几何光学基本原理证明反射定律符合费马原理证明费马
费马原理证明反射
费马原理证明反射费马原理是光的传播规律之一，它应用于光的反射现象的证明。
费马原理的核心思想是光遵循“最小时间原理”，也就是光传播的路径在两点之间应该经过使得传播所需时间达到最小值的路径。
接下来，我会详细阐述费马原理是如何证明光的反射的。
首先，我们先来看光在两个介质之间传播时的折射现象。
根据费马原理，光传播的路径是满足最小时间原理的路径。
设有一个光线由介质A传播到介质B，光线传播路径被假设为多种可能的路径，而我们要证明的是折射现象所满足的路径是使得光传播时间最小的路径。
在证明中，我们需要引入一个虚拟的路径，称为光线的虚拟波。
该虚拟波的特点是在介质A内以传播速度v1传播，在介质B内以传播速度v2传播，而光线的实际传播路径和虚拟波的路径在两个介质之间交于一点。
我们记光线实际传播路径和虚拟波的路径交于一点的点为P。
根据费马原理，要使得光的传播时间最小，实际传播路径和虚拟波的路径在点P处的相切角度应相等。
这是因为只有在相切的情况下，光线才能沿着最短的路径传播。
接下来，我们考虑光在介质A和介质B的分界面上的两个相切折射角。
假设光线从介质A以入射角θ1射入介质B，在介质B内以折射角θ2传播。
我们想要证明的是光的实际传播路径是满足入射角和折射角相等的条件。
为了证明这一点，我们需要来比较光线的虚拟波路径。
首先，我们假设光线的虚拟波路径相对于实际传播路径是稍微歪斜一些，也就是相对于P点，该虚拟波路径与实际传播路径的交点略微偏移。
根据费马原理，此时实际传播路径的入射角和折射角并没有改变，而相切的条件依然满足。
然而，我们会发现在这种情况下，光从介质A到达点P的时间将比虚拟波路径多出一小段时间。
现在，我们要证明的是如果我们稍微调整光线的传播路径，使光线的实际传播路径按照入射角和折射角相等的条件满足，光传播的时间将变得最小。
为此，我们需要比较这两种情况下的光传播时间。
假设在实际传播路径上，光从介质A到达点P的时间为t1，然后再从点P按照折射定律折射为介质B中的角度传播到下一个点P'，并用时间t2来表示从P到P'的传播时间。
费马原理证明反射定律和折射定律
费马原理证明反射定律和折射定律1. 引言嘿，大家好！今天我们聊聊光的旅行，这可是个让人兴奋的话题，尤其是当我们谈到反射和折射的时候。
你有没有想过，光线是怎么“选择”最短的路走到目的地的？别急，咱们要通过费马原理来揭开这个谜底。
费马可是个大牛，他告诉我们光总是选择“最省事”的方式，简直就像我们在公交车上总是找最近的站一样。
接下来，让我们一起看看这个原理是怎么工作的吧！2. 费马原理的基础2.1 什么是费马原理？好吧，先来聊聊费马原理是什么。
简单来说，费马原理就是光线在不同介质中传播时，总是选择“最短时间”的路径。
就像你去超市，总是选择离家最近的那条路，不会绕远路。
光线也是一样，它不会自找麻烦，偏偏走一条冤屈的路去达到目的地。
想象一下，光线在空气中飞快地穿行，突然遇到水面，它的速度会改变，就像你在路上踩油门，突然遇到红灯，不得不停下。
2.2 光的反射和折射光的反射就像是你在镜子前照镜子时，那光线碰到镜子就会反弹回来。
折射呢，就是光线从一种介质（比如空气）进入另一种介质（比如水）时，速度变化导致光线改变方向。
这个变化就像你在沙滩上走，突然踩到了水中，脚下的感觉完全不同。
光线在这两种情况下都在遵循费马的“最短时间”原则。
3. 反射定律的证明3.1 反射定律的来临现在我们来聊聊反射定律。
反射定律说的是入射角等于反射角。
换句话说，就是你往镜子里看，光线的反射角和入射角完全一致。
我们可以想象一下，光线以一个角度“飞”到镜子上，然后同样的角度“飞”回来。
根据费马原理，光线为了最短的时间，必然选择了这个“合适”的角度，才能够高效反弹。
就像你抛一个球，它总会以同样的角度反弹回来，不会乱七八糟的。
3.2 从几何角度理解如果用几何的眼光看待这个问题，假设光线从A点出发，经过镜子反射到B点。
根据费马原理，光线在A到镜子再到B的路程中，要是能保持入射角和反射角相等，那就能确保这个路径是最短的。
这样一来，反射定律就不攻自破，简单明了。
《光学教程答案》word版
第三章几何光学1.证明反射定律符合费马原理证明：设界面两边分布着两种均匀介质，折射率为山和勺（如图所示）。
光线通过笫一介质中指泄的A点后到达同一介质中指左的B点。
（1）反正法：如果反射点为位于处轴与A和3点所著称的平面之外，那么在ox轴线上找到它的垂足点C"点，.由于AC > AC ,BC >BC\故光线AC B所对应的光程总是大于光线AC B所对应的光程而非极小值，这就违背了费马原理。
故入射面和反射面在同一平面内。
（2）在图中建立坐xoy标系,则指定点A,B的坐标分别为（和yj和（w），反射点C的坐标为（圮0）所以AC3光线所对应的光程为：△=厲［JCv—xj' + y； + >］（x-x2）2 + y；］根据费马原理，它应取极小值，所以有空=" 也-①利（sin_sinE = O心yjix-x^ + y- y］（x-x2y+y；即：L = i22.根据费马原理可以导出在近轴光线条件下，从物点发出并会聚到像点的所有光线的光程都相等。
EF证：如图所示，有位于主光轴上的一个物点S 发出的光束经薄透镜折射后成一个 明亮的实象点S'。
设光线SC 为电光源S 发出的任意一条光线，其中球面AC 是由点光 源S 所发出光波的一个波面，而球面DB 是会聚于象点S'的球面波的一个波面，所以有关系式SC = SA, SD = SB •因为光程\CEFl)s =SC + CE + nEF + FD + DS △$ MS = SA + I1AB + BS根据费马原理，它们都应该取极值或恒定值，这些连续分布的实际光线，在近轴 条件下其光程都取极大值或极小值是不可能的，唯一的可能性是取恒定值，即它们的光程相等。
3. 睛E 和物体PQ 之间有一 块折射率为1.5的玻璃平板，平 板的厚度d 为30cmo 求物体PQ 的像P0与物体P0之间的距离妁为多少？解：根据例题3.1的结果 PP n1 PP = 30x(1 ———)=10cm1.5n =1.5题3图4.玻璃棱镜的折射棱角A为60。
几何光学的基本定律和费马原理
主要内容一、几何光学的三个基本定律二、光路可逆原理三、全反射、光学纤维四、费马原理光线：空间的几何线。
各向同性介质中，光线即波面法线。
光的直线传播、反射和折射都可以用直线段及其方向的改变表示。
几何光学是关于光的唯象理论。
对于光线，是无法从物理上定义其速度的。
几何光学是关于物体所发出的光线经光学系统后成像的理论。
几何光学实验定律成立的条件：1.被研究对象的几何尺寸D远大于入射光波波长λD/ λ>>1 衍射现象不明显，定律适用。
D/ λ～1 衍射现象明显，定律不适用。
2.入射光强不太强在强光作用下可能会出现新的光学现象。
强光：几何光学的基本实验定律有一定的近似性、局限性。
一、几何光学的三个基本定律1.光的直线传播定律在真空或均匀介质中，光沿直线传播，即光线为2.光的独立传播定律自不同方向或由不同物体发出的光线在空间相交后，对每一光线的独立传播3.光的反射和折射定律3.1 反射定律G 3.2 折射定律入射面n光线在梯度折射率介质中的弯曲nn 5n 1n 3n 2n 4n 6海市蜃楼：沙漠中海面上光线在梯度折射率介质中的弯曲二、光路可逆原理在弱光及线性条件下，当光的传播方向逆转时，•光线如果沿原来反射和折射方向入射时，则相应的反射和折射光将沿原来的入射光的方向。
如果物点Q发出的光线经光学系统后在Q三、全反射、光学纤维1.全反射原理。
继续增大入射角，，而是按反射定律确定的方向全部反射。
全反射的应用：增大视场角毛玻璃r rr2.光纤的基本结构特性(1)光纤的几何结构光纤的几何结构(2)光纤分类①按纤芯介质分：均匀光纤，非均匀光纤。
(3)光纤的传光条件i cn 0n 2n 1(4)光纤的数值孔径四、费马原理物质运动的趋势：达到一种平衡状态或极值状态费马原理：在所有可能的光传播路径中，实际路径所需的时间取极值。
1说明：费马原理是光线光学的理论基础。
① 直线传播定律：两点间的所有可能连线中，线段最短——光程取极小值。
用费马原理导出光的反射定律和折射定律兰林
用费马原理导出光的反射定律和折射定律(内江师范学院工程技术学院2012级1班兰林20120341045)［摘要］以费马原理为基础，用极值条件和方程有解条件导出光在两种均匀介质分界面处的反射定律，并证明了光在反射和折射过程中，其实际光程取的是极小值.关键词:费马原理;反射定律;折射定律;光程;极小值几何光学是以光的直线传播定律、反射定律和折射定律为基础建立起来的，引入光程概念后，上述三定律就可用费马原理来概括，并由它导出.光的直线传播定律、反射定律和折射定律、独立传播原理是几何光学的基本原理，能够很好地解释光在传播过程中发生的物理现象.费马原理与光的直线传播定律、反射定律和折射定律具有同等重要的意义，可以说后者是前者的必然结果，即由费马原理可推出光的直线传播定律、反射定律和折射定律.反射定律:(1)反射光线位于入射光线和法线构成的平面内；(2) 反射光线和入射光线分居发现两侧；(3) 反射角等于入射角，即「= i折射定律:(1)折射光线、入射光线和法线在同一平面内；(2) 折射光线和入射光线分别位于法线的两侧；(3) 光从光疏介质到光密介质时折射角小于入射角。
