模态参数辨识的频域方法
第三章模态参数辨识的频域方法
第三章模态参数辨识的频域方法在系统辨识中，模态参数是描述系统特性的重要指标，通过模态参数的辨识可以揭示系统的固有振动频率、阻尼比和模态形态等信息。
频域方法是一种常用的模态参数辨识方法，可以通过对系统在不同频率下的响应数据进行分析，得到系统的模态参数。
本文将介绍频域方法的原理和具体实施步骤。
频域方法的基本原理是在频域内拟合系统的频率响应函数，从而得到系统的模态参数。
具体实施步骤包括数据采集、信号处理和模态参数辨识。
首先，需要采集系统在不同频率下的响应数据。
使用激励信号激发系统，在传感器上采集到系统的响应信号。
为了得到较好的频率响应函数拟合结果，应该在不同频率下采集足够多的数据，并保证数据的信噪比较高。
其次，需要对采集到的响应数据进行信号处理。
首先，对采集数据进行预处理，包括去除噪声、滤波和降采样等操作，以提高数据质量。
然后，对处理后的数据进行频谱分析，可以使用傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，然后计算频谱密度谱或功率谱密度谱等频域指标。
最后，通过拟合频率响应函数，得到系统的模态参数。
根据系统的特点，可以选择适合的频率响应函数进行拟合。
常见的选择包括模态曲线法、有限点法和广义谱方法等。
根据所选择的频率响应函数，通过最小二乘法等数值方法，拟合得到系统的模态参数，包括固有频率、阻尼比和振型等。
频域方法在模态参数辨识中具有以下优点：首先，由于仅对系统响应数据进行频域分析，不需要准确的系统模型，因此对于实际系统来说具有较高的适应性。
其次，频域方法能够较好地提取系统的模态信息，对于系统的非线性特性和随机性能够较好地处理。
此外，频域方法比较直观且易于实施，是一种常用的模态参数辨识方法。
总结来说，频域方法是一种常用的模态参数辨识方法，通过对系统在不同频率下的响应数据进行频域分析，可以得到系统的模态参数。
该方法具有较高的适应性和处理能力，是一种实用的系统辨识工具。
环境激励下模态参数识别方法研究
模态参数是指结构动力特性的基本参数，是描述结构动力特性的基本概念，包括固有频率、阻尼比、振型等。
结构模态参数的准确识别，是进行结构健康监测及故障诊断的重要基础，直接关系到结构安全，因此，开展结构模态参数识别技术研究具有重要的理论意义与工程实用价值。
近年来，利用环境激励已大量应用于土木工程的结构动力特性测试中。
环境激励测试能够在结构的实际工作状态下进行，更真实地了解结构的动力特性和结构性能。
本文将对各种模态识别方法进行分类汇总、论述，并对环境激励下模态参数识别算法有待进一步研究的问题进行了展望。
1频域识别算法1.1峰值拾取法基于结构的频响函数在其固有频率位置处会出现峰值的特征，可以实现对结构的模态参数识别。
由于环境激励下无法得到结构的频响函数，用功率谱密度函数代替结构的频响函数实现模态参数的识别，功率谱由实测的随机振动信号快速傅立叶变化转化得到。
姜蕾蕾[1]将幂指数窗应用于多种结构中，并与其他五种窗函数对比研究，确定能够有效改善傅立叶变换后频谱的质量,从而提高峰值拾取法的频率和阻尼比识别精度,拓宽峰值拾取法对阻尼比的适用范围。
陈涛[2]将测点传递率函数矩阵的第2阶奇异值倒数的均值为模态指示函数，建立基于多参考测点平均的峰值拾取法，准确识别系统的模态频率及振型。
在实际应用中，该方法只需计算少量的局部极值点，识别速度快，适用性广泛，被大量使用在实测实验中。
但由于峰值拾取法对峰值的选择较为敏感，对于峰值存在干扰或者峰值较小的信号，可能导致参数提取不准确，并且输出结果可能受到峰值选择的主观性影响，存在一定的不确定性。
因此，在使用时需要综合考虑实际需求和信号特征，选择合适的峰值。
1.2频域分解法频域分解法是峰值拾取法的优化算法，基本原理是根据振动响应构建谱函数矩阵，通过奇异值分解，将多自由度系统转换为单自由度体系，依靠峰值法选取特征频率，进而对系统进行识别。
频域分解法在20世纪80年代由Prevosto[3]所提出。
一种高效的频域模态参数识别法
ζ i = P/ w i 由 ( 11) 式可得 :
1
Klpi =
( 12)
<li <pi
Ki Klpi wi
2
=
2 uiS - 2 Qvi + 2 ui P
w2 i ( 13)
M lpi =
其中 :
{ x} = ( a0 , a1 , a2 , b1 , b2 , b3 , b4 ) { B } = ( S 0 , T1 , - S 2 , 0 , U2 , 0 , U4 ) λ 0 - λ T1 S2 - T3 0 2
0
U6
0
- U6
0
U8
0
0
k = 1 , k ≠i
∑
1
Klpk ( 1 - w k + j2ζ kw k )
2
( 14)
( 7)
当 w kL = 1/ | D ( jw k ) L - 1 | 2 , M 为拟合的频率点数时 , 上式中 :
