(完整版)第一章热力学的基本规律课后作业及答案

第一章 热力学的基本规律

1．1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数κT 。 解：已知理想气体的物态方程为nRT pV = 由此得到 体胀系数T

pV nR T V V p 1

1==

⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=

α， 压强系数T

pV nR T P P V 1

1==⎪

⎭⎫ ⎝⎛∂∂=

β 等温压缩系数2111

()T T V nRT V p V p p

κ⎛⎫∂⎛⎫=-

=-= ⎪ ⎪

∂⎝⎭⎝⎭ 1.2试证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T k ，根据下述积分求得：

ln (d d )T V T k p α=-⎰

如果1

T

α=

，1T k p =，试求物态方程。

解 以,T p 为自变量，物质的物态方程为

(,)V V T p =

其全微分为

d d d p T

V V V T p T p ⎛⎫∂∂⎛⎫

=+ ⎪ ⎪

∂∂⎝⎭⎝⎭ (1) 全式除以V ，有

d 11d d p T

V V V T p V V T V p ⎛⎫

∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭

根据体胀系数α和等温压缩系数T k 的定义，可将上式改写为

d d d T V

T k p V

α=- (2) 有

ln (d d )T V T k p α=-⎰ (3)

若1

T

α=

，1T k p =，式(3)可表示为

11

ln (d d )V T p T p

=-⎰ (4)

积分

pV CT = (5)

1.3测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为514.8510K α--=⨯和71n 7.8*10p T κ--=，α和T κ可近似看作常量，今使铜块加热至10C ︒。问（1压强要增加多少才能使铜块体积不变？（2若压强增加，铜块的

体积改多少

解：（1）有d d d T V

p p p V T V T ∂∂⎛⎫⎛⎫

=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭知，当d 0V =时，有

d 0d d d V T

p p T p T T T αβκ∂⎛⎫=+==

⎪∂⎝⎭ 故 ()2

1

2121

d T T T

T p p T T T αα

κκ-=

=

-⎰

即 ()2121

n 622p T p p p T T α

κ∆=-=-= 分别设为V xp n ∆;，由定义得：

4474.85810; 4.85101007.810T x V κ∆---=⨯=⨯-⨯⨯

所以，44.0710V ∆-=⨯

1.4 1mol 理想气体，在27C ︒的恒温下发生膨胀，其压强由n 20p 准静态地降到n 1p ，求气体所做的功和所吸取的热量。

解 将气体的膨胀过程近似看作准静态过程。根据式(1.4.2)，在准静态等温过程中气体体积由A V 膨胀到B V ，外界对气体所做的功为

d d ln ln B B

A

A

V V B A V V A B

V p V

W p V RT RT RT V V p =-=-=-=-⎰⎰

气体所做的功是上式的负值，将题给数据代入，得

3ln

8.31300ln 207.4710J A

B

p W RT J p -==⨯⨯=⨯ 在等温过程中理想气体的内能不变，即

0U ∆=

根据热力学第一定律(式(1.5.3))，气体在过程中吸收的热量Q 为

37.4710J Q W =-=⨯

1.5在25C ︒下，压强在0至n 1000p 之间，测得水的体积为

36231(18.0660.715100.04610)cm mol V p p --=-⨯+⨯⋅

如果保持温度不变，将1mol 的水从n 1p 加压至n 1000p ，求外界所做的功。 解 将题中给出的体积与压强关系记为

2V a bp cp =++ (1)

由此易得

d (2)d V b cp p =+ (2)

保持温度不变，将1mol 的水由n 1p 加压至n 1000p ，外界所做的功为

1000

231

12d (2)d 33.1J mol 23B B

A

A

V V V V W p V p b cp p bp cp ⎛⎫

=-=-+=-+=⋅ ⎪

⎝⎭⎰⎰

在上述计算中我们已将过程近似看作准静态过程。

1.6在0C ︒和n 1p 下，空气的密度为31.29kg m -⋅。空气的定压比热容3110.99610J k g k p c --=⨯⋅⋅， 1.41γ=。今有327m 的空气，试计算：

(a)若维持体积不变，将空气由0C ︒加热至20C ︒所需的热量。 (b)若维持压强不变，将空气由0C ︒加热至20C ︒所需的热量。

(c)若容器有裂缝，外界压强为n 1p ，使空气由0C ︒缓慢地加热至20C ︒所需的热量。 解 (a)由题给空气密度可以算得327m 空气的质量1m 为

1 1.2927kg 34.83kg m =⨯=

定容比热容可由所给定压比热容算出

3

-113-110.99610J kg k 0.70610J kg k 1.41

p

V c c γ--⨯==⋅=⨯⋅

维持体积不变，将空气由0C ︒加热至20C ︒所需热量V Q 为

35121()34.830.7061020J 4.92010J V V Q m c T T =-=⨯⨯⨯=⨯

(b)维持压强不变，将空气由0C ︒加热至20C ︒所需热量p Q 为

35121()34.830.9961020J 6.93810J p p Q m c T T =-=⨯⨯⨯=⨯

(c)若容器有裂缝，在加热过程中气体将从裂缝漏出，使容器内空气质量发生变化．根据理想气体的物

态方程