费马原理：光在指定的两点间传播，实际光程是一个极值.光在均匀介质中的直线传播、在两种不同介质分界面处发生反射和折射，实际光程取极小值.即B［nds =极值(极小值、极大值或恒定值) (1)A证明如图1所示，设xoy平面是两均匀介质厲和n2的分界面，光线由介质1中指定的A点经界面反射后到达介质1中指定的B点.为确定实际光线的路径，过A、B两点作xoy平面垂直于界面，x轴是所作平面与分界面的交线.则实际光线在界面上的折射点就可用费马原理来确定•首先证明共面，即折射点在交线x上轴•设A、B、C三点的坐标分别为A（x「y ,O）,B（X2, y2,0）,C（x,0,z）.A、B 间光程为L = n 1 • n 2（2）其中h二.y i2 * x -X i $ • z21 = . y?2• X2 - x $ • z2，光程取极值，要求上式对x和z的一阶导数为零.于是得已njx-xj n i x-x）n i l「nl i 2 1 1 1-0 ⑶x l1l2n1l1 n1l2 = = 0 ⑷:z l1l2只有当z =0时，4式才成立，所以C点应位于x轴上•即反射光线位于入射光线和法线构成的平面内.于是有其中：h = J y j +4-捲f ,l2 = J y22+（x2— x）2其次，证明异侧.由3式知，方程的解为：捲=x = x2或为：：：x x2若x—x=X2,则A、B两点连线垂直与界面，入射光线、法线和反射光线三线合一；若x i :：: X X2则入射光线和折射光线分别位于法线两侧.最后，证明i =i ,由图1易知：-x工二sin i,上邑二sin「（5）l l 12代入3中，即得sin i'sini，在反射角和入射角的定义范围内可得i'i,即反射角等于入射角.到此我们证明了反射定律符合费马原理中的光程取极值，但未证明取极小值.如图2所示,A、B为空间中指定的两点，CC ■为入射面与分界面交线.A,、B1分别为A、B 在交线上的垂足.为证明反射定律光程取极小值，我们假设在分界面上存在两个折射点 C 和CC ,前者遵循反射定律，后者不遵循反射定律；过CC •作入射光线AC的平行线DC和反射光线C的垂线，同时分别过A和C分别作平行线DC的垂线AE和CF .在RtL|G C C和RtU F C中因为. G CC F且CC为公共边，所以有F C =G C (6)同时在RtLlGBC、Rt_EAC中，存在B C • G B (7)AC EC (8)设路径ABC的光程为L ABC，对应地光沿此路径从A传播到B所用时间为t,与另一路和仁于是有径AC B对应的相应物理量分别为LAC BAC CBt =(9)11AC C B EC F C C G G Bt 二n n n n-(10)-1-1 -1将(7)代入上式有丄EC— GB “八t = m 门！(11)EC GB AC BC . …、取终的t = m n2 口n2 t ( 12) q q q p即t ::t.根据光程定义L=nI二ct,得L ACB J ACB.至此，我们不但证明了反射定律符合费马原理取极值的条件，而且证明了光程取的是极小值.图1 光的折射路线图对于折射如图1所示，设xoy 平面是两均匀介质m 和压的分界面，光线由介质1中指定 的A 点经界面折射到达介质2中指定的B 点.为确定实际光线的路径，通过A 、B 两点作 xoy 平面垂直于界面,x 轴是所作平面与分界面的交线.则实际光线在界面上的折射点 C 就 可用费马原理来确定.首先证明共面，即折射点在交线x 轴上.设A B 、C 三点的坐标分别为 A (x u y i ,0), B (X 2, y 2,0),C (x,0, z). A 、B 间光程为 L = n 1+ n 2其中h — %2 • x -%• z 2」2二，y ?2• X 2 - x $ • z 2，光程取极值，要求上式对x 和z 的一阶导数为零.于是得一 n 1l 1 n 1l 2 二 吨 呼=0(15)-z11 12图2 光的实际折射路线图(13)—nj i ' n h .x口 x-X ! n M -X 2 2 =l l 12=0(14)只有当z=0时，15式才成立,所以C点应位于x轴上.于是C点变成C点,相应的坐标为C (x,0,0),于是图1简化为图2.结论:折射光线、法线和入射光线位于同一平面内•其次，证明异侧.由式(14)知，方程的解为= x = x2或x, ：：：x x2若x, =x=X2,则A、B两点连线垂直于界面，入射光线、法线和折射光线三线合一；若X, X ：：: X2，则入射光线和折射光线分别位于法线两侧•结论:折射光线和入射光线分居法线异侧•最后证明n, sini, = n2sin i2.由图2易知X -为 ..X2 —xsini,, sini2l, I2代入式⑴即得r, si ni, = n2 si ni2.其中I, = y,2亠iX -x ? ,|2=、J y22亠i x2 -x 2结论:入射角的正弦与入射光线所在介质折射率之积等于折射角的正弦与折射光线所在介质折射率之积•参考文献：⑴赵凯华，钟锡华•光学[M].北京:北京大学出版社[2] 姚启均.光学教程[M].北京:高等教育出版社[3] 王筱生，包仁，朱涵如.光学[M].上海:上海科技大学出版社[4] 王权.费马原理证明光的折射定律的一种方法[J].潍坊教育学院学报(自然科学版)。
1.几何光学
几何光学1 填空题1.1表示光源传播方向的几何线称为（光线）。
1.2费马原理指出，光在指定的两点间传播，实际的（光程）总是一个极值。
1.3凡是具有单个顶点的光束称为（单心光束）。
1.4实物是指如果入射到光学系统的是一束（发散）单心光束，它的顶点就是实物。
1.5虚物是指如果射入到光学系统的是一束（汇聚）单心光束，它的顶点就是虚物。
1.6实像是指如果出射于光学系统的是一束（会聚）的单心光束，它的顶点就是实像。
1.7虚像是指如果出射于光学系统的是一束（发散）的单心光束，它的顶点就是虚像。
1.8在几何光学系统中，唯一能够完善成象的是（平面镜）系统，其成象规律为（虚像、等大、正立、等距离）。
1.9对光具组来说，物点和象点是一对（共轭点）。
1.10光从水中进入空气时，若入射角大于（临界角）将发生（全反射）现象。
1.11近年来应用最广的（光学纤维）是利用全反射规律的光学元件。
1.12正常人眼的明视距离是(25cm)。
1.13远视眼的明视距离是( 大于 )（填：大于，小于，等于）正常人眼的明视距离。
1.14有效光阑总是对某一个指定的（参考点）而言的。
1.15要提高物镜的聚光本领，就要增大（相对孔径）。
1.16入射光瞳是指（有效光阑被自己前面部分（向着物空间）的光具组所成的象）。
1.17入射光瞳是指（有效光阑）被自己前面部分的（光学系统）所成的象。
1.18象点对（出射光瞳）半径两端所张的立体角称为出射孔径角。
1.19主轴上物点发出的宽光束将产生（球差）。
1.20发光强度的单位是（坎德拉），照度的单位是（勒克斯）。
1.21理想光具组的两个主平面是一对横向放大率等于（ 1 ）的共轭平面；理想光具组的两个节平面是一对角放大率等于（ 1 ）的共轭平面。
1.22一个5cm 高的物体放在球面镜前10cm处成1cm高的虚像，则此镜的曲率半径为（ 5cm ）, 此镜是（凸面镜）（凸面镜/凹面镜）。
1.23不同波长的光在同一介质中的折射率不同，这种现象称为（色散）。
光学费马原理推出反射定律和折射定律
光学费马原理推出反射定律和折射定律光学费马原理是光学理论中的基本原理之一，由法国物理学家皮埃尔·德·费马提出。
该原理用来描述光在传播过程中的路径，为研究光的反射和折射现象提供了重要依据。
通过运用光学费马原理，我们可以推导出光的反射定律和折射定律，从而深入理解和解释这些现象的本质。
本文将通过阐述光学费马原理的基本思想和推导过程，逐步推导出反射定律和折射定律的表达式，并加以解释和应用。
希望通过本文的介绍，读者能够对光的传播和折射现象有更深入的了解。
在开始推导之前，我们先对光学费马原理进行简要介绍。
光学费马原理的核心思想是“光在传播过程中所经过的路径，对应的光程是极值”。
这里的光程是指光线在传播过程中所经过的距离乘以介质的折射率。
根据这个原理，光线在传播过程中会选择光程极值的路径，也就是所谓的费马路径。
接下来，我们以光的反射现象为例，推导出反射定律。
假设有一束光线从一介质中射向另一介质的界面。
根据光学费马原理，光线在传播过程中会选择光程极值的路径。
我们可以设想在界面上有一个假想的点光源，发出的光线经过反射后和真实的光线重合。
由于光程极值的路径是使得传播时间取极值的路径，我们可以认为光线传播的时间在反射之前和反射之后是相等的。
根据这个思路，我们可以得到如下的推导过程。
设光线从介质1入射到介质2，光线的入射角为θ1，反射角为θ2。
根据光的传播速度和路径的关系，我们可以得到光线传播时间的表达式：t = l1 / v1 + l2 / v2其中，l1和l2分别为光线在介质1和介质2中的传播距离，v1和v2分别为介质1和介质2中的光速。
由于光线的传播时间在反射前后是相等的，我们可以得到如下的等式：l1 / v1 + l2 / v2 = l1' / v1' + l2' / v2'其中，l1'和l2'分别为反射光线在介质1和介质2中的传播距离，v1'和v2'分别为介质1和介质2中的光速。
光学教程姚启钧课后习题解答
光学教程姚启钧课后习题解答Newly compiled on November 23, 2020《光学教程》（姚启钧）习题解答第一章 光的干涉1、波长为500nm 的绿光投射在间距d 为0.022cm 的双缝上，在距离180cm 处的光屏上形成干涉条纹，求两个亮条纹之间的距离。
若改用波长为700nm 的红光投射到此双缝上，两个亮纹之间的距离为多少算出这两种光第2级亮纹位置的距离。
解：1500nm λ= 改用2700nm λ=两种光第二级亮纹位置的距离为：2、在杨氏实验装置中，光源波长为640nm ，两狭缝间距为0.4mm ，光屏离狭缝的距离为50cm ，试求：⑴光屏上第1亮条纹和中央亮纹之间的距离；⑵若P 点离中央亮纹为0.1mm 问两束光在P 点的相位差是多少⑶求P 点的光强度和中央点的强度之比。
解：⑴ 7050640100.080.04r y cm d λ-∆==⨯⨯= ⑵由光程差公式 ⑶中央点强度：204I A =P 点光强为：221cos 4I A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3、把折射率为1.5的玻璃片插入杨氏实验的一束光路中，光屏上原来第5级亮条纹所在的位置变为中央亮条纹，试求插入的玻璃片的厚度。
已知光波长为7610m -⨯ 解： 1.5n =，设玻璃片的厚度为d由玻璃片引起的附加光程差为：()1n d δ'=-4、波长为500nm 的单色平行光射在间距为0.2mm 的双缝上。
通过其中一个缝的能量为另一个的2倍，在离狭缝50cm 的光屏上形成干涉图样，求干涉条纹间距和条纹的可见度。