M
其中 : w k = w/ w k 之后 ,再次对各频率点进行自由度为 2 的拟合 , 即可得到第二次计算结果 。因为这一次计算结果基 于更准确地消除裾部影响之上 , 所以具有更高计算精 度 。如此循环叠代计算 , 便可以得到所需要精度的模 态参数值 。
2 2
利用最小二乘法求系数 a 、 b 的值 : 9 E/ 9ai = 0 9 E/ 9bi = 0 ( i = 0 , 1 , 2 , …, m ; j = 0 , 1 , 2 , …, N ) ( 6) 由于本算法的特殊性 , 这里采用自由度数为 2 即可 , 因此 ,可以容易地得到 :
工程结构动力特性及动力响应检测技术
江苏省工程建设标准DGＪJXXXXX—20１0ＤGＪ32/JXＸ—20１0工程结构动力特性及动力响应检测技术规程Ｔechnical specifiｃatiｏnｆｏr teｓtingｄｙｎａｍiｃcｈarａcteristic and dｙnamic responｓe of engineｅｒｉng sｔructｕres201０-XX-ＸX发布2010—XX－XX实施江苏省建设厅审定发布江苏省工程建设标准工程结构动力特性及动力响应检测技术规程DGJ32／JXX-2０10JXXＸＸX—20１0主编单位:1 / 22批准单位: 江苏省建设厅批准日期:2０１0年XＸ月XX日前言近年来，结构的安全评估及抗震性能评价越来越受到人们的重视，结构的动力检测由于其自身的优点逐渐成为工程界和学术界十分关注的一个研究领域。
结构动力检测方法可不受结构规模和隐蔽的限制,高效模块化、数字化的结构动力响应测量技术为结构动力检测方法提供了有效的技术支持。
为规范工程结构动力特性和动力响应检测方法和程序,提高检测结果的可靠性,特编制本规程。
根据江苏省建设厅《关于印发＜江苏省2009年度工程建设标准和标准设计图集编制、修订计划〉的通知》(苏建科[２009]99号)的要求,规范编制组在前期相关科研的基础上，经广泛调查研究，认真总结实践经验,参考国内外有关先进标准,开展专题研究、试验研究和典型工程应用,并在广泛征求意见的基础上，制定本规程。
本规程的主要技术内容是:1 总则；2术语和符号;3基本规定;４仪器设备；5工程结构动力特性检测;6工程结构动力响应检测;７检测报告的编写。
本规程在使用过程中如发现需要修改或补充之处,请随时将意见反馈至南京工业大学（南京市中山北路200号,邮政编码：2１００09),以供今后修订时参考。
本标准主编单位、参编单位和主要起草人：主编单位:主要起草人:2 / 22目录1 总则 ....................................................................... 错误!未定义书签。
模态参数识别频域法
振动模态分析理论与应用模态参数识别频域法当系统阻尼为比例阻尼或小阻尼时，阻尼矩阵经模态坐标变换后可以对角化，模态参数为实数，频响函数可按实模态展开。
若在p 点激励，在l 点测量，则频响函数可表示为对于粘性阻尼有∑12ωωξ2ωω1)ω(Ni i i i lplp j D H =+=对于结构阻尼有∑12ωω1)ω(Ni i ilp lp jg D H =+=以上两式即为实模态参数识别的基本公式 6.1 实模态识别图解法6.1.1 共振法这是一种经典的模态分析方法，其基本思想是：当激励频率在系统某阶固有频率r ω附近时，该阶模态导纳便起主导作用，其余各阶模态导纳的影响可忽略不计。
即 )ω(≈)ω(lpr lp H H 此时，整个系统等效于一个单自由度系统。
利用幅频特性和相频特性，便可确定系统的模态参数（参看图6-1）。
在待测结构上选择l 个测试点，求其中某点P 对所有各点的位移导纳。
点数l 一般应等于或大于拟选的模态数N （自由度数）。
则p 点对任意点l 的位移导纳可作如下处理：当激振频率在r 阶固有频率附近时有()()2222∞12ωωξ4ωω1≈ωωξ2ωω1)ω(∑++==rrir lp i ii i ilp lp j D j D H因此，测得的幅频曲线)ω(lp H 的第r 个峰值位置（共振频率点），便可近似确定r 阶固有频率r ω。
由r ω两侧半功率带宽，可以确定r 阶模态阻尼比)ω2/Δω(ξr r =。
由r ω处位移有()rrlp rlpD H ξ2)ω(=所以 ()()rlprrlpH D ωξ2= 由因为 ()rprlr rlp kD φφ=故在令pr φ的值等于1（振型中各元素具有确定的比例，其绝对值可认为地指定，不妨取第r 阶振型第p 个元素pr φ的值等于1）时，由原点导纳曲线的峰值可得r 阶模态刚度为)ω(ξ21r pp r r H k =此外，当r ωω=时，l 个导纳的幅值分别为r r pr r r p k H ξ2φφ|)ω(|11= rr prr r p k H ξ2φφ|)ω(|22=rr pr lr r lp k H ξ2φφ|)ω(|=写成矩阵形式=lrr rr r pr r lp r p r p k H H H φφφξ2φ|)ω(||)ω(||)ω(|2121因此，第r 阶振型为{}±±±==|)ω(||)ω(||)ω(|φφφφ2121r lp rpr p lrrrrH H H为表示振型的几何形状，上试中各导纳幅值应考虑其相位，可用正负号表示同相或反相，对于实模态，其振型向量的各分量都是实数，且只有大小和正负之差。
