机械动力学2自由度机构动力学分析
二自由度动力学方程推导
二自由度动力学方程推导一、引言在机械工程领域，动力学方程是研究机械系统的运动规律和相互作用力的重要工具。
本文将介绍如何推导二自由度机械系统的动力学方程，通过此方程可以描述系统的运动行为和相互作用力。
二、二自由度机械系统的建模二自由度机械系统由两个相互连接的质点或刚体组成，例如双杆摆、双摆锤等。
为了推导动力学方程，首先需要对系统进行建模。
2.1笛卡尔坐标系考虑一个二自由度机械系统，我们选择合适的笛卡尔坐标系来描述系统的运动。
假设系统的质点一的坐标为$(x_1,y_1)$，质点二的坐标为$(x_2,y_2)$，则可以用位移矢量$\ve c{r}_1$和$\v ec{r}_2$来表示质点一和质点二的位置。
2.2动力学变量为了研究系统的运动行为，我们引入广义坐标$q_1$和$q_2$来描述系统的状态。
广义坐标可以是位移、角度或者它们的组合。
在本文中，我们选择关节角度作为广义坐标，记为$\th et a_1$和$\th et a_2$。
定义广义坐标的变化率为广义速度$q_1'$和$q_2'$，广义速度的变化率为广义加速度$q_1''$和$q_2''$。
2.3势能和动能系统的能量可以通过势能和动能进行描述。
势能表示系统由于位置而具有的能量，动能表示系统由于运动而具有的能量。
势能$V$和动能$T$可以表示为：$V=V(q_1,q_2)$$T=T(q_1',q_2')$2.4广义力广义力用于描述系统中各个自由度受到的相互作用力。
对于二自由度机械系统，广义力可以表示为：$\ta u_1=Q_1(q_1,q_2,q_1',q_2')$$\ta u_2=Q_2(q_1,q_2,q_1',q_2')$其中，$\t au_1$和$\t au_2$分别表示广义坐标$q_1$和$q_2$的广义力，$Q_1$和$Q_2$为相应的广义力函数。
自由度机械系统动力学分析
06
结论与展望
研究成果总结
01
02
03
04
自由度机械系统动力学分析在 理论和实践方面取得了重要进 展，为复杂机械系统的动态性 能分析和优化设计提供了有力 支持。
自由度机械系统动力学分析在 理论和实践方面取得了重要进 展，为复杂机械系统的动态性 能分析和优化设计提供了有力 支持。
自由度机械系统动力学分析在 理论和实践方面取得了重要进 展，为复杂机械系统的动态性 能分析和优化设计提供了有力 支持。
自由度机械系统动力学分析
目
CONTENCT
录
• 引言 • 自由度机械系统基础 • 自由度机械系统动力学分析方法 • 自由度机械系统动态特性分析 • 自由度机械系统优化设计 • 结论与展望
01
引言
背景介绍
机械系统在工业、航空航天、交通运输等领域广泛应用，其动力 学性能对系统的稳定性和性能至关重要。
结合人工智能、大数据等先进技术，开展自由度 机械系统动力学分析与优化设计，实现智能化、 自动化的动态性能预测和优化设计。
拓展自由度机械系统动力学分析的应用领域，特 别是在智能制造、新能源、生物医学工程等新兴 领域，发挥其在技术创新和产业升级中的作用。
THANK YOU
感谢聆听
稳定性分析
线性稳定性分析
通过判断系统的线性化方程的解的稳定性，确定系统的稳定性。常用的方法有 特征值法和Lyapunov直接法。
非线性稳定性分析
研究非线性系统的稳定性，需要考虑系统的非线性特性，常用的方法有分岔理 论和混沌理论。
振动特性分析
固有频率和模态分析
通过求解系统的运动微分方程，得到系统的固有频率和模态，即系统自由振动的频率和振型。
02
第2章 两自由度机械系统动力学
代入虚功 方程
W Fk rk 0（3-3）
k
22
得：
n rk W Fk rk Fk q qi k k i 1 i n rk Fk q qi i 1 k i
125
欲实施有效控制，特征 根不能为正值，所以 b0 a g (1 )
126
3.6 二自由度机械手动力学问题
127
128
129
130
131
132
133
134
135
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140
141
142
本章总结
了解牛顿力学的不足；
掌握广义坐标和广义力的计算方法； 掌握拉格郎日方程的建立方法； 简单的力学应用。
2 1 2 2 2 1
51
52
53
54
例：用拉格朗日方程建立单摆运动方程。
55
(1)确定广义坐标 q (2)计算动能与势能 1 2 1 2 2 mv ml 2 2 V m gl(1 cos ) E (3)计算广义力 V Q m glsin
5
6
7
8