解： 7050500100.1250.02r y cm d λ-∆==⨯⨯= 由干涉条纹可见度定义：由题意，设22122A A =，即12A A =5、波长为700nm 的光源与菲涅耳双镜的相交棱之间距离为20cm ，棱到光屏间的距离L 为180cm ，若所得干涉条纹中相邻亮条纹的间隔为1mm ，求双镜平面之间的夹角θ。
几何光学定律及惠更斯费马原理
5) 耐火 耐腐蚀 可用在许多恶劣环境下
6) 资源丰富 价格低
色散
同一种介质对不同波长的光具有不同的折射 率的现象称为色散,即折射率n与光波长l有关。
折射率与那些因素有关： 不同介质 同一介质对于不同波长
正常色散:
nl a b
l
2
随波长l的增加，折射率n下降。
石英的色散曲线
由于A1C1 = AnBn = v1tn
AC1Bn B n An A1 1
i1 An A1Bn C1Bn A1 i1 '
反射定律
i2 D1Bn A1
An Bn sin i1 A1 Bn
i2
A1 D1 sin i2 A1 Bn
折射定律
An Bn v1tn sin i1 v1 const sin i2 v2tn v2 A D1 1
折射率：n
G
棱镜最小偏向角：偏向角 随入射角i的改变中，对于 某一i值，偏向角有最小值m 。
棱镜最小偏向角
光在主截面中的折射
D i1
i2
i2’
i1’
折射率：n
G
可证(略)，在
i1 i1 ' 或 i2=i2’时偏向角取极值：
i2 / 2
2i2 m 2i1
棱镜最小偏向角
棱镜偏向角：光线在棱镜中经历两次折射后传播 方向的变化
(i1 i2 ) (i1 ' i2 ') (i1 i1 ') (i2 i2 ')
(i2 i2 ')
D
光在主截面中的折射
i1
由费马原理证明光的折射定律和反射定律
由费马原理证明光的折射定律和反射定律费马原理也称费马理论，是说光线从一点射入另一点的路径，其实际路径是光程时间的驻定值。
也就是说在介质分界面上，光线从一点射入另一点，其路径是光程时间取极小值或极大值。
费马原理可以用来推导光的折射定律和反射定律。
首先，让我们来证明光的折射定律。
光的折射定律指出，光线从一种介质射入另一种介质时，折射角和入射角之间的关系由折射率决定。
费马原理可以通过求解光程时间的极值来推导这一定律。
考虑光线从一种介质射入另一种介质的情况。
设入射介质的折射率为n1，出射介质的折射率为n2。
设光线在入射介质内的传播速度为v1，在出射介质内的传播速度为v2。
我们可以根据费马原理来求解光程时间的极值。
设入射光线和出射光线的路径分别为AB和BC，入射角为θ1，折射角为θ2。
那么根据费马原理，光线的实际路径使得光程时间取极小值。
这意味着，对于给定的入射角θ1，出射角θ2应该使得光程时间取极小值。
为了求解光程时间的极小值，我们可以通过数学方法来进行推导。
根据光的波动性质，光线传播的路径可以用光程L和波长λ来描述。
入射光线的光程为L1=n1AB，出射光线的光程为L2=n2BC。
因此，光程时间可以表示为T=L1/v1+L2/v2=n1AB/v1+n2BC/v2。
然后我们求解T对θ2的导数为零的条件，即∂T/∂θ2=0。
这样可以得到折射定律，即入射角θ1、出射角θ2与介质的折射率n1和n2之间存在的关系。
经过推导，我们可以得到正弦定律，即n1sinθ1=n2sinθ2。
这就是光的折射定律，是由费马原理推导出来的。
接下来，让我们来证明光的反射定律。
光的反射定律指出，入射角和反射角之间的关系是相等的。
同样地，我们可以利用费马原理来推导这一定律。
设光线从一种介质射入另一种介质时，入射角为θ1，反射角为θr。
根据费马原理，光线的实际路径使得光程时间取极小值。
这意味着，对于给定的入射角θ1，反射角θr应该使得光程时间取极小值。
几何光学基本原理证明反射定律符合费马原理证明费马
第三章 几何光学基本原理1．证明反射定律符合费马原理。
证明：费马原理是光沿着光程为最小值、最大值或恒定值的路径传播。
⎰=BAnds或恒值max .min ，在介质n 与'n 的界面上，入射光A 遵守反射定律11i i '=,经O 点到达B 点，如果能证明从A 点到B 点的所有光程中AOB 是最小光程，则说明反射定律符合费马原理。
设C 点为介质分界面上除O 点以外的其他任意一点，连接ACB 并说明光程∆ ACB>光程∆AOB由于∆ACB 与∆AOB 在同一种介质里，所以比较两个光程的大小，实际上就是比较两个路程ACB 与AOB 的大小。
从B 点到分界面的垂线，垂足为o '，并延长O B '至 B ′，使B O B O '=''，连接 B O '，根据几何关系知B O OB '=，再结合11i i '=，又可证明∠180='B AO °，说明B AO '三点在一直线上，B AO ' 与AC 和B C '组成ΔB AC '，其中B C AC B AO '+〈'。
又∵CBB C AOB OB AO B O AO B AO ='=+='+=',ACB CB AC AOB =+〈∴即符合反射定律的光程AOB 是从A 点到B 点的所有光程中的极小值，说明反射定律符合费马原理。
2、根据费马原理可以导出在近轴光线条件下，从物点发出并会聚到像点的所有光线的光程都相等.由此导出薄透镜的物象公式。
证明：由QB A ～FBA 得：OF\AQ=BO\BQ=f\s同理，得OA\BA=f '\s ',BO\BA=f\s由费马定理：NQA+NQ A '=NQ Q '结合以上各式得：(OA+OB)\BA=1得证 3．眼睛E 和物体PQ 之间有一块折射率为1.5的玻璃平板(见题3.3图),平板的厚度d 为30cm.求物PQ 的像 与物体PQ 之间的距离 为多少?解：.由题意知光线经两次折射后发生的轴向位移为：cmnd p p 10)321(30)11(=-=-='，即像与物的距离为cm 10题3.3图4．玻璃棱镜的折射棱角A 为60度,对某一波长的光其折射率为1.6.计算(1)最小偏向角;(2)此时的入射角;(3)能使光线从A 角两侧透过棱镜的最小入射角.解：由最小偏向角定义得 n=sin2A0+θ/sin 2A,得θ0=46゜１６′由几何关系知，此时的入射角为:i=2A0+θ=５３゜８′当在C 处正好发生全反射时：i 2’= sin-16.11=38゜41′,i 2=A- i 2’=21゜19′∴i 1= sin -1(1.6sin 21゜19′)= 35゜34′ ∴ｉmin ＝３５゜３4′５．图示一种恒偏向棱角镜,它相当于一个30度-60-90度棱镜与一个45度-45度度棱镜按图示方式组合在一起.白光沿i 方向入射，我们旋转这个棱镜来改变1θ，从而使任意一种波长的光可以依次循着图示的路径传播，出射光线为r.求证：如果2sin 1n=θ则12θθ=，且光束i 与 r 垂直（这就是恒偏向棱镜名字的由来）． 解： i nsin sin 11=θ若θ1sin = 2n , 则 sini 1 = 21, i 1=30。
费马原理证明
费马原理证明费马原理是由法国数学家费尔马在17世纪提出的一个重要原理，它在数学、物理等领域都有着广泛的应用。
费马原理的核心内容是“对于任意给定的光学系统，光线沿着两个点之间路径所用时间的变分总是为零”。
在本文中，我们将对费马原理进行证明，以便更深入地理解这一重要原理。
首先，我们来看费马原理的数学表达式。
设光在两点A和B之间传播，光线沿着路径y(x)走过时间T，那么费马原理可以表示为：δT = δ∫[A,B] n(x)ds = 0。
其中，n(x)是介质的折射率，s是路径长度，δ表示变分。
费马原理的证明需要借助变分法，我们假设路径y(x)在A和B处固定，而在A和B之间的路径可以任意变化。
我们要证明的是，光线沿着实际路径所用时间的变分为零。
为了证明费马原理，我们首先考虑一条近似路径y(x)+η(x)，其中η(x)是一个小的扰动函数。
我们将路径y(x)和y(x)+η(x)之间的时间差ΔT表示为：ΔT = ∫[A,B] n(x)ds + ∫[A,B] η(x)δn(x)ds。
其中，δn(x)是介质折射率的变分。
由于我们要证明光线沿着实际路径所用时间的变分为零，因此ΔT应当为零。
通过变分法的推导和计算，我们可以得到费马原理的证明。
在这个过程中，我们需要借助一些数学工具和技巧，如变分法、欧拉-拉格朗日方程等。
在证明的过程中，我们需要注意路径的边界条件，即路径在A和B处的固定条件。
费马原理的证明过程可能比较复杂，需要一定的数学基础和推导能力。
但通过认真学习和理解，我们可以更好地掌握费马原理的本质和应用。
费马原理在光学、物理等领域有着广泛的应用，它不仅可以帮助我们理解光的传播规律，还可以指导光学系统的设计和优化。
总之，费马原理是一个重要的物理原理，它在光学、物理等领域都有着广泛的应用。
通过对费马原理的证明，我们可以更深入地理解这一原理的本质和意义。
希望本文对读者能有所帮助，让大家对费马原理有更清晰的认识。
光学费马原理证明过程详细
光学费马原理证明过程详细哎呀，光学费马原理呀，这可真是个有趣又神奇的东西呢！咱先来说说费马原理到底是啥。
简单来讲，就是光在传播的时候，总是会选择那条耗时最短的路径。
就好像你要去一个地方，你肯定会挑最快能到的那条路走，光也是这么“聪明”呢！那怎么证明这个原理呢？咱可以想象一下哈，光就像个特别机灵的小精灵，它在各种路径中穿梭，然后总能找到最“划算”的那一条。
比如说有两条路可以走，一条路弯弯曲曲的，另一条路直直的，那光肯定会选择直直的那条呀，因为这样走最快嘛。
我们可以通过一些实验来观察光的行为。
比如弄个有不同路径的装置，然后让光通过。
你就会发现，光真的就像知道自己该怎么走似的，乖乖地沿着那条最优路径前进。
再想想看，如果光不按照费马原理走会怎样呢？那岂不是乱套啦！它可能会在各种奇怪的地方拐弯，或者绕一大圈才到达目的地，那多浪费时间呀。
但光可不会这么笨，它就是这么神奇地遵循着费马原理。
我们还可以从数学的角度来分析。
通过一些复杂的计算和推导，也能证明光确实是按照这个原理行动的。
这就好像解一道很难的数学题，虽然过程有点头疼，但一旦解出来，哇，那种成就感真是无与伦比。
而且哦，费马原理不仅仅在光学里有用，在其他很多领域也都有它的影子呢。
它就像是一把万能钥匙，能打开很多知识的大门。
你说这光学费马原理是不是特别神奇？它让我们看到了光的智慧和奇妙。
