固体物理学2

( 2, 6,3)
下图中给出立方晶格 的几种 种密勒指数。由于坐 标轴选在晶轴方向，除晶轴的指数简单外，密勒指 数简单的面也特别重要的面。
在密勒指数简单的晶面族中，面间距d较大。对于 一定的晶格，单位体积内格点数一定，因此在晶面 间距大的晶面上，格点（即原子）的面密度必然大。 显然，面间距大的晶面，由于单位表面能量小， 容易在晶体生长过程中显露在外表，故这种晶面容 易解理。 由于面上原子密度大，对x射线的散射强，因而密 勒指数简单的晶面族，在x射线衍射中，常被选作衍 射面。
若 l1、l2、l3 是互质整 数，就可用[l1,l2,l3]来表征 晶列OA的方向。这三个 互质的整数，称为晶列指 数。 图中的晶列指数即为[122]。
对于晶胞，取任一格点O为原点，并以a、b、c为 基矢时，任何其它格点A的位矢为
R ma nb pc
若m、n、p是互质整 数，就可用[m,n,p]来表 征晶列OA的方向。这 三个互质的整数，也称 为晶列指数。
2.晶格转轴的度数
在图中，B1 , A, B, A1是晶体中某一晶面（纸面）上的 一个晶列，AB是这晶列上相邻两个格点的距离。
如果晶格绕通过格点 A并垂直于纸面的 u轴逆时 针方向转过θ角后，能自身重合，则由于晶格的周 期性，通过格点 B 也有一个旋转轴 u。 现在分别两种情况来讨论：
CB OB OC (a2 / h2 ) (a3 / h3 )
都在ABC面上。
根据倒格矢定义可以证明：
K h CA 0
K h CB 0
即晶面族 (h1h2 h3 ) 与倒格矢
K h h1b1 h2b 2 h3b3
正交。
* 晶面间距与倒格矢长度的关系 ABC是晶面族 (h1h2 h3 ) 中最靠近原点的晶面，其面 间距等于原点到ABC面的距离。 由于该晶面的法线可以用 K h 表示，所以有
a1
于是可得倒格子原胞体积
* b1 (b2 b3 ) (2 ) 3 (a2 a3 ) [(a3 a1 ) (a1 a2 )] 3 (2 ) 3 (2 ) 3 2 a1 (a2 a3 ) 3 3 (2 ) 3
§1.5 倒格子空间 布里渊区
一、倒格矢 1.正格矢与倒格矢
在如图所示的X射线衍射中，任一格点的位矢为
Rl l1 a1 l2 a2 l3 a3
设 n0 , n 是入射线和衍射线的 单位矢量，经过点O 和 P点的X
P
射线，衍射前后的光程差为
B A O
AO OB Rl n0 Rl n Rl n n0
§1.6 晶体的对称性
一、对称性 1.对称性
由于晶面作有规则地配置，因此晶体在外型上具 有一定的对称性质。 对称性是指在一定的几何操作下，物体保持不变 的特性。 与一般几何图形的对称不同，由于晶格周期性的 限制，晶体仅具有为数不多的对称类型。 在晶体中，布拉菲格子是按其对称性来进行分类。
2.群（group）
* 元素间的“乘法”运算，满足结合律
1
1
A( BC ) ( AB)C
例如，1和-1，以普通的乘法为运算法则组成群； 除 0 外的所有正实数的集合，以普通的乘法为运算 法则组成正实数群。其中1为单位元素，x的逆为其 倒数 1/x ；所有整数的集合，以加法为运算法则组 成整数群。其中 0 为单位元素，b的逆为-b 。
b1
a2
2.倒格矢与正格矢的关系
正格子原胞是由其基矢组成的平行六面体，体积 为
a3 (a1 a2 ) a1 (a2 a3 ) a2 (a3 a1 )
2 (a2 a3 )
显然，根 据正格子可 以得出倒格 子，反之亦 然。
根据倒格子基矢与正格子基矢关系，得
* 选取某一格点为原点，并以原胞的三个基矢为坐 标轴。
这里，三个轴不一定相互正交。
* 将晶面与三个坐标轴交点的位矢分别表示为
a1 a2 a3 , , h1 h2 h3
这里，h1、h2、h3互为质数。
* 用(h1h2h3)表示晶面的方位，称为晶体面指数。
任一晶面族的晶面指数，可以由晶面族中任一晶 面在基矢坐标轴上截距系数的倒数求出。 晶面指数可正可负，当晶面在基矢坐标轴正方向 相截时，截距系数为正，在负方向相截时，截距系 数为负。
K h h1b1 h2b 2 h3 b3
倒格矢基矢与正格子基矢满足
2 ai b j 2ij 0
倒格子基矢如图所示。 显然，倒格矢基矢与正 格子基矢互为倒逆，以它 们为基矢的格子称为正格 子和倒格子。
(i j ) (i j )
b3
a3
b2
a1
2.倒格子与正格子的关系
* 正格子原胞体积和倒格子原胞体积的关系 倒格子原胞的体积为
* b1 (b2 b3 ) (2 ) (a2 a3 ) [(a3 a1 ) (a1 a2 )] 3
3
根据矢量运算公式，有
