第九章多元函数微分法及其应用

zx (1,1) 7
z y (1,1) 9
例2 设函数 z xy ln x 求偏导数
(1) zx zy
(2) zx (1,2)
z y (1,1)
解 (1) (2)
zx
( xy ln x)x
y 1 x
zy ( xy ln x)y x
zx (1,2) 1
z y (1,1) 1
练习1、求函数 z e5x22 y 的偏导数 2、求函数 z ( x y)sin( x y) 的偏导数
第九章 多元函数微 分法及其应用
第一节 多元函数 的基本概念
一、平面点集
1.邻域
设 P0( x0 , y0 ) 是 xoy 平面上的一个点， 是某 一正数，与点 P0( x0 , y0 ) 距离小于 的点 P( x, y)
的全体，称为点 P0 的 邻域，记为 U ( P0 , )，
U (P0, ) P | PP0 |
11 1
例4. 求
解:
令r x2 y2 ,
则
lim 1 cos r lim r 2 0
r 0
r
r 0 2r
故
1 cos r ~ r 2 2
导数的另一求法—洛必达法则
四、 多元函数的连续性
复习： 函数 y f ( x)在 x0处连续的定义:
定义 设函数 y f (x)在点 x0的某个邻域内有定义,
x
x ( x0 , y0 )
fx ( x0 ,
y0 )
lim
x0
f
( x0
x,
y0 ) x
f
( x0 ,
y0 )
fx ( x0 ,
Hale Waihona Puke Baidu
y0 )
lim
x0
f
( x0
x,
y0 ) x
f
( x0 ,
y0 )
f y ( x0 , y0 )
lim
y0
f ( x0 , y0
y) y
f ( x0 , y0 )
1、求函数 z e5x22 y 的偏导数
解
zx e5 x22 y (5 x2 2 y)x 10 xe5 x22 y
z y e5x22 y (5 x2 2 y) y 2e5 x22 y
2、 求函数 z ( x y)sin( x y) 的偏导数 解
zx ( x y)x sin( x y) ( x y)[sin( x y)]x sin( x y) ( x y)cos( x y)
zy ( x y)y sin( x y) ( x y)[sin( x y)]y sin( x y) ( x y)cos( x y)
x0
x2
k2x2
1
k k
2
ykx
k 值不同极限不同 !
所以 f ( x, y) 在 (0,0) 点极限不存在 .
说明：
(1) 定义中 P P0 的方式是任意的；
(2) 二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x, y); x x0 y y0
(3) 二元函数的极限运算法则与一元函数类似。
例3 求极限 lim sin( x y) x ( x, y)(0,1)
同理可以定ffx义y((xx函,,yy数))，z liyfxmf，0( xfz,
，或 z x( x, y xy) y)对自变量y y
f (x, y)
的偏导数，
记作
f
y
(
x,
y)，
f y
，
z
y
，或
z y
由上述定义可知，求二元函数 z f (x, y) 关于某个变量的偏导数， 只需将另一个自变量 看作常数，然后利用一元函数求导公式和求导法 则，就可求得结果。
y
o
x
开区域
y
o
x
闭区域
• 整个平面 是最大的开区域 , 也是最大的闭区域；
• 点集 ( x, y) x 1
是开集，但不是区域 。
y
1o 1 x
• 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为 有界域 , 否则称为 无界域。
二、多元函数的概念
一定有界。
（3）介值定理 在有界闭区域 D 上的二元连续函数，如果在
D 上取得两个不同的函数值，则它在 D 上取得 介于这两值之间的任何值。
作业 P63习题9-1 2，4，5(1) (3)(5)， 6(1) (3)(5)
第二节 偏导数
一、偏导数的定义及其计算方法
定义 设 z f ( x, y) 在点 ( x0, y0 ) 的某个邻域内有定
义。固定 y0，若极限
lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x0
x
存在，则称此极限为函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处关
于自变量 x的偏导数，记作
fx ( x0 , y0 ) ，或f ( x0 , y0 )， zx ( x0 , y0 ) ， z
lim f ( x) A 或
x x0
f ( x) A( x x0 )
三、多元函数的极限
定义 设二元函数 z f (x，y) 在点 P0 (x0 , y0 )的邻 域(点 P0 本身可以除外)内有定义，
如果当 P P0 (但 P P0 )时，函数 f (x，y) 趋 于一个常数 A，
则称当 PP0时，f (x，y) 以 A 为极限，记作
又如, 函数
在圆周 x2 y2 1 上间断. 定理: 二元初等函数在定义区域内连续
例5
求极限
(
x
,
lim
y )(0,1)
ln( x
x 2
ey y
)
解:
因为
(
x
,
lim
y )(0,1)
ln( x
x 2
ey y
)
在点 (0,1) 连续，
所以
ln( x e y ) ln(0 e1)
lim
( x, y )(0,1)
x2 y
02 1
1
xy 1 1
例6
求极限
lim
( x, y )(0,0)
xy
解:
因为
lim
( x, y )(0,0)
xy 1 1 xy
lim ( xy 1 1)( xy 1 1)
( x, y )(0,0)
xy( xy 1 1)
1 lim
( x, y)(0,0) xy 1 1
而函数 f ( x, y)
设 D是平面上的一个非空点集，如果对于每个
点( x, y) D，按照某种法则 f ，总有确定的值z与
之对应，则称 f 是 D上的二元函数，记为 z f (x, y)
其中 x, y称为自变量，z称为因变量， D称为定义 域，数集{z z f ( x, y),( x, y) D}称为值域。
例1
lim f (P) A 或
P P0
f (P) A(P P0 )
或记作：
lim
x x0
f (x, y)
A
或
f ( x, y) A(( x, y) ( x0, y0 ))
y y0
说明：
(1) 定义中 P P0 的方式是任意的；
确定极限不存在的方法： ① 令 P( x, y) 沿 y y0 k( x x0 ) 趋向于 P0( x0 , y0 )，若极限值与k 有关，则极限不存在；
1
在点 (0,0) 连续，
xy 1 1
所以 lim xy 1 1 lim
1 1
( x, y )(0,0)
xy
( x, y)(0,0) xy 1 1 2
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理
在有界闭区域 D 上的二元连续函数，在 D上 可以取得它的最大值和最小值。
（2）有界性定理 在有界闭区域 D 上的二元连续函数在 D 上
② 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x, y) 存在， x x0 y y0 但两者不相等，则极限不存在。
例2
讨论函数
f
( x,
y)
xy x2 y2
在点 (0, 0) 的极限.