我们在生活中也应该像光一样，学会找到最适合自己的路，用最有效的方式去实现自己的目标呀。
总之呢，光学费马原理真的是值得我们好好去研究和探索的。
它让我们对光有了更深的理解，也让我们对这个世界的奇妙之处有了更多的认识。
大家可不要小瞧了这个原理哦，它里面蕴含的知识和智慧可是无穷无尽的呢！。
习题1举例说明光传播中符合几何光学各基本定律的现象和应用
习 题1-1. 举例说明光传播中符合几何光学各基本定律的现象和应用。
1-2. 一条光线入射在两个介质的分界面上，设入射角（入射光线与入射点法线的夹角）为30°，问下列情况下的折射角（折射光线与入射点法线的夹角）为多少？（1） 光线从空气射向玻璃（5.1=玻璃n ）（2） 光线从水（33.1=玻璃n ）中射向空气（3） 光线从水中射向玻璃1-3. 光线由水中射向空气，求在界面处发生全反射时的临界角。
当光线由玻璃内部射向空气时，临界角又为多少？（333.1=水n ，52.1=玻璃n ）。
1-4. 一根没有外包层的光纤折射率为1.3，一束光线以1u 为入射角从光纤的一端射入，利用全反射通过光纤，求光线能够通过光纤的最大入射角max 1u 。
实际应用中，为了保护光纤，在光纤的外径处加一包层，设光纤的内芯折射率为1.7，外包层的折射率为1.52，问此时光纤的最大入射角为多少？1-5. 在习题1-3中，若光纤的长度为2m ，直径为m μ20，设光纤为直的，问以最大入射角入射的光线从光纤的另一端射出时，经历了多少次反射？ 1-6. 利用费马原理验证反射定律。
1-7. 证明光线通过两表面平行的玻璃平板，出射光线与入射光线的方向永远平行。
1-8. 一个等边三角棱镜，假定入射光线和出射光线对棱镜对称，出射光线对入射光线的偏转角为40°，求棱镜的折射率。
习题2-1. 一个18㎜高的物体位于折射球面前180㎜处，球面半径r=30㎜，n=1，n ′=1.52，求像的位置、大小、正倒及虚实状况。
2-2. 一个球面半径30=r ㎜，物像方的折射率5.1',1==n n ，平行光的入射高度为10㎜，①求实际出射光线的像方截距；②求近轴光线的像距，并比较之。
2-3. 一个实物与被球面反射镜所成的实像相距1.2m ，如物高为像高的4倍，求球面镜的曲率半径。
2-4. 一个玻璃球半径为R ，若以平行光入射，当玻璃的折射率为何值时，会聚点恰好落在球面的后表面上。
光学教程姚启钧课后习题解答
光学教程姚启钧习题解答 第一章 光的干涉1、波长为500nm 的绿光投射在间距d 为0.022cm 的双缝上,在距离180cm 处的光屏上形成干涉条纹,求两个亮条纹之间的距离;若改用波长为700nm 的红光投射到此双缝上,两个亮纹之间的距离为多少算出这两种光第2级亮纹位置的距离;解：1500nm λ= 改用2700nm λ=两种光第二级亮纹位置的距离为：2、在杨氏实验装置中,光源波长为640nm ,两狭缝间距为0.4mm ,光屏离狭缝的距离为50cm ,试求：⑴光屏上第1亮条纹和中央亮纹之间的距离；⑵若P 点离中央亮纹为0.1mm 问两束光在P 点的相位差是多少⑶求P 点的光强度和中央点的强度之比;解：⑴7050640100.080.04r y cm d λ-∆==⨯⨯= ⑵由光程差公式⑶中央点强度：204I A = P 点光强为：221cos4I A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3、把折射率为1.5的玻璃片插入杨氏实验的一束光路中,光屏上原来第5级亮条纹所在的位置变为中央亮条纹,试求插入的玻璃片的厚度;已知光波长为7610m -⨯解： 1.5n =,设玻璃片的厚度为d 由玻璃片引起的附加光程差为：()1n d δ'=-4、波长为500nm 的单色平行光射在间距为0.2mm 的双缝上;通过其中一个缝的能量为另一个的2倍,在离狭缝50cm 的光屏上形成干涉图样,求干涉条纹间距和条纹的可见度;解：7050500100.1250.02r y cm d λ-∆==⨯⨯= 由干涉条纹可见度定义： 由题意,设22122A A =,即12A A =5、波长为700nm 的光源与菲涅耳双镜的相交棱之间距离为20cm ,棱到光屏间的距离L 为180cm ,若所得干涉条纹中相邻亮条纹的间隔为1mm ,求双镜平面之间的夹角θ;解：700,20,180,1nm r cm L cm y mm λ===∆= 由菲涅耳双镜干涉条纹间距公式6、在题 图所示的劳埃德镜实验中,光源S 到观察屏的距离为1.5m ,到劳埃德镜面的垂直距离为2mm ;劳埃德镜长40cm ,置于光源和屏之间的中央;⑴若光波波长500nm λ=,问条纹间距是多少⑵确定屏上可以看见条纹的区域大小,此区域内共有几条条纹提示：产生干涉的区域P 1P 2可由图中的几何关系求得解：由图示可知：7050050010,40.4, 1.5150nm cm d mm cm r m cm λ-==⨯==== ①70150500100.018750.190.4r y cm mm d λ-∆==⨯⨯== ②在观察屏上可以看见条纹的区域为P 1P 2间即21 3.45 1.16 2.29P P mm =-=,离屏中央1.16mm 上方的2.29mm 范围内可看见条纹;P 2 P 1 P 0题图7、试求能产生红光700nm λ=的二级反射干涉条纹的肥皂膜厚度;已知肥皂膜折射率为1.33,且平行光与法向成300角入射;解：2700, 1.33nm n λ==由等倾干涉的光程差公式：22λδ=8、透镜表面通常镀一层如MgF 2 1.38n =一类的透明物质薄膜,目的是利用干涉来降低玻璃表面的反射;为了使透镜在可见光谱的中心波长550nm 处产生极小的反射,则镀层必须有多厚解： 1.38n =物质薄膜厚度使膜上下表面反射光产生干涉相消,光在介质上下表面反射时均存在半波损失;由光程差公式：9、在两块玻璃片之间一边放一条厚纸,另一边相互压紧,玻璃片l 长10cm ,纸厚为0.05mm ,从600的反射角进行观察,问在玻璃片单位长度内看到的干涉条纹数目是多少设单色光源波长为500nm解：02cos602o n hδ=+相邻亮条纹的高度差为：605005001012cos60212oh nm mm n λ-∆===⨯⨯⨯可看见总条纹数60.0510050010H N h -===∆⨯ 则在玻璃片单位长度内看到的干涉条纹数目为： 即每cm 内10条;10、在上题装置中,沿垂直于玻璃表面的方向看去,看到相邻两条暗纹间距为1.4mm ;已知玻璃片长17.9cm ,纸厚0.036mm ,求光波的波长;解：当光垂直入射时,等厚干涉的光程差公式： 可得：相邻亮纹所对应的厚度差：2h nλ∆=由几何关系：h H l l ∆=∆,即l h H l∆∆= 11、波长为400760nm 的可见光正射在一块厚度为61.210m -⨯,折射率为1.5的薄玻璃片上,试问从玻璃片反射的光中哪些波长的光最强;解：61.210, 1.5h m n -=⨯= 由光正入射的等倾干涉光程差公式：22nh λδ=-使反射光最强的光波满：足22nh j λδλ=-=12、迈克耳逊干涉仪的反射镜M 2移动0.25mm 时,看到条纹移过的数目为909个,设光为垂直入射,求所用光源的波长;解：光垂直入射情况下的等厚干涉的光程差公式：22nh h δ==移动一级厚度的改变量为：2h λ∆=13、迈克耳逊干涉仪的平面镜的面积为244cm ⨯,观察到该镜上有20个条纹,当入射光的波长为589nm 时,两镜面之间的夹角为多少解：由光垂直入射情况下的等厚干涉的光程差公式： 22nh h δ==相邻级亮条纹的高度差：2h λ∆=由1M 和2M '构成的空气尖劈的两边高度差为：M 1 M214、调节一台迈克耳逊干涉仪,使其用波长为500nm 的扩展光源照明时会出现同心圆环条纹;若要使圆环中心处相继出现1000条圆环条纹,则必须将移动一臂多远的距离若中心是亮的,试计算第一暗环的角半径;提示：圆环是等倾干涉图样,计算第一暗环角半径时可利用21sin ,cos 12θθθθ≈≈-的关系;解：500nm λ=出现同心圆环条纹,即干涉为等倾干涉 对中心2h δ=15、用单色光观察牛顿环,测得某一亮环的直径为3mm ,在它外边第5个亮环的直径为4.6mm ,所用平凸透镜的凸面曲率半径为1.03m ,求此单色光的波长;解：由牛顿环的亮环的半径公式：r = 以上两式相减得：16、在反射光中观察某单色光所形成的牛顿环,其第2级亮环与第3级亮环间距为1mm ,求第19和20级亮环之间的距离;解：牛顿环的反射光中所见亮环的半径为：即：2r =则：)2019320.160.40.4rr r r r mm ∆=-==-==第2章 光的衍射1、单色平面光照射到一小圆孔上,将其波面分成半波带;求第k 个带的半径;若极点到观察点的距离0r 为1m ,单色光波长为450nm ,求此时第一半波带的半径;解：由公式对平面平行光照射时,波面为平面,即：R →∞2、平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上,设此孔可以像照相机光圈那样改变大小;问：⑴小孔半径应满足什么条件时,才能使得此小孔右侧轴线上距小孔中心4m 的P 点的光强分别得到极大值和极小值；⑵P 点最亮时,小孔直径应为多大设此光的波长为500nm ;解：⑴04400r m cm == 当k 为奇数时,P 点为极大值 当C 数时,P 点为极小值⑵由()112P k A a a =±,k 为奇,取“+”；k 为偶,取“-” 当1k=,即仅露出一个半波带时,P 点最亮;10.141,(1)H R cm k ==,0.282D cm =3、波长为500nm 的单色点光源离光阑1m ,光阑上有一个内外半径分别为0.5mm 和1mm 的透光圆环,接收点P 离光阑1m ,求P 点的光强I 与没有光阑时的光强0I 之比;解：即从透光圆环所透过的半波带为：2,3,4 设1234a a a a a ==== 没有光阑时光强之比：2204112I a I a ==⎛⎫ ⎪⎝⎭4、波长为632.8nm 的平行光射向直径为2.76mm 的圆孔,与孔相距1m 处放一屏,试问：⑴屏上正对圆孔中心的P 