模态参数辨识的频域方法
模态参数辨识的频域方法吕毅宁目录模态参数辨识的频域方法 (1)单点输入单点输出(SISO) (1)图解法............................................................................................................ 1 频域多参考点模态参数辨识（MIMO ） ............................................................ 2 频域模态测试和参数辨识的可控性和可观性. (5)单点输入单点输出(SISO) 图解法1) 峰值检测 半功率点)(21)()(21r j H j H j H ωωω== （1） rr ωωωξ212-=（2）2) 模态检测()ir rjr r rrij rjrir r r r r jr ir r r ij Q A Q j j Q j H ψσψσσψψωσωψψω-=-=-=+-=)()(（3）式中，r Q 是模态比例换算因子。
在上式中，()r ij A 是模态质量r m 和模态刚度r k 的函数，又由下面的关系2r rrm k ω= （4）联立即可求得模态质量和模态刚度。
3) 圆拟合法 固有频率max ==ωωωd dsrr （5）振型rer I ij g k H 1-=（6）jrir rer k k ϕϕ=（7）er k 是等效模态刚度，rrr k g η=是等效结构阻尼。
()r ij r Iijir rr jr R g k )(2==-H ϕϕ （8）模态阻尼rg )1(2tan 211ωα-=（9）rg )1(2tan 222-=ωα （10）2tan2tan22112ωωω+-=rr g （11）模态刚度 由rer r I ij g k H 1)1(-==ω （12）可得rr Iij er g H k )1(1=-=ω （13）模态质量2r rr k m ω=（14）其他方法，如正交多项式曲线拟合法，非线性优化辨识方法。
第三章模态参数辨识的频域方法.docx
模态参数辨识的频域方法张永强高级工程师靖江泰斯特电子有限公司西北工业大学振动工程研究所•分析分量法•导纳园识别方法•正交多项式曲线拟合N | H阿二工r=\. _ g rK er(1-研(i-研r+g；等效刚度与测点与激励点有关•分量分析法•将频响函数分成实部风量和虚部分量进行分析。
-基本公式和主模态概念・N自由度结构系统结构，p点激励1点响应的实模态频响函数© = col co r•主模态：当趋于某阶模态的固有频率时，该模态起主要作用此时起主要作用的模态成为主导模态，或叫主模态。
•主模态附近频响函数-若模态密度不很大，各阶模态比较远-则其余模态频响函数在该主模态附近较小，且几乎不随频率变化-因此在第r阶模态附近可用剩余模态表示频响函数H阿二H㈣=科 +；+ (观+圧)实频图与虚频图・剩余模态与频率无关・在实频图和虚频图上相・当于将横坐标平移一距离•此平行线又名剩余柔度线二模态参数的确定2・固有频率的确定-实频线与剩余柔度线交点确定-虚频线的峰值确定-峰值较尖，确定容易-剩余柔度尺寸无影响S）实頻图（b）邃频图-因此用虚频峰值确定更好•阻尼比匕或5的确定•用半功率带宽来确定A© -G5h-G)a・结构阻尼系统阻尼比系数一v CD K - 0)gr = 或Sr =；©•粘性阻尼系统阻尼比系数或r "T-模态振型的确定•对© =1主模态(不含剩余柔度)•测岀L 个测点的值(1=1, 2, 3, L)•单点激振时一臥为常数,所以上式即为模态振型。
侃迈二1)｝广 砒@二久%> —— <%>■ ■• 砒 @=-K&■ • •Lxl厶xl•对激励点归一化的振型勺〃.=1侃@=1)}.=—点泌爲-模态刚度的确定•取原点频响函数且对原点归一化H；p(© = D = -•模态刚度-模态质量的确定M仝-分量分析法的特点・简单方便，许多信号分析仪有实虚频图分析能力；・当模态密度不高时，有一定的精度；:・峰值有误差时，直接影响辨识精度；: ・模态密集时，用半功率带宽确定模态阻尼，误差较大；•模态密集时剩余模态不能用复常数表示，辨识精度受影响;・图解法受图解精度的影响。
第三章(频域法)
x(t ) = e
−ζω n t
ɺ x0 + x0ζω n x0 cos ω d t + sin ω d t = Ae −ζω nt sin(ω d t + ϕ ) ωd