本章采用的方法：拉格郎日方程（重点） 二自由度机械系统动力学不采用等效 力学模型法，一般采用拉格郎日方程来建 模。 在学习拉格郎日方程之前，必须掌握 一些重要的概念，如广义坐标、广义力、 虚位移等。首先了解一些科学史观，培养 科学精神。
9
3.2 自由度与广义坐标
广义坐标：
能够完全确定系统状态的一组坐标叫做广义 坐标。 自由度（DOF)： 能够完全确定系统状态的一组坐标的数量叫 自由度。 一般情况下广义坐标数量等于自由度数。
《机械原理自由度》课件
机械故障诊断
通过运动分析诊断机械故障的原因 和位置。
控制系统设计
利用运动分析结果设计控制系统的 参数和策略。
机构运动分析的实例
平面四杆机构的运动分析
01
通过解析法计算平面四杆机构的自由度，并分析其运动特性。
凸轮机构的运动分析
02
利用实验法测量凸轮机构的位移、速度和加速度，分析其运动
规律。
机器人臂关节的运动分析
03
通过数值法模拟机器人臂关节的运动行为，优化关节的设计参
数。
04
机构动力学分析
机构动力学的基本概念
机构动力学是研究机 械系统中机构运动及 其与力的关系的学科 。
机构动力学的基本概 念包括力、力矩、加 速度、速度和位移等 。
它涉及到系统的平衡 、运动规律、动态响 应等方面的内容。
机构动力学分析的Байду номын сангаас法
空间机构自由度计算
总结词
空间机构自由度计算是机械原理中一个复杂的概念，它涉及到机构在空间中的 运动自由度数。
详细描述
空间机构的自由度计算公式为F=6n-(3PL + Ph)，其中n为活动构件数，PL为低 副数，Ph为高副数。与平面机构不同，空间机构需要考虑三个方向的自由度， 因此计算更为复杂。
特殊机构自由度计算
通过建立平面连杆机构的运动学和动力学模型，分析其运动规律 和动态响应。
凸轮机构的动力学分析
研究凸轮机构的动态行为，包括从动件的运动规律和受力情况等。
齿轮机构的动力学分析
分析齿轮机构的动态特性，如振动、冲击和噪声等，以提高齿轮传 动的平稳性和可靠性。
05
机构优化设计
机构优化设计的目标和方法
目标
多自由度机械系统动力学
Chapter4多自由度机械系统动力学
机械动力学
Chapter4
多自由度机械系统动力学
2021年6月18日
机械动力学
Chapter4多自由度机械系统动力学
本章解决的主要问题及内容
解决的问题： 解决两自由度机械系统的动力学问题。采 用方法为拉格朗日方程的分析方法。
主要的内容：
一、拉格朗日方程；
工程中的非自由质点系，受到的约束大多是稳定的完整 约束（约束方程仅与质点系的位置有关）。
确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数 目，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度数。
对一个非自由质点系，受s个完整约束，（3n-s )个独
立坐标。其自由度 为 N=3n-s 。
机械动力学
Chapter4多自由度机械系统动力学
机械动力学
Chapter4多自由度机械系统动力学
例：铅直平面内摆动的双摆。
▼确定A、B两点位置（平面问题） 需四个独立坐标 ▼系统受两个完整约束，其约束方程：
x12 y12 a2 , (x2 x1)2 ( y2 y1)2 b2
▼系统的自由度：N=2n-s=4-2=2
★两个自由度, 取广义坐标，
Qk 0 (k 1,2,, N )
机械动力学
Chapter4多自由度机械系统动力学
以广义坐标 表示的质点系的平衡条件：
Qk
n
(Xi
i 1
xi qk
Yi
yi qk
Zi
zi ) 0 qk
(k 1,2,, N)
解决质点系的平衡问题的关键是如何计算广义力
※广义力的计算
方法1：计算广义力 Qk 的步骤
N
xi
二自由度机械臂动力学分析
平面二自由度机械臂动力学分析姓名：黄辉龙 专业年级：13级机电 单位：汕头大学摘要：机器臂是一个非线性的复杂动力学系统。
动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，这里主要对平面二自由度机械臂进行动力学研究。
拉格朗日方程在多刚体系统动力学的应用方法分析平面二自由度机械臂的正向动力学。
经过分析，得出平面二自由度机械臂的动力学方程，为后续更深入研究做铺垫。
关键字：平面二自由度 动力学方程 拉格朗日方程相关介绍机器人动力学的研究有牛顿-欧拉（Newton-Euler ）法、拉格朗日(Langrange)法、高斯（Gauss ）法等，但一般在构建机器人动力学方程中，多采用牛顿-欧拉法及拉格朗日法。