点是亮点还是暗点⑵要使P 点变成与⑴相反的情况,至少要把屏分别向前或向后移动多少解：由公式对平面平行光照射时,波面为平面,即：R →∞2290 2.7623632.8101H R k r λ-⎛⎫ ⎪⎝⎭===⨯⨯, 即P 点为亮点; 则 0113kr R ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭, 注：0,r R 取m 作单位向右移,使得2k=,031.5, 1.510.52r m r m '==∆=-= 向左移,使得4k =,030.75,10.750.254r m r m '==∆=-=5、一波带片由五个半波带组成;第一半波带为半径1r 的不透明圆盘,第二半波带是半径1r 和2r 的透明圆环,第三半波带是2r 至3r 的不透明圆环,第四半波带是3r 至4r 的透明圆环,第五半波带是4r 至无穷大的不透明区域;已知1234:::r r r r =用波长500nm 的平行单色光照明,最亮的像点在距波带片1m 的轴上,试求：⑴1r ；⑵像点的光强；⑶光强极大值出现在哪些位置上;解： ⑴由1234:::r r r r =波带片具有透镜成像的作用,2HkR f k λ'=⑵2242,4A a a a I a =+==无光阑时,2201124I a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭即：016I I =,0I 为入射光的强度; ⑶由于波带片还有11,35f f ''…等多个焦点存在,即光强极大值在轴上11,35m m … 6、波长为λ的点光源经波带片成一个像点,该波带片有100个透明奇数半波带1,3,5,…,199;另外100个不透明偶数半波带;比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时该像点的强度比0:I I ;解：由波带片成像时,像点的强度为： 由透镜成像时,像点的强度为： 即014I I = 7、平面光的波长为480nm ,垂直照射到宽度为0.4mm 的狭缝上,会聚透镜的焦距为60cm ;分别计算当缝的两边到P 点的相位差为/2π和/6π时,P 点离焦点的距离;解：对沿θ方向的衍射光,缝的两边光的光程差为：sin b δθ= 相位差为：22sin b ππϕδθλλ∆==对使2πϕ∆=的P 点对使6πϕ∆=的P `点8、白光形成的单缝衍射图样中,其中某一波长的第三个次最大值与波长为600nm 的光波的第二个次最大值重合,求该光波的波长;解：对θ方位,600nm λ=的第二个次最大位对 λ'的第三个次最大位 即：5722b bλλ'⨯=⨯ 9、波长为546.1nm 的平行光垂直地射在1mm 宽的缝上,若将焦距为100cm 的透镜紧贴于缝的后面,并使光聚焦到屏上,问衍射图样的中央到⑴第一最小值；⑵第一最大值；⑶第三最小值的距离分别为多少解：⑴第一最小值的方位角1θ为：1sin 1b θλ=⋅⑵第一最大值的方位角1θ'为： ⑶第3最小值的方位角3θ为：3sin 3bλθ=⋅10、钠光通过宽0.2mm 的狭缝后,投射到与缝相距300cm 的照相底片上;所得的第一最小值与第二最小值间的距离为0.885cm ,问钠光的波长为多少若改用X 射线0.1nm λ=做此实验,问底片上这两个最小值之间的距离是多少解：单缝衍射花样最小值位置对应的方位θ满足： 则 11sin 1bλθθ≈=⋅11、以纵坐标表示强度,横坐标表示屏上的位置,粗略地画出三缝的夫琅禾费衍射包括缝与缝之间的干涉图样;设缝宽为b ,相邻缝间的距离为d ,3d b =;注意缺级问题;12、一束平行白光垂直入射在每毫米50条刻痕的光栅上,问第一级光谱的末端和第二光谱的始端的衍射角θ之差为多少设可见光中最短的紫光波长为400nm ,最长的红光波长为760nm解：每毫米50条刻痕的光栅,即10.0250dmm mm == 第一级光谱的末端对应的衍射方位角1θ末为第二级光谱的始端对应的衍射方位角2θ始为13、用可见光760400nm 照射光栅时,一级光谱和二级光谱是否重叠二级和三级怎样若重叠,则重叠范围是多少解：光谱线对应的方位角θ：sin kdλθθ≈=即第一级光谱与第二级光谱无重叠 即第二级光谱与第三级光谱有重叠 由2152015203,506.73nm nm d dλθλ==⨯==末即第三级光谱的400506.7nm 的光谱与第二级光谱重叠;14、用波长为589nm 的单色光照射一衍射光栅,其光谱的中央最大值和第二十级主最大值之间的衍射角为01510',求该光栅1cm 内的缝数是多少解：第20级主最大值的衍射角由光栅方程决定 解得20.4510d cm -=⨯15、用每毫米内有400条刻痕的平面透射光栅观察波长为589nm 的钠光谱;试问：⑴光垂直入射时,最多功能能观察到几级光谱⑵光以030角入射时,最多能观察到几级光谱解：61,58910400dmm mm λ-==⨯⑴光垂直入射时,由光栅方程：sin d j θλ= 即能看到4级光谱⑵光以30o角入射16、白光垂直照射到一个每毫米250条刻痕的平面透射光栅上,试问在衍射角为030处会出现哪些波长的光其颜色如何解：1250dmm =在30o的衍射角方向出现的光,应满足光栅方程：sin 30od j λ=17、用波长为624nm 的单色光照射一光栅,已知该光栅的缝宽b 为0.012mm ,不透明部分的宽度a 为0.029mm ,缝数N 为310条;求：⑴单缝衍射图样的中央角宽度；⑵单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱⑶谱线的半宽度为多少解：0.012,0.029b mm a mm ==⑴6062410220.1040.012rad b λθ-⨯∆==⨯= ⑵j 级光谱对应的衍射角θ为：即在单缝图样中央宽度内能看到()2317⨯+=条级光谱⑶由多缝干涉最小值位置决定公式：sin j Ndλθ'=⋅第3章 几何光学的基本原理1、证明反射定律符合费马原理 证明：设A 点坐标为()10,y ,B 点坐标为()22,x y入射点C 的坐标为(),0x光程ACB为：∆=令2sin sin 0x x d i i dx -∆'==-=即：sin sin i i '=2、根据费马原理可以导出近轴光线条件下,从物点发出并会聚到像点的所有光线的光程都相等;由此导出薄透镜的物像公式;3、眼睛E 和物体PQ 之间有一块折射率为1.5的玻璃平板见题图,平板的厚度d 为30cm ;求物体PQ 的像P `Q`与物体PQ 之间的距离2d 为多少解：由图：()121211tan tan sin sin 1sin BB d i d i d i i d i n ⎛⎫'=-≈-=-⎪⎝⎭4、玻璃棱镜的折射角A 为060,对某一波长的光其折射率n 为1.6,计算：⑴最小偏向角；⑵此时的入射角；⑶能使光线从A 角两侧透过棱镜的最小入射角;解：⑴ 由()()()1212112211i i i i i i i i i i A θ'''''=-+-=+-+=+- 当11i i '=时偏向角为最小,即有221302o i i A '=== ⑵15308oi '= 5、略6、高5cm 的物体距凹面镜顶点12cm ,凹面镜的焦距是10cm ,求像的位置及高度,并作光路图解：由球面成像公式： 代入数值1121220s +='-- 得：60s cm '=- 由公式：0y y s s '+='7、一个5cm 高的物体放在球面镜前10cm 处成1cm 高的虚像;求⑴此镜的曲率半径；⑵此镜是凸面镜还是凹面镜解：⑴5,10y cm s cm ==-1y cm '=, 虚像0s '>由y s y s''=- 得：2s cm '=⑵由公式112s s r+=' 5r cm =为凸面镜8、某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜中他自己的像;他移动着玻璃板,使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在一起;若凸面镜的焦距为10cm ,眼睛距凸面镜顶点的距离为40cm ,问玻璃板距观察者眼睛的距离为多少解：由题意,凸面镜焦距为10cm ,即10r = 玻璃板距观察者眼睛的距离为1242dPP cm '==9、物体位于凹面镜轴线上焦点之外,在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂直的两表面互相平行的玻璃板,其厚度为1d ,折射率为n ;试证明：放入该玻璃板后使像移动的距离与把凹面镜向物体移动()11/d n n -的一段距离的效果相同;证明：设物点P 不动,由成像公式s s r+='由题3可知：11110PP d d n ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭入射到镜面上的光线可视为从1P 发出的,即加入玻璃板后的物距为s d +反射光线经玻璃板后也要平移d ,所成像的像距为11s s d '''=- 放入玻璃板后像移量为：()()()1122r s d rss s s d s d r s r +''''∆=-=--+--凹面镜向物移动d 之后,物距为s d + 0,0s d <>2s '相对o 点距离()()222r s d s s d d s d r+'''=-=-+-10、欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体并成像在右半球面的顶点处,问这透明球体的折射率应为多少解：由球面折射成像公式：n n n n s s r''--=' 解得： 2n '=11、有一折射率为1.5、半径为4cm 的玻璃球,物体在距球表面6cm 处,求：⑴物所成的像到球心之间的距离；⑵像的横向放大率;解：⑴P 由球面1o 成像为P ',P '由2o 球面成像P ''211s cm '=,P ''在2o 的右侧,离球心的距离11415cm += ⑵球面1o 成像1111y s y s n β''==⋅ 利用P194：y s ny s n ''=⋅'球面2o 成像12、一个折射率为1.53、直径为20cm 