阻尼体系固有圆频率： 阻尼体系固有圆频率 一般有ζ < 0.1，故 阻尼体系固有周期： 阻尼体系固有周期： 振幅与相位角：
m(ω − ω + 2 jω 0 ω )Y ( s ) = F ( s )
2 0 2
Y (ω ) = ∫ y (t )e
−∞
+∞
− jwt
பைடு நூலகம்
dt
F (ω ) = ∫
+∞
−∞
f (t )e
− jwt
dt
Y (ω ) = H d (ω ) F (ω )
1 H d (ω ) = 2 2 m(ω0 − ω + 2 jξω0 ω )
1 ）工程结构动力检测的目的意义 2 ）工程结构动力检测方法 3 ）工程结构动力检测的主要问题
参数识别方法的分类 一是物理参数模型，即以质量，刚度，阻尼为特征 是物理参数模型，即以质量，刚度， 参数的数学模型， 参数的数学模型，这三种参数可完全确定一个振 动系统； 动系统； 是模态参数模型，以模态频率， 二是模态参数模型，以模态频率，模态振型和衰减 系数为特征参数的数学模型， 系数为特征参数的数学模型，也可以完整描述一 个振动系统； 个振动系统； 是非参数模型，频响函数或传递函数， 三是非参数模型，频响函数或传递函数，脉冲响应 函数是两种反映振动系数特性的非参数模型。 函数是两种反映振动系数特性的非参数模型。
根据随机振动理论频响函数可以由输入输出的自谱和互谱来表示即来估计频响函数此时要求输入源的频谱平坦可近似为有限带宽白噪声其功率谱为一常数因此实际应用中可假设脉动风为有限带宽白噪声23单自由度结构体系模态参数识别分别为频响函数的幅值和相位可用幅值相位方程表达
频域识别方法
ci
∑∑
φp iφk i ∑∑
=
φq iωi φq iωi
ci ci
φp iφp i ∑∑
q =1 r =1
q =1 r =1 m m
Sf f q r (ωi ) Sf f q r (ωi )
φr iωi φr iωi
ci ci
=
φk i φp i
6.5.2 振型的识别及其近似性
2. 在基础运动激励下多自由度结构的振型识别 如果结构的脉动响应来源于基础的运动，则其运动方程为： y x [ M ]{} + [C]{y ( t )} + [ K ]{y ( t )} = [ M]{I}{ ( t )} 其中 x是基础的位移，y是结构相对于基础的位移。同理可推得：
6.5.1 频率的确定
当无法测量输入或输入记录时，可利用下式估计频响函数； 此时要求输入源的频谱平坦，可近似为有限带宽白噪声，则其功 率谱为一常数C。
H (ω ) =
2
G yy (ω ) G ff (ω )
=
G yy (ω ) C
结构模态频率的识别原则： 1. 结构反应各测点的自功率谱峰值位于同一频率处； 2. 模态频率处各测点间的相干函数较大； 3. 各测点在模态频率处具有近似同相位或反相位的 特点。
ωi2 ∑∑∑∑ ωφ φ
2 i p i ki
=
∑∑∑∑ c
q =1 r =1 s =1 l =1 n n n n q =1 r =1 s =1 l =1
φq i φli φqi φli
i i
ci
mq r ml s + 1 mq r ml s + 1
ωφ φ
2 i p i pi
大跨度高速铁路桥梁模态参数频域识别方法研究与应用
个矩阵，即
Gyy ( jω ) = U ⋅ S ⋅ U H
（4）
式中：U，S，UH 均为经过奇异值分解后的矩阵；U 矩阵 对应的第 1 列向量即为识别的某阶振型。
2 工程概况
石 济 客 运 专 线 济 南 黄 河 公 铁 两 用 桥 ，跨 度 为 （128+3×180+128）m，结构形式为刚性悬索加劲钢桁梁 的特殊结构。主桁及桥面板钢材均采用 Q370。钢桁 梁采用 3 片主桁，其中心间距为 14. 65 m，桁高 15 m， 桁式为有竖杆的三角形桁式。桥面系采用纵横梁体 系的正交异性桥面板整体桥面。下层桥面为铁路桥 面，一侧为设计速度 250 km/h 的客运专线，采用 ZK 活 载设计；另一侧为客货共线的联络线，采用中—活载 设计。上层桥面为公路桥面，为双向六车道，采用公 路一级荷载设计。通过采用 MIDAS/Civil 2017 建立有 限元模型进行模态分析，桥面板采用板单元模拟，吊 杆采用桁架单元模拟，其余均采用梁单元模拟。桥面 板和主桁、横梁之间采用刚性连接。全桥共建立节点 28 904 个，梁单元 22 673 个，桁架单元 96 个，板单元 12 896 个，模型见图 1。Fra bibliotek识别。
1. 1. 2 频域分解法
频域分解法是一种采用白噪声激励在频域内进
行 模 态 参 数 识 别 的 方 法［6］。 其 原 理 与 峰 值 拾 取 法 类
似 ，不 同 之 处 在 于 频 域 分 解 法 引 入 了 奇 异 值 分 解 技
术［7］，即通过对桥梁结构系统的功率谱密度矩阵进行
奇异值分解（SVD，Singular Value Decomposition），用奇