欧拉方程又称牛顿-欧拉方程，应用欧拉方程建立机器人机构的动力学方程是指研究构件质心的运动使用牛顿方程，研究相对于构件质心的转动使用欧拉方程，欧拉方程表征了力、力矩、惯性张量和加速度之间的关系。
在机器人的动力学研究中，主要应用拉格朗日方程建立机器人的动力学方程，这类方程可直接表示为系统控制输入的函数，若采用齐次坐标，递推的拉格朗日方程也可以建立比较方便且有效的动力学方程。
在求解机器人动力学方程过程中，其问题有两类：1)给出已知轨迹点上•••θθθ、及、，即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩矢量τ。
这对实现机器人动态控制是相当有用的。
2)已知关节驱动力矩，求机器人系统相应各瞬时的运动。
也就是说，给出关节力矩矢量τ，求机器人所产生的运动•••θθθ、及、。
这对模拟机器人的运动是非常有用的。
平面二自由度机械臂动力学方程分析及推导过程1、机器人是结构复杂的连杆系统，一般采用齐次变换的方法，用拉格朗日方程建立其系统动力学方程，对其位姿和运动状态进行描述。
机器人动力学方程的具体推导过程如下：1) 选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量n r ,,2,1,r ⋅⋅⋅=θ。
2) 选定相应关节上的广义力r F ：当r θ是位移变量时，r F 为力；当r θ是角度变量时，r F 为力矩。
机械动力学第3章两自由度系统
b.微分方程
m1&&1 + (k1 + kc ) x1 − kc x2 = F1 (t ) x （3.1-1） ） m2 &&2 + (k 2 + kc ) x2 − kc x1 = F2 (t ) x
5
写成矩阵形式： 写成矩阵形式：
m1 0
0 &&1 k1 + kc x && + −k m2 x2 c
（3.1-12） ）
讨论（ 讨论（3.1-11）的解，假定 ）的解，
f (t ) = Be
st
代入（ 代入（3.1-11）得 ）
10
3.1无阻尼自由振动 3.1无阻尼自由振动
3.1.1 固有模态振动
QQ1094860954
s +λ =0
2
（3.1-13） ）
− −λt
（3.1-11）的通解 ）
f (t ) = B1e
（3.1-22） ）
17
3.1无阻尼自由振动 3.1无阻尼自由振动
3.1.1 固有模态振动
叫做特征向量, 叫做特征向量 振型向量或模态向量 r 1 r 2 叫做振型比 固有频率和振型向量构成系统的固有模态的基 或简称模态参数),它们表明了系统自由振动 本参数(或简称模态参数 本参数 或简称模态参数 它们表明了系统自由振动 的特性。 的特性。 两自由度系数有两个固有模态,即 两自由度系数有两个固有模态 即系统的固有 模态等于系统的自由度数。 模态等于系统的自由度数。 对于给定的系统, 对于给定的系统 特征向量或振型向量的相对比值 是确定的唯一的,和固有频率一样取决于系统的物 是确定的唯一的 和固有频率一样取决于系统的物 理参数,是系统固有的 而振幅则不同。 是系统固有的,而振幅则不同 理参数 是系统固有的 而振幅则不同。
机械动力学
机械动力学Copyright @ 2009 HRBEU 702All Rights Reserved绪论一、机械动力学性质1.机械：机构、机器的总称。
（机械原理）2.动力学：研究刚体运动及受力关系的学科。
动力学正问题—已知力（力矩）求运动；动力学反（逆）问题—已知运动求力（力矩）。
机械动力学：是研究机械在力作用下的运动、机械在运动中产生的力（力矩）的科学。
F ma=例：机构组成性质：曲柄、急回。
若已知力（力矩），当机构处于平衡状态时，求力矩（力）--机械静力学问题。
若已知M、F，求ω、v 时—机械动力学。
ωM Fv二、机械动力学研究内容1. 描述机械有那些基本参数1）机构参数：几何参数（杆长）；物理参数（质量m，转动惯量J）。
2）运动参数：转角θ、ω、α、s、v、a。
3）力矩M、力F。
2. 内容1）已知机械的物理、几何参数进行动力学分析。
a、已知力求运动；b、已知力求运动。
可表示为：2）已知运动、受力求结构这是机械设计研究问题，一般实际做法是先设计后校核，少数情况是直接求设计参数。
例：(,)(,,,,,,)f F Mg l m J v a ωαZZ X YZ Z q求支点最佳位置。
如果梁静止为静力学问题；如果梁有惯性运动为动力学问题。
