能， 并能使动能和势能相互转换的能力。 惯性元件、弹性元件和阻尼元件是离散振动 系统三个最基本的元件：
2 x wn x 0 x(0) x0 ,
(0) x 0 x
x (0) x 0
振动力学总结
2 w 0 x nx
（1）
求解方程(1)，可以得到
x A1 coswnt A2 sin wnt A cos(wnt )
(0) x 0 ，可得 由初始条件 x(0) x0 , x
弱阻尼情形
r n j w 2 n 2 n j w n d 1 特征根 2 2 r n j w n n jw d n 2
1. 假定系统的速度分布模型（模式），一般 的速度分布可以取为与变形分布模型一致； 2. 以某一特定点的速度为参量计算系统的动 能； 3. 从系统动能表达式中提出该点速度平方的 1/2，剩余的部分即为系统相对于该点的等 效质量。
振动力学总结
P21. 例2.5
振动力学总结 振动力学总结
图示为一有阻尼的弹簧-质量系统的简化模 型。以静平衡位置O为坐标原点，选x轴铅直 向下为正，有阻尼的自由振动微分方程
振动力学总结 振动力学总结
子曰：
“学而时习之，不亦说乎？”
振动力学总结
机械振动总复习
振 动 力 学
单自由度系统 阻尼自由振动
强迫振动
多自由度系统 阻尼自由振动
强迫振动
无阻尼自由振动 建立运动微分方程
求固有频率 求响应
…… ……
…… ……
…… ……
无阻尼自由振动
建立运动微分方程 求固有频率 求振型 求响应
m T 2 wn k
2
1 wn 1 fn T 2 2
k m
f n 的单位是 Hz， 它也只与系统的刚度、 质量有关， 与外界条件无关。
所以 f n 也称为系统的固有频率。以后对 w n 和 f n 不加区分，通称为 固有频率。
振动力学总结
固有频率的计算方法
振动系统的固有频率是最重要的振动参数。 正确、简洁地测定固有频率是确定系统振动 特性的基本任务之一。 列出系统运动微分方程进而求出系统固有频 率是一种常用的方法，这需要知道系统的刚 度和质量。
2nx w x 0 x
2 n
特征方程
2 r 2 2nr wn 0
r n n 2 w 2 n 1 2 2 r n n w n 2
特征根
特征根与运动微分方程的通解的形式与阻尼有关 强阻尼（n>ωn）情形
r n n w
A1 x0
0 A2 x
x0 A cos( )
0 Aw sin( ) x 0 x 2 2 0 / wn ) A x0 ( x arctan x0wn
单自由度系统--自由振动
振动力学总结
从上面分析可以看出，单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振 动，它的周期和频率为
2
2 n
xe
nt
(C1e
2 n 2 w n t
C2 e
2 n 2 w n t
)
临界阻尼(n = ωn )情形 r1 r2 n
Theory of Vibration with Applications
x e nt (C1 C2 t )
返回首页
第2章
--阻尼自由振动 单自由度系统 振动力学总结 运动微分方程 （n<ωn）
衰减系数，单 位1/秒(1/s)
cx kx m x
2 2nx wn x x0
c 2n m
k w m
2 n
方程的解为
xe
rt
返回首页
Theory of Vibration with Applications
第2章 运动微分方程
--阻尼自由振动 单自由度系统 振动力学总结 运动微分方程
• 惯性元件储存和释放动能 • 弹性元件储存和释放势能 • 阻尼元件耗散振动能量
振动力学总结 振动力学总结
振动系统的自由度根据三 项基本元件确定：
横梁质量为零，系 统有几个自由度？ 横梁质量不为零， 系统有几个自由度？
振动力学总结
单自由度系统--自由振动
主要内容
1. 运动微分方程 2. 固有频率的计算方法 3. 等效质量与等效刚度
单自由度系统--自由振动 振动力学总结
运动微分方程
根据牛顿第二定律，依照下面步骤可列出 系统的运动微分方程：
1. 取定一个坐标系描述系统的运动； 2. 设质量块沿坐标正向有一位移，对质量块进行 受力分析； 3. 按牛顿第二定律建立质量块的运动方程； 4. 确定系统的初始条件。
振动力学总结
kx 0 x m x(0) x0 ,
P18. 例2.3
振动力学总结
系统势能为：
系统动能为：
由 得
振动力学总结
等效刚度的计算步骤
1. 计算系统的变形分布模型； 2. 以某一特定点的位移为参量计算系统的势 能； 3. 从系统势能表达式中提出该点位移平方的 1/2，剩余的部分即为系统相对于该点的等 效刚度。
振动力学总结
等效质量的计算步骤
能量法
位移函数 系统动能 系统势能 机械能守恒
x A cos(wn t )
1 2 2 T mw n A sin 2 w n t 2 1 2 2 U kA cos wnt 2
Tmax U max
--自由振动 单自由度系统 振动力学总结
使用能量法计算固有频率
• 静位移法能量法
振动力学总结
静态位移法（单位加速度法）
静止时在重力的作用下弹簧被压缩，根据虎克定律有 k mg ，因而
wenku.baidu.com
w2 k m g
n
振动力学总结
使用静态位移法计算固有频率
P18. 例2.2
单自由度系统--自由振动 振动力学总结
……
……
