多维随机变量及其分布

多维随机变量及其分布

随机向量的定义：

随机试验的样本空间为S={ω}，若随机变量X1(ω),X2(ω),…,X n(ω)定义在S 上，则称（X1(ω),X2(ω),…,X n(ω)）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,…,X n）。

二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。

对（X,Y）研究的问题：

1．（X,Y）视为平面上的随机点。研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint

2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度；

marginal

3．X与Y的相互关系；

4．（X,Y）函数的分布。

§ 3.1 二维随机变量的分布

一．离散型随机变量

1．联合分布律

定义 3.1 若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。

设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(x i,y j), i，j=1,2…,取这些值的概率为

p ij=P{(X,Y)=(x i,y i)}=p{X=x i,Y=y i}i,j=1,2,…

——(3.1)

称 (3.1)式为(X,Y)的联合分布律。

性质：

(1) p ij ≥ 0，i, j=1,2, (2)

∑j

i ij p ,=1

2．边缘分布律

设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为 p ij = P{X=x i ,Y=y i } i, j=1,2,… 分量X 和Y 的分布律分别为

p i.=P{X=x i } i=1,2,… 满足①p i.≥0②∑ p i.=1

p .j = p{Y=y i }j=1,2,… ①p .j ≥0②∑ p .j =1

我们称p i.和p .j 分别为(X,Y)关于X 和Y 的边缘分布律，简称为(X,Y)的边缘分布律。

二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律与边缘分布率有如下关系： p i.=P{X=x i }=P{X=x i , S}=P{X=x i ,j

∑

(Y=y j )} =

j

∑

P{X=x i ,Y=y j }=

j

∑

p ij

(3.4)

同理可得 p .j =

i

∑

p ij (3.5)

例1:一整数X 随机地在1，2，3三个整数中任取一值，另一个整数Y 随机地在1到X 中取一值。试求（X,Y ）的联合分布率及边缘分布率。 解：

{}{}{}

,

,3,2,13

1

1/,i j i i i X P i X j Y P j Y i X P ≤=⨯

=======

Y

1 2 3 X的边缘分布率

X

1 1/3 0 0 1/3 p1•

2 1/6 1/6 0 1/

3 p2•

3 1/9 1/9 1/9 1/3 p3•

Y的边缘分布率11/18 5/18 1/9 1

P•1 p•2 p•3

二．联合分布函数与边缘分布函数

1．定义3.2 设（X,Y)是二维随机变量，对任意的实数x,y令

F(x,y)=P{X≤x,Y≤y} (3.7)

则称 F(x,y)为（X,Y）的联合分布函数。

2．F(x,y)的性质：

性质1 对于x和y,F(x,y)都是单调不减函数，即若x1

若y1

性质2 对于任意的实数x,y,均有

0≤F(x,y)≤1,

Lim x -∞

→F(x,y)=0, Lim y -∞→F(x,y)=0, Lim y x +∞

→,F(x,y)=1。

性质3 对于x 和y,F(x,y)都是右连续的，即对任意的实数x 0和y 0，均有 Lim

x x +

→0

F(x,y)=F(x 0,y),

Lim y y +

→0F(x,y)=F(x,y 0

)。

性质4 若x 1

F(x 2,,y 2)-F(x 2,y 1) -F(x 1,y 2)+F(x 1,y 1)≥0 （X,Y ）落于下图阴影部分的矩形区域内的概率为： F(x 2,,y 2)-F(x 2,y 1)-F(x 1,y 2)+F(x 1,y 1) =P{x 1

例 2 P71, 照书上讲。

3．边缘分布

(X,Y)的分量X ，Y 的分布函数分别为F X (x)和F Y (y)，称它们为X ，Y 的边缘分布函数。它们与F(x,y)的关系如下：

F X (x)=P{X ≤x}=P{X ≤x,-∞

例2：(第一版)设

⎩

⎨

⎧≥≥+--=----其它

00

,01),(~),(2

22

2

22y x e e e y x F Y X y x y x ,

求：(1) (X,Y)的边缘分布函数；

(2)P(1≤x ≤2,-1≤y ≤3)。

(3)P(X>2,Y>3)=1- P(X

≤2,Y ≤3)

?

三．连续性随机变量 1．联合概率密度 定义3.3 设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),若存在非负函数f(x,y),使得对于任意的实数x,y 均有

F(x,y)=-∞⎰x ⎰∞-y dvdu

v u f ),( （3.12)

则称(X,Y)为连续型随机变量，并称f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度，简称为概率密度。

2．f(x,y)有如下性质：

性质1 f(x,y)≥0

性质2 ⎰∞

∞-⎰

∞

∞

-dxdy y x f ),(=1

性质3 若f(x,y)的连续点(x,y)处，有