3）具体章节内容单自由度运动学方程的建立二自由度运动学方程的建立，如差动轮系、五杆机构多自由度运动学方程的建立，如机械手臂、机器人等理想情况下（无摩擦变形等）考虑摩擦，如铰链、关节处摩擦考虑弹性变形，如杆变形、并联柔性机器人变质量问题，如推土机工作过程、火箭发射过程有间隙情况下动力学研究，不详讲述三、研究对象--以机械为研究对象三大典型机构连杆机构凸轮机构齿轮机构组合机构四、其它1.学习机械动力学目的、意义学习动力学分析问题的思想和基本方法，能够解决一般动力学问题。
2.教材（见前言）3.考核方式开卷。
§1-1 利用动态静力法进行动力学分析一、思路动静法：根据达朗贝尔原理将惯性力计入静力平衡方程，求出为平衡静载荷和动载荷而需在原动件上施加的力（力矩）。
系统动力学：两自由度刚性动力学
第三节 虚位移原理与广义力
虚位移原理
虚位移原理：对于具有理想约束的质点系，平衡的 充分必要条件是作用于质点系的主动力在任何虚位 移中所作虚功的和等于零，又称虚功原理。即
δWF = Fi δ ri = 0
i 1 n
( F δx
ix
i
Fiyδyi Fiz δzi ) 0
i 1
由， FIi mi ai mi ri得
δW = ( Fi mi ri ) δri = 0
i 1 n
——动力学普遍方程
第五节 拉格朗日方程
动力学普遍方程的主动力虚功用广义坐标表示：
F δr = Q δq
i 1 i i j 1 j
n
k
j
惯性力虚功用广义坐标表示：
第五节 拉格朗日方程
当系统为非有势力作用时： 非有势力的虚功为：
δW Qj δq j
j 1 n
Qj 为对应于非有势力的广义力。
非保守系统的拉格朗日方程式为：
d L dt q j L Qj q j
第五节 拉格朗日方程
说明 1）L氏方程是解决具有理想约束的系统动力学的 普遍方程。 2） L氏方程是从能量观点出发研究机械系统的运动， 通过系统E、V、W间的标量关系表征运动规律。 3） L氏方程是广义坐标以时间为自变量的几个二阶 场微分方程组，其数目与系统自由度数目相等。
2） δ 是变分符号，表示在时间不变的情况下，线 位移或角位移的无穷小变化，其运算规则与微分算 子 d 相同。
第三节 虚位移原理与广义力
虚位移原理
理想约束：如果在质点系的任何虚位移上， 质点系的所有约束反力的虚功之和等于零， 则称这种约束为理想约束。
二自由动力学方程推导
二自由动力学方程推导二自由度动力学方程推导引言：动力学是研究物体运动的科学，而动力学方程则是描述物体运动的数学表达式。
在机械系统中，我们经常需要推导出物体的运动方程，从而使我们能够预测和控制物体的运动。
本文将围绕着“二自由度动力学方程推导”展开详细阐述，希望能够引起读者的兴趣和共鸣。
一、二自由度动力学方程的概念在机械系统中，如果一个物体在空间中的运动可以由两个独立的坐标来描述，那么我们称这个系统为二自由度系统。
对于一个二自由度系统，我们需要推导出它的动力学方程，以描述物体的运动规律。
二、拉格朗日方程的基本原理拉格朗日方程是描述二自由度系统运动的重要工具，它是通过对系统的动能和势能进行数学表达来推导出的。
拉格朗日方程的基本原理可以概括为：系统的运动是使作用在系统上的拉格朗日函数取极值的路径。
三、二自由度动力学方程的推导步骤1.确定广义坐标和坐标速度在推导二自由度动力学方程之前，首先需要确定系统的广义坐标和坐标速度。
广义坐标是描述系统状态的变量，坐标速度是广义坐标对时间的导数。
2.动能的计算根据系统的几何特征和物体的运动状态，我们可以计算出系统的动能。
对于一个二自由度系统，系统的动能可以表示为两个广义坐标和广义速度的函数。
3.势能的计算同样地，根据系统的几何特征和物体的位置，我们可以计算出系统的势能。
势能是描述系统中物体相互作用的能量。
4.拉格朗日函数的建立拉格朗日函数是系统动能与势能之差的函数，它可以表示为系统广义坐标、广义速度和时间的函数。
5.拉格朗日方程的求解通过对拉格朗日函数求导，我们可以得到系统的拉格朗日方程。
对于一个二自由度系统，我们可以得到两个拉格朗日方程，分别对应两个广义坐标。
四、实例分析：双摆的动力学方程推导为了更好地理解二自由度动力学方程的推导过程，我们以双摆系统为例进行详细分析。
双摆系统由两个摆锤组成，摆锤可以绕两个固定点进行旋转。
我们可以选择两个摆锤的摆角作为广义坐标，然后根据摆锤的运动状态计算出动能和势能。
自由度机械系统动力学
1. 解析法
d
t t0 Je 0 Me()
（3.4.6）
若
Me()ab
则
再求出其 反函数
t
t0
Je b
ln ab ab0
f (t)
（3.4.7）
若
d
tt0Je 0abc2
演讲完毕，感谢观 看
（3.4.8）
一、等效力和等效力矩 二、等效质量和等效转动惯量
等效力学模型
等效原则： 等效构件具有的动能＝各构件动能之和
M e