异值曲线代替相应的频响函数。
频域分解法假定采用白噪声激励，系统响应的功
模态参数辨识方法
模态参数辨识方法
一、基于离散时间数据的方法：
1.自相关法：基于自相关函数的方法，通过自相关函数的峰值位置估计模态参数。
2.频率法：通过频率域上的峰值提取方法，估计模态参数。
3.时域法：通过观察结构的动态响应曲线，提取相关的信息计算模态参数。
二、基于连续时间数据的方法：
1.基于有限元模型的方法：通过有限元模型与观测数据拟合，利用最小二乘法估计模态参数。
2.系统辨识方法：利用系统辨识理论，将结构动力学模型视为线性时不变系统，通过观测数据建立结构的状态空间模型，再通过参数辨识算法估计模态参数。
3.压缩感知方法：利用稀疏表示理论，将结构动力学模型表示为稀疏信号，通过压缩感知算法估计模态参数。
在实际应用中，以上方法可以相互结合以提高模态参数辨识的准确性和可靠性。
此外，值得一提的是，模态参数辨识方法的选择也需要根据具体的实验条件和数据特点进行合理的选择。
总之，模态参数辨识方法是结构动力学领域中常用的方法，可以通过使用合适的辨识方法和合理的实验设计，从实验数据中准确地获取结构的模态参数，为结构动力学分析和结构设计提供有力支持。
模态参数识别的频域方法
I H ef (ω ) R H ef (ω )
O
ωB
B
O0·
ωA
A
M ω0i
图4.3-2 由拟合圆识别模态参数
二、复模态系统 结构阻尼系统：
[H (ω )] = ∑
i =1
n
{ψ i }{ψ i }T m mi m Di k mi − ω 2 m mi + jg mi
(1.5-80)
H ef (ω ) =
~ ~
[ ]
~ X
+
~ =⎛ X ⎜ ⎝
[ ][ ] [ ]
T
~ ⎞ −1 ~ X ⎟ X ⎠
T
(4.2-29)
因此，
{θ } 的LS估计：
{ } [ ] [ ] [ ] {~} y
~ θˆ = ⎛ X ⎜ ⎝
T
~ ⎞ −1 ~ X ⎟ X ⎠
+
T
（s>n）
(4.2-14)
~ {θ~}= [X ] {~} y ~ [ X ] 为非异方阵，最小二乘法失效， 当
Z R (ω ) = k i 1 − Ω i2 = k i − mi ω 2 ff Z I (ω ) = k iη i = g i ff
(
)
(4.3-7) (4.3-8)
~R ~I 测得 Z ff (ω k )、Z ff (ω k ) (k＝1,2,…,s)
LSE
1 gi = s
∑
k =1
s
~I Z ff (ω k )
∑
s
∑
∑
∑
(4.3-11)
第i阶模态固有频率：
ω 0i =
ηi =
ki mi
gi ki
第三章 模态参数辨识的频域方法
IVE
Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China
将上式分子，分母各除以bn，且令
则
其中dn=1。 我们用FFT分析仪进行频响函数测量，则s=jw。上式可进一步表示为
IVE
Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China
• 阻尼比 g 或
r
r
的确定
• 用半功率带宽来确定
r b a
• 结构阻尼系统阻尼比系数
g r r 或 gr
b a r
• 粘性阻尼系统阻尼比系数
r
r 2 或
r
b a
2 r
IVE
Hale Waihona Puke Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China
I
IVE
Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China
– 模态质量的确定 – 分量分析法的特点
• • • • • •
Mr
Kr
r2
简单方便，许多信号分析仪有实虚频图分析能力； 当模态密度不高时，有一定的精度； 峰值有误差时，直接影响辨识精度； 模态密集时，用半功率带宽确定模态阻尼，误差较大； 模态密集时剩余模态不能用复常数表示，辨识精度受影响； 图解法受图解精度的影响。
模态参数识别中常用的三种频域方法探究
模态参数识别中常用的三种频域方法探究1 引言与时域方法直接作用于采样数据，保留全部信息的做法不同，频域方法常采用平均周期图法对数据进行预处理，进而得到与窗口等长的频域信号。
如上不同，使得频域方法的抗噪性及运算效率更高，更适用于现场测试数据的实时处理。
但是，频域方法的假定较多，加之仅基于输出的识别方式具有先天理论的不足，其识别结果能否满足工程要求也受到了较多的讨论。
本文试图通过有限元分析及三种常用频率分析方法的相互对比，验证算法应用于复杂结构时可靠性。
2 峰值法（PP）及频域分解法（FDD）PP及FDD均利用白噪聲假定下功率谱密度函数在固有频率处出现峰值的特性直观识别特征频率。