的玻璃球内有两个小气泡;看上去一个恰好在球心,另一个从最近的方向看去,好像在表面与球心连线的中点,求两气泡的实际位置;解：设气泡1P 经球面1o 成像于球心,由球面折射成像公式：n n ns s r'--=' 110s cm =-, 即气泡1P 就在球心处 另一个气泡2P2 6.05s cm =-, 即气泡2P 离球心10 6.05 3.95cm -=13、直径为1m 的球形鱼缸的中心处有一条小鱼,若玻璃缸壁的影响可忽略不计,求缸外观察者所看到的小鱼的表观位置和横向放大率;解：由球面折射成像公式：n n n ns s r''--=' 解得 50s cm '=-,在原处14、玻璃棒一端成半球形,其曲率半径为2cm ;将它水平地浸入折射率为1.33的水中,沿着棒的轴线离球面顶点8cm 处的水中有一物体,利用计算和作图法求像的位置及横向放大率,并作光路图;解：由球面折射成像公式：s sr-='15、有两块玻璃薄透镜的两表面均各为凸球面及凹球面,其曲率半径为10cm ;一物点在主轴上距镜20cm 处,若物和镜均浸入水中,分别用作图法和计算法求像点的位置;设玻璃的折射率为1.5,水的折射率为1.33;解：由薄透镜的物像公式：211212n n n n n n s s r r ---=+' 对两表面均为凸球面的薄透镜： 对两表面均为凹球面的薄透镜：16、一凸透镜在空气的焦距为40cm ,在水中时焦距为136.8cm ,问此透镜的折射率为多少水的折射率为1.33若将此透镜置于CS 2中CS 2的折射率为1.62,其焦距又为多少解：⑴ 薄透镜的像方焦距：21212n f n n n n r r '=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭12n n = 时,()111211n f n n r r '=⎛⎫-- ⎪⎝⎭在空气中：()1121111f n r r '=⎛⎫-- ⎪⎝⎭在水中：()2121.33111.33f n r r '=⎛⎫-- ⎪⎝⎭两式相比：()()12 1.33401.331136.8n f f n -'=='- 解得 1.54n = ⑵12 1.62n n ==而：()11211111f n r r '-=⎛⎫- ⎪⎝⎭则：()1.6240 1.541437.41.54 1.62f cm '=⨯⨯-=--第4章 光学仪器的基本原理1、眼睛的构造简单地可用一折射球面来表示,其曲率半径为5.55mm ,内部为折射率等于4/3的液体,外部是空气,其折射率近似地等于1;试计算眼球的两个焦距;用肉眼观察月球时月球对眼的张角为01,问视网膜上月球的像有多大解：由球面折射成像公式：n n n ns s r''--=' 令43,5.55 2.22413n s f r cm n n ''=-∞=⋅=⨯='--令1,5.5516.7413n s f r cm n n '=∞=-⋅=-⨯=-'--2、把人眼的晶状体看成距视网膜2cm 的一个简单透镜;有人能看清距离在100cm 到300cm 间的物体;试问：⑴此人看远点和近点时,眼睛透镜的焦距是多少⑵为看清25cm 远的物体,需配戴怎样的眼镜解：⑴对于远点：11300,2s cm s cm '=-= 由透镜成像公式：111111s s f -='' 对于近点：2211121001.961f f cm-='-'= ⑵对于25cm 由两光具组互相接触0d =组合整体：110.030cm f -=''近视度：300o3、一照相机对准远物时,底片距物镜18cm ,当镜头拉至最大长度时,底片与物镜相距20cm ,求目的物在镜前的最近距离解：由题意：照相机对准远物时,底片距物镜18cm , 由透镜成像公式：111s s f -=''4、两星所成的视角为4',用望远镜物镜照相,所得两像点相距1mm ,问望远镜物镜的焦距是多少解： 3.14118060rad '=⨯5、一显微镜具有三个物镜和两个目镜;三个物镜的焦距分别为16mm 、4mm 和1.9mm ,两个目镜的放大本领分别为5和10倍;设三个物镜造成的像都能落在像距为160cm 处,问这显微镜的最大和最小的放大本领各为多少解：由显微镜的放大本领公式： 其最大放大本领： 其最小放大本领：6、一显微镜物镜焦距为0.5cm ,目镜焦距为2cm ,两镜间距为22cm ;观察者看到的像在无穷远处;试求物体到物镜的距离和显微镜的放大本领;解：由透镜物像公式：111s s f -=''解得：0.51s cm =- 显微镜的放大本领：1212252522255500.52s l M f f f f '=-⋅≈-⋅=-⨯=-'''' 7、略8、已知望远镜物镜的边缘即为有效光阑,试计算并作图求入光瞳和出射光瞳的位置;9、 10、13、焦距为20cm 的薄透镜,放在发光强度为15cd 的点光源之前30cm 处,在透镜后面80cm 处放一屏,在屏上得到明亮的圆斑;求不计透镜中光的吸收时,圆斑的中心照度;解：230Sd Id Iφ=Ω= S 为透镜的面积P 点的像点P '的发光强度I '为：14、一长为5mm 的线状物体放在一照相机镜头前50cm 处,在底片上形成的像长为1mm ;若底片后移1cm ,则像的弥散斑宽度为1mm ;试求照相机镜头的F 数;解：由y s y s''= 1550s '= 得10s cm '=由透镜物像公式：111s s f -=''由图可见,100.11d = 1d cm = F 数：508.336f d '==15、某种玻璃在靠近钠光的黄色双谱线其波长分别为589nm 和589.6nm 附近的色散率/dn d λ为1360cm --,求由此种玻璃制成的能分辨钠光双谱线的三棱镜,底边宽度应小于多少解：由色分辨本领：dnP d λδλλ==∆ 16、设计一块光栅,要求⑴使波长600nm 的第二级谱线的衍射角小于030,并能分辨其0.02nm 的波长差；⑵色散尽可能大；⑶第三级谱线缺级;求出其缝宽、缝数、光栅常数和总宽度;用这块光栅总共能看到600nm 的几条谱线解：由sin d j θλ= 由第三级缺级 由 P jN λλ==∆ 光栅的总宽度：315000 2.41036L Nd mm -==⨯⨯=由sin 9024004600od j λ=== 能看到0,1,2±±,共5条谱线17、若要求显微镜能分辨相距0.000375mm 的两点,用波长为550nm 的可见光照明;试求：⑴此显微镜物镜的数值孔径；⑵若要求此两点放大后的视角为2',则显微镜的放大本领是多少解：⑴由显微镜物镜的分辨极限定义⑵ 3.1418060387.70.000375250M ⨯==18、夜间自远处驶来汽车的两前灯相距1.5m ;如将眼睛的瞳孔看成产生衍射的圆孔,试估计视力正常的人在多远处才能分辨出光源是两个灯;设眼睛瞳孔的直径为3mm ,设光源发出的光的波长λ为550nm ;解： 1.5U L=当0.610URλθ==才能分辨出19、用孔径分别为20cm 和160cm 的两种望远镜能否分辨清月球上直径为500m 的环形山月球与地面的距离为地球半径的60倍,面地球半径约为6370km ;设光源发出的光的波长λ为550nm ;解：63500 1.31060637010Urad -==⨯⨯⨯ 孔径20cm 望远镜：孔径160cm 望远镜：1U θ'<,即用孔径20cm 望远镜不能分辨清 1U θ''>,即用孔径160cm 望远镜能分辨清20、电子显微镜的孔径角028u =,电子束的波长为0.1nm ,试求它的最小分辨距离;若人眼能分辨在明视距离处相距26.710mm -⨯的两点,则此显微镜的放大倍数是多少解： 3.144sin sin 4180o n uu u ⨯====第五章光的偏振1、试确定下面两列光波的偏振态;解：①()10cos cos 2x y E A e t kz e t kz πωω⎡⎤⎛⎫=-+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦有：22211x y E E A += 分析()(),0000,2x y x y E At kz A E E t kz A E Aωπω=⎧⎪-=⎨=⎪⎩=⎧⎪-=⎨=⎪⎩为左旋圆偏振光②()20sin sin 2x y E A e t kz e t kz πωω⎡⎤⎛⎫=-+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦有：22211x y E E A += 分析()()0,,002x y x y E t kz A E A E A t kz A E ωπω=⎧⎪-=-⎨=-⎪⎩=⎧⎪-=⎨=⎪⎩为左旋圆偏振光2、为了比较两个被自然光照射的表面的亮度,对其中一个表面直接进行观察,另一个表面通过两块偏振片来观察;两偏振片的透振方向的夹角为060;若观察到两表面的亮度相同;则两表面实际的亮度比是多少已知光通过每一块偏振片后损失入射光能量的0010;解：由于被光照射的表面的亮度与其反射的光的光强成正比;设直接观察的表面对应的光强为1o I ,通过两偏振片观察的表面的光强为2o I通过第一块偏振片的光强为：通过第二块偏振片的光强为： 由1220.1o o I I I ==则：120.1ooI I = 3、两个尼科耳N 1和N 2的夹角为060,在它们之间放置另一个尼科耳N 3,让平行的自然光通过这个系统;假设各尼科耳对非常光均无吸收,试问N 3和N 1的透振方向的夹角为何值时,通过系统的光强最大设入射光强为0I ,求此时所能通过的最大光强;解：令：20dI d α=得：()tan tan 60αα=- 4、在两个正义的理想偏听偏振片之间有一个偏振片以匀角速度ω绕光的传播方向旋转见题图,若入射的自然光强为0I ,试证明透射光强为()011cos 416I I t ω=- 证明：5、线偏振光入射到折射率为1.732的玻璃片上,入射角是060,入射光的电矢量与入射面成030角;求由分界面上反射的光强占入射光强的百分比;解：设入射线偏振光振幅为A ,则入射光强为20I A = 入射光平行分量为：1cos 30oP A A = 入射光垂直分量为：1sin 30o S A A = 由：21sin603sin i =得：230o i =由：()()()()121112tan 