n j 1
m
j
vSj v
2
J
j
j
v
2
J e
n j 1
m
j
vSj
2
J
j
j
2
（3.3.3）
等效质量和等效转动惯量与传动比有关， 而与机械驱动构件的真实速度无关
2W()
Je()
（3.4.3）
若
是以表达式
给出，且为可积函数时，
（3.4.3）可得到解析解。
但是
常常是以线
图或表格形式给出，则只
能用数值积分法来求解。
常用的数值积分法有梯形
法和辛普生法。
运动方程式的求解方法
一、等效力矩是位置的函数时运动方程的求解
二、等效转动惯量是常数、等效力矩是角速度的函数时运动方程
单自由度机械系统可以采用等效力学模型来进行研究，即系统的动力学问题转化为一个等效构件的动力学问题来研究，可以 使问题得到简化。
当取作定轴转动的构件作为等效构件时，作用于系统上 的全部外力折算到该构件上得到等效力矩，系统的全部 质量和转动惯量折算到该构件上得到等效转动惯量。
当取作直线运动的构件作为等效构件时，作用于系统上 的全部外力折算到该构件上得到等效力，系统的全部质 量和转动惯量折算到该构件上得到等效质量。
自由度机械系统动力学
采用轻质材料如碳纤维、钛合金 等，降低系统重量，提高动态性 能。
02
03
高强度材料
智能材料
利用高强度材料如超高强度钢、 陶瓷等，提高系统承载能力和耐 磨性。
集成传感器和执行器的智能材料， 能够实时感知和响应外部激励， 优化系统动态行为。
多学科交叉研究
机械工程
结合机械设计、制造和控制技 术，优化系统结构、性能和可
04 自由度机械系统的应用
机器人学
工业机器人
在制造业中，自由度机械系统动 力学用于设计和控制工业机器人， 实现高效、精确的生产线作业。
服务机器人
在服务行业中，自由度机械系统 动力学也广泛应用于服务机器人， 如家政机器人、医疗机器人等，
提高服务质量和生活便利性。
仿生机器人
通过模拟生物的运动机制，自由 度机械系统动力学有助于设计和 制造具有生物相似性的仿生机器 人，实现复杂环境的探索和作业。
牛顿第二定律
总结词
描述物体运动状态变化的基本规律。
详细描述
牛顿第二定律指出，物体运动状态的改变与作用力成正比，加速度的大小与作用 力成正比，方向与作用力相同。
拉格朗日方程
总结词
描述系统运动状态的变分方程。
详细描述
拉格朗日方程基于拉格朗日函数，描述了系统运动状态的变分关系，是分析自由度机械系统动力学的重要工具。
航空航天工程
1 2
飞行器设计
自由度机械系统动力学在航空航天工程中用于优 化飞行器的设计和控制，提高飞行器的稳定性和 机动性。
航天器姿态控制
通过自由度机械系统动力学，实现对航天器姿态 的精确控制，确保航天任务的顺利完成。
3
航空发动机控制
在航空发动机控制中，自由度机械系统动力学有 助于提高发动机的效率和稳定性，降低故障率。
二自由度机械臂动力学模型
二自由度机械臂的动力学模型通常涉及到两个主要的方面：几何构型和运动方程。
在建立动力学模型之前，首先需要确定机械臂的几何参数，包括每个关节的转动惯量以及各连杆的长度。
动力学模型可以分为两部分：静力学模型和动力学模型。
静力学模型关注的是力的平衡问题，即在机械臂的任意位置上，作用在机械臂上的所有外力之和等于零，所有外力矩之和也等于零。
动力学模型则进一步考虑了机械臂的运动情况，即在给定的力和力矩作用下，机械臂的运动如何变化。
为了建立动力学模型，我们通常采用牛顿-欧拉方法或者拉格朗日方法。
牛顿-欧拉方法从关节坐标出发，逐步推导出各关节的力和力矩，再结合连杆的长度，得到整个机械臂的动力学方程。
拉格朗日方法则是从能量的角度出发，利用动能和势能的关系来建立动力学方程。
具体来说，对于二自由度机械臂，其动力学方程可以表示为：
M(q)q'' + C(q, q', t)q' + G(q, t) = T(q, q', t)
其中：
- M(q) 是机械臂的质量矩阵，q是关节变量；
- q' 是关节变量的速度；
- q'' 是关节变量的加速度；
- C(q, q', t) 是由关节速度引起的科氏力和离心力等构成的矩阵；
- G(q, t) 是重力矩阵；
- T(q, q', t) 是外部施加的力和力矩。
在实际应用中，还需要对上述方程进行求解，这通常需要借助计算机模拟或数值积分方法。
通过求解动力学方程，可以预测机械臂在特定输入下的动态响应，这对于机械臂的控制系统的设计至关重要。
二自由度机器人动力学控制及仿真研究
二自由度机器人动力学控制及仿真研究摘要：机器人在工业领域的应用越来越广泛，其动力学控制是实现机器人精确控制的关键技术之一、本文针对二自由度机器人的动力学控制问题进行研究，在MATLAB/Simulink环境下进行仿真分析。