两者的不同在于离散结构的方式不同：PP通过诸如小阻尼、频率离散分布等一系列假定直接使系统解耦为单自由度体系；FDD在保留小阻尼假定的基础上，放宽了峰值由单一模态贡献（频率离散分布）的假定，考虑相邻模态的影响（实际中通常不多于两阶），转用物理概念更明确的奇异值分解（相当于进行了维纳滤波）离散系统，使其结果较PP具有更广的适用性。
3 多参考最小二乘复频域法（PolyMAX）PolyMAX方法利用线形时不变系统传递函数在数学上总能以右矩阵分式模型（Right Matrix Fraction Description-RMFD）表示的性质。
在白噪声假定下，将功率谱密度函数以RMFD模型描述，其某测点o与各参考点之间的互谱密度记为：其中，p为系统阶次，Ωr=e-jωΔtr为多项式基函数，Δt=1/fs为采样时间，分子系数矩阵βor∈R1×m，分母系数矩阵αr∈Rm×m，另外，定义α=[α0，α1…αp]T ∈Rm（p+1）×m再利用实测数据与理论结果的差值构建加权线形最小二乘成本函数，并对其自变量α、βo求偏导，即可得到系数矩阵α。
详尽推导过程可参见文献。
4 应用实例虹桥位于常德市白马湖公园内，是一座单箱单室钢箱梁人行天桥，桥宽5.5m，跨径组合（27+33+33+27）m，如图1所示。
模态参数辨识方法——综述
模态参数辨识方法——综述模态参数辨识方法综述摘要：本文对模态分析和模态参数识别进行了综述，对当前识别方法的原理、识别精度及适用条件进行阐述和比较，提出环境激励下模态参数识别方法需解决的关键问题及模态分析在缺陷检测和结构优化中作用。
关键词：模态分析模态参数识别模态分析与缺陷检测结构工作模态0引言模态分析是将线性时不变系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，坐标变换的变换矩阵为振型矩阵，其每列即为各阶振型。
模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。
这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。
振动模态是弹性结构固有的、整体的特性。
如果通过模态分析方法搞清楚了结构物在某一易受影响的频率范围内，各阶主要模态的特性，就可能预知结构在此频段内，在外部或内部各种振源作用下实际振动响应，而且一旦通过模态分析知道模态参数并给予验证，就可以把这些参数用于（重）设计过程，优化系统动态特性，或者研究把该结构连接到其他结构上时所产生的影响。
模态分析的最终目标是识别出系统的模态参数，为结构系统的振动分析、振动故障诊断和预报、结构动力特性的优化设计提供依据。
解析模态分析可用有限元计算实现，而实验模态分析则是对结构进行可测可控的动力学激励，由激振力和响应的信号求得系统的频响函数矩阵，再在频域或转到时域采用多种识别方法求出模态参数，得到结构固有的动态特性，这些特性包括固有频率、振型和阻尼比等。
有限元法是当前分析机械结构模态的主要方法，很多学者研究了单裂缝和多裂缝缺陷对不同结构动态特性的影响，但这些研究仅局限于出现缺陷结构的当前状态，考虑到缺陷在机械结构使用过程中的扩展，提出了模态分析与缺陷扩展理论相结合的方法分析缺陷的发展趋势，便于机械结构剩余寿命的评估，使已达到设计寿命的结构在失效前仍然发挥其功能，节约了经济成本。
第6章：模态参数识别的基本理论与技术
n x ri si s r 频响函数 : H ( ) * sr * 2 * Fr i 1 k i mi j ci
(6.1.7)
矢量形式 :
H () Hi () Yi ( ) φi φiT
i 1
n
n
i 1
(6.1.8)
第i 阶模态传递函数(贡献)矩阵:
实模态理论： 阻尼矩阵关于振型矩阵能够解耦 。 特点：同一阶模态下各质点之间不存在相位差
复模态理论： 不能解耦；各质点之间存在相位差。
时域法－直接利用测试的响应时间历程数据进行参数识别 。
第6章 模态参数识别的基本原理与方法
§6-1 离散系统的传递函数矩阵
6.1.1 多输入和多输出系统的传递函数 多输入和多输出物理系统 :
第 6章
模态参数识别的基本原理与方法
第6章 模态参数识别的基本原理与方法
C x K x F (t ) M x
正问题 : 动力响应分析 取决于数学模型的合理程度 M、C、K
反问题 : 参数识别 取决于测试数据和识别方法 频域法 －利用频响函数的测试数据在频率域识别模态参数。
2 180 3 0
同相叠加 同相叠加
3 3 3
(H21)3
i 1
H 31 H 31 i Y i 1i 3i Y i 1i 3i e j i H 31 e j 31
i 1 i 1
1、 2和3均在 0 ～ 180范围内变化
3 3 i 1 i 1 2 1i 3 i 1
2 i i tan i 1 i2
(6.1.18)
H11 H11 i Y i Y i 12i e j i H11 e j 11
模态参数辨识的原理与方法
