高三基础知识天天练 数学选修4-4-2人教版

选修4-4 第2节

[知能演练]

一、选择题

1．与参数方程为⎩⎨⎧

x ＝t

y ＝21－t

(t 为参数)等价的普通方程为

( )

A ．x 2

＋y 2

4

＝1

B ．x 2

＋y 2

4

＝1(0≤x ≤1)

C ．x 2

＋y 2

4

＝1(0≤y ≤2)

D ．x 2

＋y 2

4

＝1(0≤x ≤1,0≤y ≤2)

解析：x 2

＝t ，y 24＝1－t ＝1－x 2，x 2

＋y 24

＝1，而t ≥0,0≤1－t ≤1，得0≤y ≤2.

答案：D

2．若曲线C 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝1＋cos2θ

y ＝sin 2

θ(θ为参数)，则曲线C 上的点的轨迹是( ) A ．直线x ＋2y －2＝0 B ．以(2,0)为端点的射线 C ．圆(x －1)2＋y 2＝1

D ．以(2,0)和(0,1)为端点的线段

解析：将曲线的参数方程化为普通方程得x ＋2y －2＝0(0≤x ≤2,0≤y ≤1)． 答案：D

3．直线⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－2＋t

y ＝1－t

(t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为

( )

A.98 B ．401

4

C.82

D.93＋4 3

解析：⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝－2＋t y ＝1－t ⇒⎩⎨

⎧

x ＝－2＋2t ×2

2y ＝1－2t ×2

2

把直线⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝－2＋t y ＝1－t 代入(x －3)2＋(y ＋1)2＝25得(－5＋t )2＋(2－t )2＝25，t 2－7t ＋2＝0

|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝41， 弦长为2|t 1－t 2|＝82. 答案：C 二、填空题

4．圆C ：⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的普通方程为________，设O 为坐标原点，点M (x 0，y 0)在C 上运动，点P (x ，y )是线段OM 的中点，则点P 的轨迹方程为________．

答案：∵⎩

⎪⎨⎪⎧

x －1＝cos θ，

y ＝sin θ，

∴(x －1)2＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1. ∴普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.

M 点的坐标可以设为M (1＋cos θ，sin θ)，

则P (1＋cos θ2，sin θ

2)，即⎩

⎪⎨⎪⎧

2x －1＝cos θ，2y ＝sin θ，

∴(2x －1)2＋(2y )2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1. ∴点P 的轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝1

4.

答案：(x －1)2＋y 2＝1 (x －12)2＋y 2＝1

4

5．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1＋t sin α，y ＝－2＋t cos α

(t 为参数)，其中实数α的范围是(0，π

2)，

则直线l 的倾斜角是________．

解析：首先要根据α的范围把直线的参数方程化为标准参数方程，根据标准式结合α

的范围得出直线的倾斜角．直线l 的参数方程可以化为⎩⎨⎧

x ＝1＋t cos (π

2－α)，

y ＝－2＋t sin (π

2

－α)(t 为参数)，

所以根据方程可知直线的倾斜角是π

2

－α.

答案：：π

2

－α

6．双曲线⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝2＋3cot φ，y ＝1

sin φ

(φ为参数)的渐近线方程为________．

解析：双曲线的普通方程为y 2

－(x －2)2

9

＝1，双曲线的中心在(2,0)，焦点在直线x ＝2上．

又a ＝1，b ＝3，

∴渐近线方程为y ＝±1

3(x －2)．

答案：y ＝±1

3(x －2)

三、解答题

7．将参数方程⎩

⎪⎨⎪

⎧

x ＝3sin 2θ，y ＝4cos2θ(θ为参数)化为普通方程，并指出它表示的曲线．

解：y ＝4cos2θ＝4－8sin 2θ，由x ＝3sin 2θ，得sin 2θ＝x

3.

∴y ＝4－8

3

x ，即8x ＋3y －12＝0.

∵x ＝3sin 2θ∈[0,3]，∴所求普通方程为8x ＋3y －12＝0(x ∈[0,3])，它表示一条线段．

8．已知圆锥曲线⎩⎨⎧

x ＝2cos θ

y ＝3sin θ

(θ是参数)和定点A (0，3)，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右

焦点．

(1)求经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；

(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．

解：(1)圆锥曲线⎩⎨⎧

x ＝2cos θy ＝3sin θ

化为普通方程是x 24＋y 23＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则直

线AF 2的斜率k ＝0－31－0

＝－3，于是经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的斜率k ′＝3

3，

直线l 的倾斜角是30°，所以直线l 的参数方程是⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝－1＋t cos30°

y ＝0＋t sin30°(t 为参数)，

即⎩⎨⎧

x ＝32t －1

y ＝1

2t

(t 为参数)．

(2)解法一：直线AF 2的斜率k ＝0－31－0＝－3，倾斜角是120°，设P (ρ，θ)是直线AF 2

上任一点，

则根据正弦定理得ρsin60°＝1

sin (120°－θ)，

即ρsin(120°－θ)＝sin60°， 即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.