通过建立二自由度机器人的动力学模型，采用PID控制器进行控制，分别对两个关节进行控制，通过仿真分析，得出了控制器的合理参数配置，在一定误差范围内能够实现机器人的精确控制。
关键词：二自由度机器人，动力学控制，仿真分析1引言机器人技术的发展已经取得了长足的进步，在工业领域的应用已经越来越广泛。
机器人系统通常包括了感知、决策、控制等多个方面，其中动力学控制是实现机器人运动精确控制的关键技术之一、本文以二自由度机器人为研究对象，旨在通过建立机器人动力学模型，采用合适的控制器进行控制以实现机器人的精确控制。
2二自由度机器人的动力学建模2.1机器人运动学模型-设第一关节的旋转角度为θ1，第二关节的旋转角度为θ2；-第一关节与地面之间的夹角为α1，第二关节与第一关节之间的夹角为α2；-第一关节的长度为L1，第二关节的长度为L2；-机器人的末端在笛卡尔坐标系下的坐标为(x,y)。
可得出机器人的运动学模型方程如下：x = L1 * cos(θ1) + L2 * cos(θ1 + θ2)y = L1 * sin(θ1) + L2 * sin(θ1 + θ2)2.2机器人动力学模型机器人的动力学模型描述了机器人在受到外力作用下的运动规律。
通过应用拉格朗日方程，可以得到机器人的动力学模型。
拉格朗日方程的表达式如下：L=T-V其中，T表示机器人的动能，V表示机器人的势能。
机器人的动能和势能可以表示如下：T = 1/2 * m1 * (L1^2 * θ1'^2 + L2^2 * (θ1'^2 + θ2'^2 + 2 * θ1' * θ2' * cos(θ2))) + 1/2 * m2 * (L2^2 * θ2'^2) V = m1 * g * L1 * sin(θ1) + m2 * g * (L1 * sin(θ1) + L2 * sin(θ1 + θ2))其中，m1和m2分别表示第一关节和第二关节的质量，θ1'和θ2'分别表示第一关节和第二关节的角速度，g表示重力加速度。
机械设计 第02章 平面机构的运动学动力学分析
总结
机架 原动件 从动件
一、构件 + 运动副 运动链 机构
计算公式： F=3n － 2PL
－
PH
二、运动链成为机构的条件：F > 0, 原动件数 = 自由度 三、平面运动链自由度计算方法和注意事项 四、机构运动简图的定义及作用 1 2 3
S3
• 通过分析自由构件自由度、不同运动副引 入的约束，得出平面机构自由度计算公式 • 运动链成为机构的条件：原动件数＝F • 根据运动简图计算机构的自由度 • 计算机构自由度的注意事项： • （1）复合铰链 • （2）局部自由度 • （3）虚约束：连接点的轨迹重合、导路平 行、法线重合、同轴转动副、天平、对运 动不起作用的对称部分
ω3 3
P23
VP23
P13 n
∴ω 3＝ω 2·(P13P23/P12P23) ω 3方向与ω 2相反。
相对瞬心位于两绝对瞬心之间，两构件转向相反。
3.求传动比 定义：两构件角速度之比为传动比。 2 ω 3 /ω 2 ＝ P12P23 / P13P23 P12 ω 2
推广到一般： 1 ω i /ω j ＝P1jPij / P1iPij 结论:
方向 //
沿BA 沿CB
CB
vC、 aC大小 、 方向 、 大小 、 方向
2 2
影像法：由构件上两点求第三点
• 与机构上的三角 形相似，字母转 向相同。
vE vB vEB vE vC vEC
• 加速度影像法：
aE aB an a EB EB aE aC an a EC EC
2
3 P34
P14 4
举例：求图示六杆机构的速度瞬心。 解：瞬心数为：N＝n(n-1)/2＝15 n=6 1.作瞬心多边形圆
二自由度动力学模型
二自由度动力学模型
二自由度动力学模型是一种广泛应用于机械工程、随机振动控制等领域的数学模型，由于其简单清晰的结构和易于求解的特点，成为了研究系统动力学特性的重要工具。
本文将详细介绍二自由度动力学模型的相关知识和应用方法。
一、什么是二自由度动力学模型？
二自由度动力学模型是指一个由两个质点通过弹簧和阻尼器连接而成的物理系统，其中每个质点只能沿一个方向（通常是水平和垂直方向）运动。
该模型的动力学特性可以描述为一个二阶非齐次线性微分方程组，其中包含了质点的运动方程和能量守恒方程。
二、如何建立二自由度动力学模型？
建立二自由度动力学模型需要以下步骤：
1、绘制系统结构示意图，包括两个质点、弹簧和阻尼器的连接方式。
2、确定系统的自由度，即质点可以进行的运动方向。
3、根据受力分析和牛顿第二定律，建立质点的运动方程。
4、利用能量守恒原理，建立能量守恒方程。