的频率来确定。用虚频曲
线的峰值，容固有频率较
好。因为峰值较尖，容易
确定
2、确定阻尼比
3、确定模态振型
4、模态刚度
5、模态质量
三、分量分析方Leabharlann 的特点导纳圆辨识方法拟合圆的圆心及其半径：
模态参数的时域辨识方法
概述
最小二乘负指数法 时间序列分析法
模态参数的时域辨识方法概述
模态参数辨识的原理与方法
骆勇鹏 陈军 郑沛娟
模态参数辨识的方法
模态参数辨识的频域方法 模态参数的时域辨识方法
多输入多输出系统的模态参数辨识方法
模态参数的频域参数辨识概述
主要介绍单点激励频域模态参数辨识方法，即对结构
上某一点激励，同时测得激励点及响应点的时域信号， 经过A/D转换与FFT变换，变成频域信号，然后将频域 数字信号进行预算，求得频率响应函数，在按参数辨 识方法辨识出模态参数。
时域模态参数识别与前面所叙述的频域方法不同，它无需将 所有测得响应与激励的时间历程信号转换频域中去而是直接 在时域中进行参数识别，它与频域法相比，两者所采用的分 析路线不同，如下图所示
频域法 FFT 传递函数估计
时域信号
参数识别
频域信号
传递函数
模态参数 时域法
时域信号
建模
参数辨识 数学模型
模态参数
由于时域参数辨识法无需将测试信号在时域与频域之间变 化，这就避免了有数据变换而引起 截断误差，如泄露等。 另外，时域法给直接从响应信号中识别模态参数创造了条
模态参数辨识的频域方法
分量分析法 导纳圆辨识法
正交多项式曲线拟合
非线性优化辨识方法
分量分析方法 一、基本公式 对于一个具有N自由度的结构阻尼系统，在P点激 励，L点测量响应的实模态频响函数表达式可以表 示如下：
第6章模态参数识别的基本理论与技术
)
(6.1.23)
模态不密集 时，奈奎斯 特的轨迹图 表现为一组 导纳圆，分 布在实轴的 上下方。
第6章 模态参数识别的基本原理与方法
§6-2 单自由度模型(SDOF)识别法
适用范围 : 各阶模态频率较为分散的情况； 采用实模态的识别方法。
H rs (Hsr )1
(H sr )2
(Hsr )3
模态分散，相 互影响较小。
ri
si
列的单自由度系统的 导纳曲线的叠加。
① 图像的形状由Yi () 确定；
② 相位特性由ri si的符号决定。
三自由度系统 ： 在1点施加激振力F1，
3
31
32
33
测量1、2和3点的响应 2
21
22 23
H11－原点导纳；
F1
1
11
12
13
H21 、H31－跨点导纳。
图6.1.4 三自由度系统及模态振型
φTi F
m*i
2 i
(
1
i2
j2ii )
φTi F
k
* i
(
1
i2
j 2 ii
)
x
n
i1
m*i
φiφiT F
2 i
(
1
i2
j2ii )
n
i1
k
* i
φiφiT F
(
1
2 i
j2ii )
单点激振: Fr (t) Fr e j pt 分量形式 :
(4.4.21)
xr
n
i 1
φi φr i Fr
k
* i
12
＜
32
0
13
第4章：模态参数识别的频域方法 1
N
lr pr
1
H lp
2
2
r 1 k r mr j cr
r 1 K er 1 r j 2 r r
N
1 r2
2r
1
j
2
2
2
2 2
2
2 2
r 1 K er 1 4
1
4
r
r
r
r
N
K er
kr
lr pr
cr
r
2mrr
r
为第r阶等效刚度；
为第r阶模态阻尼比；
kr mr
频率比
当激振频率趋近于某模态的固有频率时，该模态起主导作用，
称为主导模态或者主模态。
若各阶模态比较稀疏，其它模态在的频响函数值在该主模态
附近很小，几乎不随频率变化，可以用一个复常数表示。
X3
:
XL
=
H1p
H2p
H3p
:
HLp
1r
2r
Lr
L1
Fp
pr
对于r阶模态，当采用单点激励时，
2kr r 为常数。
H 1 既可代表振型，归一化之后，
I
lp
r
1
H r 1 2k r
r r
I
lp
pr 1
0 = k/m
X ( )
1
H ( )
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• 静位移法能量法
振动力学总结
静态位移法（单位加速度法）
静止时在重力的作用下弹簧被压缩，根据虎克定律有 k mg ，因而
w2 k m g
n
振动力学总结
使用静态位移法计算固有频率
P18. 例2.2
单自由度系统--自由振动 振动力学总结
2nx w x 0 x
2 n
特征方程
2 r 2 2nr wn 0
r n n 2 w 2 n 1 2 2 r n n w n 2
特征根
特征根与运动微分方程的通解的形式与阻尼有关 强阻尼（n>ωn）情形
r n n w
P18. 例2.3
振动力学总结
系统势能为：
系统动能为：
由 得
振动力学总结
等效刚度的计算步骤