6030tan 0tan tan 6030oPo P i i A A i i --'===++ 6、一线偏振光垂直入射到一方解石晶体上,它的振动面和主截面成030角;两束折射光通过在方解石后面的一个尼科耳棱镜,其主截面与入射光的振动方向成050角;计算两束透射光的相对强度;解：当光振动面与N 主截面在晶体主截面同侧： 当光振动面与N 主截面在晶体主截面两侧：7、线偏振光垂直入射到一块光轴平行于表面的方解石波片上,光的振动面和波片的主截面成030角;求：⑴透射出来的寻常光和非常光的相对强度为多少⑵用钠光入时如要产生090的相位差,波片的厚度应为多少589nm λ=解：⑴1sin 302o o A A A ==214o I A = ⑵ 方解石对钠光 1.658 1.486o e n n ==由()2o e n n d πϕλ∆=-8、有一块平行石英片是沿平行于光轴方向切成一块黄光的14波片,问这块石英片应切成多厚石英的01.552, 1.543,589e n n nm λ===;解：()2o e n n d πϕλ∆=-9、⑴线偏振光垂直入射到一个表面和光轴平行的波片,透射出来后,原来在波片中的寻常光及非常光产生了大小为π的相位差,问波片的厚度为多少0 1.5442, 1.5533,500e n n nm λ===⑵问这块波片应怎样放置才能使透射出来的光是线偏振光,而且它的振动面和入射光的振动面成090的角解：⑴()()221o e n n d k πϕπλ∆=-=+⑵振动方向与晶体主截面成45o角10、线偏振光垂直入射到一块表面平行于光轴的双折射波片,光振动面和波片光轴成025角,问波片中的寻常光和非常光透射出来后的相对强度如何解：cos 25oe A A =11、在两正交尼科耳棱镜N 1和N 2之间垂直插入一块波片,发现N 2后面有光射出,但当N 2绕入射光向顺时针转过020后, N 2的视场全暗,此时,把波片也绕入射光顺时针转过020,N 2的视场又亮了,问：⑴这是什么性质的波片；⑵N 2要转过多大角度才能使N 2的视场以变为全暗;解：⑴由题意,当2N 绕入射光向顺时针转动20o 后,2N 后的视场全暗,说明A '与1N 夹角为20o;只有当波片为半波片时,才能使入射线偏振光出射后仍为线偏振光;⑵把波片也绕入射光顺时针转过020,2N 要转过040才能使2N 后的视场又变为全暗12、一束圆偏振光,⑴垂直入射1/4波片上,求透射光的偏振状态；⑵垂直入射到1/8波片上,求透射光的偏振状态;解：在xy 平面上,圆偏振光的电矢量为： ()()cos sin x y E A t kz e A t kz e ωω=-±- +为左旋；-为右旋圆偏振光设在波片入射表面上为 ⑴波片为14波片时,2πϕ∆= 即透射光为振动方向与晶片主截面成45o角的线偏振光⑵波片为18波片时,4πϕ∆= 即透射光为椭圆偏振光;13、试证明一束左旋圆偏振光和一束右旋圆偏振光,当它们的振幅相等时,合成的光是线偏振光;解：左旋圆偏振光 右旋圆偏振光 即E 为线偏振光14、设一方解石波片沿平行光轴方向切出,其厚度为0.0343mm ,放在两个正交的尼科耳棱镜间,平行光束经过第一尼科耳棱镜后,垂直地射到波片上,对于钠光589.3nm 而言,晶体的折射率为 1.658, 1.486o e n n ==;问通过第二尼科耳棱镜后,光束发生的干涉是加强还是减弱如果两个尼科耳棱镜的主截面是互相平行的,结果又如何解：①1N 与2N 正交时,即通过第二个尼科耳棱镜后,光束的干涉是减弱的; ②1N 与2N 互相平行时,即通过第二个尼科耳棱镜后,光束的干涉是加强的;15、单色光通过一尼科耳镜N 1,然后射到杨氏干涉实验装置的两个细缝上,问：⑴尼科耳镜N 1的主截面与图面应成怎样的角度才能使光屏上的干涉图样中的暗条纹为最暗⑵在上述情况下,在一个细缝前放置一半波片,并将这半波片绕着光线方向继续旋转,问在光屏上的干涉图样有何改变解：⑴尼科耳镜N 1的主截面与图面应成90的角度时,光屏上的干涉图样中的暗条纹为最暗;⑵在一个细缝前放置一半波片,并将这半波片绕着光线方向继续旋转,光屏上的干涉图样随半波片的旋转而由清晰变模糊再由模糊变清晰的改变;16、单色平行自然光垂直入射在杨氏双缝上,屏幕上出现一组干涉条纹;已知屏上A 、C 两点分别对应零级亮纹和零级暗纹,B 是AC 的中点,如题图所示,试问：⑴若在双缝后放一理想偏振片P,屏上干涉条纹的位置、宽度会有何变化A 、C 两点的光强会有何变化⑵在一条缝的偏振片后放一片光轴与偏振片透光方向成045的半波片,屏上有无干涉条纹A 、B 、C 各点的情况如何答：⑴若在双缝后放一理想偏振片P,屏上干涉条纹的位置、宽度不全有变化;A 、C 两点的光强会减弱;⑵在一条缝的偏振片后放一片光轴与偏振片透光方向成045的半波片,屏上有无干涉条纹位置不变,A 、B 、C 各点的光强有变化,干涉图样可见度下降了; C B A。
费马原理的证明
费马原理的证明费马原理是数学中的一个重要定理，它在几何光学和物理光学中有着广泛的应用。
费马原理的核心思想是光线在传播过程中总是沿着光程时间最短的路径传播。
这一原理的证明过程相对复杂，但是通过几何光学和物理光学的知识，我们可以较为清晰地理解其证明过程。
首先，我们来看一下费马原理的基本内容。
费马原理指出，光线从一个点出发，到达另一个点的路径，总是沿着光程时间最短的路径传播。
这里的光程时间指的是光线在传播过程中所经历的时间，它是光速和路径长度的乘积。
费马原理的证明过程可以通过变分法来进行推导。
假设光线从点A出发，经过一系列的反射或折射，到达点B。
我们可以用变分法来证明，光线传播的路径确实是光程时间最短的路径。
首先，我们要假设光线传播的路径是一条曲线，然后我们对这条曲线进行微小的变化，观察光程时间的变化情况。
通过计算微小变化后光程时间的变化量，我们可以得到光程时间对路径的变化率，进而得到光程时间最小的路径。
在证明过程中，我们需要运用到变分法的相关知识，同时也需要考虑到光线在传播过程中的折射和反射现象。
通过对路径的微小变化和光程时间的计算，我们可以得到光线传播的路径确实是光程时间最短的路径。
这就是费马原理的证明过程。
费马原理的证明过程虽然较为复杂，但是通过对光线传播路径的微小变化和光程时间的计算，我们可以清晰地理解费马原理的成立。
费马原理在几何光学和物理光学中有着重要的应用，它为我们理解光线传播的规律提供了重要的理论基础。
同时，费马原理也为光学仪器的设计和光学技术的发展提供了重要的指导。
总之，费马原理是光学中的重要定理，它指出光线在传播过程中总是沿着光程时间最短的路径传播。
通过变分法的证明过程，我们可以清晰地理解费马原理的成立，并且认识到其在光学中的重要应用。
费马原理的证明过程虽然较为复杂，但是通过对光线传播路径的微小变化和光程时间的计算，我们可以得到光线传播的路径确实是光程时间最短的路径。
这一证明过程为我们理解光学中的光线传播规律提供了重要的理论基础。
费马原理证明反射定律和折射定律
费马原理证明反射定律和折射定律1. 费马原理大揭秘嘿，小伙伴们！你有没有过这样的经历：你在湖边玩耍，不小心把一个石头扔进水里，哇！石头溅起的水花飞溅而出，你瞪大眼睛想，哎呀，这水花飞到哪儿去了呢？其实，费马原理就像是自然界的魔法指南，告诉我们光和其他东西如何最“省心”地走路。
好啦，接下来咱们就聊聊费马原理的故事。
费马原理，听起来是不是有点拗口？别急，其实它挺简单的。
这个原理说的是，光在传播的时候，总是选择一条时间最短的路径。
就好像你跑步去上学，肯定选择最快的路一样，光也在选择它的“捷径”。
这也就是为什么光在不同介质（比如空气和水）中，行进的速度不一样了。
2. 反射定律的揭示2.1 光的反射原理说到反射定律，咱们得聊聊镜子。
记得小时候，你是不是总喜欢在镜子面前摆弄发型，瞅瞅自己帅气的模样？镜子里看到的你，真的是完美吗？不完全是哦，镜子里光的反射可是有讲究的。
反射定律告诉我们，光线打到镜子上的角度（入射角），和光线从镜子里反射回来的角度（反射角）是一样的。
所以，假如你用手电筒对着镜子照，光线照到镜子上就会反射回来，反射的角度和你手电筒照过去的角度一模一样。
这就像是你打篮球时，球打到篮筐上的角度，球反弹回来的角度也差不多一样，只不过篮球没有镜子那么“规矩”。
2.2 费马原理如何解释反射这里就有意思了，费马原理如何解释这个反射现象呢？其实，费马原理告诉我们，光在反射时也会选择一条时间最短的路径。
简单来说，光从你眼睛里出来，打到镜子上，再反射回来，这一切都是为了减少光行进的总时间。
这就像是你走路去超市买菜，为了省时，你会选择最快的路线，而不是绕路。
3. 折射定律的奥秘3.1 光的折射原理好了，接下来我们聊聊折射。
你有没有注意到，当你把一根吸管放进水里，它看起来好像弯了？这就是折射的效果。
折射发生在光线穿过不同介质的时候，比如从空气到水里。
这时候，光的传播速度会改变，导致光线方向发生改变。
想象一下，你的吸管在水里的那一部分，就好像光线在水中的“新路线”。
1.2 费马原理
光程[l]取极小值
z0 有
n1 ( x x1 ) ( x x1 ) 2 y12 x x1 ( x x1 ) 2 y12 i i
13
n1 ( x2 x) ( x x2 ) 2 y 2 2 x x2 ( x x2 ) 2 y2 2 sin i
(n1 L1 n2 L2 ) 0 y
物理科学与信息工程学院 15
分别将L1和L2代入上式可得：
n1 y n2 y n1 (n1 L1 n2 L2 ) 0 (1) y L1 L2 P (n1 L1 n2 L2 ) x x x x1 x x2 n2 B n1 n2 0 (2) L1 L2
i ,
物理科学与信息工程学院 2
一、光程 光程定义: 光在介质中的光程 L 为介质的折射率与 光在介质中所走的几何路程之积. L ns 因此,光在介质中走过的光程，等于以相同的时间 在真空中走过的距离.
若由A到B充满着折射率连 续变化的介质，则光由A到B B 的总光程为
B
L nds
A
（分母大于零）
n1 ( x x2 ) ( x x2 ) 2 y 2 2 z 2 n1 z ( x x2 ) 2 y 2 2 z 2
0 0
入射线和反射线应 在xoy平面内.