5、将质点的运动方程和能量守恒方程组合起来，得到二阶非齐次线性微分方程组。
6、利用数值解或解析解的方法，求解微分方程组，得到系统的运动特性。
三、二自由度动力学模型的应用
二自由度动力学模型广泛应用于机械工程、随机振动控制等领域，是许多控制系统的核心部分。
具体应用包括：
1、建立机械振动控制系统的模型，分析系统的稳定性和响应特性，优化控制策略。
2、研究结构物的振动特性，评估地震对建筑物的影响，提高建筑结构的抗震性能。
3、分析风力发电机、桥梁等大型结构的振动特性，提高其安全性和稳定性。
总之，二自由度动力学模型是一种非常重要和有用的工具，可以用于解决各种动力学问题，为实际应用提供了有效的支持。
两自由度并联机构性能指标分析
第1期2021年1月机械设计与制造Machinery Design&Manufacture193两自由度并联机构性能指标分析王学雷1,张宾2,吕世霞1,王京1(1.北京电子科技职业学院，北京100176；2,中国农业大学，北京100083)摘要:对两自由度2SPU+U并联机构进行了速度全域性能指标分析,绘出了上述性能指标图谱。
针对速度全域性能指标的不足提出线速度全域性能波动指标和角速度全域性能波动指标公式，该指标可更好的反映机构线速度和角速度在整个工作空间内的运动性能波动情况。
通过单变量分析法分析了关键部件尺寸变化对机构性能波动指标的影响,得到尺寸变化对机构性能的影响趋势,为机构尺寸选取以及优化设计提供理论依据，该研究对机器人重要结构尺寸的选取以及控制方案的设计有着重要意义。
关键词:并联机构;速度全域性能指标;全域性能波动指标中图分类号:TH16;TH112文献标识码:A文章编号:1001-3997(2021)01-0193-04Analysis for Performance Indices of a Two-dof Parallel MechanismWANG Xue-lei1,ZHANG Bin2,LV Shi-xia1,WANG Jing1(IBeijing Polytechnic,Beijing100176,China;2College of Engineering,China Agricultural University,Beijing100083,China)Abstract：Velocity global peiformance indices for optimisation of this2SPU+U parallel mechanism in the workspace are derived.The global peiformance volatility index is proposed which can be used to overcome the deficiency of the velocity global peiformance indices.Then the dimensions of the parallel mechanism with good kinematic performances are derived in the workspace.Furthermore,theoretical analyses above provide a basis for its manufacturing,control and applications in the future work.Key Words：Parallel Mechanism；Volatility Global Performance Index；Global Performance Fluctuation Index1引言并联机构具有刚度大、误差小、结构紧凑、承载能力大、动态响应性能好等优点而受到人们的青睐冋。
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关键问题
• 二自由度机械手我们这里分析的是平面 的动力学相关问题而还有较复杂空间动 力学问题 • 对于数值计算结果与仿真求解结果存在 些差异，还有待更严谨的计算。
解决方案
1.应用拉格朗日方程也能解决只是计算较复杂 2.需要重新查错验算。
小组成员分工
• • • • • • • PPT制作与课堂介绍：李孟禹、许云猛 三维及二维建模几何参数确定：庞乂铭、薛琨 MATLAB仿真：薛琨、李孟禹 ADAMS仿真：孙铭权、庞乂铭 动力学建模：许云猛、孙文浩 关键问题解决与资料查找：孙文浩、孙铭权 方案讨论与确定：全体成员
The end！
二自由度机械手 动力学分析