1. 计算系统的变形分布模型； 2. 以某一特定点的位移为参量计算系统的势 能； 3. 从系统势能表达式中提出该点位移平方的 1/2，剩余的部分即为系统相对于该点的等 效刚度。
振动力学总结
等效质量的计算步骤
A1 x0
0 A2 x
x0 A cos( )
0 Aw sin( ) x 0 x 2 2 0 / wn ) A x0 ( x arctan x0wn
单自由度系统--自由振动
振动力学总结
从上面分析可以看出，单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振 动，它的周期和频率为
……
……
…… ……
……
…… …… ……
振动力学总结 振动力学总结
一般来说，任何具有弹性和惯性的力学系统 均可能产生机械振动。 机械结构产生振动的内在原因是本身具有振 动时储存动能和势能，而且释放动能和势能， 并能使动能和势能相互转换的能力。 惯性元件、弹性元件和阻尼元件是离散振动 系统三个最基本的元件：
m T 2 wn k
2
1 wn 1 fn T 2 2
k m
f n 的单位是 Hz， 它也只与系统的刚度、 质量有关， 与外界条件无关。
所以 f n 也称为系统的固有频率。以后对 w n 和 f n 不加区分，通称为 固有频率。
振动力学总结
固有频率的计算方法
振动系统的固有频率是最重要的振动参数。 正确、简洁地测定固有频率是确定系统振动 特性的基本任务之一。 列出系统运动微分方程进而求出系统固有频 率是一种常用的方法，这需要知道系统的刚 度和质量。
振动力学总结 振动力学总结
子曰：
“学而时习之，不亦说乎？”
振动力学总结
机械振动总复习
振 动 力 学
单自由度系统 阻尼自由振动
强迫振动
多自由度系统 阻尼自由振动
强迫振动
无阻尼自由振动 建立运动微分方程
求固有频率 求响应
…… ……
…… ……
…… ……
无阻尼自由振动
建立运动微分方程 求固有频率 求振型 求响应
2
2 n
xe
nt
(C1e
2 n 2 w n t
C2 e
2 n 2 w n t
)
临界阻尼(n = ωn )情形 r1 r2 n
Theory of Vibration with Applications
x e nt (C1 C2 t )
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第2章
--阻尼自由振动 单自由度系统 振动力学总结 运动微分方程 （n<ωn）
弱阻尼情形
r n j w 2 n 2 n j w n d 1 特征根 2 2 r n j w n n jw d n 2
衰减系数，单 位1/秒(1/s)
cx kx m x
2 2nx wn x x0
c 2n m
k w m
2 n
方程的解为
xe
rt
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Theory of Vibration with Applications
第2章 运动微分方程
--阻尼自由振动 单自由度系统 振动力学总结 运动微分方程
单自由度系统--自由振动 振动力学总结
运动微分方程
根据牛顿第二定律，依照下面步骤可列出 系统的运动微分方程：
1. 取定一个坐标系描述系统的运动； 2. 设质量块沿坐标正向有一位移，对质量块进行 受力分析； 3. 按牛顿第二定律建立质量块的运动方程； 4. 确定系统的初始条件。
振动力学总结
kx 0 x m x(0) x0 ,
1. 假定系统的速度分布模型（模式），一般 的速度分布可以取为与变形分布模型一致； 2. 以某一特定点的速度为参量计算系统的动 能； 3. 从系统动能表达式中提出该点速度平方的 1/2，剩余的部分即为系统相对于该点的等 效质量。
振动力学总结
P21. 例2.5
振动力学总结 振动力学总结
图示为一有阻尼的弹簧-质量系统的简化模 型。以静平衡位置O为坐标原点，选x轴铅直 向下为正，有阻尼的自由振动微分方程
2 x wn x 0 x(0) x0 ,
(0) x 0 x
x (0) x 0
振动力学总结
2 w 0 x nx
（1）
求解方程(1)，可以得到
x A1 coswnt A2 sin wnt A cos(wnt )
(0) x 0 ，可得 由初始条件 x(0) x0 , x
能量法
位移函数os(wn t )
1 2 2 T mw n A sin 2 w n t 2 1 2 2 U kA cos wnt 2
Tmax U max
--自由振动 单自由度系统 振动力学总结
使用能量法计算固有频率
• 惯性元件储存和释放动能 • 弹性元件储存和释放势能 • 阻尼元件耗散振动能量
振动力学总结 振动力学总结
振动系统的自由度根据三 项基本元件确定：
横梁质量为零，系 统有几个自由度？ 横梁质量不为零， 系统有几个自由度？
振动力学总结
单自由度系统--自由振动
主要内容
1. 运动微分方程 2. 固有频率的计算方法 3. 等效质量与等效刚度