12
M ( x,0, z) M ( x,0,0)
AM MB AM M B
B
所用时间为 t 1
nds c
A
A
物理科学与信息工程学院 3
二、费马原理
1658年法国数学家、物 理学家费马（P. Fermat
1601-1665) 概括了光线传
反射定律符合费马原理且其光程取极小值之证明
反射定律符合费马原理且其光程取极小值之证明
费马原理是物理学中一个重要的定理，它指出，任何一条光线在反射时，其反射角度等于入射角度。
这一定律被称为反射定律，它是物理学中最基本的定律之一。
反射定律的证明
可以从几何学的角度来看，即任何一条光线在反射时，其反射角度等于入射角度。
这一定
律可以用几何学的方法来证明，即在反射时，入射角度和反射角度之间的夹角是相等的。
另外，反射定律也符合费马原理，即任何一条光线在反射时，其反射角度等于入射角度。
费马原理可以用物理学的方法来证明，即在反射时，光程取极小值。
这是因为，在反射时，光程取极小值，这意味着光线在反射时，其反射角度等于入射角度。
因此，反射定律符合费马原理，其光程取极小值的证明可以从几何学和物理学的角度来看，即任何一条光线在反射时，其反射角度等于入射角度，而且光程取极小值。
因此，反射定
律符合费马原理，其光程取极小值的证明是有效的。
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第三章 几何光学基本原理1．证明反射定律符合费马原理。
证明：费马原理是光沿着光程为最小值、最大值或恒定值的路径传播。
⎰=BAnds 或恒值max .min ，在介质n 与'n 的界面上，入射光A 遵守反射定律11i i '=,经O 点到达B 点，如果能证明从A 点到B 点的所有光程中AOB 是最小光程，则说明反射定律符合费马原理。
设C 点为介质分界面上除O 点以外的其他任意一点，连接ACB 并说明光程∆ ACB>光程∆AOB由于∆ACB 与∆AOB 在同一种介质里，所以比较两个光程的大小，实际上就是比较两个路程ACB 与AOB 的大小。
从B 点到分界面的垂线，垂足为o '，并延长O B '至 B ′，使B O B O '=''，连接 B O '，根据几何关系知B O OB '=，再结合11i i '=，又可证明∠180='B AO °，说明B AO '三点在一直线上，B AO ' 与AC 和B C '组成ΔB AC '，其中B C AC B AO '+〈'。
又∵CB B C AOB OB AO B O AO B AO ='=+='+=',ACB CB AC AOB =+〈∴即符合反射定律的光程AOB 是从A 点到B 点的所有光程中的极小值，说明反射定律符合费马原理。
2、根据费马原理可以导出在近轴光线条件下，从物点发出并会聚到像点的所有光线的光程都相等.由此导出薄透镜的物象公式。
证明：由QB A ～FBA 得：OF\AQ=BO\BQ=f\s同理，得OA\BA=f '\s ',BO\BA=f\s由费马定理：NQA+NQ A '=NQ Q '结合以上各式得：(OA+OB)\BA=1得证 3．眼睛E 和物体PQ 之间有一块折射率为1.5的玻璃平板(见题3.3图),平板的厚度d 为30cm.求物PQ 的像 与物体PQ 之间的距离 为多少?解：.由题意知光线经两次折射后发生的轴向位移为：cmn d p p 10)321(30)11(=-=-='，即像与物的距离为cm 10题3.3图4．玻璃棱镜的折射棱角A 为60度,对某一波长的光其折射率为1.6.计算(1)最小偏向角;(2)此时的入射角;(3)能使光线从A 角两侧透过棱镜的最小入射角.解：由最小偏向角定义得 n=sin2A0+θ/sin 2A,得θ0=46゜１６′由几何关系知，此时的入射角为:i=2A0+θ=５３゜８′当在C 处正好发生全反射时：i 2’= sin-16.11 =38゜41′,i 2=A- i 2’=21゜19′∴i 1= sin -1(1.6sin 21゜19′)= 35゜34′ ∴ｉmin ＝３５゜３4′５．图示一种恒偏向棱角镜,它相当于一个30度-60-90度棱镜与一个45度-45度度棱镜按图示方式组合在一起.白光沿i 方向入射，我们旋转这个棱镜来改变1θ，从而使任意一种波长的光可以依次循着图示的路径传播，出射光线为r.求证：如果2sin 1n=θ则12θθ=，且光束i 与 r 垂直（这就是恒偏向棱镜名字的由来）． 解： i nsin sin 11=θ若θ1sin = 2n , 则 sini 1 = 21, i 1=30。
则i 2=30。
,而i nsin 2sin 2=θ∴ θθ21==+αθ1190。
，而θθ21=∴ =+αθ1290。
，∴i ⊥γ得证。
６．高５cm 的物体距凹面镜的焦距顶点12cm ，凹面镜的焦距是１０cm,求像的位置及高度，并作光路图．解：∵cm s cm f 12,10-=-=' 又f s s '='+111∴1011121-='+-s ，即cm s 60-='， s s y y '='-=β ∴s s y y '-='=-25cm即像在镜前60cm 处，像高为25cm７．一个５cm 高的物体放在球面镜前１０cm 处成1cm 高的虚像．求（１）此像的曲率半径；（２）此镜是凸面镜还是凹面镜？解：由题知物体在球面镜前成虚象，则其为反射延长线的交点，∵s s y y '-='=β∴cm y s y s 2='-='， 又r s s 211='+ ， ∴05〉=cm r ，所以此镜为凸面镜。
８．某观察者通过一块薄玻璃板去看凸面镜中他自己的像．他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在一起，若凸面镜的焦距为１０cm ,眼睛距凸面镜顶点的距离灵40cm,问玻璃板观察者眼睛的距离为多少?解：根据题意，由凸面镜成像公式得：cm s s f s s 81014011111='⇒=-'⇒'=+' ∴凸透镜物点与像点的距离cm s s d 48='+=， 则玻璃距观察者的距离为cmd242=。
9.物体位于凹面镜轴线上焦点之外,在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂直的两表面互相平行的玻璃板,其厚度为d1,折射率为n.试证明:放入该玻璃板后使像移动的距离与把凹面镜向物体移动d(n-1)/n 的一段距离的效果相同。
解：证明：将玻璃板置于凹面镜与焦点之间，玻璃折射成像，由三题结果得ｄ0＝ｄ（１－１＼ｎ），即题中所求。
10.欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体并成像在右半球面的顶点处,问这透明球体的折射率为多少?解：设球面半径为r ，物距和相距分别为s 和s ',由物像公式: r n 'n sn 's 'n -=- S=∞,s '=2r,n=1,得'n =211.有一折射率为1.5,半径为4cm 的玻璃球,物体在距球表面6cm 处,求(1)物所在的像到球心之间的距离;(2)像的横向放大率.解：cm r n n r n n s n s n 4,1,5.1,==='-'=-''的玻璃球。
对第一个球面，cm s 6-=415.1615.1-=--'∴s ，cm s 36-='∴对第二个球面 cm s 448362-=--=∴45.11445.112--=--'s ∴112='s∴从物成的像到球心距离cm r s ol 152=+'=5.121=''==s n s n βββ12.一个折射率为1.53,直径为20cm 的玻璃球内有两个小气泡.看上去一个恰好在球心,另一个从最近的方向看去,好像在表面与球心连线的中点.求两气泡的实际位置解 ：由球面镜成像公式：r n n s n s n -'=-''，当s '=日时，s= r, 气泡在球心。
当s '=2r时，s=6.05cm ，气泡在距球心3.95 cm 处。
13.直径为1m 的球形鱼缸的中心处有一条小鱼,若玻璃缸壁的影响可忽略不计,求缸外观察者所看到的小鱼的表观位置和横向放大率.解：由:r n n s n s n -'=-'', 又 s=r ， ∴s '=r=15cm, 即鱼在原处。
β= y y '=''n ns s =1.3314.玻璃棒一端成半球形,其曲率半径为2cm.将它水平地浸入折射率为1.33的水中,沿着棒的轴线离球面顶点8cm 处的水中有一物体,利用计算和作图法求像的位置及横向放大率,并作光路图.解: r n n s n s n -'=-'' 233.15.1833.15.1-=--'s ∴cm s 18-='2)8(5.1)18(33.1=-⨯-⨯=''=s n s n β∵r nn -'=φcm n n n r n f 65.1717.0333.15.125.1==-⨯='=-''='φcm n n n nr f 65.1517.066.233.15.1233.1-==-⨯=-=-'-=φ15.有两块玻璃薄透镜的两表面均各为凸球面及凹球面,其曲率半径为10cm.一物点在主轴上距离20cm 处,若物和镜均浸在水中,分别用作图法和计算法求像点的位置.设玻璃的折射率为1.5,水的折射率为1.33.解：（！）对于凸透镜：由薄透镜焦距公式得：'f f -= =-39.12 ,由透镜成像公式：1''=+s f s f ，s=20cm, 得s '=-40.92（2）对于凹透镜：由薄透镜焦距公式得: f= -'f =39.12由透镜成像公式：1''=+s f s f ，s=20cm, 得s '=-13.216.一凸透镜在空气中的焦距为40cm,在水中时焦距为136.8cm,问此透镜的折射率为多少(水的折射率为1.33)?若将此透镜置于CS 2中(CS 2的折射率为1.62),其焦距又为多少?解：由题意知凸透镜的焦距为：)(22111r nn r n n n f -+--=又∵在同一介质中21n n =，'f f -= 设n n n '==21∴)11)(1(12r n n n f --'-=' 因为对同一凸透镜而言211r n -是一常数，设 tn nf )1(1-'-=='，当在空气中时 40,111=='f n ，在水中时 8.136,33.122=='f n ∴ t n )11(401-= ，t n)133.1(8.1361--= 两式相比，可n=1.54，将其代入上式得0463.0=t ∴在2CS 中即时62.1='n ， 0463.0162.154.11⨯-='）（f ，得cm f 4.437-='.即透镜的折射率为1.54，在CS 2中的焦距为-437.4cm17.两片极薄的表玻璃,曲率半径分别为20cm 和25cm.将两片的边缘粘起来,形成内含空气的双凸透镜,把它置于水中,求其焦距为多少?解：由薄透镜焦距公式：)(22111r nn r n n n f -+--= ，其中n=1,n 1=n 2=1.33, r 1=20cm,r 2=25cm,得'f f -==-44.8cm18.会聚透镜和发散透镜的焦距都是１０cm,求(1)与主轴成30度的一束平行光入射到每个透镜上,像点在何处?(2)在每个透镜左方的焦平面上离主轴1cm 处各置一发光点,成像在何处?作出光路图.解：(1)由1''=+s f s f ，s =∞, 对于会聚透镜：s 'x ='f =10cm, s 'y =s 'x tg30。