小组成员：孙文浩、许云猛、薛琨、孙 铭权、庞乂铭、李孟禹 日期：2018.10.13 指导教师：庞永刚
目录
• • • • • • 三维建模 机构简图 几何参数的确定 动力学建模及数值分析 ADMS仿真分析 关键问题
三 维 建 模
机 构 简 图
A点的位置及速度
B点的位置及速度
广义力：
2
J12 m2l1ls 2 cos 2 1
Q1 M1 m1 gl1 sin 1 Fl1 sin 1 m2 gl1 sin 1 Q2 M 2 Fl3 sin 2 m2 gls 2 sin 2
• MATLAB求解
• 给定条件 角位移运动规律:
l3 l2 l2 1.201 0.750 1.951 m l 1.044 l 1.201 ls1 1 0.522 m ls 2 2 0.6005 m 2 2 2 2
MATLAB求解程序：
• t=0:0.1:3; • D111=0; theta1=-0.1163*t.^3+0.52335*t.^2; D122=-m2*l1*l2*sin(theta2); w1=-0.3489*t.^2+1.0467*t; D222=0; a1=-0.6978*t+1.0467; D211=m2*l1*l2*sin(theta2); theta2=-0.1163*t.^3+0.52335*t.^2; D112=-m2*l1*l2*sin(theta2); w2=-0.3489*t.^2+1.0467*t; D121=-m2*l1*l2*sin(theta2); a2=-0.6978*t+1.0467; D212=0; m1=72.259; D221=0; m2=79.555; D1=(m1+m2)*g*l1*sin(theta1)+m2*g*l2*sin(theta1+theta2); l1=1.044; D2=m2*g*l2*sin(theta1+theta2); l2=1.201; M1=D11.*a1+D12.*a2+D111.*w1.^2+D122.*w2.^2+D112.*w1.*w2+D121.*w2.*w1+D1; g=9.8; M2=D21.*a2+D22.*a2+D211.*w1.^2+D222.*w2.^2+D212.*w1.*w2+D221.*w2.*w1+D2; D11=(m1+m2)*l1.^2+m2*l2.^2+2*m2*l1*l2*cos(theta2); T1=polyfit(t,M1,3) D22=m2*l2.^2; T2=polyfit(t,M2,3) D12=m2*l2.^2+m2*l1*l2*cos(theta2); subplot(2,1,1),plot(t,M1),grid on,xlabel('时间（s）'),ylabel('控制力矩（N· m）'),title('motion1') D21=m2*l2.^2+m2*l1*l2*cos(theta2); subplot(2,1,2),plot(t,M2),grid on,xlabel('时间（s）'),ylabel('控制力矩（N· m）') title('motion2')
两个角都是从0到90°，角位移曲线为三次函数曲线。
几何参数
体积/m3 大臂 小臂 圆环 0.65690 0.72323 0.49234 质量/kg 72.259 79.555 54.157 杆长/m 1.044 1.201 0.750 转动惯量/kg· m2 6.52
42.37
在分析时，由于小臂与圆环是胶合连接，为简化计算，将小臂与圆环当成一个整 体考虑，因此，小臂部分总体杆长l3与质心到杆端距离ls1，ls2分别为：
C点位置及速度
D点的位置及速度
动力学建模
q1(大臂)
M1 m1g M2 Js1 m1 Js2 1 ls1 0
q2(小臂)
0 0 1
m2g F
m2
A
l1
l1
ls2
l3
惯性系数：
J11 J S 1 m1 ls1 m2 l1
2
2
J 22 J s 2 m2 ls 2
数值计算结果：
M1 和 M2 数 值 变 化 图：
• ADAMS仿真：MODEL_3.avi
大臂力矩M1
小臂力矩M2
ADAMS仿真
大臂的角速度 小臂的角速度
大臂的角加速度
小臂的角加速度
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 结论：
从函数规律上看，虽然有所差异，但两种求解方法得出的结果几 乎一样。由上述图形可以看出：数值计算结果与仿真求解结果相差很 小，误出现这种结果的原因可能是因为两种方法计算的精度不同，或 者是算法存在差异。如果对结果精度要求不是很高，可以认为两种方 法求得的结果相等，进一步说明了仿真计算的可靠性。