a3 a1 a1 a2 a3 a1 a2 a1 a3 a1 a1a2
b1
b2

2 (a3 a1 )Biblioteka b3a3b2
2 (a1 a2 ) b3
a1
a2
正格子与倒格子结构对比。
正格子与倒格子结构对比。
二、倒格子空间 1. 倒格子空间
正格子基矢在空间平移构成正格子，倒格子基矢 在空间平移构成倒格子；由正格子组成的空间是位 置空间，称为坐标空间。而由倒格子组成的空间则 为状态空间，称为倒格子空间，或K 空间。 正格子基矢组成的平行六面体为正格子原胞，由 倒格子基矢组成的平行六面体则称为倒格子原胞。 晶列和晶面在倒格子空间有同正格子空间相对应 的定义。 下面介绍倒格子和正格子的一些重要关系。
2.布里渊区的界面方程
布里渊区界面是某倒格矢K 的垂直平分面，若用 k 表示倒格空间的矢量，则如果它的端点落在布里 渊区界面上，必须满足
1 2 k Kh Kh 2
即：在倒格子空间中，凡满足上式的矢量端点的集 合构成布里渊区。
上式被称为布里渊区的界面方程。
3.布里渊区的特点
由布里渊区的构成可知：各个布里渊区的形状都 对原点对称。 对高布里渊区，某个布里渊区被分成 n 个部分， 则各部分也对原点对称。 各高布里渊区经过平移一个或多个倒格矢，都可 以移到第一布里渊区，且与第一布里渊区重合。因 此，每个布里渊区的体积均相等，且等于倒格子原 胞体积。 此外，由于倒格子基矢根据正格子基矢定义，所 以布里渊区的形状完全取决于晶体的布拉菲格子， 与具体的原子无关。
3.对称元素（symmetry elements）
标志晶体对称性的几何元素，称为对称元素，是 在对称操作中保持不动的轴、面或点 。 对称元素包括对称面（或镜面）、对称中心（或 反演中心）、旋转轴和旋转反演轴。 与上述对称元素相应的对称操作分别是：
* * * *
对对称面的反映； 晶体各点通过中心的反演； 绕轴的一次或多次旋转； 一次或多次旋转之后再经过中心的反演。
2.晶列指数（Index
of Crystal Array） 同一族中的晶列互相平行，并且完全等同。它们 具有两个特征： * 同族晶列具有相同的取向，即晶向； * 同族晶列上格点具有相同的周期。
取某一格点O为原点，以a1, a2, a3为原胞的三个基 矢，则晶格中其它任一格点A的位矢可以写成
Rl l1a1 l2a2 l3a3
2.空间群（space group）
晶体外型上的对称性，是晶体内在结构规律性的 体现，它意味着对晶体可以进行对称操作。
从对称性的角度，布拉菲格子由它所有的对称操 作刻画，因此晶格的全部对称性可以由点对称操作 和平移对称操作的组合来表征。 描述晶格的全部对称性的对称操作的集合，称为 对称群（symmetry group） ，或空间群。
§1.4
晶向和晶面的表征
一、晶向的表征
晶体具有各向异性，因此有必要识别和标志晶格 中的不同方向。
1.晶列（Crystal Array）
由于布喇菲格子的所有格 点周围情况均相同，从格点 沿某有方向的排列规律看， 所有格点可以看成分列在一 系列相互平行的直线系上， 这些直线称为晶列，如图所 示。
同一格点可以形成方 向不同的晶列，每个晶 列定义了一个方向，称 为晶向，如图所示。
三、点群
1.点对称操作（point symmetry operation）
保持空间某一点固定不动的对称操作，称为点对 称操作。
对于点操作类型，固体物理中习惯用熊夫利符号 标记，而晶体学中则惯用国际符号标记。
点对称操作共有三种：
C * 绕固定轴的转动，其标记符号为n (n) * 镜面反映，其标记符号为σ(m) * 中心反演，其标记符号为i（i）
除因子(2 )3外，正格子原胞体积与倒格子原胞体积 互为倒数。
* 正格子晶面族与倒格矢的关系 如图，晶面族 (h1h2 h3 )中，最靠近原点的晶面ABC在基 矢上的截距分别为 a1 / h1 a2 / h2 a3 / h3 由图可知，矢量
CA OA OC (a1 / h1 ) (a3 / h3 )
a1 K h a1 (h1b1 h2b 2 h3b3 ) d h1h2h3 h1 K h h1 h1b1 h2b2 h3b3 2 Kh
即：倒格矢的长度反比于晶面族的面间距。
三、布里渊区 1.布里渊区
以某一倒格点为原点，作所有倒格矢的垂直平分 面，则倒格子空间被这些平面分成许多包围原子的 多面体区域。这些多面体区域，称为布里渊区。 由最靠近原点的平分面所围 的区域，称为第一布里渊区。 第一布里渊区界面与次远垂直 平分面所围的区域，称为第二 布里渊区，依次得第三、…布 里渊区。 二维正方格子的布里渊区如 图所示。