…… ……
……
…… …… ……
振动力学总结 振动力学总结
一般来说，任何具有弹性和惯性的力学系统 均可能产生机械振动。 机械结构产生振动的内在原因是本身具有振 动时储存动能和势能，而且释放动能和势能， 并能使动能和势能相互转换的能力。 惯性元件、弹性元件和阻尼元件是离散振动 系统三个最基本的元件：
2 x wn x 0 x(0) x0 ,
(0) x 0 x
x (0) x 0
振动力学总结
2 w 0 x nx
（1）
求解方程(1)，可以得到
x A1 coswnt A2 sin wnt A cos(wnt )
(0) x 0 ，可得 由初始条件 x(0) x0 , x
弱阻尼情形
r n j w 2 n 2 n j w n d 1 特征根 2 2 r n j w n n jw d n 2
1. 假定系统的速度分布模型（模式），一般 的速度分布可以取为与变形分布模型一致； 2. 以某一特定点的速度为参量计算系统的动 能； 3. 从系统动能表达式中提出该点速度平方的 1/2，剩余的部分即为系统相对于该点的等 效质量。
振动力学总结
P21. 例2.5
振动力学总结 振动力学总结
图示为一有阻尼的弹簧-质量系统的简化模 型。以静平衡位置O为坐标原点，选x轴铅直 向下为正，有阻尼的自由振动微分方程
振动力学总结 振动力学总结
子曰：
“学而时习之，不亦说乎？”
振动力学总结
机械振动总复习
振 动 力 学
单自由度系统 阻尼自由振动
强迫振动
多自由度系统 阻尼自由振动
强迫振动
无阻尼自由振动 建立运动微分方程
求固有频率 求响应
…… ……
…… ……
…… ……
无阻尼自由振动
建立运动微分方程 求固有频率 求振型 求响应
m T 2 wn k
2
1 wn 1 fn T 2 2
k m
f n 的单位是 Hz， 它也只与系统的刚度、 质量有关， 与外界条件无关。
所以 f n 也称为系统的固有频率。以后对 w n 和 f n 不加区分，通称为 固有频率。
振动力学总结
固有频率的计算方法
振动系统的固有频率是最重要的振动参数。 正确、简洁地测定固有频率是确定系统振动 特性的基本任务之一。 列出系统运动微分方程进而求出系统固有频 率是一种常用的方法，这需要知道系统的刚 度和质量。
2nx w x 0 x
2 n
特征方程
2 r 2 2nr wn 0
r n n 2 w 2 n 1 2 2 r n n w n 2
特征根
特征根与运动微分方程的通解的形式与阻尼有关 强阻尼（n>ωn）情形
r n n w
A1 x0
0 A2 x
x0 A cos( )
0 Aw sin( ) x 0 x 2 2 0 / wn ) A x0 ( x arctan x0wn
单自由度系统--自由振动
振动力学总结
从上面分析可以看出，单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振 动，它的周期和频率为
2
2 n
xe
nt
(C1e
2 n 2 w n t
C2 e
2 n 2 w n t
)
临界阻尼(n = ωn )情形 r1 r2 n
Theory of Vibration with Applications
x e nt (C1 C2 t )
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--阻尼自由振动 单自由度系统 振动力学总结 运动微分方程 （n<ωn）
衰减系数，单 位1/秒(1/s)
cx kx m x
2 2nx wn x x0
c 2n m
k w m
2 n
方程的解为
xe
rt
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第2章 运动微分方程
--阻尼自由振动 单自由度系统 振动力学总结 运动微分方程
• 惯性元件储存和释放动能 • 弹性元件储存和释放势能 • 阻尼元件耗散振动能量
振动力学总结 振动力学总结
振动系统的自由度根据三 项基本元件确定：
横梁质量为零，系 统有几个自由度？ 横梁质量不为零， 系统有几个自由度？
振动力学总结
单自由度系统--自由振动
主要内容
1. 运动微分方程 2. 固有频率的计算方法 3. 等效质量与等效刚度
单自由度系统--自由振动 振动力学总结
运动微分方程
根据牛顿第二定律，依照下面步骤可列出 系统的运动微分方程：
1. 取定一个坐标系描述系统的运动； 2. 设质量块沿坐标正向有一位移，对质量块进行 受力分析； 3. 按牛顿第二定律建立质量块的运动方程； 4. 确定系统的初始条件。
振动力学总结
kx 0 x m x(0) x0 ,
P18. 例2.3
振动力学总结
系统势能为：
系统动能为：
由 得
振动力学总结
等效刚度的计算步骤
1. 计算系统的变形分布模型； 2. 以某一特定点的位移为参量计算系统的势 能； 3. 从系统势能表达式中提出该点位移平方的 1/2，剩余的部分即为系统相对于该点的等 效刚度。
振动力学总结
等效质量的计算步骤
能量法
位移函数 系统动能 系统势能 机械能守恒
x A cos(wn t )
1 2 2 T mw n A sin 2 w n t 2 1 2 2 U kA cos wnt 2
Tmax U max
--自由振动 单自由度系统 振动力学总结
使用能量法计算固有频率