解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
kx2
lim
x0
f
( x,
y)
lim
( x, y) | ( x x0 )2 ( y y0 )2
• P0
在 P0 的邻域中将 P0 去掉， 得到 P0 的去心邻域：
U (P0 ,
)
P
0
|
PP0
|
P0
2.内点、外点、边界点、聚点
E
设有点集 E 及一点 P : • 若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,
则称 P 为 E 的内点； • 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
如果
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
则称函数 f ( x)在点 x0处连续,点 x0称为 f ( x)的连 续点，
否则称 f (x)在点 x0 处不连续，这时点 x0 称为 f ( x)的间断点。
四、 多元函数的连续性
定义 设 二元函数 f (P) 定义在 D 上, 点P0( x, y) D,
例如, z sin xy 图形如右图.
z 1 x2 y2 上半球面
z
y x
z
o 1y
x
三、多元函数的极限
复习： x x0 时，函数极限的定义
定义 设函数 y f (x) 在点 x0 的某个邻域(点 x0 本身可以除外)内有定义，
如果当 x x0 (但 x x0 )时，函数 f (x) 趋 于一个常数 A， 则称当 x x0时，f (x) 以 A 为极限，记作
例1 设函数 z 2x2 3xy 6 y2 求 (1)偏导数 zx zy
(2)偏导数在指定点的值
zx (1,1)
z y (1,1)
解 (1) (将 y 看作常数，对 x 求导，得)
zx (2x2 3xy 6 y2 )x 4x 3 y (将 x 看作常数，对 y 求导，得)
zy (2 x2 3 xy 6 y2 ) y 3x 12 y (2)将点(1,1)代入(1)中所得结果，有
则称 D 是连通集 ; • 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; • 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
D 。。
例如，{(x, y) | 1 x2 y2 4} 是开区域；
{(x,y) | 1 x2 y2 4} 是闭区域；
y
o
x
y
o
x
(x, y) x y 0
( x, y) x y 0
E
• 若点 PE，且 P 不是聚点， 则称 P 为 E 的 孤立点 。
孤立点 属于 E
3.开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
• 若点集 E E , 则称 E 为闭集；
• 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,
类似地，函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )处关于自变量 y
的偏导数，定义为下列极限
记作
lim f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 )
y0
y
f
y
(
x0
,
y0
)，或
f
(
x0 , y
y0
)，
z
y
(
x0
,
y0
)， z y
(
x0
,
y0
)
fx ( x0 ,
y0 )
lim
x0
如果存在
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
则称 二元函数 f (P)在点P0 连续;
否则称为不连续, 此时 称为间断点 。
如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上连续。
例如, 函数
f
(
x,
y)
xy x2 y2
,
0 ,
x2 y2 0 x2 y2 0
在点(0 , 0) 极限不存在, 故 ( 0, 0 )为其间断点.
解:
lim
sin( x y)
lim
sin( x y) y
x ( x, y)(0,1)
( x, y)(0,1) ( xy)
当 ( x, y) (0,1) 时，恒有 xy 0
所以 lim sin( x y) lim sin( x y) lim y
x ( x, y)(0,1)
( x, y)(0,1) ( xy) ( x, y)(0,1)
则称 P 为 E 的外点 ; • 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 . 显然，E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E ,
E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E 。
E
• 若点 P 的任一去心邻域 U (P) 中总有 E 中的点， 则称 P 为 E 的 聚点 。 聚点 可能 属于 E，也可能 不属于 E 。 聚点 是 内点 或者 边界点。
f ( x0
x, y0 ) x
f ( x0 , y0 )
f y ( x0 ,
y0 )
lim
y0
f
( x0 , y0
y) y
f ( x0,
y0 )
如果函数z f (x, y)在区域 D内任意一点(x, y)
处数，对并x 的称偏为fx导(函x数数, y都)z 存lixf在m(0x，,f y那()x对么自这x变个,y量x偏) x导的f数(偏x是,导yx)函, y数的(函简 称为偏导数)，记作
求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域． x y2
解
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x2 y2 4
x
y2
所求定义域为 D {(x, y) | 2 x2 y2 4, x y2}.
二元函数 z f ( x, y) 的几何意义
二元函数的图形通常是一张曲面.